Bozhidar Velichkov

Progetto ERC Starting Grant (ERC-2019-STG): VAREG - Variational approach to the regularity of the free boundaries

Dal 1° giugno 2020 Professore Ordinario presso il Dipartimento di Matematica, Bozhidar Velichkov è il Principal Investigator del progetto VAREG - Variational approach to the regularity of the free boundaries, premiato dallo European Resarch Council con un prestigioso ERC Starting Grant del valore di 1.330.325 euro.

Quella di Bozhidar Velichkov è una fulminante carriera accademica: classe 1985, dopo gli studi all’Università di Pisa e alla Scuola Normale Superiore, è Assistant Professor all’Université de Grenoble Alpes, nel 2019 diventa professore associato presso l’Università degli Studi di Napoli Federico II e in quello stesso anno si aggiudica l’ERC Grant, con il quale approda all’Università di Pisa nel 2020, grazie anche alla misura di incentivazione di Ateneo della chiamata diretta per i vincitori di ERC grant.

Così il Professore racconta il suo progetto dedicato all’approccio variazionale alla regolarità delle frontiere libere: “Un'equazione alle derivate parziali (PDE) è un'equazione che coinvolge le derivate parziali (le derivate rispetto alle diverse variabili) di una funzione incognita. Le PDE sono usate per descrivere fenomeni fisici importanti come la propagazione delle onde e del calore, sono presenti in diversi campi quali la meccanica quantistica, la relatività, l'elettrodinamica, l'aerodinamica, la meccanica dei fluidi, e sono anche alla base di diversi modelli matematici in biologia, economia, e medicina. Un problema di PDE ha tre “ingredienti” principali: 1. l'equazione differenziale all'interno di un insieme dato (il dominio dell'equazione); 2. la forma del dominio; 3. le condizioni al bordo (del dominio). Per esempio, usando l'equazione del calore, si può descrivere la temperatura all'interno di un materiale a partire soltanto dai dati sulla sua superficie esterna (le condizioni al bordo); in particolare, per determinare la temperatura all'interno del materiale non basta sapere che essa sia descritta dall'equazione del calore, ma bisogna anche conoscere la forma del materiale (un oggetto molto sottile si riscalda più velocemente di un oggetto voluminoso) e le condizioni al bordo (per esempio, la temperatura ambiente).

I problemi a frontiera libera sono una classe particolare di PDE in cui le condizioni al bordo (la frontiera) determinano la forma dell'oggetto stesso. Un esempio tipico è un blocco di ghiaccio che si sta sciogliendo. Ad ogni istante, conoscendo la forma del ghiaccio e usando l'equazione del calore (la PDE), possiamo determinare con precisione l'evoluzione della temperatura al suo interno. D'altro lato, nel momento in cui la temperatura raggiunge la soglia di zero gradi Celsius, il ghiaccio si scioglie; così è la temperatura stessa (la soluzione della PDE) a determinare la forma del dominio (il blocco di ghiaccio).

Il progetto ERC VAREG è dedicato allo sviluppo di nuovi metodi teorici per lo studio di problemi a frontiera libera, in particolare, a tecniche matematiche che permettono di determinare la struttura geometrica della frontiera. Il progetto è nato dalla scoperta di alcune nuove relazioni tra la quantità di energia, localizzata in una determinata area della superficie, e la geometria della frontiera stessa. Queste nuove relazioni permettono di studiare, in particolare, la formazione di singolarità sulla frontiera e la loro struttura geometrica.”