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MATEMATICA

Corso di laurea magistrale

Piano di Studi


Curricula:


Didattico

Primo anno

  • Istituzioni di didattica della matematica (9 cfu)

    • La conoscenza dei modelli teorici classici della ricerca internazionale in didattica della matematica. La conoscenza e l’analisi critica delle indicazioni per il curriculum di matematica nella scuola italiana. La conoscenza e l’analisi critica dei quadri teorici di riferimento delle agenzie nazionali ed internazionali di valutazione degli apprendimenti in matematica.
      Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della matematica.
      Le metodologie per l'insegnamento sviluppate nella ricerca in didattica della matematica.
      la progettazione e lo sviluppo delle attività di insegnamento relative alla matematica.
      I processi di insegnamento e apprendimento mediati dall'uso delle tecnologie nell'ambito della matematica.
      Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della matematica.
  • A scelta dello studente (6 cfu)

    • Qualsiasi insegnamento attivato nell'Ateneo, purché coerente con il progetto formativo. La coerenza delle attività scelte dallo studente con il progetto formativo deve essere approvata dal Consiglio di Corso di Studio, anche tenendo conto degli specifici interessi culturali e di sviluppo di carriera dello studente.
  • 9 cfu a scelta nel gruppo IstTeor

    • Istituzioni teoriche
    • Istituzioni di algebra (9 cfu)

      • Localizzazione di anelli e moduli, anelli e moduli noetheriani ed artiniani, decomposizione primaria, estensioni intere, domini di Dedekind, valutazioni ed anelli di valutazione, completamenti, dimensione e polinomio di Hilbert.
    • Istituzioni di geometria (9 cfu)

      • Calcolo differenziale globale; coomologia di de Rham; connessioni e curvature; rudimenti di gruppi di Lie.
    • Istituzioni di analisi matematica (9 cfu)

      • Spazi di Banach e Hilbert. Operatori lineari, completezza, convessità, dualità, teoria spettrale per operatori compatti su spazi di Hilbert ed applicazioni al problema di Sturm. Spazi di distribuzioni. Trasformata di Fourier di distribuzioni. Spazi di Sobolev, immersioni di Sobolev, compattezza e teorema di traccia.
  • 6 cfu a scelta nel gruppo ModAffInt

    • Moduli affini e integrativi
    • Meccanica dei continui (6 cfu)

      • Richiami di calcolo tensoriale, meccanica dei continui tridimensionali e dei continui unidimensionali (anche con struttura).
    • Storia della matematica antica e della sua tradizione (6 cfu)

      • Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica antica: inquadramento generale (caratteristiche della matematica greca, concetto di tradizione testuale, edizioni di riferimento), lettura diretta di testi legati a un autore classico o a una problematica, e studio della tradizione rinascimentale e dell'impatto sulla nascita della matematica moderna.
    • Meccanica relativistica (6 cfu)

      • Relatività speciale e principio di equivalenza di Einstein. Spazio-tempo come varietà. Moto lungo una geodetica. Equazioni di Einstein per la curvatura dello spazio-tempo. Metrica di Schwarzschild e di Kerr. Esempi di osservabili relativistiche
    • Dinamica olomorfa (6 cfu)

      • Insiemi di Julia e di Fatou; dinamica di funzioni olomorfe di una variabile.
    • Spazi simmetrici (6 cfu)

      • Gruppi di Lie. Algebre di Lie. Spazi localmente simmetrici e spazi simmetrici.
    • Analisi microlocale (6 cfu)

      • Operatori pseudodifferenziali. Integrali oscillanti. Fronte d'onda e propagazione delle singolarità. Teorema di Hörmander. Ottica geometrica e operatori integrali di Fourier. Disuguaglianza di Fefferman- Phong. Calcolo paradifferenziale. Teoria di Littlewood- Paley. Localizzazione in spazi di frequenza. Spazi di Besov.
    • Teoria dei semigruppi (6 cfu)

      • Semigruppi di operatori, applicazioni alle equazioni di evoluzione
    • Ricerca operativa (6 cfu)

      • Grafi, programmazione lineare, programmazione intera, elementi di teoria dell'ottimizzazione.
    • Teoria dei numeri elementare (6 cfu)

      • Congruenze di grado superiore al primo e struttura moltiplicativa delle classi di resto. Proprietà algebriche e asintotiche delle funzioni aritmetiche. Problemi additivi e moltiplicativi legati alla distribuzione dei numeri primi. Approssimazioni razionali di numeri algebrici e trascendenti
    • Problemi di evoluzione (6 cfu)

      • Equazioni astratte, scale di Banach. Teorema di Cauchy-Kovalewski. Caratteristiche. Equazione delle onde. Sistemi iperbolici a coefficienti costanti. Condizioni  di Hadamard-Garding. Sistemi simmetrici, metodo dell'energia. Sistemi strettamente iperbolici. Simmetrizzatore micro-locale.
    • Calcolo scientifico (6 cfu)

      • Problemi di minimi quadrati, metodi del gradiente, decomposizione a valori singolari, calcolo di autovalori.
    • Elementi di calcolo in gruppi omogenei (6 cfu)

      • Gruppi di Lie nilpotenti semplicemente connessi: dilatazioni intrinseche, distanze invarianti, misura di Haar. Differenziabilità rispetto l'operazione di gruppo e le dilatazioni.
    • Campi ciclotomici (6 cfu)

      • Caratteri di Dirichlet, serie L di Dirichlet, numeri di Bernoulli, fomrula del numero di classi, teorema di Stickelberger.
    • Matematiche elementari da un punto di vista superiore: geometria (6 cfu)

      • Assiomatiche per la geometria euclidea; geometrie non euclidee; trasformazioni geometriche
    • Metodi matematici della crittografia (6 cfu)

      • Metodi ed algoritmi matematici applicati alla crittografia ed alla crittanalisi: fattorizzazione, logaritmo discreto. Curve ellittiche, fattorizzazione e crittografia ellittica ed iperellittica. Reticoli.
    • Metodi numerici per catene di Markov (6 cfu)

      • Matrici nonnegative e teorema di Perron-Frobenius. Metodi per catene di Markov finite e infinite. Modelli di code e loro matrici di transizione.
    • Metodi di ottimizzazione delle reti (6 cfu)

      • Algoritmi ad hoc per problemi di flusso su rete, routing in reti di comunicazione, progetto di reti di comunicazione, reti di trasporto.
    • Elementi di calcolo delle variazioni (6 cfu)

      • Principi variazionali in una e più variabili. Equazione di Eulero-Lagrange. Condizioni sufficienti di minimalità. Esempi classici di problemi variazionali. Funzioni assolutamente continue e metodo diretto. Geodetiche. Teorema del passo montano e principi di minimax.
    • Teoria algebrica dei numeri 1 (6 cfu)

      • Campi di numeri, interi dei campi di numeri; fattorizzazione unica degli ideali, ramificazione, gruppo delle classi di ideali, teorema delle unità di Dirichlet.
    • Probabilità (6 cfu)

      • Complementi di misura e integrazione: integrazione delle variabili aleatorie. Indipendenza di variabili aleatorie: leggi 0-1. Le funzioni caratteristiche. Convergenza di variabili aleatorie. Teoremi limite (leggi dei Grandi Numeri e teorema del Limite Centrale). Due esempi di processi stocastici: il processo di Wiener e il processo di Poisson.
    • Introduzione alla meccanica quantistica (6 cfu)

      • Meccanica quantistica delle particelle: dualità onda/particella, principio di sovrapposizione, principio di indeterminazione, equazione di Schroedinger.
    • Teoria dei codici e crittografia (6 cfu)

      • Trasmissione dei dati, stutture matematiche per la correzione efficiente degli errori di trasmissione. Principali codici correttori, loro proprietà e decodifica. Principali problemi crittografici: cifratura, firma, identificazione, integrità dei dati. Principali protocolli crittografici e problemi matematici soggiacenti.
    • Teoria delle categorie (6 cfu)

      • Categorie, funtori; aggiunti; limiti, colimiti; fasci, topoi.
    • Teoria dei campi e teoria di Galois (6 cfu)

      • Estensioni algebriche ed estensioni trascendenti, chiusura algebrica, separabilità, teoria di Galois, risolubilità, estensioni abeliane, teoria di Kummer.
    • Processi stocastici (6 cfu)

      • Processi di Markov, forme di Dirichlet, processi gaussiani.
    • Metodi topologici per le equazioni differenziali (6 cfu)

      • Teorie topologiche variazionali o non variazionali per alcune classi di equazioni non lineari di tipo differenziale o integrale.
    • Geometria simplettica (6 cfu)

      • Varietà simplettiche. Esempi standard. Teorema di Darboux. Strutture quasi-complesse compatibili.
    • Onde lineari e non lineari (6 cfu)

      • Principali proprietà delle soluzioni delle equazioni delle onde lineari e non lineari; proprietà dispersive delle soluzioni e decadimento dell'energia locale.
    • Superfici minime (6 cfu)

      • Risultati di esistenza per superfici minime: approccio classico, insiemi di perimetro finito, correnti. Alcuni risultati di regolarità per le ipersuperfici minime.
    • Analisi complessa B (6 cfu)

      • Funzioni plurisubarmoniche; domini pseudoconvessi; equazione del de-bar.
    • Metodi topologici in analisi globale (6 cfu)

      • Elementi di analisi non lineare per alcuni problemi di tipo “globale”, quali: il problema della sella, il punto fisso di Brouwer, le dimensioni e l’invarianza del dominio, la pettinabilità della sfera, il problema di Jordan. Applicazioni alle equazioni differenziali.
    • Finanza matematica (6 cfu)

      • Orbite periodiche e teorema di Poincaré-Birkhoff, teoria delle perturbazioni.
    • Gruppi di Coxeter (6 cfu)

      • Sistemi di radici e gruppi generati da riflessioni.
    • Geometria reale B (6 cfu)

      • Geometria degli insiemi semianalitici e subanalitici.
    • Metodi numerici per la grafica (6 cfu)

      • Parametrizzazione interpolazione e approssimazione di curve e superfici. Curve e superfici di Bezier, B-spline.
    • Teoria della calcolabilità (6 cfu)

      • Modelli di calcolo e funzioni calcolabili.
    • Operatori differenziali e teoremi dell’indice (6 cfu)

      • Algebre di Clifford. Operatori di Dirac. Teoremi dell'indice.
    • Metodi decisionali guidati dai modelli (6 cfu)

      • Ottimalità e algoritmi, algoritmi euristici, tecniche di rilassamento, algoritmi enumerativi. Software di ottimizzazione.
    • Geometria e topologia delle superfici (6 cfu)

      • Spazio di Teichmüller; laminazioni geodetiche; complessi di curve.
    • Calcolo delle variazioni A (6 cfu)

      • Il metodo diretto nel calcolo delle variazioni. Condizioni necessarie e sufficienti di semicontinuità inferiore per funzionali integrali su spazi di Sobolev di funzioni scalari. Il caso vettoriale. Integrali invarianti. Misure di Young e misure di Young gradienti. Convessità, convessità di rango-uno, quasiconessità, policonvessità. Rilassamento.
    • Algebra superiore A (6 cfu)

      • Algebra commutativa.
    • Sistemi dinamici discreti (6 cfu)

      • Dinamica topologica; insiemi iperbolici; teoria ergodica.
    • Fisica matematica (6 cfu)

      • Richiami di meccanica hamiltoniana, sistemi completamente integrabili e variabili azione angolo. Metodi perturbativi: teorema della media. Soluzioni periodiche del problema degli N-corpi, teorema geometrico di Poincaré-Birkhoff. Orbite periodiche con metodi variazionali.
    • Analisi armonica (6 cfu)

      • Fondamenti dell'Analisi armonica, interpolazione reale e comlessa, spazi di Lorentz, funzioni massimali, teoria di Calderon-Zygmund, spazi BMO, moltiplicatori di Fourier, integrali oscillanti e teoremi di restizione.
    • Teoria delle funzioni (6 cfu)

      • Elementi della teoria delle funzioni analitiche di una variabile complessa: serie di Mittag-Leffler,fattorizzazione di Weierstrass, fattorizzazione delle funzioni intere di ordine finito, sviluppi asintotici, teorema di Picard.
    • Elementi di logica matematica (6 cfu)

      • Calcolo dei predicati. Sistemi formali. Teorema di completezza.
    • Geometria reale computazionale (6 cfu)

      • Campi formalmente reali. Numeri algebrici reali, varietà algebriche reali. Algoritmi e applicazioni.
    • Metodi numerici per l’analisi di Fourier (6 cfu)

      • Serie di Fourier e trasformata di Fourier. Trasformata discreta di Fourier, trasformate trigonometriche. Algoritmi veloci per il calcolo delle trasformate discrete.
    • Ultrafiltri e metodi nonstandard (6 cfu)

      • Ultrafiltri e ultrapotenze. Fondamenti dell'analisi non-standard. Applicazioni alla teoria di Ramsey e alla teoria combinatoria dei numeri.
    • Equazioni alle derivate parziali (6 cfu)

      • Equazioni e sistemi del primo ordine. Rappresentazione esplicita delle soluzioni delle equazioni di Laplace, del calore, e delle onde. Proprietà qualitative delle soluzioni: principio del massimo, unicità, regolarità e dispersione.
    • Geometria reale C (6 cfu)

      • Topologia delle curve e superfici reali.
    • Analisi convessa (6 cfu)

      • Topologie deboli su spazi di Banach, funzioni convesse, calcolo in spazi di Banach, sottodifferenziale, disequazioni variazionali, multifunzioni.
    • Didattica della matematica e nuove tecnologie (6 cfu)

      • Metodologie, modelli e materiali didattici in contesti di aula multimediale; ruolo delle tecnologie nell'insegnamento / apprendimento della matematica: software didattici e lavagne interattive multimediali.
    • Equazioni differenziali ordinarie (6 cfu)

      • Problema di Cauchy. Equazioni di Bernoulli, D'Alembert, Clairaut, Eulero, Riccati. Metodo di Peano. Equazioni lineari. Dipendenza regolare dai dati. Soluzioni massimali.  Equilibri. Problemi di Sturm- Liouville.
    • Curve algebriche (6 cfu)

      • Curve algebriche, divisori. Curve ellittiche, iperellittiche, jacobiane. Applicazioni.
    • Geometria algebrica D (6 cfu)

      • Tori complessi e varietà abeliane.
    • Storia della matematica (6 cfu)

      • Il corso è di tipo istituzionale e intende offrire una panoramica delle grandi linee di sviluppo della matematica occidentale fino alla fine del XIX secolo. A questo aspetto verrà, di anno in anno, accoppiato un approfondimento di uno o più temi particolarmente rilevanti, quali la geometria cartesiana, l'invenzione del calcolo infinitesimale, le origini della teoria di Galois, la "nuova'' analisi di Cauchy.
    • Teoria algebrica dei numeri 2 (6 cfu)

      • Valori assoluti, campi locali, differente, discriminante, ramificazione, gruppi di ramificazione.
    • Metodi di approssimazione (6 cfu)

      • Risoluzione numerica di equazioni matriciali. Algoritmi numerici per matrici con struttura.
    • Forme modulari (6 cfu)

      • L-serie, equazioni funzionali e operatori di Heck
    • Geometria riemanniana (6 cfu)

      • Relazioni fra curvatura e topologia; teoremi di confronto e di pinching.
    • Algebra commutativa e geometria algebrica computazionale (6 cfu)

      • Costruzioni e algoritmi per l'algebra commutativa e la geometria algebrica, applicazioni.
    • Funzioni speciali (6 cfu)

      • Funzione gamma di Eulero: equazioni funzionali, formula di Stirling. Funzioni ellittiche: funzione P di Weierstrass. Elementi della teoria della funzione zeta di Riemann. Soluzioni di equazioni differenziali lineari a coefficienti analitici: funzione ipergeometrica, funzioni di Bessel.
    • Geodesia via satellite (6 cfu)

      • Problema dei minimi quadrati, simmetrie e degenerazioni. Campo gravitazionale di un corpo esteso, problema del satellite. Perturbazioni non-gravitazionali, geodesia e gravimetria spaziale, terrestre e interplanetaria.
    • Dinamica del sistema solare (6 cfu)

      • Equazioni del moto dei pianeti. Teorie perturbative, elementi propri. Risonanze, piccoli divisori, esponenti di Lyapunov.
    • Geometria degli spazi metrici (6 cfu)

      • Nozioni di curvatura. Quasi isometrie. Geometria a larga scala.
    • Elementi di algebra computazionale (6 cfu)

      • Rappresentazione di interi e polinomi. Algoritmi algebrici fondamentati. Sistemi di calcolo algebrico.
    • Meccanica spaziale (6 cfu)

      • Moto di satelliti artificiali e sonde spaziali, missioni spaziali interplanetarie.
    • Geometria reale A (6 cfu)

      • Geometria degli insiemi semialgebrici. Algebra reale. Strutture o-minimali.
    • Determinazione orbitale (6 cfu)

      • Problema dei minimi quadrati, simmetrie e degenerazioni. Problema dell'identificazione. Orbite preliminari. Soluzioni deboli. Incontri ravvicinati e monitoraggio degli impatti.
    • Logica matematica (6 cfu)

      • Calcolo dei predicati. Teoremi di incompletezza di Godel. Decidibilità e indecidibilità.
    • Algebra superiore B (6 cfu)

      • Algebre e loro rappresentazioni
    • Tecnologie per la didattica (6 cfu)

      • Ruolo delle tecnologie nell’apprendimento / insegnamento della matematica; uso e costruzione di strumenti didattici informatici, multimediali e telematici Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della matematica. I processi di insegnamento e apprendimento mediati dall'uso delle tecnologie nell'ambito della matematica. Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della matematica.
    • Geometria differenziale complessa (6 cfu)

      • Varietà complesse; coomologia di Dolbeault; varietà di Stein; metriche e distanze intrinseche.
    • Matematica discreta (6 cfu)

      • Calcolo combinatorio, funzioni generatrici, grafi, teoria di Ramsey.
    • Teoria degli insiemi (6 cfu)

      • Modelli della teoria degli insiemi.
    • Teoria dei nodi (6 cfu)

      • Invarianti di nodi e di link. Trecce.
    • Teoria del controllo ottimo (6 cfu)

      • Problemi di controllo di energia minima e di tempo minimo; esistenza e di sensitività delle soluzioni; principio di massimo di Pontryagin, approccio di programmazione dinamica ed equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman.
    • Geometria di contatto (6 cfu)

      • Varietà di contatto. Esempi standard. Teorema di Darboux. Nodi Legendriani e trasversi. Libri aperti e strutture di contatto.
    • Geometria e topologia differenziale (6 cfu)

      • Geometria differenziale di curve e superfici nello spazio euclideo, introduzione a varietà e mappe differenziabili in dimensione n.
    • Geometria algebrica A (6 cfu)

      • Schemi, fasci, coomologia.
    • Analisi non lineare (6 cfu)

      • Teorie e metodi sul comportamento globale di operatori non lineari, fra spazi di dimensione finita o spazi di funzioni, collegati con classici problemio equazioni non lineari.
    • Matematica e musica (6 cfu)

      • Formalizzazione algebrica delle strutture musicali.
    • Topologia differenziale (6 cfu)

      • Funzioni di Morse e decomposizioni in manici. Teorema dell'h-cobordismo.
    • Algebra computazionale A (6 cfu)

      • Aritmetica, fattorizzazione, integrazione.
    • Gruppi e rappresentazioni (6 cfu)

      • Rappresentazioni di gruppi finiti. Esempi di classi di gruppi.
    • Sistemi dinamici (6 cfu)

      • Sistemi dinamici lineari (con richiami di algebra lineare), stabilità e teoria qualitativa per sistemi dinamici non lineari, formalismo hamiltoniano e lagrangiano ad un grado di libertà, sistemi dinamici discreti, un esempio elementare di caos.
    • Laboratorio di fisica per l'insegnamento (6 cfu)

      • Sviluppare competenze nella gestione di esperienze di laboratorio, fornire basi teoriche di un approccio alla misura. Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della fisica. La progettazione e lo sviluppo delle attività di insegnamento relative alla fisica. Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della fisica
    • Analisi matematica 3 (6 cfu)

      • Spazi di Hilbert. Spazi di Lebesgue L^p. Convoluzione di funzioni. Serie di Fourier. Trasformata di Fourier. Formula dell'area e integrazione su superfici. Funzioni armoniche.
    • Dinamica del sistema Terra-Luna (6 cfu)

      • Il sistema Terra-Luna-Sole e le caratteristiche principali dell'orbita della Luna. Il tracking laser della Luna nell'era spaziale (LLR-Lunar Laser Ranging). LLR e la verifica della Relatività Generale.
    • Teoria analitica dei numeri A (6 cfu)

      • Problemi legati alla distribuzione dei primi; la Zeta di Riemann e le funzioni L di Dirichlet.
    • Introduzione alla teoria geometrica della misura (6 cfu)

      • Misure e dimensione di Hausdorff. Insiemi rettificabli. Formula dell'area e della coarea
    • Elementi di analisi complessa (6 cfu)

      • Teorema di uniformizzazione di Riemann; proprietà geometriche del gruppo delle omografie; principio di simmetria e sue applicazioni; un modello di piano iperbolico; cenni sulle funzioni di più variabili complesse.
    • Calcolo delle variazioni B (6 cfu)

      • Teoria della regolarità per minimi di funzionali integrali.
    • Algebre e gruppi di Lie (6 cfu)

      • Teoremi di struttura per le algebre di Lie di dimensione finita (incluso il caso delle algebre semisemplici complesse). Gruppi di Lie e relazione con le algebre di Lie. Introduzione alla teoria delle rappresentazioni delle algebre e gruppi di Lie.
    • Origini e sviluppo delle matematiche moderne (6 cfu)

      • Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica moderna: inquadramento generale, lettura diretta di testi, discussione della letteratura in materia.
    • Fisica II (9 cfu)

      • Elettrostatica e magnetostatica nel vuoto, correnti stazionarie, induzione, circuiti passivi lineari RLC, equazioni di Maxwell, onde elettromagnetiche, polarizzazione, irraggiamento, riflessione e rifrazione.
    • Geometria algebrica C (6 cfu)

      • Curve e superfici di Riemann.
    • Teoria e metodi dell'ottimizzazione (6 cfu)

      • Ottimizzazione non lineare: condizioni di ottimalità per problemi vincolati e non vincolati, teoria della dualità, metodi risolutivi per problemi vincolati e non vincolati, applicazioni.
    • Analisi superiore (6 cfu)

      • Spazi vettoriali topologici. misure e distribuzioni. Operatori illimitatii, aggiunto ad un operatore non limiato, teoria spettrale per operatori non limitati. Calcolo funzionale Forme quadratiche, soluzioni deboli e soluzioni forti.
    • Topologia algebrica (6 cfu)

      • Omotopia e teorie coomologiche.
    • Geometria algebrica E (6 cfu)

      • Superfici algebriche.
    • Algebra computazionale B (6 cfu)

      • Metodi effettivi per la risoluzione di sistemi di equazioni polimonmiali.
    • Algebra lineare e multilineare (6 cfu)

      • Strutture algebriche lineari.
    • Complementi di analisi funzionale (6 cfu)

      • Spazi vettoriali topologici, misure e distribuzioni. Convoluzione, trasformata di Fourier, teorema di Paley-Wiener ed applicazioni alle EDP. Teoria spettrale per operatori non limitati. Calcolo operazionale, semigruppi di operatori. Teorema di Malgrange-Ehrenpreis. Teoremi di punto fisso in dimensione infinita ed applicazioni alle EDP.
    • Topologia generale (6 cfu)

      • Spazi normali, teorema di Urysohn, compattificazioni, teorema di Baire, paracompattezza, partizioni dell’unità.
    • Analisi non standard (6 cfu)

      • Fondamenti dell'analisi non standard, scelta di applicazioni ad altre aree della matematica.
    • Elementi di topologia algebrica (6 cfu)

      • Omologia simpliciale e singolare, CW complessi, coomologia, prodotto cup, dualità di Poincaré.
    • Equazioni della fluidodinamica (6 cfu)

      • Introduzione alla teoria matematica delle equazioni alle derivate parziali della meccanica dei continui e in particolare a quelle di Eulero e Navier-Stokes per fluidi incomprimibili.
    • Topologia e geometria in bassa dimensione (6 cfu)

      • Varietà topologiche, lineari a pezzi e differenziabili di dimensione minore di 5.
    • Spazi di funzioni (6 cfu)

      • Proprietà fini delle funzioni derivabili in senso debole: funzioni di Sobolev e BV, insiemi di perimetro finito. Altri spazi di funzioni. Riarrangiamento e disuguaglianze funzionali.
    • Elementi di geometria algebrica (6 cfu)

      • Varietà affini, proiettive e quasi-proiettive. Morfismi. Applicazioni razionali. Punti lisci e dimensione.
    • Algebra 2 (6 cfu)

      • Gruppi: azioni di gruppi, costruzioni e presentazioni di gruppi. Moduli e caratterizzazione dei moduli su un PID. Anelli noetheriani. Teorema della base di Hilbert. Basi di Groebner e applicazioni.
    • Problemi e metodi della ricerca in didattica della matematica (6 cfu)

      • Il corso, rivolto agli studenti interessati alla ricerca in didattica della matematica, intende dare l’opportunità di conoscere e confrontarsi con le problematiche tipiche di tale campo di ricerca (sia quelle classiche che quelle più recenti) e con i metodi di ricerca utilizzati.
    • Teoria dei gruppi (6 cfu)

      • Serie di composizione, gruppi di permutazioni, gruppi nilpotenti, gruppi risolubili.
    • 3-varietà (6 cfu)

      • Risultati classici sulla topologia delle 3-varietà. Esempi e costruzioni di 3-varietà.
    • Fisica III (6 cfu)

      • Sistemi e trasformazioni termodinamiche, gas perfetto, prima e seconda legge, temperatura ed entropia; potenziali ritardati, relatività speciale e legami con l'elettromagnetismo, cenni su argomenti di fisica moderna (meccanica quantistica e altro).
    • Elementi di meccanica celeste (6 cfu)

      • Problema dei 2 corpi ed equazione di Keplero. Problema dei 3 corpi ristretto circolare, integrale di Jacobi, criterio di stabilità di Hill, cenni su orbite confinate ma caotiche. Maree ed evoluzione mareale nel sistema solare; la Terra come corpo esteso.
    • Equazioni ellittiche (6 cfu)

      • Teoria della regolarità. Equazioni in forma di divergenza. Equazioni non variazionali. Equazioni non lineari. Problemi al contorno. Frontiera libera. Problemi con ostacolo. Equazioni degeneri. Teoria del potenziale. Funzioni armoniche. Interpolazione. Autovalori.
    • Meccanica celeste (6 cfu)

      • Singolarità e orbite periodiche nel problema degli N corpi
    • Teoria analitica dei numeri B (6 cfu)

      • Problemi analitici di natura additiva con particolare riferimento al metodo di Hardy e Littlewood
    • Elementi di probabilità e statistica (6 cfu)

      • Probabilità su spazi numerabili: condizionamento, indipendenza, variabili aleatorie. Variabili aleatorie con densità: variabili gaussiane. Inferenza statistica: stima, test, intervalli di fiducia. Principali test statistici su modelli gaussiani.
    • Algebra omologica (6 cfu)

      • Moduli proiettivi e iniettivi. Categorie e funtori. Funtori aggiunti. Categorie di moduli. Successioni esatte, risoluzioni, funtori derivati. (Co)omologia di gruppi e algebre.
    • Algebra 1 (6 cfu)

      • Gruppi: teoremi di omomorfismo, permutazioni, gruppi abeliani finiti. Anelli e ideali, anelli speciali, anelli di polinomi. Elementi di teoria di Galois.
    • Introduzione all'analisi p-adica (6 cfu)

      • Struttura dei numeri p-adici; continuità, differenziabilità e analiticità in campo p-adico.
    • Elementi avanzati di algebra lineare numerica (6 cfu)

      • Metodi di Krylov, GMRES, BiCG, polinomi di matrici, problemi polinomiali agli autovalori, funzioni di matrici.
    • Metodi numerici per equazioni differenziali ordinarie (6 cfu)

      • Problemi ai valori iniziali e ai valori limite, metodi a un passo, metodi a più passi, metodi di shooting.
    • 2-varietà (6 cfu)

      • Varietà di dimensione due e loro automorfismi.
    • Algoritmi e strutture dei dati (6 cfu)

      • Strutture dei dati, analisi di algoritmi e complessità, progetto di algoritmi.
    • Teoria ergodica (6 cfu)

      • Teoremi di Krein-Milman e di Choquet, teoria spettrale. Esempi di base. Teoremi di Poincaré, Birkhoff, von Neumann. Decomposizione ergodica. "Mixing" e "weak mixing". Operatore di Perron- Frobenius. Decadimento delle correlazioni. Entropia. Dinamica simbolica. Catene di Markov e misura di Parry.
    • Teoria dei codici (6 cfu)

      • Trasmissione con errore, correzione d'errore. Famiglie di codici correttori. Metodi di geometria algebrica e algebra computazionale per la costruzione di codici e la decodifica.
    • Teoria dei controlli (6 cfu)

      • Teoria di controllabilità, osservabilità e stabilizzazione via feedback; modelli di controllo lineari; teoria geometrica di controllabilità per sistemi regolari; sistemi switching e sistemi ibridi.
    • Dinamica iperbolica (6 cfu)

      • Sistemi dinamici iperbolici; dinamica in dimensione bassa.
    • Analisi complessa A (6 cfu)

      • Il fascio dei germi delle funzioni analitiche; Nullstellensatz; spazi analitici; Teoremi A e B di Cartan.
    • Probabilità superiore (6 cfu)

      • Presentazione di una selezione di argomenti avanzati di probabilità quali Spazi Gaussiani, Calcolo di Malliavin, processi di Levy e Levy-stabili.
    • Equazioni alle derivate parziali 2 (6 cfu)

      • Selezione di argomenti avanzati della teoria delle equazioni alle derivate parziali.
    • Equazioni iperboliche (6 cfu)

      • Equazioni differenziali di tipo iperbolico, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
    • Modelli matematici in biomedicina e fisica matematica (6 cfu)

      • Obiettivi formativi: Equazioni differenziali ordinarie con effetti dissipativi (ritardo, memoria, etc) e stabilità, e loro applicazioni in biomedicina. Equazioni alle derivate parziali e loro applicazioni in fisica matematica.
    • Analisi geometrica (6 cfu)

      • Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi geometrica.
    • Geometria algebrica F (6 cfu)

      • Varietà toriche.
    • Teoria descrittiva della complessità (6 cfu)

      • Modelli finiti e complessità computazionale
    • Teoria dei modelli (6 cfu)

      • Modelli di teorie del primo ordine. Compattezza. Equivalenza elementare. Applicazioni all'aritmetica, ai campi, e ad altre strutture algebrico-relazionali.
    • Elementi di teoria degli insiemi (6 cfu)

      • Nozioni di logica. Teoria assiomatica degli insiemi. Cardinali. Ordinali.
    • Teoria geometrica della misura (6 cfu)

      • Nozioni di base di teoria geometrica della misura. Correnti normali ed intere. Esistenza delle soluzioni per il problema di Plateau omologico. Varifold.
    • Problem solving (6 cfu)

      • Ruolo dei problemi nell’insegnamento della matematica; euristiche; problem solving e problem posing.
    • Teoria dei giochi (6 cfu)

      • Equilibri nei modelli di giochi noncooperativi, teoria dei giochi cooperativi, giochi posizionali e giochi differenziali
    • Analisi in spazi metrici (6 cfu)

      • Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi su spazi metrici.
    • Equazioni differenziali stocastiche e applicazioni (6 cfu)

      • Introduzione ai teoremi di esistenza ed unicità (debole o forte) per equazioni differenziali stocastiche ordinarie, legami con le equazioni alle derivate parziali, applicazioni in ambito fisico o biologico.
    • Matematica e società (6 cfu)

      • Matematica, società e curricula; il contesto culturale nell'insegnamento ed apprendimento della matematica; il ruolo delle conoscenze matematiche non-scolastiche.
    • Matematiche elementari da un punto di vista superiore: aritmetica (6 cfu)

      • Gli insiemi numerici: possibili introduzioni, proprietà
    • Fondamenti della matematica (6 cfu)

      • Sistemi formali e teorie fondazionali.
    • Geometria algebrica B (6 cfu)

      • Varietà complesse, metodi trascendenti
    • Equazioni paraboliche (6 cfu)

      • Equazioni differenziali di tipo parabolico, lineari e non lineari, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
    • Meccanica superiore (6 cfu)

      • Obiettivi formativi: Indicatori di comportamento caotico e metodi ergodici per sistemi meccanici
    • Teoria della misura (6 cfu)

      • Misure astratte, misure su uno spazio topologico, integrale di Daniell, convergenze di misure.
    • 4-varietà (6 cfu)

      • Risultati classici sulla topologia delle 4-varietà. Esempi e costruzioni di 4-varietà.
    • Complementi di fisica (6 cfu)

      • Onde. Elementi di relatività ristretta. Equazioni d'onda relativistiche. Complementi di termodinamica e statistica.
    • Statistica matematica (6 cfu)

      • Modelli statistici: modelli dominati. Stime: stime consistenti e di Massima verosimiglianza. Intervalli di fiducia e test. I principali test sui modelli gaussiani (di Student, di Fisher Snedecor). Modelli statistici non parametrici: teorema di Glivenko-Cantelli e e test del chi-quadro.
    • Analisi reale (6 cfu)

      • Fondamenti dell'analisi reale (teoria della misura, spazi di funzioni).
    • Capacità non lineare, disequazioni variazionali e applicazioni (6 cfu)

      • Il percorso scelto ci permetterà di illustrare alcune tecniche e argomenti classici per trovare condizioni necessarie e sufficienti affinché un punto di frontiera sia regolare relativamente al problema di Dirichlet non omogeneo per l'operatore di Laplace non-lineare (il cosiddetto p-laplaciano).
    • Complementi di didattica della matematica (6 cfu)

      • Processi di apprendimento della matematica; contesti e tipi di razionalità; ostacoli epistemologici e didattici nell’insegnamento della matematica
    • Teoria della dimostrazione (6 cfu)

      • Il concetto formale di dimostrazione. Sistemi dimostrativi. Logiche non classiche. Analisi ordinale
    • Geometria iperbolica (6 cfu)

      • Lo spazio iperbolico. Esempi e costruzioni di varietà iperboliche. Proprietà topologiche e geometriche di varietà iperboliche.
  • 6 cfu a scelta nel gruppo ModAffInt

    • Moduli affini e integrativi
    • Meccanica dei continui (6 cfu)

      • Richiami di calcolo tensoriale, meccanica dei continui tridimensionali e dei continui unidimensionali (anche con struttura).
    • Storia della matematica antica e della sua tradizione (6 cfu)

      • Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica antica: inquadramento generale (caratteristiche della matematica greca, concetto di tradizione testuale, edizioni di riferimento), lettura diretta di testi legati a un autore classico o a una problematica, e studio della tradizione rinascimentale e dell'impatto sulla nascita della matematica moderna.
    • Meccanica relativistica (6 cfu)

      • Relatività speciale e principio di equivalenza di Einstein. Spazio-tempo come varietà. Moto lungo una geodetica. Equazioni di Einstein per la curvatura dello spazio-tempo. Metrica di Schwarzschild e di Kerr. Esempi di osservabili relativistiche
    • Dinamica olomorfa (6 cfu)

      • Insiemi di Julia e di Fatou; dinamica di funzioni olomorfe di una variabile.
    • Spazi simmetrici (6 cfu)

      • Gruppi di Lie. Algebre di Lie. Spazi localmente simmetrici e spazi simmetrici.
    • Analisi microlocale (6 cfu)

      • Operatori pseudodifferenziali. Integrali oscillanti. Fronte d'onda e propagazione delle singolarità. Teorema di Hörmander. Ottica geometrica e operatori integrali di Fourier. Disuguaglianza di Fefferman- Phong. Calcolo paradifferenziale. Teoria di Littlewood- Paley. Localizzazione in spazi di frequenza. Spazi di Besov.
    • Teoria dei semigruppi (6 cfu)

      • Semigruppi di operatori, applicazioni alle equazioni di evoluzione
    • Ricerca operativa (6 cfu)

      • Grafi, programmazione lineare, programmazione intera, elementi di teoria dell'ottimizzazione.
    • Teoria dei numeri elementare (6 cfu)

      • Congruenze di grado superiore al primo e struttura moltiplicativa delle classi di resto. Proprietà algebriche e asintotiche delle funzioni aritmetiche. Problemi additivi e moltiplicativi legati alla distribuzione dei numeri primi. Approssimazioni razionali di numeri algebrici e trascendenti
    • Problemi di evoluzione (6 cfu)

      • Equazioni astratte, scale di Banach. Teorema di Cauchy-Kovalewski. Caratteristiche. Equazione delle onde. Sistemi iperbolici a coefficienti costanti. Condizioni  di Hadamard-Garding. Sistemi simmetrici, metodo dell'energia. Sistemi strettamente iperbolici. Simmetrizzatore micro-locale.
    • Calcolo scientifico (6 cfu)

      • Problemi di minimi quadrati, metodi del gradiente, decomposizione a valori singolari, calcolo di autovalori.
    • Elementi di calcolo in gruppi omogenei (6 cfu)

      • Gruppi di Lie nilpotenti semplicemente connessi: dilatazioni intrinseche, distanze invarianti, misura di Haar. Differenziabilità rispetto l'operazione di gruppo e le dilatazioni.
    • Campi ciclotomici (6 cfu)

      • Caratteri di Dirichlet, serie L di Dirichlet, numeri di Bernoulli, fomrula del numero di classi, teorema di Stickelberger.
    • Matematiche elementari da un punto di vista superiore: geometria (6 cfu)

      • Assiomatiche per la geometria euclidea; geometrie non euclidee; trasformazioni geometriche
    • Metodi matematici della crittografia (6 cfu)

      • Metodi ed algoritmi matematici applicati alla crittografia ed alla crittanalisi: fattorizzazione, logaritmo discreto. Curve ellittiche, fattorizzazione e crittografia ellittica ed iperellittica. Reticoli.
    • Metodi numerici per catene di Markov (6 cfu)

      • Matrici nonnegative e teorema di Perron-Frobenius. Metodi per catene di Markov finite e infinite. Modelli di code e loro matrici di transizione.
    • Metodi di ottimizzazione delle reti (6 cfu)

      • Algoritmi ad hoc per problemi di flusso su rete, routing in reti di comunicazione, progetto di reti di comunicazione, reti di trasporto.
    • Elementi di calcolo delle variazioni (6 cfu)

      • Principi variazionali in una e più variabili. Equazione di Eulero-Lagrange. Condizioni sufficienti di minimalità. Esempi classici di problemi variazionali. Funzioni assolutamente continue e metodo diretto. Geodetiche. Teorema del passo montano e principi di minimax.
    • Teoria algebrica dei numeri 1 (6 cfu)

      • Campi di numeri, interi dei campi di numeri; fattorizzazione unica degli ideali, ramificazione, gruppo delle classi di ideali, teorema delle unità di Dirichlet.
    • Probabilità (6 cfu)

      • Complementi di misura e integrazione: integrazione delle variabili aleatorie. Indipendenza di variabili aleatorie: leggi 0-1. Le funzioni caratteristiche. Convergenza di variabili aleatorie. Teoremi limite (leggi dei Grandi Numeri e teorema del Limite Centrale). Due esempi di processi stocastici: il processo di Wiener e il processo di Poisson.
    • Introduzione alla meccanica quantistica (6 cfu)

      • Meccanica quantistica delle particelle: dualità onda/particella, principio di sovrapposizione, principio di indeterminazione, equazione di Schroedinger.
    • Teoria dei codici e crittografia (6 cfu)

      • Trasmissione dei dati, stutture matematiche per la correzione efficiente degli errori di trasmissione. Principali codici correttori, loro proprietà e decodifica. Principali problemi crittografici: cifratura, firma, identificazione, integrità dei dati. Principali protocolli crittografici e problemi matematici soggiacenti.
    • Teoria delle categorie (6 cfu)

      • Categorie, funtori; aggiunti; limiti, colimiti; fasci, topoi.
    • Teoria dei campi e teoria di Galois (6 cfu)

      • Estensioni algebriche ed estensioni trascendenti, chiusura algebrica, separabilità, teoria di Galois, risolubilità, estensioni abeliane, teoria di Kummer.
    • Processi stocastici (6 cfu)

      • Processi di Markov, forme di Dirichlet, processi gaussiani.
    • Metodi topologici per le equazioni differenziali (6 cfu)

      • Teorie topologiche variazionali o non variazionali per alcune classi di equazioni non lineari di tipo differenziale o integrale.
    • Geometria simplettica (6 cfu)

      • Varietà simplettiche. Esempi standard. Teorema di Darboux. Strutture quasi-complesse compatibili.
    • Onde lineari e non lineari (6 cfu)

      • Principali proprietà delle soluzioni delle equazioni delle onde lineari e non lineari; proprietà dispersive delle soluzioni e decadimento dell'energia locale.
    • Superfici minime (6 cfu)

      • Risultati di esistenza per superfici minime: approccio classico, insiemi di perimetro finito, correnti. Alcuni risultati di regolarità per le ipersuperfici minime.
    • Analisi complessa B (6 cfu)

      • Funzioni plurisubarmoniche; domini pseudoconvessi; equazione del de-bar.
    • Metodi topologici in analisi globale (6 cfu)

      • Elementi di analisi non lineare per alcuni problemi di tipo “globale”, quali: il problema della sella, il punto fisso di Brouwer, le dimensioni e l’invarianza del dominio, la pettinabilità della sfera, il problema di Jordan. Applicazioni alle equazioni differenziali.
    • Finanza matematica (6 cfu)

      • Orbite periodiche e teorema di Poincaré-Birkhoff, teoria delle perturbazioni.
    • Gruppi di Coxeter (6 cfu)

      • Sistemi di radici e gruppi generati da riflessioni.
    • Geometria reale B (6 cfu)

      • Geometria degli insiemi semianalitici e subanalitici.
    • Metodi numerici per la grafica (6 cfu)

      • Parametrizzazione interpolazione e approssimazione di curve e superfici. Curve e superfici di Bezier, B-spline.
    • Teoria della calcolabilità (6 cfu)

      • Modelli di calcolo e funzioni calcolabili.
    • Operatori differenziali e teoremi dell’indice (6 cfu)

      • Algebre di Clifford. Operatori di Dirac. Teoremi dell'indice.
    • Metodi decisionali guidati dai modelli (6 cfu)

      • Ottimalità e algoritmi, algoritmi euristici, tecniche di rilassamento, algoritmi enumerativi. Software di ottimizzazione.
    • Geometria e topologia delle superfici (6 cfu)

      • Spazio di Teichmüller; laminazioni geodetiche; complessi di curve.
    • Calcolo delle variazioni A (6 cfu)

      • Il metodo diretto nel calcolo delle variazioni. Condizioni necessarie e sufficienti di semicontinuità inferiore per funzionali integrali su spazi di Sobolev di funzioni scalari. Il caso vettoriale. Integrali invarianti. Misure di Young e misure di Young gradienti. Convessità, convessità di rango-uno, quasiconessità, policonvessità. Rilassamento.
    • Algebra superiore A (6 cfu)

      • Algebra commutativa.
    • Sistemi dinamici discreti (6 cfu)

      • Dinamica topologica; insiemi iperbolici; teoria ergodica.
    • Fisica matematica (6 cfu)

      • Richiami di meccanica hamiltoniana, sistemi completamente integrabili e variabili azione angolo. Metodi perturbativi: teorema della media. Soluzioni periodiche del problema degli N-corpi, teorema geometrico di Poincaré-Birkhoff. Orbite periodiche con metodi variazionali.
    • Analisi armonica (6 cfu)

      • Fondamenti dell'Analisi armonica, interpolazione reale e comlessa, spazi di Lorentz, funzioni massimali, teoria di Calderon-Zygmund, spazi BMO, moltiplicatori di Fourier, integrali oscillanti e teoremi di restizione.
    • Teoria delle funzioni (6 cfu)

      • Elementi della teoria delle funzioni analitiche di una variabile complessa: serie di Mittag-Leffler,fattorizzazione di Weierstrass, fattorizzazione delle funzioni intere di ordine finito, sviluppi asintotici, teorema di Picard.
    • Elementi di logica matematica (6 cfu)

      • Calcolo dei predicati. Sistemi formali. Teorema di completezza.
    • Geometria reale computazionale (6 cfu)

      • Campi formalmente reali. Numeri algebrici reali, varietà algebriche reali. Algoritmi e applicazioni.
    • Metodi numerici per l’analisi di Fourier (6 cfu)

      • Serie di Fourier e trasformata di Fourier. Trasformata discreta di Fourier, trasformate trigonometriche. Algoritmi veloci per il calcolo delle trasformate discrete.
    • Ultrafiltri e metodi nonstandard (6 cfu)

      • Ultrafiltri e ultrapotenze. Fondamenti dell'analisi non-standard. Applicazioni alla teoria di Ramsey e alla teoria combinatoria dei numeri.
    • Equazioni alle derivate parziali (6 cfu)

      • Equazioni e sistemi del primo ordine. Rappresentazione esplicita delle soluzioni delle equazioni di Laplace, del calore, e delle onde. Proprietà qualitative delle soluzioni: principio del massimo, unicità, regolarità e dispersione.
    • Geometria reale C (6 cfu)

      • Topologia delle curve e superfici reali.
    • Analisi convessa (6 cfu)

      • Topologie deboli su spazi di Banach, funzioni convesse, calcolo in spazi di Banach, sottodifferenziale, disequazioni variazionali, multifunzioni.
    • Didattica della matematica e nuove tecnologie (6 cfu)

      • Metodologie, modelli e materiali didattici in contesti di aula multimediale; ruolo delle tecnologie nell'insegnamento / apprendimento della matematica: software didattici e lavagne interattive multimediali.
    • Equazioni differenziali ordinarie (6 cfu)

      • Problema di Cauchy. Equazioni di Bernoulli, D'Alembert, Clairaut, Eulero, Riccati. Metodo di Peano. Equazioni lineari. Dipendenza regolare dai dati. Soluzioni massimali.  Equilibri. Problemi di Sturm- Liouville.
    • Curve algebriche (6 cfu)

      • Curve algebriche, divisori. Curve ellittiche, iperellittiche, jacobiane. Applicazioni.
    • Geometria algebrica D (6 cfu)

      • Tori complessi e varietà abeliane.
    • Storia della matematica (6 cfu)

      • Il corso è di tipo istituzionale e intende offrire una panoramica delle grandi linee di sviluppo della matematica occidentale fino alla fine del XIX secolo. A questo aspetto verrà, di anno in anno, accoppiato un approfondimento di uno o più temi particolarmente rilevanti, quali la geometria cartesiana, l'invenzione del calcolo infinitesimale, le origini della teoria di Galois, la "nuova'' analisi di Cauchy.
    • Teoria algebrica dei numeri 2 (6 cfu)

      • Valori assoluti, campi locali, differente, discriminante, ramificazione, gruppi di ramificazione.
    • Metodi di approssimazione (6 cfu)

      • Risoluzione numerica di equazioni matriciali. Algoritmi numerici per matrici con struttura.
    • Forme modulari (6 cfu)

      • L-serie, equazioni funzionali e operatori di Heck
    • Geometria riemanniana (6 cfu)

      • Relazioni fra curvatura e topologia; teoremi di confronto e di pinching.
    • Algebra commutativa e geometria algebrica computazionale (6 cfu)

      • Costruzioni e algoritmi per l'algebra commutativa e la geometria algebrica, applicazioni.
    • Funzioni speciali (6 cfu)

      • Funzione gamma di Eulero: equazioni funzionali, formula di Stirling. Funzioni ellittiche: funzione P di Weierstrass. Elementi della teoria della funzione zeta di Riemann. Soluzioni di equazioni differenziali lineari a coefficienti analitici: funzione ipergeometrica, funzioni di Bessel.
    • Geodesia via satellite (6 cfu)

      • Problema dei minimi quadrati, simmetrie e degenerazioni. Campo gravitazionale di un corpo esteso, problema del satellite. Perturbazioni non-gravitazionali, geodesia e gravimetria spaziale, terrestre e interplanetaria.
    • Dinamica del sistema solare (6 cfu)

      • Equazioni del moto dei pianeti. Teorie perturbative, elementi propri. Risonanze, piccoli divisori, esponenti di Lyapunov.
    • Geometria degli spazi metrici (6 cfu)

      • Nozioni di curvatura. Quasi isometrie. Geometria a larga scala.
    • Elementi di algebra computazionale (6 cfu)

      • Rappresentazione di interi e polinomi. Algoritmi algebrici fondamentati. Sistemi di calcolo algebrico.
    • Meccanica spaziale (6 cfu)

      • Moto di satelliti artificiali e sonde spaziali, missioni spaziali interplanetarie.
    • Geometria reale A (6 cfu)

      • Geometria degli insiemi semialgebrici. Algebra reale. Strutture o-minimali.
    • Determinazione orbitale (6 cfu)

      • Problema dei minimi quadrati, simmetrie e degenerazioni. Problema dell'identificazione. Orbite preliminari. Soluzioni deboli. Incontri ravvicinati e monitoraggio degli impatti.
    • Logica matematica (6 cfu)

      • Calcolo dei predicati. Teoremi di incompletezza di Godel. Decidibilità e indecidibilità.
    • Algebra superiore B (6 cfu)

      • Algebre e loro rappresentazioni
    • Tecnologie per la didattica (6 cfu)

      • Ruolo delle tecnologie nell’apprendimento / insegnamento della matematica; uso e costruzione di strumenti didattici informatici, multimediali e telematici Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della matematica. I processi di insegnamento e apprendimento mediati dall'uso delle tecnologie nell'ambito della matematica. Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della matematica.
    • Geometria differenziale complessa (6 cfu)

      • Varietà complesse; coomologia di Dolbeault; varietà di Stein; metriche e distanze intrinseche.
    • Matematica discreta (6 cfu)

      • Calcolo combinatorio, funzioni generatrici, grafi, teoria di Ramsey.
    • Teoria degli insiemi (6 cfu)

      • Modelli della teoria degli insiemi.
    • Teoria dei nodi (6 cfu)

      • Invarianti di nodi e di link. Trecce.
    • Teoria del controllo ottimo (6 cfu)

      • Problemi di controllo di energia minima e di tempo minimo; esistenza e di sensitività delle soluzioni; principio di massimo di Pontryagin, approccio di programmazione dinamica ed equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman.
    • Geometria di contatto (6 cfu)

      • Varietà di contatto. Esempi standard. Teorema di Darboux. Nodi Legendriani e trasversi. Libri aperti e strutture di contatto.
    • Geometria e topologia differenziale (6 cfu)

      • Geometria differenziale di curve e superfici nello spazio euclideo, introduzione a varietà e mappe differenziabili in dimensione n.
    • Geometria algebrica A (6 cfu)

      • Schemi, fasci, coomologia.
    • Analisi non lineare (6 cfu)

      • Teorie e metodi sul comportamento globale di operatori non lineari, fra spazi di dimensione finita o spazi di funzioni, collegati con classici problemio equazioni non lineari.
    • Matematica e musica (6 cfu)

      • Formalizzazione algebrica delle strutture musicali.
    • Topologia differenziale (6 cfu)

      • Funzioni di Morse e decomposizioni in manici. Teorema dell'h-cobordismo.
    • Algebra computazionale A (6 cfu)

      • Aritmetica, fattorizzazione, integrazione.
    • Gruppi e rappresentazioni (6 cfu)

      • Rappresentazioni di gruppi finiti. Esempi di classi di gruppi.
    • Sistemi dinamici (6 cfu)

      • Sistemi dinamici lineari (con richiami di algebra lineare), stabilità e teoria qualitativa per sistemi dinamici non lineari, formalismo hamiltoniano e lagrangiano ad un grado di libertà, sistemi dinamici discreti, un esempio elementare di caos.
    • Laboratorio di fisica per l'insegnamento (6 cfu)

      • Sviluppare competenze nella gestione di esperienze di laboratorio, fornire basi teoriche di un approccio alla misura. Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della fisica. La progettazione e lo sviluppo delle attività di insegnamento relative alla fisica. Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della fisica
    • Analisi matematica 3 (6 cfu)

      • Spazi di Hilbert. Spazi di Lebesgue L^p. Convoluzione di funzioni. Serie di Fourier. Trasformata di Fourier. Formula dell'area e integrazione su superfici. Funzioni armoniche.
    • Dinamica del sistema Terra-Luna (6 cfu)

      • Il sistema Terra-Luna-Sole e le caratteristiche principali dell'orbita della Luna. Il tracking laser della Luna nell'era spaziale (LLR-Lunar Laser Ranging). LLR e la verifica della Relatività Generale.
    • Teoria analitica dei numeri A (6 cfu)

      • Problemi legati alla distribuzione dei primi; la Zeta di Riemann e le funzioni L di Dirichlet.
    • Introduzione alla teoria geometrica della misura (6 cfu)

      • Misure e dimensione di Hausdorff. Insiemi rettificabli. Formula dell'area e della coarea
    • Elementi di analisi complessa (6 cfu)

      • Teorema di uniformizzazione di Riemann; proprietà geometriche del gruppo delle omografie; principio di simmetria e sue applicazioni; un modello di piano iperbolico; cenni sulle funzioni di più variabili complesse.
    • Calcolo delle variazioni B (6 cfu)

      • Teoria della regolarità per minimi di funzionali integrali.
    • Algebre e gruppi di Lie (6 cfu)

      • Teoremi di struttura per le algebre di Lie di dimensione finita (incluso il caso delle algebre semisemplici complesse). Gruppi di Lie e relazione con le algebre di Lie. Introduzione alla teoria delle rappresentazioni delle algebre e gruppi di Lie.
    • Origini e sviluppo delle matematiche moderne (6 cfu)

      • Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica moderna: inquadramento generale, lettura diretta di testi, discussione della letteratura in materia.
    • Fisica II (9 cfu)

      • Elettrostatica e magnetostatica nel vuoto, correnti stazionarie, induzione, circuiti passivi lineari RLC, equazioni di Maxwell, onde elettromagnetiche, polarizzazione, irraggiamento, riflessione e rifrazione.
    • Geometria algebrica C (6 cfu)

      • Curve e superfici di Riemann.
    • Teoria e metodi dell'ottimizzazione (6 cfu)

      • Ottimizzazione non lineare: condizioni di ottimalità per problemi vincolati e non vincolati, teoria della dualità, metodi risolutivi per problemi vincolati e non vincolati, applicazioni.
    • Analisi superiore (6 cfu)

      • Spazi vettoriali topologici. misure e distribuzioni. Operatori illimitatii, aggiunto ad un operatore non limiato, teoria spettrale per operatori non limitati. Calcolo funzionale Forme quadratiche, soluzioni deboli e soluzioni forti.
    • Topologia algebrica (6 cfu)

      • Omotopia e teorie coomologiche.
    • Geometria algebrica E (6 cfu)

      • Superfici algebriche.
    • Algebra computazionale B (6 cfu)

      • Metodi effettivi per la risoluzione di sistemi di equazioni polimonmiali.
    • Algebra lineare e multilineare (6 cfu)

      • Strutture algebriche lineari.
    • Complementi di analisi funzionale (6 cfu)

      • Spazi vettoriali topologici, misure e distribuzioni. Convoluzione, trasformata di Fourier, teorema di Paley-Wiener ed applicazioni alle EDP. Teoria spettrale per operatori non limitati. Calcolo operazionale, semigruppi di operatori. Teorema di Malgrange-Ehrenpreis. Teoremi di punto fisso in dimensione infinita ed applicazioni alle EDP.
    • Topologia generale (6 cfu)

      • Spazi normali, teorema di Urysohn, compattificazioni, teorema di Baire, paracompattezza, partizioni dell’unità.
    • Analisi non standard (6 cfu)

      • Fondamenti dell'analisi non standard, scelta di applicazioni ad altre aree della matematica.
    • Elementi di topologia algebrica (6 cfu)

      • Omologia simpliciale e singolare, CW complessi, coomologia, prodotto cup, dualità di Poincaré.
    • Equazioni della fluidodinamica (6 cfu)

      • Introduzione alla teoria matematica delle equazioni alle derivate parziali della meccanica dei continui e in particolare a quelle di Eulero e Navier-Stokes per fluidi incomprimibili.
    • Topologia e geometria in bassa dimensione (6 cfu)

      • Varietà topologiche, lineari a pezzi e differenziabili di dimensione minore di 5.
    • Spazi di funzioni (6 cfu)

      • Proprietà fini delle funzioni derivabili in senso debole: funzioni di Sobolev e BV, insiemi di perimetro finito. Altri spazi di funzioni. Riarrangiamento e disuguaglianze funzionali.
    • Elementi di geometria algebrica (6 cfu)

      • Varietà affini, proiettive e quasi-proiettive. Morfismi. Applicazioni razionali. Punti lisci e dimensione.
    • Algebra 2 (6 cfu)

      • Gruppi: azioni di gruppi, costruzioni e presentazioni di gruppi. Moduli e caratterizzazione dei moduli su un PID. Anelli noetheriani. Teorema della base di Hilbert. Basi di Groebner e applicazioni.
    • Problemi e metodi della ricerca in didattica della matematica (6 cfu)

      • Il corso, rivolto agli studenti interessati alla ricerca in didattica della matematica, intende dare l’opportunità di conoscere e confrontarsi con le problematiche tipiche di tale campo di ricerca (sia quelle classiche che quelle più recenti) e con i metodi di ricerca utilizzati.
    • Teoria dei gruppi (6 cfu)

      • Serie di composizione, gruppi di permutazioni, gruppi nilpotenti, gruppi risolubili.
    • 3-varietà (6 cfu)

      • Risultati classici sulla topologia delle 3-varietà. Esempi e costruzioni di 3-varietà.
    • Fisica III (6 cfu)

      • Sistemi e trasformazioni termodinamiche, gas perfetto, prima e seconda legge, temperatura ed entropia; potenziali ritardati, relatività speciale e legami con l'elettromagnetismo, cenni su argomenti di fisica moderna (meccanica quantistica e altro).
    • Elementi di meccanica celeste (6 cfu)

      • Problema dei 2 corpi ed equazione di Keplero. Problema dei 3 corpi ristretto circolare, integrale di Jacobi, criterio di stabilità di Hill, cenni su orbite confinate ma caotiche. Maree ed evoluzione mareale nel sistema solare; la Terra come corpo esteso.
    • Equazioni ellittiche (6 cfu)

      • Teoria della regolarità. Equazioni in forma di divergenza. Equazioni non variazionali. Equazioni non lineari. Problemi al contorno. Frontiera libera. Problemi con ostacolo. Equazioni degeneri. Teoria del potenziale. Funzioni armoniche. Interpolazione. Autovalori.
    • Meccanica celeste (6 cfu)

      • Singolarità e orbite periodiche nel problema degli N corpi
    • Teoria analitica dei numeri B (6 cfu)

      • Problemi analitici di natura additiva con particolare riferimento al metodo di Hardy e Littlewood
    • Elementi di probabilità e statistica (6 cfu)

      • Probabilità su spazi numerabili: condizionamento, indipendenza, variabili aleatorie. Variabili aleatorie con densità: variabili gaussiane. Inferenza statistica: stima, test, intervalli di fiducia. Principali test statistici su modelli gaussiani.
    • Algebra omologica (6 cfu)

      • Moduli proiettivi e iniettivi. Categorie e funtori. Funtori aggiunti. Categorie di moduli. Successioni esatte, risoluzioni, funtori derivati. (Co)omologia di gruppi e algebre.
    • Algebra 1 (6 cfu)

      • Gruppi: teoremi di omomorfismo, permutazioni, gruppi abeliani finiti. Anelli e ideali, anelli speciali, anelli di polinomi. Elementi di teoria di Galois.
    • Introduzione all'analisi p-adica (6 cfu)

      • Struttura dei numeri p-adici; continuità, differenziabilità e analiticità in campo p-adico.
    • Elementi avanzati di algebra lineare numerica (6 cfu)

      • Metodi di Krylov, GMRES, BiCG, polinomi di matrici, problemi polinomiali agli autovalori, funzioni di matrici.
    • Metodi numerici per equazioni differenziali ordinarie (6 cfu)

      • Problemi ai valori iniziali e ai valori limite, metodi a un passo, metodi a più passi, metodi di shooting.
    • 2-varietà (6 cfu)

      • Varietà di dimensione due e loro automorfismi.
    • Algoritmi e strutture dei dati (6 cfu)

      • Strutture dei dati, analisi di algoritmi e complessità, progetto di algoritmi.
    • Teoria ergodica (6 cfu)

      • Teoremi di Krein-Milman e di Choquet, teoria spettrale. Esempi di base. Teoremi di Poincaré, Birkhoff, von Neumann. Decomposizione ergodica. "Mixing" e "weak mixing". Operatore di Perron- Frobenius. Decadimento delle correlazioni. Entropia. Dinamica simbolica. Catene di Markov e misura di Parry.
    • Teoria dei codici (6 cfu)

      • Trasmissione con errore, correzione d'errore. Famiglie di codici correttori. Metodi di geometria algebrica e algebra computazionale per la costruzione di codici e la decodifica.
    • Teoria dei controlli (6 cfu)

      • Teoria di controllabilità, osservabilità e stabilizzazione via feedback; modelli di controllo lineari; teoria geometrica di controllabilità per sistemi regolari; sistemi switching e sistemi ibridi.
    • Dinamica iperbolica (6 cfu)

      • Sistemi dinamici iperbolici; dinamica in dimensione bassa.
    • Analisi complessa A (6 cfu)

      • Il fascio dei germi delle funzioni analitiche; Nullstellensatz; spazi analitici; Teoremi A e B di Cartan.
    • Probabilità superiore (6 cfu)

      • Presentazione di una selezione di argomenti avanzati di probabilità quali Spazi Gaussiani, Calcolo di Malliavin, processi di Levy e Levy-stabili.
    • Equazioni alle derivate parziali 2 (6 cfu)

      • Selezione di argomenti avanzati della teoria delle equazioni alle derivate parziali.
    • Equazioni iperboliche (6 cfu)

      • Equazioni differenziali di tipo iperbolico, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
    • Modelli matematici in biomedicina e fisica matematica (6 cfu)

      • Obiettivi formativi: Equazioni differenziali ordinarie con effetti dissipativi (ritardo, memoria, etc) e stabilità, e loro applicazioni in biomedicina. Equazioni alle derivate parziali e loro applicazioni in fisica matematica.
    • Analisi geometrica (6 cfu)

      • Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi geometrica.
    • Geometria algebrica F (6 cfu)

      • Varietà toriche.
    • Teoria descrittiva della complessità (6 cfu)

      • Modelli finiti e complessità computazionale
    • Teoria dei modelli (6 cfu)

      • Modelli di teorie del primo ordine. Compattezza. Equivalenza elementare. Applicazioni all'aritmetica, ai campi, e ad altre strutture algebrico-relazionali.
    • Elementi di teoria degli insiemi (6 cfu)

      • Nozioni di logica. Teoria assiomatica degli insiemi. Cardinali. Ordinali.
    • Teoria geometrica della misura (6 cfu)

      • Nozioni di base di teoria geometrica della misura. Correnti normali ed intere. Esistenza delle soluzioni per il problema di Plateau omologico. Varifold.
    • Problem solving (6 cfu)

      • Ruolo dei problemi nell’insegnamento della matematica; euristiche; problem solving e problem posing.
    • Teoria dei giochi (6 cfu)

      • Equilibri nei modelli di giochi noncooperativi, teoria dei giochi cooperativi, giochi posizionali e giochi differenziali
    • Analisi in spazi metrici (6 cfu)

      • Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi su spazi metrici.
    • Equazioni differenziali stocastiche e applicazioni (6 cfu)

      • Introduzione ai teoremi di esistenza ed unicità (debole o forte) per equazioni differenziali stocastiche ordinarie, legami con le equazioni alle derivate parziali, applicazioni in ambito fisico o biologico.
    • Matematica e società (6 cfu)

      • Matematica, società e curricula; il contesto culturale nell'insegnamento ed apprendimento della matematica; il ruolo delle conoscenze matematiche non-scolastiche.
    • Matematiche elementari da un punto di vista superiore: aritmetica (6 cfu)

      • Gli insiemi numerici: possibili introduzioni, proprietà
    • Fondamenti della matematica (6 cfu)

      • Sistemi formali e teorie fondazionali.
    • Geometria algebrica B (6 cfu)

      • Varietà complesse, metodi trascendenti
    • Equazioni paraboliche (6 cfu)

      • Equazioni differenziali di tipo parabolico, lineari e non lineari, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
    • Meccanica superiore (6 cfu)

      • Obiettivi formativi: Indicatori di comportamento caotico e metodi ergodici per sistemi meccanici
    • Teoria della misura (6 cfu)

      • Misure astratte, misure su uno spazio topologico, integrale di Daniell, convergenze di misure.
    • 4-varietà (6 cfu)

      • Risultati classici sulla topologia delle 4-varietà. Esempi e costruzioni di 4-varietà.
    • Complementi di fisica (6 cfu)

      • Onde. Elementi di relatività ristretta. Equazioni d'onda relativistiche. Complementi di termodinamica e statistica.
    • Statistica matematica (6 cfu)

      • Modelli statistici: modelli dominati. Stime: stime consistenti e di Massima verosimiglianza. Intervalli di fiducia e test. I principali test sui modelli gaussiani (di Student, di Fisher Snedecor). Modelli statistici non parametrici: teorema di Glivenko-Cantelli e e test del chi-quadro.
    • Analisi reale (6 cfu)

      • Fondamenti dell'analisi reale (teoria della misura, spazi di funzioni).
    • Capacità non lineare, disequazioni variazionali e applicazioni (6 cfu)

      • Il percorso scelto ci permetterà di illustrare alcune tecniche e argomenti classici per trovare condizioni necessarie e sufficienti affinché un punto di frontiera sia regolare relativamente al problema di Dirichlet non omogeneo per l'operatore di Laplace non-lineare (il cosiddetto p-laplaciano).
    • Complementi di didattica della matematica (6 cfu)

      • Processi di apprendimento della matematica; contesti e tipi di razionalità; ostacoli epistemologici e didattici nell’insegnamento della matematica
    • Teoria della dimostrazione (6 cfu)

      • Il concetto formale di dimostrazione. Sistemi dimostrativi. Logiche non classiche. Analisi ordinale
    • Geometria iperbolica (6 cfu)

      • Lo spazio iperbolico. Esempi e costruzioni di varietà iperboliche. Proprietà topologiche e geometriche di varietà iperboliche.
  • 6 cfu a scelta nel gruppo ModTeor

    • Moduli teorici
    • Dinamica olomorfa (6 cfu)

      • Insiemi di Julia e di Fatou; dinamica di funzioni olomorfe di una variabile.
    • Teoria dei numeri elementare (6 cfu)

      • Congruenze di grado superiore al primo e struttura moltiplicativa delle classi di resto. Proprietà algebriche e asintotiche delle funzioni aritmetiche. Problemi additivi e moltiplicativi legati alla distribuzione dei numeri primi. Approssimazioni razionali di numeri algebrici e trascendenti
    • Problemi di evoluzione (6 cfu)

      • Equazioni astratte, scale di Banach. Teorema di Cauchy-Kovalewski. Caratteristiche. Equazione delle onde. Sistemi iperbolici a coefficienti costanti. Condizioni  di Hadamard-Garding. Sistemi simmetrici, metodo dell'energia. Sistemi strettamente iperbolici. Simmetrizzatore micro-locale.
    • Elementi di calcolo delle variazioni (6 cfu)

      • Principi variazionali in una e più variabili. Equazione di Eulero-Lagrange. Condizioni sufficienti di minimalità. Esempi classici di problemi variazionali. Funzioni assolutamente continue e metodo diretto. Geodetiche. Teorema del passo montano e principi di minimax.
    • Teoria algebrica dei numeri 1 (6 cfu)

      • Campi di numeri, interi dei campi di numeri; fattorizzazione unica degli ideali, ramificazione, gruppo delle classi di ideali, teorema delle unità di Dirichlet.
    • Teoria dei campi e teoria di Galois (6 cfu)

      • Estensioni algebriche ed estensioni trascendenti, chiusura algebrica, separabilità, teoria di Galois, risolubilità, estensioni abeliane, teoria di Kummer.
    • Metodi topologici in analisi globale (6 cfu)

      • Elementi di analisi non lineare per alcuni problemi di tipo “globale”, quali: il problema della sella, il punto fisso di Brouwer, le dimensioni e l’invarianza del dominio, la pettinabilità della sfera, il problema di Jordan. Applicazioni alle equazioni differenziali.
    • Geometria reale B (6 cfu)

      • Geometria degli insiemi semianalitici e subanalitici.
    • Geometria e topologia delle superfici (6 cfu)

      • Spazio di Teichmüller; laminazioni geodetiche; complessi di curve.
    • Calcolo delle variazioni A (6 cfu)

      • Il metodo diretto nel calcolo delle variazioni. Condizioni necessarie e sufficienti di semicontinuità inferiore per funzionali integrali su spazi di Sobolev di funzioni scalari. Il caso vettoriale. Integrali invarianti. Misure di Young e misure di Young gradienti. Convessità, convessità di rango-uno, quasiconessità, policonvessità. Rilassamento.
    • Algebra superiore A (6 cfu)

      • Algebra commutativa.
    • Analisi armonica (6 cfu)

      • Fondamenti dell'Analisi armonica, interpolazione reale e comlessa, spazi di Lorentz, funzioni massimali, teoria di Calderon-Zygmund, spazi BMO, moltiplicatori di Fourier, integrali oscillanti e teoremi di restizione.
    • Ultrafiltri e metodi nonstandard (6 cfu)

      • Ultrafiltri e ultrapotenze. Fondamenti dell'analisi non-standard. Applicazioni alla teoria di Ramsey e alla teoria combinatoria dei numeri.
    • Equazioni alle derivate parziali (6 cfu)

      • Equazioni e sistemi del primo ordine. Rappresentazione esplicita delle soluzioni delle equazioni di Laplace, del calore, e delle onde. Proprietà qualitative delle soluzioni: principio del massimo, unicità, regolarità e dispersione.
    • Analisi convessa (6 cfu)

      • Topologie deboli su spazi di Banach, funzioni convesse, calcolo in spazi di Banach, sottodifferenziale, disequazioni variazionali, multifunzioni.
    • Geometria riemanniana (6 cfu)

      • Relazioni fra curvatura e topologia; teoremi di confronto e di pinching.
    • Algebra commutativa e geometria algebrica computazionale (6 cfu)

      • Costruzioni e algoritmi per l'algebra commutativa e la geometria algebrica, applicazioni.
    • Elementi di algebra computazionale (6 cfu)

      • Rappresentazione di interi e polinomi. Algoritmi algebrici fondamentati. Sistemi di calcolo algebrico.
    • Geometria reale A (6 cfu)

      • Geometria degli insiemi semialgebrici. Algebra reale. Strutture o-minimali.
    • Logica matematica (6 cfu)

      • Calcolo dei predicati. Teoremi di incompletezza di Godel. Decidibilità e indecidibilità.
    • Algebra superiore B (6 cfu)

      • Algebre e loro rappresentazioni
    • Geometria differenziale complessa (6 cfu)

      • Varietà complesse; coomologia di Dolbeault; varietà di Stein; metriche e distanze intrinseche.
    • Teoria degli insiemi (6 cfu)

      • Modelli della teoria degli insiemi.
    • Teoria dei nodi (6 cfu)

      • Invarianti di nodi e di link. Trecce.
    • Geometria e topologia differenziale (6 cfu)

      • Geometria differenziale di curve e superfici nello spazio euclideo, introduzione a varietà e mappe differenziabili in dimensione n.
    • Geometria algebrica A (6 cfu)

      • Schemi, fasci, coomologia.
    • Analisi non lineare (6 cfu)

      • Teorie e metodi sul comportamento globale di operatori non lineari, fra spazi di dimensione finita o spazi di funzioni, collegati con classici problemio equazioni non lineari.
    • Topologia differenziale (6 cfu)

      • Funzioni di Morse e decomposizioni in manici. Teorema dell'h-cobordismo.
    • Algebra computazionale A (6 cfu)

      • Aritmetica, fattorizzazione, integrazione.
    • Analisi matematica 3 (6 cfu)

      • Spazi di Hilbert. Spazi di Lebesgue L^p. Convoluzione di funzioni. Serie di Fourier. Trasformata di Fourier. Formula dell'area e integrazione su superfici. Funzioni armoniche.
    • Teoria analitica dei numeri A (6 cfu)

      • Problemi legati alla distribuzione dei primi; la Zeta di Riemann e le funzioni L di Dirichlet.
    • Elementi di analisi complessa (6 cfu)

      • Teorema di uniformizzazione di Riemann; proprietà geometriche del gruppo delle omografie; principio di simmetria e sue applicazioni; un modello di piano iperbolico; cenni sulle funzioni di più variabili complesse.
    • Geometria algebrica C (6 cfu)

      • Curve e superfici di Riemann.
    • Analisi superiore (6 cfu)

      • Spazi vettoriali topologici. misure e distribuzioni. Operatori illimitatii, aggiunto ad un operatore non limiato, teoria spettrale per operatori non limitati. Calcolo funzionale Forme quadratiche, soluzioni deboli e soluzioni forti.
    • Topologia algebrica (6 cfu)

      • Omotopia e teorie coomologiche.
    • Algebra computazionale B (6 cfu)

      • Metodi effettivi per la risoluzione di sistemi di equazioni polimonmiali.
    • Elementi di topologia algebrica (6 cfu)

      • Omologia simpliciale e singolare, CW complessi, coomologia, prodotto cup, dualità di Poincaré.
    • Equazioni della fluidodinamica (6 cfu)

      • Introduzione alla teoria matematica delle equazioni alle derivate parziali della meccanica dei continui e in particolare a quelle di Eulero e Navier-Stokes per fluidi incomprimibili.
    • Topologia e geometria in bassa dimensione (6 cfu)

      • Varietà topologiche, lineari a pezzi e differenziabili di dimensione minore di 5.
    • Elementi di geometria algebrica (6 cfu)

      • Varietà affini, proiettive e quasi-proiettive. Morfismi. Applicazioni razionali. Punti lisci e dimensione.
    • Algebra 2 (6 cfu)

      • Gruppi: azioni di gruppi, costruzioni e presentazioni di gruppi. Moduli e caratterizzazione dei moduli su un PID. Anelli noetheriani. Teorema della base di Hilbert. Basi di Groebner e applicazioni.
    • 3-varietà (6 cfu)

      • Risultati classici sulla topologia delle 3-varietà. Esempi e costruzioni di 3-varietà.
    • Equazioni ellittiche (6 cfu)

      • Teoria della regolarità. Equazioni in forma di divergenza. Equazioni non variazionali. Equazioni non lineari. Problemi al contorno. Frontiera libera. Problemi con ostacolo. Equazioni degeneri. Teoria del potenziale. Funzioni armoniche. Interpolazione. Autovalori.
    • Teoria dei controlli (6 cfu)

      • Teoria di controllabilità, osservabilità e stabilizzazione via feedback; modelli di controllo lineari; teoria geometrica di controllabilità per sistemi regolari; sistemi switching e sistemi ibridi.
    • Analisi complessa A (6 cfu)

      • Il fascio dei germi delle funzioni analitiche; Nullstellensatz; spazi analitici; Teoremi A e B di Cartan.
    • Equazioni alle derivate parziali 2 (6 cfu)

      • Selezione di argomenti avanzati della teoria delle equazioni alle derivate parziali.
    • Equazioni iperboliche (6 cfu)

      • Equazioni differenziali di tipo iperbolico, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
    • Teoria dei modelli (6 cfu)

      • Modelli di teorie del primo ordine. Compattezza. Equivalenza elementare. Applicazioni all'aritmetica, ai campi, e ad altre strutture algebrico-relazionali.
    • Elementi di teoria degli insiemi (6 cfu)

      • Nozioni di logica. Teoria assiomatica degli insiemi. Cardinali. Ordinali.
    • Geometria algebrica B (6 cfu)

      • Varietà complesse, metodi trascendenti
    • Teoria della misura (6 cfu)

      • Misure astratte, misure su uno spazio topologico, integrale di Daniell, convergenze di misure.
    • Geometria iperbolica (6 cfu)

      • Lo spazio iperbolico. Esempi e costruzioni di varietà iperboliche. Proprietà topologiche e geometriche di varietà iperboliche.
  • 6 cfu a scelta nel gruppo ModTeor

    • Moduli teorici
    • Dinamica olomorfa (6 cfu)

      • Insiemi di Julia e di Fatou; dinamica di funzioni olomorfe di una variabile.
    • Teoria dei numeri elementare (6 cfu)

      • Congruenze di grado superiore al primo e struttura moltiplicativa delle classi di resto. Proprietà algebriche e asintotiche delle funzioni aritmetiche. Problemi additivi e moltiplicativi legati alla distribuzione dei numeri primi. Approssimazioni razionali di numeri algebrici e trascendenti
    • Problemi di evoluzione (6 cfu)

      • Equazioni astratte, scale di Banach. Teorema di Cauchy-Kovalewski. Caratteristiche. Equazione delle onde. Sistemi iperbolici a coefficienti costanti. Condizioni  di Hadamard-Garding. Sistemi simmetrici, metodo dell'energia. Sistemi strettamente iperbolici. Simmetrizzatore micro-locale.
    • Elementi di calcolo delle variazioni (6 cfu)

      • Principi variazionali in una e più variabili. Equazione di Eulero-Lagrange. Condizioni sufficienti di minimalità. Esempi classici di problemi variazionali. Funzioni assolutamente continue e metodo diretto. Geodetiche. Teorema del passo montano e principi di minimax.
    • Teoria algebrica dei numeri 1 (6 cfu)

      • Campi di numeri, interi dei campi di numeri; fattorizzazione unica degli ideali, ramificazione, gruppo delle classi di ideali, teorema delle unità di Dirichlet.
    • Teoria dei campi e teoria di Galois (6 cfu)

      • Estensioni algebriche ed estensioni trascendenti, chiusura algebrica, separabilità, teoria di Galois, risolubilità, estensioni abeliane, teoria di Kummer.
    • Metodi topologici in analisi globale (6 cfu)

      • Elementi di analisi non lineare per alcuni problemi di tipo “globale”, quali: il problema della sella, il punto fisso di Brouwer, le dimensioni e l’invarianza del dominio, la pettinabilità della sfera, il problema di Jordan. Applicazioni alle equazioni differenziali.
    • Geometria reale B (6 cfu)

      • Geometria degli insiemi semianalitici e subanalitici.
    • Geometria e topologia delle superfici (6 cfu)

      • Spazio di Teichmüller; laminazioni geodetiche; complessi di curve.
    • Calcolo delle variazioni A (6 cfu)

      • Il metodo diretto nel calcolo delle variazioni. Condizioni necessarie e sufficienti di semicontinuità inferiore per funzionali integrali su spazi di Sobolev di funzioni scalari. Il caso vettoriale. Integrali invarianti. Misure di Young e misure di Young gradienti. Convessità, convessità di rango-uno, quasiconessità, policonvessità. Rilassamento.
    • Algebra superiore A (6 cfu)

      • Algebra commutativa.
    • Analisi armonica (6 cfu)

      • Fondamenti dell'Analisi armonica, interpolazione reale e comlessa, spazi di Lorentz, funzioni massimali, teoria di Calderon-Zygmund, spazi BMO, moltiplicatori di Fourier, integrali oscillanti e teoremi di restizione.
    • Ultrafiltri e metodi nonstandard (6 cfu)

      • Ultrafiltri e ultrapotenze. Fondamenti dell'analisi non-standard. Applicazioni alla teoria di Ramsey e alla teoria combinatoria dei numeri.
    • Equazioni alle derivate parziali (6 cfu)

      • Equazioni e sistemi del primo ordine. Rappresentazione esplicita delle soluzioni delle equazioni di Laplace, del calore, e delle onde. Proprietà qualitative delle soluzioni: principio del massimo, unicità, regolarità e dispersione.
    • Analisi convessa (6 cfu)

      • Topologie deboli su spazi di Banach, funzioni convesse, calcolo in spazi di Banach, sottodifferenziale, disequazioni variazionali, multifunzioni.
    • Geometria riemanniana (6 cfu)

      • Relazioni fra curvatura e topologia; teoremi di confronto e di pinching.
    • Algebra commutativa e geometria algebrica computazionale (6 cfu)

      • Costruzioni e algoritmi per l'algebra commutativa e la geometria algebrica, applicazioni.
    • Elementi di algebra computazionale (6 cfu)

      • Rappresentazione di interi e polinomi. Algoritmi algebrici fondamentati. Sistemi di calcolo algebrico.
    • Geometria reale A (6 cfu)

      • Geometria degli insiemi semialgebrici. Algebra reale. Strutture o-minimali.
    • Logica matematica (6 cfu)

      • Calcolo dei predicati. Teoremi di incompletezza di Godel. Decidibilità e indecidibilità.
    • Algebra superiore B (6 cfu)

      • Algebre e loro rappresentazioni
    • Geometria differenziale complessa (6 cfu)

      • Varietà complesse; coomologia di Dolbeault; varietà di Stein; metriche e distanze intrinseche.
    • Teoria degli insiemi (6 cfu)

      • Modelli della teoria degli insiemi.
    • Teoria dei nodi (6 cfu)

      • Invarianti di nodi e di link. Trecce.
    • Geometria e topologia differenziale (6 cfu)

      • Geometria differenziale di curve e superfici nello spazio euclideo, introduzione a varietà e mappe differenziabili in dimensione n.
    • Geometria algebrica A (6 cfu)

      • Schemi, fasci, coomologia.
    • Analisi non lineare (6 cfu)

      • Teorie e metodi sul comportamento globale di operatori non lineari, fra spazi di dimensione finita o spazi di funzioni, collegati con classici problemio equazioni non lineari.
    • Topologia differenziale (6 cfu)

      • Funzioni di Morse e decomposizioni in manici. Teorema dell'h-cobordismo.
    • Algebra computazionale A (6 cfu)

      • Aritmetica, fattorizzazione, integrazione.
    • Analisi matematica 3 (6 cfu)

      • Spazi di Hilbert. Spazi di Lebesgue L^p. Convoluzione di funzioni. Serie di Fourier. Trasformata di Fourier. Formula dell'area e integrazione su superfici. Funzioni armoniche.
    • Teoria analitica dei numeri A (6 cfu)

      • Problemi legati alla distribuzione dei primi; la Zeta di Riemann e le funzioni L di Dirichlet.
    • Elementi di analisi complessa (6 cfu)

      • Teorema di uniformizzazione di Riemann; proprietà geometriche del gruppo delle omografie; principio di simmetria e sue applicazioni; un modello di piano iperbolico; cenni sulle funzioni di più variabili complesse.
    • Geometria algebrica C (6 cfu)

      • Curve e superfici di Riemann.
    • Analisi superiore (6 cfu)

      • Spazi vettoriali topologici. misure e distribuzioni. Operatori illimitatii, aggiunto ad un operatore non limiato, teoria spettrale per operatori non limitati. Calcolo funzionale Forme quadratiche, soluzioni deboli e soluzioni forti.
    • Topologia algebrica (6 cfu)

      • Omotopia e teorie coomologiche.
    • Algebra computazionale B (6 cfu)

      • Metodi effettivi per la risoluzione di sistemi di equazioni polimonmiali.
    • Elementi di topologia algebrica (6 cfu)

      • Omologia simpliciale e singolare, CW complessi, coomologia, prodotto cup, dualità di Poincaré.
    • Equazioni della fluidodinamica (6 cfu)

      • Introduzione alla teoria matematica delle equazioni alle derivate parziali della meccanica dei continui e in particolare a quelle di Eulero e Navier-Stokes per fluidi incomprimibili.
    • Topologia e geometria in bassa dimensione (6 cfu)

      • Varietà topologiche, lineari a pezzi e differenziabili di dimensione minore di 5.
    • Elementi di geometria algebrica (6 cfu)

      • Varietà affini, proiettive e quasi-proiettive. Morfismi. Applicazioni razionali. Punti lisci e dimensione.
    • Algebra 2 (6 cfu)

      • Gruppi: azioni di gruppi, costruzioni e presentazioni di gruppi. Moduli e caratterizzazione dei moduli su un PID. Anelli noetheriani. Teorema della base di Hilbert. Basi di Groebner e applicazioni.
    • 3-varietà (6 cfu)

      • Risultati classici sulla topologia delle 3-varietà. Esempi e costruzioni di 3-varietà.
    • Equazioni ellittiche (6 cfu)

      • Teoria della regolarità. Equazioni in forma di divergenza. Equazioni non variazionali. Equazioni non lineari. Problemi al contorno. Frontiera libera. Problemi con ostacolo. Equazioni degeneri. Teoria del potenziale. Funzioni armoniche. Interpolazione. Autovalori.
    • Teoria dei controlli (6 cfu)

      • Teoria di controllabilità, osservabilità e stabilizzazione via feedback; modelli di controllo lineari; teoria geometrica di controllabilità per sistemi regolari; sistemi switching e sistemi ibridi.
    • Analisi complessa A (6 cfu)

      • Il fascio dei germi delle funzioni analitiche; Nullstellensatz; spazi analitici; Teoremi A e B di Cartan.
    • Equazioni alle derivate parziali 2 (6 cfu)

      • Selezione di argomenti avanzati della teoria delle equazioni alle derivate parziali.
    • Equazioni iperboliche (6 cfu)

      • Equazioni differenziali di tipo iperbolico, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
    • Teoria dei modelli (6 cfu)

      • Modelli di teorie del primo ordine. Compattezza. Equivalenza elementare. Applicazioni all'aritmetica, ai campi, e ad altre strutture algebrico-relazionali.
    • Elementi di teoria degli insiemi (6 cfu)

      • Nozioni di logica. Teoria assiomatica degli insiemi. Cardinali. Ordinali.
    • Geometria algebrica B (6 cfu)

      • Varietà complesse, metodi trascendenti
    • Teoria della misura (6 cfu)

      • Misure astratte, misure su uno spazio topologico, integrale di Daniell, convergenze di misure.
    • Geometria iperbolica (6 cfu)

      • Lo spazio iperbolico. Esempi e costruzioni di varietà iperboliche. Proprietà topologiche e geometriche di varietà iperboliche.
  • 6 cfu a scelta nel gruppo ModDidStor

    • Moduli didattico-storici
    • Storia della matematica antica e della sua tradizione (6 cfu)

      • Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica antica: inquadramento generale (caratteristiche della matematica greca, concetto di tradizione testuale, edizioni di riferimento), lettura diretta di testi legati a un autore classico o a una problematica, e studio della tradizione rinascimentale e dell'impatto sulla nascita della matematica moderna.
    • Matematiche elementari da un punto di vista superiore: geometria (6 cfu)

      • Assiomatiche per la geometria euclidea; geometrie non euclidee; trasformazioni geometriche
    • Didattica della matematica e nuove tecnologie (6 cfu)

      • Metodologie, modelli e materiali didattici in contesti di aula multimediale; ruolo delle tecnologie nell'insegnamento / apprendimento della matematica: software didattici e lavagne interattive multimediali.
    • Storia della matematica (6 cfu)

      • Il corso è di tipo istituzionale e intende offrire una panoramica delle grandi linee di sviluppo della matematica occidentale fino alla fine del XIX secolo. A questo aspetto verrà, di anno in anno, accoppiato un approfondimento di uno o più temi particolarmente rilevanti, quali la geometria cartesiana, l'invenzione del calcolo infinitesimale, le origini della teoria di Galois, la "nuova'' analisi di Cauchy.
    • Tecnologie per la didattica (6 cfu)

      • Ruolo delle tecnologie nell’apprendimento / insegnamento della matematica; uso e costruzione di strumenti didattici informatici, multimediali e telematici Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della matematica. I processi di insegnamento e apprendimento mediati dall'uso delle tecnologie nell'ambito della matematica. Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della matematica.
    • Origini e sviluppo delle matematiche moderne (6 cfu)

      • Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica moderna: inquadramento generale, lettura diretta di testi, discussione della letteratura in materia.
    • Problemi e metodi della ricerca in didattica della matematica (6 cfu)

      • Il corso, rivolto agli studenti interessati alla ricerca in didattica della matematica, intende dare l’opportunità di conoscere e confrontarsi con le problematiche tipiche di tale campo di ricerca (sia quelle classiche che quelle più recenti) e con i metodi di ricerca utilizzati.
    • Matematiche elementari da un punto di vista superiore: aritmetica (6 cfu)

      • Gli insiemi numerici: possibili introduzioni, proprietà
    • Complementi di didattica della matematica (6 cfu)

      • Processi di apprendimento della matematica; contesti e tipi di razionalità; ostacoli epistemologici e didattici nell’insegnamento della matematica
  • 6 cfu a scelta nel gruppo ModDidStor

    • Moduli didattico-storici
    • Storia della matematica antica e della sua tradizione (6 cfu)

      • Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica antica: inquadramento generale (caratteristiche della matematica greca, concetto di tradizione testuale, edizioni di riferimento), lettura diretta di testi legati a un autore classico o a una problematica, e studio della tradizione rinascimentale e dell'impatto sulla nascita della matematica moderna.
    • Matematiche elementari da un punto di vista superiore: geometria (6 cfu)

      • Assiomatiche per la geometria euclidea; geometrie non euclidee; trasformazioni geometriche
    • Didattica della matematica e nuove tecnologie (6 cfu)

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    • Storia della matematica (6 cfu)

      • Il corso è di tipo istituzionale e intende offrire una panoramica delle grandi linee di sviluppo della matematica occidentale fino alla fine del XIX secolo. A questo aspetto verrà, di anno in anno, accoppiato un approfondimento di uno o più temi particolarmente rilevanti, quali la geometria cartesiana, l'invenzione del calcolo infinitesimale, le origini della teoria di Galois, la "nuova'' analisi di Cauchy.
    • Tecnologie per la didattica (6 cfu)

      • Ruolo delle tecnologie nell’apprendimento / insegnamento della matematica; uso e costruzione di strumenti didattici informatici, multimediali e telematici Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della matematica. I processi di insegnamento e apprendimento mediati dall'uso delle tecnologie nell'ambito della matematica. Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della matematica.
    • Origini e sviluppo delle matematiche moderne (6 cfu)

      • Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica moderna: inquadramento generale, lettura diretta di testi, discussione della letteratura in materia.
    • Problemi e metodi della ricerca in didattica della matematica (6 cfu)

      • Il corso, rivolto agli studenti interessati alla ricerca in didattica della matematica, intende dare l’opportunità di conoscere e confrontarsi con le problematiche tipiche di tale campo di ricerca (sia quelle classiche che quelle più recenti) e con i metodi di ricerca utilizzati.
    • Matematiche elementari da un punto di vista superiore: aritmetica (6 cfu)

      • Gli insiemi numerici: possibili introduzioni, proprietà
    • Complementi di didattica della matematica (6 cfu)

      • Processi di apprendimento della matematica; contesti e tipi di razionalità; ostacoli epistemologici e didattici nell’insegnamento della matematica
  • Secondo anno

  • A scelta dello studente (6 cfu)

    • Qualsiasi insegnamento attivato nell'Ateneo, purché coerente con il progetto formativo. La coerenza delle attività scelte dallo studente con il progetto formativo deve essere approvata dal Consiglio di Corso di Studio, anche tenendo conto degli specifici interessi culturali e di sviluppo di carriera dello studente.
  • Prova finale (27 cfu)

    • La prova finale del corso di Laurea Magistrale in Matematica consiste nella stesura di una tesi (in italiano o in inglese) elaborata in modo originale dallo studente con l’assistenza di almeno un docente (relatore), eventualmente esterno al corso di studi, e in una esposizione orale conclusiva del lavoro svolto. La prova finale verrà valutata in base alla originalità dei risultati, alla padronanza dell’argomento, all’autonomia e alle capacità espositiva e di ricerca bibliografica mostrate dal candidato. La redazione della tesi può eventualmente avvenire anche all’interno di un tirocinio formativo (stage) presso aziende o laboratori esterni, o durante soggiorni di studio presso altre università italiane ed estere, anche nel quadro di accordi internazionali.
      Alla prova finale sono attribuiti 27 CFU, di cui 1 CFU corrispondente a ulteriori attività formative utili per l’inserimento nel mondo del lavoro.
      Nomina del controrelatore.
      La tesi dev’essere esaminata anche da un controrelatore, che produrrà un parere da presentare in fase
      di discussione finale. Se il relatore è esterno al dipartimento di Matematica dell’Università di Pisa, allora il controrelatore dev’essere scelto fra i docenti afferenti al dipartimento di Matematica dell’Università di Pisa. La nomina del controrelatore spetta al presidente di corso di laurea magistrale in Matematica, partendo (ma non necessariamente limitandosi a) uno o più nominativi che devono essere suggeriti dal relatore con almeno un mese d’anticipo sulla sessione di laurea in cui sarà discussa la tesi.
  • 6 cfu a scelta nel gruppo ModAffInt

    • Moduli affini e integrativi
    • Meccanica dei continui (6 cfu)

      • Richiami di calcolo tensoriale, meccanica dei continui tridimensionali e dei continui unidimensionali (anche con struttura).
    • Storia della matematica antica e della sua tradizione (6 cfu)

      • Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica antica: inquadramento generale (caratteristiche della matematica greca, concetto di tradizione testuale, edizioni di riferimento), lettura diretta di testi legati a un autore classico o a una problematica, e studio della tradizione rinascimentale e dell'impatto sulla nascita della matematica moderna.
    • Meccanica relativistica (6 cfu)

      • Relatività speciale e principio di equivalenza di Einstein. Spazio-tempo come varietà. Moto lungo una geodetica. Equazioni di Einstein per la curvatura dello spazio-tempo. Metrica di Schwarzschild e di Kerr. Esempi di osservabili relativistiche
    • Dinamica olomorfa (6 cfu)

      • Insiemi di Julia e di Fatou; dinamica di funzioni olomorfe di una variabile.
    • Spazi simmetrici (6 cfu)

      • Gruppi di Lie. Algebre di Lie. Spazi localmente simmetrici e spazi simmetrici.
    • Analisi microlocale (6 cfu)

      • Operatori pseudodifferenziali. Integrali oscillanti. Fronte d'onda e propagazione delle singolarità. Teorema di Hörmander. Ottica geometrica e operatori integrali di Fourier. Disuguaglianza di Fefferman- Phong. Calcolo paradifferenziale. Teoria di Littlewood- Paley. Localizzazione in spazi di frequenza. Spazi di Besov.
    • Teoria dei semigruppi (6 cfu)

      • Semigruppi di operatori, applicazioni alle equazioni di evoluzione
    • Ricerca operativa (6 cfu)

      • Grafi, programmazione lineare, programmazione intera, elementi di teoria dell'ottimizzazione.
    • Teoria dei numeri elementare (6 cfu)

      • Congruenze di grado superiore al primo e struttura moltiplicativa delle classi di resto. Proprietà algebriche e asintotiche delle funzioni aritmetiche. Problemi additivi e moltiplicativi legati alla distribuzione dei numeri primi. Approssimazioni razionali di numeri algebrici e trascendenti
    • Problemi di evoluzione (6 cfu)

      • Equazioni astratte, scale di Banach. Teorema di Cauchy-Kovalewski. Caratteristiche. Equazione delle onde. Sistemi iperbolici a coefficienti costanti. Condizioni  di Hadamard-Garding. Sistemi simmetrici, metodo dell'energia. Sistemi strettamente iperbolici. Simmetrizzatore micro-locale.
    • Calcolo scientifico (6 cfu)

      • Problemi di minimi quadrati, metodi del gradiente, decomposizione a valori singolari, calcolo di autovalori.
    • Elementi di calcolo in gruppi omogenei (6 cfu)

      • Gruppi di Lie nilpotenti semplicemente connessi: dilatazioni intrinseche, distanze invarianti, misura di Haar. Differenziabilità rispetto l'operazione di gruppo e le dilatazioni.
    • Campi ciclotomici (6 cfu)

      • Caratteri di Dirichlet, serie L di Dirichlet, numeri di Bernoulli, fomrula del numero di classi, teorema di Stickelberger.
    • Matematiche elementari da un punto di vista superiore: geometria (6 cfu)

      • Assiomatiche per la geometria euclidea; geometrie non euclidee; trasformazioni geometriche
    • Metodi matematici della crittografia (6 cfu)

      • Metodi ed algoritmi matematici applicati alla crittografia ed alla crittanalisi: fattorizzazione, logaritmo discreto. Curve ellittiche, fattorizzazione e crittografia ellittica ed iperellittica. Reticoli.
    • Metodi numerici per catene di Markov (6 cfu)

      • Matrici nonnegative e teorema di Perron-Frobenius. Metodi per catene di Markov finite e infinite. Modelli di code e loro matrici di transizione.
    • Metodi di ottimizzazione delle reti (6 cfu)

      • Algoritmi ad hoc per problemi di flusso su rete, routing in reti di comunicazione, progetto di reti di comunicazione, reti di trasporto.
    • Elementi di calcolo delle variazioni (6 cfu)

      • Principi variazionali in una e più variabili. Equazione di Eulero-Lagrange. Condizioni sufficienti di minimalità. Esempi classici di problemi variazionali. Funzioni assolutamente continue e metodo diretto. Geodetiche. Teorema del passo montano e principi di minimax.
    • Teoria algebrica dei numeri 1 (6 cfu)

      • Campi di numeri, interi dei campi di numeri; fattorizzazione unica degli ideali, ramificazione, gruppo delle classi di ideali, teorema delle unità di Dirichlet.
    • Probabilità (6 cfu)

      • Complementi di misura e integrazione: integrazione delle variabili aleatorie. Indipendenza di variabili aleatorie: leggi 0-1. Le funzioni caratteristiche. Convergenza di variabili aleatorie. Teoremi limite (leggi dei Grandi Numeri e teorema del Limite Centrale). Due esempi di processi stocastici: il processo di Wiener e il processo di Poisson.
    • Introduzione alla meccanica quantistica (6 cfu)

      • Meccanica quantistica delle particelle: dualità onda/particella, principio di sovrapposizione, principio di indeterminazione, equazione di Schroedinger.
    • Teoria dei codici e crittografia (6 cfu)

      • Trasmissione dei dati, stutture matematiche per la correzione efficiente degli errori di trasmissione. Principali codici correttori, loro proprietà e decodifica. Principali problemi crittografici: cifratura, firma, identificazione, integrità dei dati. Principali protocolli crittografici e problemi matematici soggiacenti.
    • Teoria delle categorie (6 cfu)

      • Categorie, funtori; aggiunti; limiti, colimiti; fasci, topoi.
    • Teoria dei campi e teoria di Galois (6 cfu)

      • Estensioni algebriche ed estensioni trascendenti, chiusura algebrica, separabilità, teoria di Galois, risolubilità, estensioni abeliane, teoria di Kummer.
    • Processi stocastici (6 cfu)

      • Processi di Markov, forme di Dirichlet, processi gaussiani.
    • Metodi topologici per le equazioni differenziali (6 cfu)

      • Teorie topologiche variazionali o non variazionali per alcune classi di equazioni non lineari di tipo differenziale o integrale.
    • Geometria simplettica (6 cfu)

      • Varietà simplettiche. Esempi standard. Teorema di Darboux. Strutture quasi-complesse compatibili.
    • Onde lineari e non lineari (6 cfu)

      • Principali proprietà delle soluzioni delle equazioni delle onde lineari e non lineari; proprietà dispersive delle soluzioni e decadimento dell'energia locale.
    • Superfici minime (6 cfu)

      • Risultati di esistenza per superfici minime: approccio classico, insiemi di perimetro finito, correnti. Alcuni risultati di regolarità per le ipersuperfici minime.
    • Analisi complessa B (6 cfu)

      • Funzioni plurisubarmoniche; domini pseudoconvessi; equazione del de-bar.
    • Metodi topologici in analisi globale (6 cfu)

      • Elementi di analisi non lineare per alcuni problemi di tipo “globale”, quali: il problema della sella, il punto fisso di Brouwer, le dimensioni e l’invarianza del dominio, la pettinabilità della sfera, il problema di Jordan. Applicazioni alle equazioni differenziali.
    • Finanza matematica (6 cfu)

      • Orbite periodiche e teorema di Poincaré-Birkhoff, teoria delle perturbazioni.
    • Gruppi di Coxeter (6 cfu)

      • Sistemi di radici e gruppi generati da riflessioni.
    • Geometria reale B (6 cfu)

      • Geometria degli insiemi semianalitici e subanalitici.
    • Metodi numerici per la grafica (6 cfu)

      • Parametrizzazione interpolazione e approssimazione di curve e superfici. Curve e superfici di Bezier, B-spline.
    • Teoria della calcolabilità (6 cfu)

      • Modelli di calcolo e funzioni calcolabili.
    • Operatori differenziali e teoremi dell’indice (6 cfu)

      • Algebre di Clifford. Operatori di Dirac. Teoremi dell'indice.
    • Metodi decisionali guidati dai modelli (6 cfu)

      • Ottimalità e algoritmi, algoritmi euristici, tecniche di rilassamento, algoritmi enumerativi. Software di ottimizzazione.
    • Geometria e topologia delle superfici (6 cfu)

      • Spazio di Teichmüller; laminazioni geodetiche; complessi di curve.
    • Calcolo delle variazioni A (6 cfu)

      • Il metodo diretto nel calcolo delle variazioni. Condizioni necessarie e sufficienti di semicontinuità inferiore per funzionali integrali su spazi di Sobolev di funzioni scalari. Il caso vettoriale. Integrali invarianti. Misure di Young e misure di Young gradienti. Convessità, convessità di rango-uno, quasiconessità, policonvessità. Rilassamento.
    • Algebra superiore A (6 cfu)

      • Algebra commutativa.
    • Sistemi dinamici discreti (6 cfu)

      • Dinamica topologica; insiemi iperbolici; teoria ergodica.
    • Fisica matematica (6 cfu)

      • Richiami di meccanica hamiltoniana, sistemi completamente integrabili e variabili azione angolo. Metodi perturbativi: teorema della media. Soluzioni periodiche del problema degli N-corpi, teorema geometrico di Poincaré-Birkhoff. Orbite periodiche con metodi variazionali.
    • Analisi armonica (6 cfu)

      • Fondamenti dell'Analisi armonica, interpolazione reale e comlessa, spazi di Lorentz, funzioni massimali, teoria di Calderon-Zygmund, spazi BMO, moltiplicatori di Fourier, integrali oscillanti e teoremi di restizione.
    • Teoria delle funzioni (6 cfu)

      • Elementi della teoria delle funzioni analitiche di una variabile complessa: serie di Mittag-Leffler,fattorizzazione di Weierstrass, fattorizzazione delle funzioni intere di ordine finito, sviluppi asintotici, teorema di Picard.
    • Elementi di logica matematica (6 cfu)

      • Calcolo dei predicati. Sistemi formali. Teorema di completezza.
    • Geometria reale computazionale (6 cfu)

      • Campi formalmente reali. Numeri algebrici reali, varietà algebriche reali. Algoritmi e applicazioni.
    • Metodi numerici per l’analisi di Fourier (6 cfu)

      • Serie di Fourier e trasformata di Fourier. Trasformata discreta di Fourier, trasformate trigonometriche. Algoritmi veloci per il calcolo delle trasformate discrete.
    • Ultrafiltri e metodi nonstandard (6 cfu)

      • Ultrafiltri e ultrapotenze. Fondamenti dell'analisi non-standard. Applicazioni alla teoria di Ramsey e alla teoria combinatoria dei numeri.
    • Equazioni alle derivate parziali (6 cfu)

      • Equazioni e sistemi del primo ordine. Rappresentazione esplicita delle soluzioni delle equazioni di Laplace, del calore, e delle onde. Proprietà qualitative delle soluzioni: principio del massimo, unicità, regolarità e dispersione.
    • Geometria reale C (6 cfu)

      • Topologia delle curve e superfici reali.
    • Analisi convessa (6 cfu)

      • Topologie deboli su spazi di Banach, funzioni convesse, calcolo in spazi di Banach, sottodifferenziale, disequazioni variazionali, multifunzioni.
    • Didattica della matematica e nuove tecnologie (6 cfu)

      • Metodologie, modelli e materiali didattici in contesti di aula multimediale; ruolo delle tecnologie nell'insegnamento / apprendimento della matematica: software didattici e lavagne interattive multimediali.
    • Equazioni differenziali ordinarie (6 cfu)

      • Problema di Cauchy. Equazioni di Bernoulli, D'Alembert, Clairaut, Eulero, Riccati. Metodo di Peano. Equazioni lineari. Dipendenza regolare dai dati. Soluzioni massimali.  Equilibri. Problemi di Sturm- Liouville.
    • Curve algebriche (6 cfu)

      • Curve algebriche, divisori. Curve ellittiche, iperellittiche, jacobiane. Applicazioni.
    • Geometria algebrica D (6 cfu)

      • Tori complessi e varietà abeliane.
    • Storia della matematica (6 cfu)

      • Il corso è di tipo istituzionale e intende offrire una panoramica delle grandi linee di sviluppo della matematica occidentale fino alla fine del XIX secolo. A questo aspetto verrà, di anno in anno, accoppiato un approfondimento di uno o più temi particolarmente rilevanti, quali la geometria cartesiana, l'invenzione del calcolo infinitesimale, le origini della teoria di Galois, la "nuova'' analisi di Cauchy.
    • Teoria algebrica dei numeri 2 (6 cfu)

      • Valori assoluti, campi locali, differente, discriminante, ramificazione, gruppi di ramificazione.
    • Metodi di approssimazione (6 cfu)

      • Risoluzione numerica di equazioni matriciali. Algoritmi numerici per matrici con struttura.
    • Forme modulari (6 cfu)

      • L-serie, equazioni funzionali e operatori di Heck
    • Geometria riemanniana (6 cfu)

      • Relazioni fra curvatura e topologia; teoremi di confronto e di pinching.
    • Algebra commutativa e geometria algebrica computazionale (6 cfu)

      • Costruzioni e algoritmi per l'algebra commutativa e la geometria algebrica, applicazioni.
    • Funzioni speciali (6 cfu)

      • Funzione gamma di Eulero: equazioni funzionali, formula di Stirling. Funzioni ellittiche: funzione P di Weierstrass. Elementi della teoria della funzione zeta di Riemann. Soluzioni di equazioni differenziali lineari a coefficienti analitici: funzione ipergeometrica, funzioni di Bessel.
    • Geodesia via satellite (6 cfu)

      • Problema dei minimi quadrati, simmetrie e degenerazioni. Campo gravitazionale di un corpo esteso, problema del satellite. Perturbazioni non-gravitazionali, geodesia e gravimetria spaziale, terrestre e interplanetaria.
    • Dinamica del sistema solare (6 cfu)

      • Equazioni del moto dei pianeti. Teorie perturbative, elementi propri. Risonanze, piccoli divisori, esponenti di Lyapunov.
    • Geometria degli spazi metrici (6 cfu)

      • Nozioni di curvatura. Quasi isometrie. Geometria a larga scala.
    • Elementi di algebra computazionale (6 cfu)

      • Rappresentazione di interi e polinomi. Algoritmi algebrici fondamentati. Sistemi di calcolo algebrico.
    • Meccanica spaziale (6 cfu)

      • Moto di satelliti artificiali e sonde spaziali, missioni spaziali interplanetarie.
    • Geometria reale A (6 cfu)

      • Geometria degli insiemi semialgebrici. Algebra reale. Strutture o-minimali.
    • Determinazione orbitale (6 cfu)

      • Problema dei minimi quadrati, simmetrie e degenerazioni. Problema dell'identificazione. Orbite preliminari. Soluzioni deboli. Incontri ravvicinati e monitoraggio degli impatti.
    • Logica matematica (6 cfu)

      • Calcolo dei predicati. Teoremi di incompletezza di Godel. Decidibilità e indecidibilità.
    • Algebra superiore B (6 cfu)

      • Algebre e loro rappresentazioni
    • Tecnologie per la didattica (6 cfu)

      • Ruolo delle tecnologie nell’apprendimento / insegnamento della matematica; uso e costruzione di strumenti didattici informatici, multimediali e telematici Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della matematica. I processi di insegnamento e apprendimento mediati dall'uso delle tecnologie nell'ambito della matematica. Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della matematica.
    • Geometria differenziale complessa (6 cfu)

      • Varietà complesse; coomologia di Dolbeault; varietà di Stein; metriche e distanze intrinseche.
    • Matematica discreta (6 cfu)

      • Calcolo combinatorio, funzioni generatrici, grafi, teoria di Ramsey.
    • Teoria degli insiemi (6 cfu)

      • Modelli della teoria degli insiemi.
    • Teoria dei nodi (6 cfu)

      • Invarianti di nodi e di link. Trecce.
    • Teoria del controllo ottimo (6 cfu)

      • Problemi di controllo di energia minima e di tempo minimo; esistenza e di sensitività delle soluzioni; principio di massimo di Pontryagin, approccio di programmazione dinamica ed equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman.
    • Geometria di contatto (6 cfu)

      • Varietà di contatto. Esempi standard. Teorema di Darboux. Nodi Legendriani e trasversi. Libri aperti e strutture di contatto.
    • Geometria e topologia differenziale (6 cfu)

      • Geometria differenziale di curve e superfici nello spazio euclideo, introduzione a varietà e mappe differenziabili in dimensione n.
    • Geometria algebrica A (6 cfu)

      • Schemi, fasci, coomologia.
    • Analisi non lineare (6 cfu)

      • Teorie e metodi sul comportamento globale di operatori non lineari, fra spazi di dimensione finita o spazi di funzioni, collegati con classici problemio equazioni non lineari.
    • Matematica e musica (6 cfu)

      • Formalizzazione algebrica delle strutture musicali.
    • Topologia differenziale (6 cfu)

      • Funzioni di Morse e decomposizioni in manici. Teorema dell'h-cobordismo.
    • Algebra computazionale A (6 cfu)

      • Aritmetica, fattorizzazione, integrazione.
    • Gruppi e rappresentazioni (6 cfu)

      • Rappresentazioni di gruppi finiti. Esempi di classi di gruppi.
    • Sistemi dinamici (6 cfu)

      • Sistemi dinamici lineari (con richiami di algebra lineare), stabilità e teoria qualitativa per sistemi dinamici non lineari, formalismo hamiltoniano e lagrangiano ad un grado di libertà, sistemi dinamici discreti, un esempio elementare di caos.
    • Laboratorio di fisica per l'insegnamento (6 cfu)

      • Sviluppare competenze nella gestione di esperienze di laboratorio, fornire basi teoriche di un approccio alla misura. Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della fisica. La progettazione e lo sviluppo delle attività di insegnamento relative alla fisica. Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della fisica
    • Analisi matematica 3 (6 cfu)

      • Spazi di Hilbert. Spazi di Lebesgue L^p. Convoluzione di funzioni. Serie di Fourier. Trasformata di Fourier. Formula dell'area e integrazione su superfici. Funzioni armoniche.
    • Dinamica del sistema Terra-Luna (6 cfu)

      • Il sistema Terra-Luna-Sole e le caratteristiche principali dell'orbita della Luna. Il tracking laser della Luna nell'era spaziale (LLR-Lunar Laser Ranging). LLR e la verifica della Relatività Generale.
    • Teoria analitica dei numeri A (6 cfu)

      • Problemi legati alla distribuzione dei primi; la Zeta di Riemann e le funzioni L di Dirichlet.
    • Introduzione alla teoria geometrica della misura (6 cfu)

      • Misure e dimensione di Hausdorff. Insiemi rettificabli. Formula dell'area e della coarea
    • Elementi di analisi complessa (6 cfu)

      • Teorema di uniformizzazione di Riemann; proprietà geometriche del gruppo delle omografie; principio di simmetria e sue applicazioni; un modello di piano iperbolico; cenni sulle funzioni di più variabili complesse.
    • Calcolo delle variazioni B (6 cfu)

      • Teoria della regolarità per minimi di funzionali integrali.
    • Algebre e gruppi di Lie (6 cfu)

      • Teoremi di struttura per le algebre di Lie di dimensione finita (incluso il caso delle algebre semisemplici complesse). Gruppi di Lie e relazione con le algebre di Lie. Introduzione alla teoria delle rappresentazioni delle algebre e gruppi di Lie.
    • Origini e sviluppo delle matematiche moderne (6 cfu)

      • Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica moderna: inquadramento generale, lettura diretta di testi, discussione della letteratura in materia.
    • Fisica II (9 cfu)

      • Elettrostatica e magnetostatica nel vuoto, correnti stazionarie, induzione, circuiti passivi lineari RLC, equazioni di Maxwell, onde elettromagnetiche, polarizzazione, irraggiamento, riflessione e rifrazione.
    • Geometria algebrica C (6 cfu)

      • Curve e superfici di Riemann.
    • Teoria e metodi dell'ottimizzazione (6 cfu)

      • Ottimizzazione non lineare: condizioni di ottimalità per problemi vincolati e non vincolati, teoria della dualità, metodi risolutivi per problemi vincolati e non vincolati, applicazioni.
    • Analisi superiore (6 cfu)

      • Spazi vettoriali topologici. misure e distribuzioni. Operatori illimitatii, aggiunto ad un operatore non limiato, teoria spettrale per operatori non limitati. Calcolo funzionale Forme quadratiche, soluzioni deboli e soluzioni forti.
    • Topologia algebrica (6 cfu)

      • Omotopia e teorie coomologiche.
    • Geometria algebrica E (6 cfu)

      • Superfici algebriche.
    • Algebra computazionale B (6 cfu)

      • Metodi effettivi per la risoluzione di sistemi di equazioni polimonmiali.
    • Algebra lineare e multilineare (6 cfu)

      • Strutture algebriche lineari.
    • Complementi di analisi funzionale (6 cfu)

      • Spazi vettoriali topologici, misure e distribuzioni. Convoluzione, trasformata di Fourier, teorema di Paley-Wiener ed applicazioni alle EDP. Teoria spettrale per operatori non limitati. Calcolo operazionale, semigruppi di operatori. Teorema di Malgrange-Ehrenpreis. Teoremi di punto fisso in dimensione infinita ed applicazioni alle EDP.
    • Topologia generale (6 cfu)

      • Spazi normali, teorema di Urysohn, compattificazioni, teorema di Baire, paracompattezza, partizioni dell’unità.
    • Analisi non standard (6 cfu)

      • Fondamenti dell'analisi non standard, scelta di applicazioni ad altre aree della matematica.
    • Elementi di topologia algebrica (6 cfu)

      • Omologia simpliciale e singolare, CW complessi, coomologia, prodotto cup, dualità di Poincaré.
    • Equazioni della fluidodinamica (6 cfu)

      • Introduzione alla teoria matematica delle equazioni alle derivate parziali della meccanica dei continui e in particolare a quelle di Eulero e Navier-Stokes per fluidi incomprimibili.
    • Topologia e geometria in bassa dimensione (6 cfu)

      • Varietà topologiche, lineari a pezzi e differenziabili di dimensione minore di 5.
    • Spazi di funzioni (6 cfu)

      • Proprietà fini delle funzioni derivabili in senso debole: funzioni di Sobolev e BV, insiemi di perimetro finito. Altri spazi di funzioni. Riarrangiamento e disuguaglianze funzionali.
    • Elementi di geometria algebrica (6 cfu)

      • Varietà affini, proiettive e quasi-proiettive. Morfismi. Applicazioni razionali. Punti lisci e dimensione.
    • Algebra 2 (6 cfu)

      • Gruppi: azioni di gruppi, costruzioni e presentazioni di gruppi. Moduli e caratterizzazione dei moduli su un PID. Anelli noetheriani. Teorema della base di Hilbert. Basi di Groebner e applicazioni.
    • Problemi e metodi della ricerca in didattica della matematica (6 cfu)

      • Il corso, rivolto agli studenti interessati alla ricerca in didattica della matematica, intende dare l’opportunità di conoscere e confrontarsi con le problematiche tipiche di tale campo di ricerca (sia quelle classiche che quelle più recenti) e con i metodi di ricerca utilizzati.
    • Teoria dei gruppi (6 cfu)

      • Serie di composizione, gruppi di permutazioni, gruppi nilpotenti, gruppi risolubili.
    • 3-varietà (6 cfu)

      • Risultati classici sulla topologia delle 3-varietà. Esempi e costruzioni di 3-varietà.
    • Fisica III (6 cfu)

      • Sistemi e trasformazioni termodinamiche, gas perfetto, prima e seconda legge, temperatura ed entropia; potenziali ritardati, relatività speciale e legami con l'elettromagnetismo, cenni su argomenti di fisica moderna (meccanica quantistica e altro).
    • Elementi di meccanica celeste (6 cfu)

      • Problema dei 2 corpi ed equazione di Keplero. Problema dei 3 corpi ristretto circolare, integrale di Jacobi, criterio di stabilità di Hill, cenni su orbite confinate ma caotiche. Maree ed evoluzione mareale nel sistema solare; la Terra come corpo esteso.
    • Equazioni ellittiche (6 cfu)

      • Teoria della regolarità. Equazioni in forma di divergenza. Equazioni non variazionali. Equazioni non lineari. Problemi al contorno. Frontiera libera. Problemi con ostacolo. Equazioni degeneri. Teoria del potenziale. Funzioni armoniche. Interpolazione. Autovalori.
    • Meccanica celeste (6 cfu)

      • Singolarità e orbite periodiche nel problema degli N corpi
    • Teoria analitica dei numeri B (6 cfu)

      • Problemi analitici di natura additiva con particolare riferimento al metodo di Hardy e Littlewood
    • Elementi di probabilità e statistica (6 cfu)

      • Probabilità su spazi numerabili: condizionamento, indipendenza, variabili aleatorie. Variabili aleatorie con densità: variabili gaussiane. Inferenza statistica: stima, test, intervalli di fiducia. Principali test statistici su modelli gaussiani.
    • Algebra omologica (6 cfu)

      • Moduli proiettivi e iniettivi. Categorie e funtori. Funtori aggiunti. Categorie di moduli. Successioni esatte, risoluzioni, funtori derivati. (Co)omologia di gruppi e algebre.
    • Algebra 1 (6 cfu)

      • Gruppi: teoremi di omomorfismo, permutazioni, gruppi abeliani finiti. Anelli e ideali, anelli speciali, anelli di polinomi. Elementi di teoria di Galois.
    • Introduzione all'analisi p-adica (6 cfu)

      • Struttura dei numeri p-adici; continuità, differenziabilità e analiticità in campo p-adico.
    • Elementi avanzati di algebra lineare numerica (6 cfu)

      • Metodi di Krylov, GMRES, BiCG, polinomi di matrici, problemi polinomiali agli autovalori, funzioni di matrici.
    • Metodi numerici per equazioni differenziali ordinarie (6 cfu)

      • Problemi ai valori iniziali e ai valori limite, metodi a un passo, metodi a più passi, metodi di shooting.
    • 2-varietà (6 cfu)

      • Varietà di dimensione due e loro automorfismi.
    • Algoritmi e strutture dei dati (6 cfu)

      • Strutture dei dati, analisi di algoritmi e complessità, progetto di algoritmi.
    • Teoria ergodica (6 cfu)

      • Teoremi di Krein-Milman e di Choquet, teoria spettrale. Esempi di base. Teoremi di Poincaré, Birkhoff, von Neumann. Decomposizione ergodica. "Mixing" e "weak mixing". Operatore di Perron- Frobenius. Decadimento delle correlazioni. Entropia. Dinamica simbolica. Catene di Markov e misura di Parry.
    • Teoria dei codici (6 cfu)

      • Trasmissione con errore, correzione d'errore. Famiglie di codici correttori. Metodi di geometria algebrica e algebra computazionale per la costruzione di codici e la decodifica.
    • Teoria dei controlli (6 cfu)

      • Teoria di controllabilità, osservabilità e stabilizzazione via feedback; modelli di controllo lineari; teoria geometrica di controllabilità per sistemi regolari; sistemi switching e sistemi ibridi.
    • Dinamica iperbolica (6 cfu)

      • Sistemi dinamici iperbolici; dinamica in dimensione bassa.
    • Analisi complessa A (6 cfu)

      • Il fascio dei germi delle funzioni analitiche; Nullstellensatz; spazi analitici; Teoremi A e B di Cartan.
    • Probabilità superiore (6 cfu)

      • Presentazione di una selezione di argomenti avanzati di probabilità quali Spazi Gaussiani, Calcolo di Malliavin, processi di Levy e Levy-stabili.
    • Equazioni alle derivate parziali 2 (6 cfu)

      • Selezione di argomenti avanzati della teoria delle equazioni alle derivate parziali.
    • Equazioni iperboliche (6 cfu)

      • Equazioni differenziali di tipo iperbolico, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
    • Modelli matematici in biomedicina e fisica matematica (6 cfu)

      • Obiettivi formativi: Equazioni differenziali ordinarie con effetti dissipativi (ritardo, memoria, etc) e stabilità, e loro applicazioni in biomedicina. Equazioni alle derivate parziali e loro applicazioni in fisica matematica.
    • Analisi geometrica (6 cfu)

      • Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi geometrica.
    • Geometria algebrica F (6 cfu)

      • Varietà toriche.
    • Teoria descrittiva della complessità (6 cfu)

      • Modelli finiti e complessità computazionale
    • Teoria dei modelli (6 cfu)

      • Modelli di teorie del primo ordine. Compattezza. Equivalenza elementare. Applicazioni all'aritmetica, ai campi, e ad altre strutture algebrico-relazionali.
    • Elementi di teoria degli insiemi (6 cfu)

      • Nozioni di logica. Teoria assiomatica degli insiemi. Cardinali. Ordinali.
    • Teoria geometrica della misura (6 cfu)

      • Nozioni di base di teoria geometrica della misura. Correnti normali ed intere. Esistenza delle soluzioni per il problema di Plateau omologico. Varifold.
    • Problem solving (6 cfu)

      • Ruolo dei problemi nell’insegnamento della matematica; euristiche; problem solving e problem posing.
    • Teoria dei giochi (6 cfu)

      • Equilibri nei modelli di giochi noncooperativi, teoria dei giochi cooperativi, giochi posizionali e giochi differenziali
    • Analisi in spazi metrici (6 cfu)

      • Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi su spazi metrici.
    • Equazioni differenziali stocastiche e applicazioni (6 cfu)

      • Introduzione ai teoremi di esistenza ed unicità (debole o forte) per equazioni differenziali stocastiche ordinarie, legami con le equazioni alle derivate parziali, applicazioni in ambito fisico o biologico.
    • Matematica e società (6 cfu)

      • Matematica, società e curricula; il contesto culturale nell'insegnamento ed apprendimento della matematica; il ruolo delle conoscenze matematiche non-scolastiche.
    • Matematiche elementari da un punto di vista superiore: aritmetica (6 cfu)

      • Gli insiemi numerici: possibili introduzioni, proprietà
    • Fondamenti della matematica (6 cfu)

      • Sistemi formali e teorie fondazionali.
    • Geometria algebrica B (6 cfu)

      • Varietà complesse, metodi trascendenti
    • Equazioni paraboliche (6 cfu)

      • Equazioni differenziali di tipo parabolico, lineari e non lineari, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
    • Meccanica superiore (6 cfu)

      • Obiettivi formativi: Indicatori di comportamento caotico e metodi ergodici per sistemi meccanici
    • Teoria della misura (6 cfu)

      • Misure astratte, misure su uno spazio topologico, integrale di Daniell, convergenze di misure.
    • 4-varietà (6 cfu)

      • Risultati classici sulla topologia delle 4-varietà. Esempi e costruzioni di 4-varietà.
    • Complementi di fisica (6 cfu)

      • Onde. Elementi di relatività ristretta. Equazioni d'onda relativistiche. Complementi di termodinamica e statistica.
    • Statistica matematica (6 cfu)

      • Modelli statistici: modelli dominati. Stime: stime consistenti e di Massima verosimiglianza. Intervalli di fiducia e test. I principali test sui modelli gaussiani (di Student, di Fisher Snedecor). Modelli statistici non parametrici: teorema di Glivenko-Cantelli e e test del chi-quadro.
    • Analisi reale (6 cfu)

      • Fondamenti dell'analisi reale (teoria della misura, spazi di funzioni).
    • Capacità non lineare, disequazioni variazionali e applicazioni (6 cfu)

      • Il percorso scelto ci permetterà di illustrare alcune tecniche e argomenti classici per trovare condizioni necessarie e sufficienti affinché un punto di frontiera sia regolare relativamente al problema di Dirichlet non omogeneo per l'operatore di Laplace non-lineare (il cosiddetto p-laplaciano).
    • Complementi di didattica della matematica (6 cfu)

      • Processi di apprendimento della matematica; contesti e tipi di razionalità; ostacoli epistemologici e didattici nell’insegnamento della matematica
    • Teoria della dimostrazione (6 cfu)

      • Il concetto formale di dimostrazione. Sistemi dimostrativi. Logiche non classiche. Analisi ordinale
    • Geometria iperbolica (6 cfu)

      • Lo spazio iperbolico. Esempi e costruzioni di varietà iperboliche. Proprietà topologiche e geometriche di varietà iperboliche.
  • 6 cfu a scelta nel gruppo ModAffInt

    • Moduli affini e integrativi
    • Meccanica dei continui (6 cfu)

      • Richiami di calcolo tensoriale, meccanica dei continui tridimensionali e dei continui unidimensionali (anche con struttura).
    • Storia della matematica antica e della sua tradizione (6 cfu)

      • Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica antica: inquadramento generale (caratteristiche della matematica greca, concetto di tradizione testuale, edizioni di riferimento), lettura diretta di testi legati a un autore classico o a una problematica, e studio della tradizione rinascimentale e dell'impatto sulla nascita della matematica moderna.
    • Meccanica relativistica (6 cfu)

      • Relatività speciale e principio di equivalenza di Einstein. Spazio-tempo come varietà. Moto lungo una geodetica. Equazioni di Einstein per la curvatura dello spazio-tempo. Metrica di Schwarzschild e di Kerr. Esempi di osservabili relativistiche
    • Dinamica olomorfa (6 cfu)

      • Insiemi di Julia e di Fatou; dinamica di funzioni olomorfe di una variabile.
    • Spazi simmetrici (6 cfu)

      • Gruppi di Lie. Algebre di Lie. Spazi localmente simmetrici e spazi simmetrici.
    • Analisi microlocale (6 cfu)

      • Operatori pseudodifferenziali. Integrali oscillanti. Fronte d'onda e propagazione delle singolarità. Teorema di Hörmander. Ottica geometrica e operatori integrali di Fourier. Disuguaglianza di Fefferman- Phong. Calcolo paradifferenziale. Teoria di Littlewood- Paley. Localizzazione in spazi di frequenza. Spazi di Besov.
    • Teoria dei semigruppi (6 cfu)

      • Semigruppi di operatori, applicazioni alle equazioni di evoluzione
    • Ricerca operativa (6 cfu)

      • Grafi, programmazione lineare, programmazione intera, elementi di teoria dell'ottimizzazione.
    • Teoria dei numeri elementare (6 cfu)

      • Congruenze di grado superiore al primo e struttura moltiplicativa delle classi di resto. Proprietà algebriche e asintotiche delle funzioni aritmetiche. Problemi additivi e moltiplicativi legati alla distribuzione dei numeri primi. Approssimazioni razionali di numeri algebrici e trascendenti
    • Problemi di evoluzione (6 cfu)

      • Equazioni astratte, scale di Banach. Teorema di Cauchy-Kovalewski. Caratteristiche. Equazione delle onde. Sistemi iperbolici a coefficienti costanti. Condizioni  di Hadamard-Garding. Sistemi simmetrici, metodo dell'energia. Sistemi strettamente iperbolici. Simmetrizzatore micro-locale.
    • Calcolo scientifico (6 cfu)

      • Problemi di minimi quadrati, metodi del gradiente, decomposizione a valori singolari, calcolo di autovalori.
    • Elementi di calcolo in gruppi omogenei (6 cfu)

      • Gruppi di Lie nilpotenti semplicemente connessi: dilatazioni intrinseche, distanze invarianti, misura di Haar. Differenziabilità rispetto l'operazione di gruppo e le dilatazioni.
    • Campi ciclotomici (6 cfu)

      • Caratteri di Dirichlet, serie L di Dirichlet, numeri di Bernoulli, fomrula del numero di classi, teorema di Stickelberger.
    • Matematiche elementari da un punto di vista superiore: geometria (6 cfu)

      • Assiomatiche per la geometria euclidea; geometrie non euclidee; trasformazioni geometriche
    • Metodi matematici della crittografia (6 cfu)

      • Metodi ed algoritmi matematici applicati alla crittografia ed alla crittanalisi: fattorizzazione, logaritmo discreto. Curve ellittiche, fattorizzazione e crittografia ellittica ed iperellittica. Reticoli.
    • Metodi numerici per catene di Markov (6 cfu)

      • Matrici nonnegative e teorema di Perron-Frobenius. Metodi per catene di Markov finite e infinite. Modelli di code e loro matrici di transizione.
    • Metodi di ottimizzazione delle reti (6 cfu)

      • Algoritmi ad hoc per problemi di flusso su rete, routing in reti di comunicazione, progetto di reti di comunicazione, reti di trasporto.
    • Elementi di calcolo delle variazioni (6 cfu)

      • Principi variazionali in una e più variabili. Equazione di Eulero-Lagrange. Condizioni sufficienti di minimalità. Esempi classici di problemi variazionali. Funzioni assolutamente continue e metodo diretto. Geodetiche. Teorema del passo montano e principi di minimax.
    • Teoria algebrica dei numeri 1 (6 cfu)

      • Campi di numeri, interi dei campi di numeri; fattorizzazione unica degli ideali, ramificazione, gruppo delle classi di ideali, teorema delle unità di Dirichlet.
    • Probabilità (6 cfu)

      • Complementi di misura e integrazione: integrazione delle variabili aleatorie. Indipendenza di variabili aleatorie: leggi 0-1. Le funzioni caratteristiche. Convergenza di variabili aleatorie. Teoremi limite (leggi dei Grandi Numeri e teorema del Limite Centrale). Due esempi di processi stocastici: il processo di Wiener e il processo di Poisson.
    • Introduzione alla meccanica quantistica (6 cfu)

      • Meccanica quantistica delle particelle: dualità onda/particella, principio di sovrapposizione, principio di indeterminazione, equazione di Schroedinger.
    • Teoria dei codici e crittografia (6 cfu)

      • Trasmissione dei dati, stutture matematiche per la correzione efficiente degli errori di trasmissione. Principali codici correttori, loro proprietà e decodifica. Principali problemi crittografici: cifratura, firma, identificazione, integrità dei dati. Principali protocolli crittografici e problemi matematici soggiacenti.
    • Teoria delle categorie (6 cfu)

      • Categorie, funtori; aggiunti; limiti, colimiti; fasci, topoi.
    • Teoria dei campi e teoria di Galois (6 cfu)

      • Estensioni algebriche ed estensioni trascendenti, chiusura algebrica, separabilità, teoria di Galois, risolubilità, estensioni abeliane, teoria di Kummer.
    • Processi stocastici (6 cfu)

      • Processi di Markov, forme di Dirichlet, processi gaussiani.
    • Metodi topologici per le equazioni differenziali (6 cfu)

      • Teorie topologiche variazionali o non variazionali per alcune classi di equazioni non lineari di tipo differenziale o integrale.
    • Geometria simplettica (6 cfu)

      • Varietà simplettiche. Esempi standard. Teorema di Darboux. Strutture quasi-complesse compatibili.
    • Onde lineari e non lineari (6 cfu)

      • Principali proprietà delle soluzioni delle equazioni delle onde lineari e non lineari; proprietà dispersive delle soluzioni e decadimento dell'energia locale.
    • Superfici minime (6 cfu)

      • Risultati di esistenza per superfici minime: approccio classico, insiemi di perimetro finito, correnti. Alcuni risultati di regolarità per le ipersuperfici minime.
    • Analisi complessa B (6 cfu)

      • Funzioni plurisubarmoniche; domini pseudoconvessi; equazione del de-bar.
    • Metodi topologici in analisi globale (6 cfu)

      • Elementi di analisi non lineare per alcuni problemi di tipo “globale”, quali: il problema della sella, il punto fisso di Brouwer, le dimensioni e l’invarianza del dominio, la pettinabilità della sfera, il problema di Jordan. Applicazioni alle equazioni differenziali.
    • Finanza matematica (6 cfu)

      • Orbite periodiche e teorema di Poincaré-Birkhoff, teoria delle perturbazioni.
    • Gruppi di Coxeter (6 cfu)

      • Sistemi di radici e gruppi generati da riflessioni.
    • Geometria reale B (6 cfu)

      • Geometria degli insiemi semianalitici e subanalitici.
    • Metodi numerici per la grafica (6 cfu)

      • Parametrizzazione interpolazione e approssimazione di curve e superfici. Curve e superfici di Bezier, B-spline.
    • Teoria della calcolabilità (6 cfu)

      • Modelli di calcolo e funzioni calcolabili.
    • Operatori differenziali e teoremi dell’indice (6 cfu)

      • Algebre di Clifford. Operatori di Dirac. Teoremi dell'indice.
    • Metodi decisionali guidati dai modelli (6 cfu)

      • Ottimalità e algoritmi, algoritmi euristici, tecniche di rilassamento, algoritmi enumerativi. Software di ottimizzazione.
    • Geometria e topologia delle superfici (6 cfu)

      • Spazio di Teichmüller; laminazioni geodetiche; complessi di curve.
    • Calcolo delle variazioni A (6 cfu)

      • Il metodo diretto nel calcolo delle variazioni. Condizioni necessarie e sufficienti di semicontinuità inferiore per funzionali integrali su spazi di Sobolev di funzioni scalari. Il caso vettoriale. Integrali invarianti. Misure di Young e misure di Young gradienti. Convessità, convessità di rango-uno, quasiconessità, policonvessità. Rilassamento.
    • Algebra superiore A (6 cfu)

      • Algebra commutativa.
    • Sistemi dinamici discreti (6 cfu)

      • Dinamica topologica; insiemi iperbolici; teoria ergodica.
    • Fisica matematica (6 cfu)

      • Richiami di meccanica hamiltoniana, sistemi completamente integrabili e variabili azione angolo. Metodi perturbativi: teorema della media. Soluzioni periodiche del problema degli N-corpi, teorema geometrico di Poincaré-Birkhoff. Orbite periodiche con metodi variazionali.
    • Analisi armonica (6 cfu)

      • Fondamenti dell'Analisi armonica, interpolazione reale e comlessa, spazi di Lorentz, funzioni massimali, teoria di Calderon-Zygmund, spazi BMO, moltiplicatori di Fourier, integrali oscillanti e teoremi di restizione.
    • Teoria delle funzioni (6 cfu)

      • Elementi della teoria delle funzioni analitiche di una variabile complessa: serie di Mittag-Leffler,fattorizzazione di Weierstrass, fattorizzazione delle funzioni intere di ordine finito, sviluppi asintotici, teorema di Picard.
    • Elementi di logica matematica (6 cfu)

      • Calcolo dei predicati. Sistemi formali. Teorema di completezza.
    • Geometria reale computazionale (6 cfu)

      • Campi formalmente reali. Numeri algebrici reali, varietà algebriche reali. Algoritmi e applicazioni.
    • Metodi numerici per l’analisi di Fourier (6 cfu)

      • Serie di Fourier e trasformata di Fourier. Trasformata discreta di Fourier, trasformate trigonometriche. Algoritmi veloci per il calcolo delle trasformate discrete.
    • Ultrafiltri e metodi nonstandard (6 cfu)

      • Ultrafiltri e ultrapotenze. Fondamenti dell'analisi non-standard. Applicazioni alla teoria di Ramsey e alla teoria combinatoria dei numeri.
    • Equazioni alle derivate parziali (6 cfu)

      • Equazioni e sistemi del primo ordine. Rappresentazione esplicita delle soluzioni delle equazioni di Laplace, del calore, e delle onde. Proprietà qualitative delle soluzioni: principio del massimo, unicità, regolarità e dispersione.
    • Geometria reale C (6 cfu)

      • Topologia delle curve e superfici reali.
    • Analisi convessa (6 cfu)

      • Topologie deboli su spazi di Banach, funzioni convesse, calcolo in spazi di Banach, sottodifferenziale, disequazioni variazionali, multifunzioni.
    • Didattica della matematica e nuove tecnologie (6 cfu)

      • Metodologie, modelli e materiali didattici in contesti di aula multimediale; ruolo delle tecnologie nell'insegnamento / apprendimento della matematica: software didattici e lavagne interattive multimediali.
    • Equazioni differenziali ordinarie (6 cfu)

      • Problema di Cauchy. Equazioni di Bernoulli, D'Alembert, Clairaut, Eulero, Riccati. Metodo di Peano. Equazioni lineari. Dipendenza regolare dai dati. Soluzioni massimali.  Equilibri. Problemi di Sturm- Liouville.
    • Curve algebriche (6 cfu)

      • Curve algebriche, divisori. Curve ellittiche, iperellittiche, jacobiane. Applicazioni.
    • Geometria algebrica D (6 cfu)

      • Tori complessi e varietà abeliane.
    • Storia della matematica (6 cfu)

      • Il corso è di tipo istituzionale e intende offrire una panoramica delle grandi linee di sviluppo della matematica occidentale fino alla fine del XIX secolo. A questo aspetto verrà, di anno in anno, accoppiato un approfondimento di uno o più temi particolarmente rilevanti, quali la geometria cartesiana, l'invenzione del calcolo infinitesimale, le origini della teoria di Galois, la "nuova'' analisi di Cauchy.
    • Teoria algebrica dei numeri 2 (6 cfu)

      • Valori assoluti, campi locali, differente, discriminante, ramificazione, gruppi di ramificazione.
    • Metodi di approssimazione (6 cfu)

      • Risoluzione numerica di equazioni matriciali. Algoritmi numerici per matrici con struttura.
    • Forme modulari (6 cfu)

      • L-serie, equazioni funzionali e operatori di Heck
    • Geometria riemanniana (6 cfu)

      • Relazioni fra curvatura e topologia; teoremi di confronto e di pinching.
    • Algebra commutativa e geometria algebrica computazionale (6 cfu)

      • Costruzioni e algoritmi per l'algebra commutativa e la geometria algebrica, applicazioni.
    • Funzioni speciali (6 cfu)

      • Funzione gamma di Eulero: equazioni funzionali, formula di Stirling. Funzioni ellittiche: funzione P di Weierstrass. Elementi della teoria della funzione zeta di Riemann. Soluzioni di equazioni differenziali lineari a coefficienti analitici: funzione ipergeometrica, funzioni di Bessel.
    • Geodesia via satellite (6 cfu)

      • Problema dei minimi quadrati, simmetrie e degenerazioni. Campo gravitazionale di un corpo esteso, problema del satellite. Perturbazioni non-gravitazionali, geodesia e gravimetria spaziale, terrestre e interplanetaria.
    • Dinamica del sistema solare (6 cfu)

      • Equazioni del moto dei pianeti. Teorie perturbative, elementi propri. Risonanze, piccoli divisori, esponenti di Lyapunov.
    • Geometria degli spazi metrici (6 cfu)

      • Nozioni di curvatura. Quasi isometrie. Geometria a larga scala.
    • Elementi di algebra computazionale (6 cfu)

      • Rappresentazione di interi e polinomi. Algoritmi algebrici fondamentati. Sistemi di calcolo algebrico.
    • Meccanica spaziale (6 cfu)

      • Moto di satelliti artificiali e sonde spaziali, missioni spaziali interplanetarie.
    • Geometria reale A (6 cfu)

      • Geometria degli insiemi semialgebrici. Algebra reale. Strutture o-minimali.
    • Determinazione orbitale (6 cfu)

      • Problema dei minimi quadrati, simmetrie e degenerazioni. Problema dell'identificazione. Orbite preliminari. Soluzioni deboli. Incontri ravvicinati e monitoraggio degli impatti.
    • Logica matematica (6 cfu)

      • Calcolo dei predicati. Teoremi di incompletezza di Godel. Decidibilità e indecidibilità.
    • Algebra superiore B (6 cfu)

      • Algebre e loro rappresentazioni
    • Tecnologie per la didattica (6 cfu)

      • Ruolo delle tecnologie nell’apprendimento / insegnamento della matematica; uso e costruzione di strumenti didattici informatici, multimediali e telematici Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della matematica. I processi di insegnamento e apprendimento mediati dall'uso delle tecnologie nell'ambito della matematica. Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della matematica.
    • Geometria differenziale complessa (6 cfu)

      • Varietà complesse; coomologia di Dolbeault; varietà di Stein; metriche e distanze intrinseche.
    • Matematica discreta (6 cfu)

      • Calcolo combinatorio, funzioni generatrici, grafi, teoria di Ramsey.
    • Teoria degli insiemi (6 cfu)

      • Modelli della teoria degli insiemi.
    • Teoria dei nodi (6 cfu)

      • Invarianti di nodi e di link. Trecce.
    • Teoria del controllo ottimo (6 cfu)

      • Problemi di controllo di energia minima e di tempo minimo; esistenza e di sensitività delle soluzioni; principio di massimo di Pontryagin, approccio di programmazione dinamica ed equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman.
    • Geometria di contatto (6 cfu)

      • Varietà di contatto. Esempi standard. Teorema di Darboux. Nodi Legendriani e trasversi. Libri aperti e strutture di contatto.
    • Geometria e topologia differenziale (6 cfu)

      • Geometria differenziale di curve e superfici nello spazio euclideo, introduzione a varietà e mappe differenziabili in dimensione n.
    • Geometria algebrica A (6 cfu)

      • Schemi, fasci, coomologia.
    • Analisi non lineare (6 cfu)

      • Teorie e metodi sul comportamento globale di operatori non lineari, fra spazi di dimensione finita o spazi di funzioni, collegati con classici problemio equazioni non lineari.
    • Matematica e musica (6 cfu)

      • Formalizzazione algebrica delle strutture musicali.
    • Topologia differenziale (6 cfu)

      • Funzioni di Morse e decomposizioni in manici. Teorema dell'h-cobordismo.
    • Algebra computazionale A (6 cfu)

      • Aritmetica, fattorizzazione, integrazione.
    • Gruppi e rappresentazioni (6 cfu)

      • Rappresentazioni di gruppi finiti. Esempi di classi di gruppi.
    • Sistemi dinamici (6 cfu)

      • Sistemi dinamici lineari (con richiami di algebra lineare), stabilità e teoria qualitativa per sistemi dinamici non lineari, formalismo hamiltoniano e lagrangiano ad un grado di libertà, sistemi dinamici discreti, un esempio elementare di caos.
    • Laboratorio di fisica per l'insegnamento (6 cfu)

      • Sviluppare competenze nella gestione di esperienze di laboratorio, fornire basi teoriche di un approccio alla misura. Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della fisica. La progettazione e lo sviluppo delle attività di insegnamento relative alla fisica. Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della fisica
    • Analisi matematica 3 (6 cfu)

      • Spazi di Hilbert. Spazi di Lebesgue L^p. Convoluzione di funzioni. Serie di Fourier. Trasformata di Fourier. Formula dell'area e integrazione su superfici. Funzioni armoniche.
    • Dinamica del sistema Terra-Luna (6 cfu)

      • Il sistema Terra-Luna-Sole e le caratteristiche principali dell'orbita della Luna. Il tracking laser della Luna nell'era spaziale (LLR-Lunar Laser Ranging). LLR e la verifica della Relatività Generale.
    • Teoria analitica dei numeri A (6 cfu)

      • Problemi legati alla distribuzione dei primi; la Zeta di Riemann e le funzioni L di Dirichlet.
    • Introduzione alla teoria geometrica della misura (6 cfu)

      • Misure e dimensione di Hausdorff. Insiemi rettificabli. Formula dell'area e della coarea
    • Elementi di analisi complessa (6 cfu)

      • Teorema di uniformizzazione di Riemann; proprietà geometriche del gruppo delle omografie; principio di simmetria e sue applicazioni; un modello di piano iperbolico; cenni sulle funzioni di più variabili complesse.
    • Calcolo delle variazioni B (6 cfu)

      • Teoria della regolarità per minimi di funzionali integrali.
    • Algebre e gruppi di Lie (6 cfu)

      • Teoremi di struttura per le algebre di Lie di dimensione finita (incluso il caso delle algebre semisemplici complesse). Gruppi di Lie e relazione con le algebre di Lie. Introduzione alla teoria delle rappresentazioni delle algebre e gruppi di Lie.
    • Origini e sviluppo delle matematiche moderne (6 cfu)

      • Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica moderna: inquadramento generale, lettura diretta di testi, discussione della letteratura in materia.
    • Fisica II (9 cfu)

      • Elettrostatica e magnetostatica nel vuoto, correnti stazionarie, induzione, circuiti passivi lineari RLC, equazioni di Maxwell, onde elettromagnetiche, polarizzazione, irraggiamento, riflessione e rifrazione.
    • Geometria algebrica C (6 cfu)

      • Curve e superfici di Riemann.
    • Teoria e metodi dell'ottimizzazione (6 cfu)

      • Ottimizzazione non lineare: condizioni di ottimalità per problemi vincolati e non vincolati, teoria della dualità, metodi risolutivi per problemi vincolati e non vincolati, applicazioni.
    • Analisi superiore (6 cfu)

      • Spazi vettoriali topologici. misure e distribuzioni. Operatori illimitatii, aggiunto ad un operatore non limiato, teoria spettrale per operatori non limitati. Calcolo funzionale Forme quadratiche, soluzioni deboli e soluzioni forti.
    • Topologia algebrica (6 cfu)

      • Omotopia e teorie coomologiche.
    • Geometria algebrica E (6 cfu)

      • Superfici algebriche.
    • Algebra computazionale B (6 cfu)

      • Metodi effettivi per la risoluzione di sistemi di equazioni polimonmiali.
    • Algebra lineare e multilineare (6 cfu)

      • Strutture algebriche lineari.
    • Complementi di analisi funzionale (6 cfu)

      • Spazi vettoriali topologici, misure e distribuzioni. Convoluzione, trasformata di Fourier, teorema di Paley-Wiener ed applicazioni alle EDP. Teoria spettrale per operatori non limitati. Calcolo operazionale, semigruppi di operatori. Teorema di Malgrange-Ehrenpreis. Teoremi di punto fisso in dimensione infinita ed applicazioni alle EDP.
    • Topologia generale (6 cfu)

      • Spazi normali, teorema di Urysohn, compattificazioni, teorema di Baire, paracompattezza, partizioni dell’unità.
    • Analisi non standard (6 cfu)

      • Fondamenti dell'analisi non standard, scelta di applicazioni ad altre aree della matematica.
    • Elementi di topologia algebrica (6 cfu)

      • Omologia simpliciale e singolare, CW complessi, coomologia, prodotto cup, dualità di Poincaré.
    • Equazioni della fluidodinamica (6 cfu)

      • Introduzione alla teoria matematica delle equazioni alle derivate parziali della meccanica dei continui e in particolare a quelle di Eulero e Navier-Stokes per fluidi incomprimibili.
    • Topologia e geometria in bassa dimensione (6 cfu)

      • Varietà topologiche, lineari a pezzi e differenziabili di dimensione minore di 5.
    • Spazi di funzioni (6 cfu)

      • Proprietà fini delle funzioni derivabili in senso debole: funzioni di Sobolev e BV, insiemi di perimetro finito. Altri spazi di funzioni. Riarrangiamento e disuguaglianze funzionali.
    • Elementi di geometria algebrica (6 cfu)

      • Varietà affini, proiettive e quasi-proiettive. Morfismi. Applicazioni razionali. Punti lisci e dimensione.
    • Algebra 2 (6 cfu)

      • Gruppi: azioni di gruppi, costruzioni e presentazioni di gruppi. Moduli e caratterizzazione dei moduli su un PID. Anelli noetheriani. Teorema della base di Hilbert. Basi di Groebner e applicazioni.
    • Problemi e metodi della ricerca in didattica della matematica (6 cfu)

      • Il corso, rivolto agli studenti interessati alla ricerca in didattica della matematica, intende dare l’opportunità di conoscere e confrontarsi con le problematiche tipiche di tale campo di ricerca (sia quelle classiche che quelle più recenti) e con i metodi di ricerca utilizzati.
    • Teoria dei gruppi (6 cfu)

      • Serie di composizione, gruppi di permutazioni, gruppi nilpotenti, gruppi risolubili.
    • 3-varietà (6 cfu)

      • Risultati classici sulla topologia delle 3-varietà. Esempi e costruzioni di 3-varietà.
    • Fisica III (6 cfu)

      • Sistemi e trasformazioni termodinamiche, gas perfetto, prima e seconda legge, temperatura ed entropia; potenziali ritardati, relatività speciale e legami con l'elettromagnetismo, cenni su argomenti di fisica moderna (meccanica quantistica e altro).
    • Elementi di meccanica celeste (6 cfu)

      • Problema dei 2 corpi ed equazione di Keplero. Problema dei 3 corpi ristretto circolare, integrale di Jacobi, criterio di stabilità di Hill, cenni su orbite confinate ma caotiche. Maree ed evoluzione mareale nel sistema solare; la Terra come corpo esteso.
    • Equazioni ellittiche (6 cfu)

      • Teoria della regolarità. Equazioni in forma di divergenza. Equazioni non variazionali. Equazioni non lineari. Problemi al contorno. Frontiera libera. Problemi con ostacolo. Equazioni degeneri. Teoria del potenziale. Funzioni armoniche. Interpolazione. Autovalori.
    • Meccanica celeste (6 cfu)

      • Singolarità e orbite periodiche nel problema degli N corpi
    • Teoria analitica dei numeri B (6 cfu)

      • Problemi analitici di natura additiva con particolare riferimento al metodo di Hardy e Littlewood
    • Elementi di probabilità e statistica (6 cfu)

      • Probabilità su spazi numerabili: condizionamento, indipendenza, variabili aleatorie. Variabili aleatorie con densità: variabili gaussiane. Inferenza statistica: stima, test, intervalli di fiducia. Principali test statistici su modelli gaussiani.
    • Algebra omologica (6 cfu)

      • Moduli proiettivi e iniettivi. Categorie e funtori. Funtori aggiunti. Categorie di moduli. Successioni esatte, risoluzioni, funtori derivati. (Co)omologia di gruppi e algebre.
    • Algebra 1 (6 cfu)

      • Gruppi: teoremi di omomorfismo, permutazioni, gruppi abeliani finiti. Anelli e ideali, anelli speciali, anelli di polinomi. Elementi di teoria di Galois.
    • Introduzione all'analisi p-adica (6 cfu)

      • Struttura dei numeri p-adici; continuità, differenziabilità e analiticità in campo p-adico.
    • Elementi avanzati di algebra lineare numerica (6 cfu)

      • Metodi di Krylov, GMRES, BiCG, polinomi di matrici, problemi polinomiali agli autovalori, funzioni di matrici.
    • Metodi numerici per equazioni differenziali ordinarie (6 cfu)

      • Problemi ai valori iniziali e ai valori limite, metodi a un passo, metodi a più passi, metodi di shooting.
    • 2-varietà (6 cfu)

      • Varietà di dimensione due e loro automorfismi.
    • Algoritmi e strutture dei dati (6 cfu)

      • Strutture dei dati, analisi di algoritmi e complessità, progetto di algoritmi.
    • Teoria ergodica (6 cfu)

      • Teoremi di Krein-Milman e di Choquet, teoria spettrale. Esempi di base. Teoremi di Poincaré, Birkhoff, von Neumann. Decomposizione ergodica. "Mixing" e "weak mixing". Operatore di Perron- Frobenius. Decadimento delle correlazioni. Entropia. Dinamica simbolica. Catene di Markov e misura di Parry.
    • Teoria dei codici (6 cfu)

      • Trasmissione con errore, correzione d'errore. Famiglie di codici correttori. Metodi di geometria algebrica e algebra computazionale per la costruzione di codici e la decodifica.
    • Teoria dei controlli (6 cfu)

      • Teoria di controllabilità, osservabilità e stabilizzazione via feedback; modelli di controllo lineari; teoria geometrica di controllabilità per sistemi regolari; sistemi switching e sistemi ibridi.
    • Dinamica iperbolica (6 cfu)

      • Sistemi dinamici iperbolici; dinamica in dimensione bassa.
    • Analisi complessa A (6 cfu)

      • Il fascio dei germi delle funzioni analitiche; Nullstellensatz; spazi analitici; Teoremi A e B di Cartan.
    • Probabilità superiore (6 cfu)

      • Presentazione di una selezione di argomenti avanzati di probabilità quali Spazi Gaussiani, Calcolo di Malliavin, processi di Levy e Levy-stabili.
    • Equazioni alle derivate parziali 2 (6 cfu)

      • Selezione di argomenti avanzati della teoria delle equazioni alle derivate parziali.
    • Equazioni iperboliche (6 cfu)

      • Equazioni differenziali di tipo iperbolico, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
    • Modelli matematici in biomedicina e fisica matematica (6 cfu)

      • Obiettivi formativi: Equazioni differenziali ordinarie con effetti dissipativi (ritardo, memoria, etc) e stabilità, e loro applicazioni in biomedicina. Equazioni alle derivate parziali e loro applicazioni in fisica matematica.
    • Analisi geometrica (6 cfu)

      • Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi geometrica.
    • Geometria algebrica F (6 cfu)

      • Varietà toriche.
    • Teoria descrittiva della complessità (6 cfu)

      • Modelli finiti e complessità computazionale
    • Teoria dei modelli (6 cfu)

      • Modelli di teorie del primo ordine. Compattezza. Equivalenza elementare. Applicazioni all'aritmetica, ai campi, e ad altre strutture algebrico-relazionali.
    • Elementi di teoria degli insiemi (6 cfu)

      • Nozioni di logica. Teoria assiomatica degli insiemi. Cardinali. Ordinali.
    • Teoria geometrica della misura (6 cfu)

      • Nozioni di base di teoria geometrica della misura. Correnti normali ed intere. Esistenza delle soluzioni per il problema di Plateau omologico. Varifold.
    • Problem solving (6 cfu)

      • Ruolo dei problemi nell’insegnamento della matematica; euristiche; problem solving e problem posing.
    • Teoria dei giochi (6 cfu)

      • Equilibri nei modelli di giochi noncooperativi, teoria dei giochi cooperativi, giochi posizionali e giochi differenziali
    • Analisi in spazi metrici (6 cfu)

      • Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi su spazi metrici.
    • Equazioni differenziali stocastiche e applicazioni (6 cfu)

      • Introduzione ai teoremi di esistenza ed unicità (debole o forte) per equazioni differenziali stocastiche ordinarie, legami con le equazioni alle derivate parziali, applicazioni in ambito fisico o biologico.
    • Matematica e società (6 cfu)

      • Matematica, società e curricula; il contesto culturale nell'insegnamento ed apprendimento della matematica; il ruolo delle conoscenze matematiche non-scolastiche.
    • Matematiche elementari da un punto di vista superiore: aritmetica (6 cfu)

      • Gli insiemi numerici: possibili introduzioni, proprietà
    • Fondamenti della matematica (6 cfu)

      • Sistemi formali e teorie fondazionali.
    • Geometria algebrica B (6 cfu)

      • Varietà complesse, metodi trascendenti
    • Equazioni paraboliche (6 cfu)

      • Equazioni differenziali di tipo parabolico, lineari e non lineari, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
    • Meccanica superiore (6 cfu)

      • Obiettivi formativi: Indicatori di comportamento caotico e metodi ergodici per sistemi meccanici
    • Teoria della misura (6 cfu)

      • Misure astratte, misure su uno spazio topologico, integrale di Daniell, convergenze di misure.
    • 4-varietà (6 cfu)

      • Risultati classici sulla topologia delle 4-varietà. Esempi e costruzioni di 4-varietà.
    • Complementi di fisica (6 cfu)

      • Onde. Elementi di relatività ristretta. Equazioni d'onda relativistiche. Complementi di termodinamica e statistica.
    • Statistica matematica (6 cfu)

      • Modelli statistici: modelli dominati. Stime: stime consistenti e di Massima verosimiglianza. Intervalli di fiducia e test. I principali test sui modelli gaussiani (di Student, di Fisher Snedecor). Modelli statistici non parametrici: teorema di Glivenko-Cantelli e e test del chi-quadro.
    • Analisi reale (6 cfu)

      • Fondamenti dell'analisi reale (teoria della misura, spazi di funzioni).
    • Capacità non lineare, disequazioni variazionali e applicazioni (6 cfu)

      • Il percorso scelto ci permetterà di illustrare alcune tecniche e argomenti classici per trovare condizioni necessarie e sufficienti affinché un punto di frontiera sia regolare relativamente al problema di Dirichlet non omogeneo per l'operatore di Laplace non-lineare (il cosiddetto p-laplaciano).
    • Complementi di didattica della matematica (6 cfu)

      • Processi di apprendimento della matematica; contesti e tipi di razionalità; ostacoli epistemologici e didattici nell’insegnamento della matematica
    • Teoria della dimostrazione (6 cfu)

      • Il concetto formale di dimostrazione. Sistemi dimostrativi. Logiche non classiche. Analisi ordinale
    • Geometria iperbolica (6 cfu)

      • Lo spazio iperbolico. Esempi e costruzioni di varietà iperboliche. Proprietà topologiche e geometriche di varietà iperboliche.
  • 6 cfu a scelta nel gruppo ModAffInt

    • Moduli affini e integrativi
    • Meccanica dei continui (6 cfu)

      • Richiami di calcolo tensoriale, meccanica dei continui tridimensionali e dei continui unidimensionali (anche con struttura).
    • Storia della matematica antica e della sua tradizione (6 cfu)

      • Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica antica: inquadramento generale (caratteristiche della matematica greca, concetto di tradizione testuale, edizioni di riferimento), lettura diretta di testi legati a un autore classico o a una problematica, e studio della tradizione rinascimentale e dell'impatto sulla nascita della matematica moderna.
    • Meccanica relativistica (6 cfu)

      • Relatività speciale e principio di equivalenza di Einstein. Spazio-tempo come varietà. Moto lungo una geodetica. Equazioni di Einstein per la curvatura dello spazio-tempo. Metrica di Schwarzschild e di Kerr. Esempi di osservabili relativistiche
    • Dinamica olomorfa (6 cfu)

      • Insiemi di Julia e di Fatou; dinamica di funzioni olomorfe di una variabile.
    • Spazi simmetrici (6 cfu)

      • Gruppi di Lie. Algebre di Lie. Spazi localmente simmetrici e spazi simmetrici.
    • Analisi microlocale (6 cfu)

      • Operatori pseudodifferenziali. Integrali oscillanti. Fronte d'onda e propagazione delle singolarità. Teorema di Hörmander. Ottica geometrica e operatori integrali di Fourier. Disuguaglianza di Fefferman- Phong. Calcolo paradifferenziale. Teoria di Littlewood- Paley. Localizzazione in spazi di frequenza. Spazi di Besov.
    • Teoria dei semigruppi (6 cfu)

      • Semigruppi di operatori, applicazioni alle equazioni di evoluzione
    • Ricerca operativa (6 cfu)

      • Grafi, programmazione lineare, programmazione intera, elementi di teoria dell'ottimizzazione.
    • Teoria dei numeri elementare (6 cfu)

      • Congruenze di grado superiore al primo e struttura moltiplicativa delle classi di resto. Proprietà algebriche e asintotiche delle funzioni aritmetiche. Problemi additivi e moltiplicativi legati alla distribuzione dei numeri primi. Approssimazioni razionali di numeri algebrici e trascendenti
    • Problemi di evoluzione (6 cfu)

      • Equazioni astratte, scale di Banach. Teorema di Cauchy-Kovalewski. Caratteristiche. Equazione delle onde. Sistemi iperbolici a coefficienti costanti. Condizioni  di Hadamard-Garding. Sistemi simmetrici, metodo dell'energia. Sistemi strettamente iperbolici. Simmetrizzatore micro-locale.
    • Calcolo scientifico (6 cfu)

      • Problemi di minimi quadrati, metodi del gradiente, decomposizione a valori singolari, calcolo di autovalori.
    • Elementi di calcolo in gruppi omogenei (6 cfu)

      • Gruppi di Lie nilpotenti semplicemente connessi: dilatazioni intrinseche, distanze invarianti, misura di Haar. Differenziabilità rispetto l'operazione di gruppo e le dilatazioni.
    • Campi ciclotomici (6 cfu)

      • Caratteri di Dirichlet, serie L di Dirichlet, numeri di Bernoulli, fomrula del numero di classi, teorema di Stickelberger.
    • Matematiche elementari da un punto di vista superiore: geometria (6 cfu)

      • Assiomatiche per la geometria euclidea; geometrie non euclidee; trasformazioni geometriche
    • Metodi matematici della crittografia (6 cfu)

      • Metodi ed algoritmi matematici applicati alla crittografia ed alla crittanalisi: fattorizzazione, logaritmo discreto. Curve ellittiche, fattorizzazione e crittografia ellittica ed iperellittica. Reticoli.
    • Metodi numerici per catene di Markov (6 cfu)

      • Matrici nonnegative e teorema di Perron-Frobenius. Metodi per catene di Markov finite e infinite. Modelli di code e loro matrici di transizione.
    • Metodi di ottimizzazione delle reti (6 cfu)

      • Algoritmi ad hoc per problemi di flusso su rete, routing in reti di comunicazione, progetto di reti di comunicazione, reti di trasporto.
    • Elementi di calcolo delle variazioni (6 cfu)

      • Principi variazionali in una e più variabili. Equazione di Eulero-Lagrange. Condizioni sufficienti di minimalità. Esempi classici di problemi variazionali. Funzioni assolutamente continue e metodo diretto. Geodetiche. Teorema del passo montano e principi di minimax.
    • Teoria algebrica dei numeri 1 (6 cfu)

      • Campi di numeri, interi dei campi di numeri; fattorizzazione unica degli ideali, ramificazione, gruppo delle classi di ideali, teorema delle unità di Dirichlet.
    • Probabilità (6 cfu)

      • Complementi di misura e integrazione: integrazione delle variabili aleatorie. Indipendenza di variabili aleatorie: leggi 0-1. Le funzioni caratteristiche. Convergenza di variabili aleatorie. Teoremi limite (leggi dei Grandi Numeri e teorema del Limite Centrale). Due esempi di processi stocastici: il processo di Wiener e il processo di Poisson.
    • Introduzione alla meccanica quantistica (6 cfu)

      • Meccanica quantistica delle particelle: dualità onda/particella, principio di sovrapposizione, principio di indeterminazione, equazione di Schroedinger.
    • Teoria dei codici e crittografia (6 cfu)

      • Trasmissione dei dati, stutture matematiche per la correzione efficiente degli errori di trasmissione. Principali codici correttori, loro proprietà e decodifica. Principali problemi crittografici: cifratura, firma, identificazione, integrità dei dati. Principali protocolli crittografici e problemi matematici soggiacenti.
    • Teoria delle categorie (6 cfu)

      • Categorie, funtori; aggiunti; limiti, colimiti; fasci, topoi.
    • Teoria dei campi e teoria di Galois (6 cfu)

      • Estensioni algebriche ed estensioni trascendenti, chiusura algebrica, separabilità, teoria di Galois, risolubilità, estensioni abeliane, teoria di Kummer.
    • Processi stocastici (6 cfu)

      • Processi di Markov, forme di Dirichlet, processi gaussiani.
    • Metodi topologici per le equazioni differenziali (6 cfu)

      • Teorie topologiche variazionali o non variazionali per alcune classi di equazioni non lineari di tipo differenziale o integrale.
    • Geometria simplettica (6 cfu)

      • Varietà simplettiche. Esempi standard. Teorema di Darboux. Strutture quasi-complesse compatibili.
    • Onde lineari e non lineari (6 cfu)

      • Principali proprietà delle soluzioni delle equazioni delle onde lineari e non lineari; proprietà dispersive delle soluzioni e decadimento dell'energia locale.
    • Superfici minime (6 cfu)

      • Risultati di esistenza per superfici minime: approccio classico, insiemi di perimetro finito, correnti. Alcuni risultati di regolarità per le ipersuperfici minime.
    • Analisi complessa B (6 cfu)

      • Funzioni plurisubarmoniche; domini pseudoconvessi; equazione del de-bar.
    • Metodi topologici in analisi globale (6 cfu)

      • Elementi di analisi non lineare per alcuni problemi di tipo “globale”, quali: il problema della sella, il punto fisso di Brouwer, le dimensioni e l’invarianza del dominio, la pettinabilità della sfera, il problema di Jordan. Applicazioni alle equazioni differenziali.
    • Finanza matematica (6 cfu)

      • Orbite periodiche e teorema di Poincaré-Birkhoff, teoria delle perturbazioni.
    • Gruppi di Coxeter (6 cfu)

      • Sistemi di radici e gruppi generati da riflessioni.
    • Geometria reale B (6 cfu)

      • Geometria degli insiemi semianalitici e subanalitici.
    • Metodi numerici per la grafica (6 cfu)

      • Parametrizzazione interpolazione e approssimazione di curve e superfici. Curve e superfici di Bezier, B-spline.
    • Teoria della calcolabilità (6 cfu)

      • Modelli di calcolo e funzioni calcolabili.
    • Operatori differenziali e teoremi dell’indice (6 cfu)

      • Algebre di Clifford. Operatori di Dirac. Teoremi dell'indice.
    • Metodi decisionali guidati dai modelli (6 cfu)

      • Ottimalità e algoritmi, algoritmi euristici, tecniche di rilassamento, algoritmi enumerativi. Software di ottimizzazione.
    • Geometria e topologia delle superfici (6 cfu)

      • Spazio di Teichmüller; laminazioni geodetiche; complessi di curve.
    • Calcolo delle variazioni A (6 cfu)

      • Il metodo diretto nel calcolo delle variazioni. Condizioni necessarie e sufficienti di semicontinuità inferiore per funzionali integrali su spazi di Sobolev di funzioni scalari. Il caso vettoriale. Integrali invarianti. Misure di Young e misure di Young gradienti. Convessità, convessità di rango-uno, quasiconessità, policonvessità. Rilassamento.
    • Algebra superiore A (6 cfu)

      • Algebra commutativa.
    • Sistemi dinamici discreti (6 cfu)

      • Dinamica topologica; insiemi iperbolici; teoria ergodica.
    • Fisica matematica (6 cfu)

      • Richiami di meccanica hamiltoniana, sistemi completamente integrabili e variabili azione angolo. Metodi perturbativi: teorema della media. Soluzioni periodiche del problema degli N-corpi, teorema geometrico di Poincaré-Birkhoff. Orbite periodiche con metodi variazionali.
    • Analisi armonica (6 cfu)

      • Fondamenti dell'Analisi armonica, interpolazione reale e comlessa, spazi di Lorentz, funzioni massimali, teoria di Calderon-Zygmund, spazi BMO, moltiplicatori di Fourier, integrali oscillanti e teoremi di restizione.
    • Teoria delle funzioni (6 cfu)

      • Elementi della teoria delle funzioni analitiche di una variabile complessa: serie di Mittag-Leffler,fattorizzazione di Weierstrass, fattorizzazione delle funzioni intere di ordine finito, sviluppi asintotici, teorema di Picard.
    • Elementi di logica matematica (6 cfu)

      • Calcolo dei predicati. Sistemi formali. Teorema di completezza.
    • Geometria reale computazionale (6 cfu)

      • Campi formalmente reali. Numeri algebrici reali, varietà algebriche reali. Algoritmi e applicazioni.
    • Metodi numerici per l’analisi di Fourier (6 cfu)

      • Serie di Fourier e trasformata di Fourier. Trasformata discreta di Fourier, trasformate trigonometriche. Algoritmi veloci per il calcolo delle trasformate discrete.
    • Ultrafiltri e metodi nonstandard (6 cfu)

      • Ultrafiltri e ultrapotenze. Fondamenti dell'analisi non-standard. Applicazioni alla teoria di Ramsey e alla teoria combinatoria dei numeri.
    • Equazioni alle derivate parziali (6 cfu)

      • Equazioni e sistemi del primo ordine. Rappresentazione esplicita delle soluzioni delle equazioni di Laplace, del calore, e delle onde. Proprietà qualitative delle soluzioni: principio del massimo, unicità, regolarità e dispersione.
    • Geometria reale C (6 cfu)

      • Topologia delle curve e superfici reali.
    • Analisi convessa (6 cfu)

      • Topologie deboli su spazi di Banach, funzioni convesse, calcolo in spazi di Banach, sottodifferenziale, disequazioni variazionali, multifunzioni.
    • Didattica della matematica e nuove tecnologie (6 cfu)

      • Metodologie, modelli e materiali didattici in contesti di aula multimediale; ruolo delle tecnologie nell'insegnamento / apprendimento della matematica: software didattici e lavagne interattive multimediali.
    • Equazioni differenziali ordinarie (6 cfu)

      • Problema di Cauchy. Equazioni di Bernoulli, D'Alembert, Clairaut, Eulero, Riccati. Metodo di Peano. Equazioni lineari. Dipendenza regolare dai dati. Soluzioni massimali.  Equilibri. Problemi di Sturm- Liouville.
    • Curve algebriche (6 cfu)

      • Curve algebriche, divisori. Curve ellittiche, iperellittiche, jacobiane. Applicazioni.
    • Geometria algebrica D (6 cfu)

      • Tori complessi e varietà abeliane.
    • Storia della matematica (6 cfu)

      • Il corso è di tipo istituzionale e intende offrire una panoramica delle grandi linee di sviluppo della matematica occidentale fino alla fine del XIX secolo. A questo aspetto verrà, di anno in anno, accoppiato un approfondimento di uno o più temi particolarmente rilevanti, quali la geometria cartesiana, l'invenzione del calcolo infinitesimale, le origini della teoria di Galois, la "nuova'' analisi di Cauchy.
    • Teoria algebrica dei numeri 2 (6 cfu)

      • Valori assoluti, campi locali, differente, discriminante, ramificazione, gruppi di ramificazione.
    • Metodi di approssimazione (6 cfu)

      • Risoluzione numerica di equazioni matriciali. Algoritmi numerici per matrici con struttura.
    • Forme modulari (6 cfu)

      • L-serie, equazioni funzionali e operatori di Heck
    • Geometria riemanniana (6 cfu)

      • Relazioni fra curvatura e topologia; teoremi di confronto e di pinching.
    • Algebra commutativa e geometria algebrica computazionale (6 cfu)

      • Costruzioni e algoritmi per l'algebra commutativa e la geometria algebrica, applicazioni.
    • Funzioni speciali (6 cfu)

      • Funzione gamma di Eulero: equazioni funzionali, formula di Stirling. Funzioni ellittiche: funzione P di Weierstrass. Elementi della teoria della funzione zeta di Riemann. Soluzioni di equazioni differenziali lineari a coefficienti analitici: funzione ipergeometrica, funzioni di Bessel.
    • Geodesia via satellite (6 cfu)

      • Problema dei minimi quadrati, simmetrie e degenerazioni. Campo gravitazionale di un corpo esteso, problema del satellite. Perturbazioni non-gravitazionali, geodesia e gravimetria spaziale, terrestre e interplanetaria.
    • Dinamica del sistema solare (6 cfu)

      • Equazioni del moto dei pianeti. Teorie perturbative, elementi propri. Risonanze, piccoli divisori, esponenti di Lyapunov.
    • Geometria degli spazi metrici (6 cfu)

      • Nozioni di curvatura. Quasi isometrie. Geometria a larga scala.
    • Elementi di algebra computazionale (6 cfu)

      • Rappresentazione di interi e polinomi. Algoritmi algebrici fondamentati. Sistemi di calcolo algebrico.
    • Meccanica spaziale (6 cfu)

      • Moto di satelliti artificiali e sonde spaziali, missioni spaziali interplanetarie.
    • Geometria reale A (6 cfu)

      • Geometria degli insiemi semialgebrici. Algebra reale. Strutture o-minimali.
    • Determinazione orbitale (6 cfu)

      • Problema dei minimi quadrati, simmetrie e degenerazioni. Problema dell'identificazione. Orbite preliminari. Soluzioni deboli. Incontri ravvicinati e monitoraggio degli impatti.
    • Logica matematica (6 cfu)

      • Calcolo dei predicati. Teoremi di incompletezza di Godel. Decidibilità e indecidibilità.
    • Algebra superiore B (6 cfu)

      • Algebre e loro rappresentazioni
    • Tecnologie per la didattica (6 cfu)

      • Ruolo delle tecnologie nell’apprendimento / insegnamento della matematica; uso e costruzione di strumenti didattici informatici, multimediali e telematici Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della matematica. I processi di insegnamento e apprendimento mediati dall'uso delle tecnologie nell'ambito della matematica. Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della matematica.
    • Geometria differenziale complessa (6 cfu)

      • Varietà complesse; coomologia di Dolbeault; varietà di Stein; metriche e distanze intrinseche.
    • Matematica discreta (6 cfu)

      • Calcolo combinatorio, funzioni generatrici, grafi, teoria di Ramsey.
    • Teoria degli insiemi (6 cfu)

      • Modelli della teoria degli insiemi.
    • Teoria dei nodi (6 cfu)

      • Invarianti di nodi e di link. Trecce.
    • Teoria del controllo ottimo (6 cfu)

      • Problemi di controllo di energia minima e di tempo minimo; esistenza e di sensitività delle soluzioni; principio di massimo di Pontryagin, approccio di programmazione dinamica ed equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman.
    • Geometria di contatto (6 cfu)

      • Varietà di contatto. Esempi standard. Teorema di Darboux. Nodi Legendriani e trasversi. Libri aperti e strutture di contatto.
    • Geometria e topologia differenziale (6 cfu)

      • Geometria differenziale di curve e superfici nello spazio euclideo, introduzione a varietà e mappe differenziabili in dimensione n.
    • Geometria algebrica A (6 cfu)

      • Schemi, fasci, coomologia.
    • Analisi non lineare (6 cfu)

      • Teorie e metodi sul comportamento globale di operatori non lineari, fra spazi di dimensione finita o spazi di funzioni, collegati con classici problemio equazioni non lineari.
    • Matematica e musica (6 cfu)

      • Formalizzazione algebrica delle strutture musicali.
    • Topologia differenziale (6 cfu)

      • Funzioni di Morse e decomposizioni in manici. Teorema dell'h-cobordismo.
    • Algebra computazionale A (6 cfu)

      • Aritmetica, fattorizzazione, integrazione.
    • Gruppi e rappresentazioni (6 cfu)

      • Rappresentazioni di gruppi finiti. Esempi di classi di gruppi.
    • Sistemi dinamici (6 cfu)

      • Sistemi dinamici lineari (con richiami di algebra lineare), stabilità e teoria qualitativa per sistemi dinamici non lineari, formalismo hamiltoniano e lagrangiano ad un grado di libertà, sistemi dinamici discreti, un esempio elementare di caos.
    • Laboratorio di fisica per l'insegnamento (6 cfu)

      • Sviluppare competenze nella gestione di esperienze di laboratorio, fornire basi teoriche di un approccio alla misura. Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della fisica. La progettazione e lo sviluppo delle attività di insegnamento relative alla fisica. Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della fisica
    • Analisi matematica 3 (6 cfu)

      • Spazi di Hilbert. Spazi di Lebesgue L^p. Convoluzione di funzioni. Serie di Fourier. Trasformata di Fourier. Formula dell'area e integrazione su superfici. Funzioni armoniche.
    • Dinamica del sistema Terra-Luna (6 cfu)

      • Il sistema Terra-Luna-Sole e le caratteristiche principali dell'orbita della Luna. Il tracking laser della Luna nell'era spaziale (LLR-Lunar Laser Ranging). LLR e la verifica della Relatività Generale.
    • Teoria analitica dei numeri A (6 cfu)

      • Problemi legati alla distribuzione dei primi; la Zeta di Riemann e le funzioni L di Dirichlet.
    • Introduzione alla teoria geometrica della misura (6 cfu)

      • Misure e dimensione di Hausdorff. Insiemi rettificabli. Formula dell'area e della coarea
    • Elementi di analisi complessa (6 cfu)

      • Teorema di uniformizzazione di Riemann; proprietà geometriche del gruppo delle omografie; principio di simmetria e sue applicazioni; un modello di piano iperbolico; cenni sulle funzioni di più variabili complesse.
    • Calcolo delle variazioni B (6 cfu)

      • Teoria della regolarità per minimi di funzionali integrali.
    • Algebre e gruppi di Lie (6 cfu)

      • Teoremi di struttura per le algebre di Lie di dimensione finita (incluso il caso delle algebre semisemplici complesse). Gruppi di Lie e relazione con le algebre di Lie. Introduzione alla teoria delle rappresentazioni delle algebre e gruppi di Lie.
    • Origini e sviluppo delle matematiche moderne (6 cfu)

      • Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica moderna: inquadramento generale, lettura diretta di testi, discussione della letteratura in materia.
    • Fisica II (9 cfu)

      • Elettrostatica e magnetostatica nel vuoto, correnti stazionarie, induzione, circuiti passivi lineari RLC, equazioni di Maxwell, onde elettromagnetiche, polarizzazione, irraggiamento, riflessione e rifrazione.
    • Geometria algebrica C (6 cfu)

      • Curve e superfici di Riemann.
    • Teoria e metodi dell'ottimizzazione (6 cfu)

      • Ottimizzazione non lineare: condizioni di ottimalità per problemi vincolati e non vincolati, teoria della dualità, metodi risolutivi per problemi vincolati e non vincolati, applicazioni.
    • Analisi superiore (6 cfu)

      • Spazi vettoriali topologici. misure e distribuzioni. Operatori illimitatii, aggiunto ad un operatore non limiato, teoria spettrale per operatori non limitati. Calcolo funzionale Forme quadratiche, soluzioni deboli e soluzioni forti.
    • Topologia algebrica (6 cfu)

      • Omotopia e teorie coomologiche.
    • Geometria algebrica E (6 cfu)

      • Superfici algebriche.
    • Algebra computazionale B (6 cfu)

      • Metodi effettivi per la risoluzione di sistemi di equazioni polimonmiali.
    • Algebra lineare e multilineare (6 cfu)

      • Strutture algebriche lineari.
    • Complementi di analisi funzionale (6 cfu)

      • Spazi vettoriali topologici, misure e distribuzioni. Convoluzione, trasformata di Fourier, teorema di Paley-Wiener ed applicazioni alle EDP. Teoria spettrale per operatori non limitati. Calcolo operazionale, semigruppi di operatori. Teorema di Malgrange-Ehrenpreis. Teoremi di punto fisso in dimensione infinita ed applicazioni alle EDP.
    • Topologia generale (6 cfu)

      • Spazi normali, teorema di Urysohn, compattificazioni, teorema di Baire, paracompattezza, partizioni dell’unità.
    • Analisi non standard (6 cfu)

      • Fondamenti dell'analisi non standard, scelta di applicazioni ad altre aree della matematica.
    • Elementi di topologia algebrica (6 cfu)

      • Omologia simpliciale e singolare, CW complessi, coomologia, prodotto cup, dualità di Poincaré.
    • Equazioni della fluidodinamica (6 cfu)

      • Introduzione alla teoria matematica delle equazioni alle derivate parziali della meccanica dei continui e in particolare a quelle di Eulero e Navier-Stokes per fluidi incomprimibili.
    • Topologia e geometria in bassa dimensione (6 cfu)

      • Varietà topologiche, lineari a pezzi e differenziabili di dimensione minore di 5.
    • Spazi di funzioni (6 cfu)

      • Proprietà fini delle funzioni derivabili in senso debole: funzioni di Sobolev e BV, insiemi di perimetro finito. Altri spazi di funzioni. Riarrangiamento e disuguaglianze funzionali.
    • Elementi di geometria algebrica (6 cfu)

      • Varietà affini, proiettive e quasi-proiettive. Morfismi. Applicazioni razionali. Punti lisci e dimensione.
    • Algebra 2 (6 cfu)

      • Gruppi: azioni di gruppi, costruzioni e presentazioni di gruppi. Moduli e caratterizzazione dei moduli su un PID. Anelli noetheriani. Teorema della base di Hilbert. Basi di Groebner e applicazioni.
    • Problemi e metodi della ricerca in didattica della matematica (6 cfu)

      • Il corso, rivolto agli studenti interessati alla ricerca in didattica della matematica, intende dare l’opportunità di conoscere e confrontarsi con le problematiche tipiche di tale campo di ricerca (sia quelle classiche che quelle più recenti) e con i metodi di ricerca utilizzati.
    • Teoria dei gruppi (6 cfu)

      • Serie di composizione, gruppi di permutazioni, gruppi nilpotenti, gruppi risolubili.
    • 3-varietà (6 cfu)

      • Risultati classici sulla topologia delle 3-varietà. Esempi e costruzioni di 3-varietà.
    • Fisica III (6 cfu)

      • Sistemi e trasformazioni termodinamiche, gas perfetto, prima e seconda legge, temperatura ed entropia; potenziali ritardati, relatività speciale e legami con l'elettromagnetismo, cenni su argomenti di fisica moderna (meccanica quantistica e altro).
    • Elementi di meccanica celeste (6 cfu)

      • Problema dei 2 corpi ed equazione di Keplero. Problema dei 3 corpi ristretto circolare, integrale di Jacobi, criterio di stabilità di Hill, cenni su orbite confinate ma caotiche. Maree ed evoluzione mareale nel sistema solare; la Terra come corpo esteso.
    • Equazioni ellittiche (6 cfu)

      • Teoria della regolarità. Equazioni in forma di divergenza. Equazioni non variazionali. Equazioni non lineari. Problemi al contorno. Frontiera libera. Problemi con ostacolo. Equazioni degeneri. Teoria del potenziale. Funzioni armoniche. Interpolazione. Autovalori.
    • Meccanica celeste (6 cfu)

      • Singolarità e orbite periodiche nel problema degli N corpi
    • Teoria analitica dei numeri B (6 cfu)

      • Problemi analitici di natura additiva con particolare riferimento al metodo di Hardy e Littlewood
    • Elementi di probabilità e statistica (6 cfu)

      • Probabilità su spazi numerabili: condizionamento, indipendenza, variabili aleatorie. Variabili aleatorie con densità: variabili gaussiane. Inferenza statistica: stima, test, intervalli di fiducia. Principali test statistici su modelli gaussiani.
    • Algebra omologica (6 cfu)

      • Moduli proiettivi e iniettivi. Categorie e funtori. Funtori aggiunti. Categorie di moduli. Successioni esatte, risoluzioni, funtori derivati. (Co)omologia di gruppi e algebre.
    • Algebra 1 (6 cfu)

      • Gruppi: teoremi di omomorfismo, permutazioni, gruppi abeliani finiti. Anelli e ideali, anelli speciali, anelli di polinomi. Elementi di teoria di Galois.
    • Introduzione all'analisi p-adica (6 cfu)

      • Struttura dei numeri p-adici; continuità, differenziabilità e analiticità in campo p-adico.
    • Elementi avanzati di algebra lineare numerica (6 cfu)

      • Metodi di Krylov, GMRES, BiCG, polinomi di matrici, problemi polinomiali agli autovalori, funzioni di matrici.
    • Metodi numerici per equazioni differenziali ordinarie (6 cfu)

      • Problemi ai valori iniziali e ai valori limite, metodi a un passo, metodi a più passi, metodi di shooting.
    • 2-varietà (6 cfu)

      • Varietà di dimensione due e loro automorfismi.
    • Algoritmi e strutture dei dati (6 cfu)

      • Strutture dei dati, analisi di algoritmi e complessità, progetto di algoritmi.
    • Teoria ergodica (6 cfu)

      • Teoremi di Krein-Milman e di Choquet, teoria spettrale. Esempi di base. Teoremi di Poincaré, Birkhoff, von Neumann. Decomposizione ergodica. "Mixing" e "weak mixing". Operatore di Perron- Frobenius. Decadimento delle correlazioni. Entropia. Dinamica simbolica. Catene di Markov e misura di Parry.
    • Teoria dei codici (6 cfu)

      • Trasmissione con errore, correzione d'errore. Famiglie di codici correttori. Metodi di geometria algebrica e algebra computazionale per la costruzione di codici e la decodifica.
    • Teoria dei controlli (6 cfu)

      • Teoria di controllabilità, osservabilità e stabilizzazione via feedback; modelli di controllo lineari; teoria geometrica di controllabilità per sistemi regolari; sistemi switching e sistemi ibridi.
    • Dinamica iperbolica (6 cfu)

      • Sistemi dinamici iperbolici; dinamica in dimensione bassa.
    • Analisi complessa A (6 cfu)

      • Il fascio dei germi delle funzioni analitiche; Nullstellensatz; spazi analitici; Teoremi A e B di Cartan.
    • Probabilità superiore (6 cfu)

      • Presentazione di una selezione di argomenti avanzati di probabilità quali Spazi Gaussiani, Calcolo di Malliavin, processi di Levy e Levy-stabili.
    • Equazioni alle derivate parziali 2 (6 cfu)

      • Selezione di argomenti avanzati della teoria delle equazioni alle derivate parziali.
    • Equazioni iperboliche (6 cfu)

      • Equazioni differenziali di tipo iperbolico, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
    • Modelli matematici in biomedicina e fisica matematica (6 cfu)

      • Obiettivi formativi: Equazioni differenziali ordinarie con effetti dissipativi (ritardo, memoria, etc) e stabilità, e loro applicazioni in biomedicina. Equazioni alle derivate parziali e loro applicazioni in fisica matematica.
    • Analisi geometrica (6 cfu)

      • Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi geometrica.
    • Geometria algebrica F (6 cfu)

      • Varietà toriche.
    • Teoria descrittiva della complessità (6 cfu)

      • Modelli finiti e complessità computazionale
    • Teoria dei modelli (6 cfu)

      • Modelli di teorie del primo ordine. Compattezza. Equivalenza elementare. Applicazioni all'aritmetica, ai campi, e ad altre strutture algebrico-relazionali.
    • Elementi di teoria degli insiemi (6 cfu)

      • Nozioni di logica. Teoria assiomatica degli insiemi. Cardinali. Ordinali.
    • Teoria geometrica della misura (6 cfu)

      • Nozioni di base di teoria geometrica della misura. Correnti normali ed intere. Esistenza delle soluzioni per il problema di Plateau omologico. Varifold.
    • Problem solving (6 cfu)

      • Ruolo dei problemi nell’insegnamento della matematica; euristiche; problem solving e problem posing.
    • Teoria dei giochi (6 cfu)

      • Equilibri nei modelli di giochi noncooperativi, teoria dei giochi cooperativi, giochi posizionali e giochi differenziali
    • Analisi in spazi metrici (6 cfu)

      • Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi su spazi metrici.
    • Equazioni differenziali stocastiche e applicazioni (6 cfu)

      • Introduzione ai teoremi di esistenza ed unicità (debole o forte) per equazioni differenziali stocastiche ordinarie, legami con le equazioni alle derivate parziali, applicazioni in ambito fisico o biologico.
    • Matematica e società (6 cfu)

      • Matematica, società e curricula; il contesto culturale nell'insegnamento ed apprendimento della matematica; il ruolo delle conoscenze matematiche non-scolastiche.
    • Matematiche elementari da un punto di vista superiore: aritmetica (6 cfu)

      • Gli insiemi numerici: possibili introduzioni, proprietà
    • Fondamenti della matematica (6 cfu)

      • Sistemi formali e teorie fondazionali.
    • Geometria algebrica B (6 cfu)

      • Varietà complesse, metodi trascendenti
    • Equazioni paraboliche (6 cfu)

      • Equazioni differenziali di tipo parabolico, lineari e non lineari, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
    • Meccanica superiore (6 cfu)

      • Obiettivi formativi: Indicatori di comportamento caotico e metodi ergodici per sistemi meccanici
    • Teoria della misura (6 cfu)

      • Misure astratte, misure su uno spazio topologico, integrale di Daniell, convergenze di misure.
    • 4-varietà (6 cfu)

      • Risultati classici sulla topologia delle 4-varietà. Esempi e costruzioni di 4-varietà.
    • Complementi di fisica (6 cfu)

      • Onde. Elementi di relatività ristretta. Equazioni d'onda relativistiche. Complementi di termodinamica e statistica.
    • Statistica matematica (6 cfu)

      • Modelli statistici: modelli dominati. Stime: stime consistenti e di Massima verosimiglianza. Intervalli di fiducia e test. I principali test sui modelli gaussiani (di Student, di Fisher Snedecor). Modelli statistici non parametrici: teorema di Glivenko-Cantelli e e test del chi-quadro.
    • Analisi reale (6 cfu)

      • Fondamenti dell'analisi reale (teoria della misura, spazi di funzioni).
    • Capacità non lineare, disequazioni variazionali e applicazioni (6 cfu)

      • Il percorso scelto ci permetterà di illustrare alcune tecniche e argomenti classici per trovare condizioni necessarie e sufficienti affinché un punto di frontiera sia regolare relativamente al problema di Dirichlet non omogeneo per l'operatore di Laplace non-lineare (il cosiddetto p-laplaciano).
    • Complementi di didattica della matematica (6 cfu)

      • Processi di apprendimento della matematica; contesti e tipi di razionalità; ostacoli epistemologici e didattici nell’insegnamento della matematica
    • Teoria della dimostrazione (6 cfu)

      • Il concetto formale di dimostrazione. Sistemi dimostrativi. Logiche non classiche. Analisi ordinale
    • Geometria iperbolica (6 cfu)

      • Lo spazio iperbolico. Esempi e costruzioni di varietà iperboliche. Proprietà topologiche e geometriche di varietà iperboliche.
  • 9 cfu a scelta nel gruppo IstAppl

    • Istituzioni applicative
    • Istituzioni di analisi numerica (9 cfu)

      • Polinomi ortogonali; approssimazione ai minimi quadrati e minimax; interpolazione spline; formule gaussiane di integrazione. Metodi alle differenze finite per equazioni alle derivate parziali di tipo ellittico, parabolico e iperbolico.
    • Istituzioni di fisica matematica (9 cfu)

      • Principi variazionali della Meccanica ed equazioni di Eulero-Lagrange, dinamica e geodetiche, sistemi hamiltoniani, trasformazioni canoniche, equazione di Hamilton-Jacobi, problemi integrabili e teorema di Liouville-Arnold, introduzione alla teoria delle perturbazioni.
    • Istituzioni di probabilità (9 cfu)

      • Processi stocastici a tempi continui, processi di Markov: due esempi (processo di Wiener e processo di Poisson). Integrazione stocastica secondo Ito, formula di Ito e applicazioni. Equazioni differenziali stocastiche e legami con equazioni a derivate parziali. Alcune applicazioni (filtraggio e formule di Black-Scholes).

  • Modellistico

    Primo anno

  • A scelta dello studente (6 cfu)

    • Qualsiasi insegnamento attivato nell'Ateneo, purché coerente con il progetto formativo. La coerenza delle attività scelte dallo studente con il progetto formativo deve essere approvata dal Consiglio di Corso di Studio, anche tenendo conto degli specifici interessi culturali e di sviluppo di carriera dello studente.
  • Istituzioni di analisi matematica (9 cfu)

    • Spazi di Banach e Hilbert. Operatori lineari, completezza, convessità, dualità, teoria spettrale per operatori compatti su spazi di Hilbert ed applicazioni al problema di Sturm. Spazi di distribuzioni. Trasformata di Fourier di distribuzioni. Spazi di Sobolev, immersioni di Sobolev, compattezza e teorema di traccia.
  • Istituzioni di probabilità (9 cfu)

    • Processi stocastici a tempi continui, processi di Markov: due esempi (processo di Wiener e processo di Poisson). Integrazione stocastica secondo Ito, formula di Ito e applicazioni. Equazioni differenziali stocastiche e legami con equazioni a derivate parziali. Alcune applicazioni (filtraggio e formule di Black-Scholes).
  • 6 cfu a scelta nel gruppo ModAffInt

    • Moduli affini e integrativi
    • Meccanica dei continui (6 cfu)

      • Richiami di calcolo tensoriale, meccanica dei continui tridimensionali e dei continui unidimensionali (anche con struttura).
    • Storia della matematica antica e della sua tradizione (6 cfu)

      • Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica antica: inquadramento generale (caratteristiche della matematica greca, concetto di tradizione testuale, edizioni di riferimento), lettura diretta di testi legati a un autore classico o a una problematica, e studio della tradizione rinascimentale e dell'impatto sulla nascita della matematica moderna.
    • Meccanica relativistica (6 cfu)

      • Relatività speciale e principio di equivalenza di Einstein. Spazio-tempo come varietà. Moto lungo una geodetica. Equazioni di Einstein per la curvatura dello spazio-tempo. Metrica di Schwarzschild e di Kerr. Esempi di osservabili relativistiche
    • Dinamica olomorfa (6 cfu)

      • Insiemi di Julia e di Fatou; dinamica di funzioni olomorfe di una variabile.
    • Spazi simmetrici (6 cfu)

      • Gruppi di Lie. Algebre di Lie. Spazi localmente simmetrici e spazi simmetrici.
    • Analisi microlocale (6 cfu)

      • Operatori pseudodifferenziali. Integrali oscillanti. Fronte d'onda e propagazione delle singolarità. Teorema di Hörmander. Ottica geometrica e operatori integrali di Fourier. Disuguaglianza di Fefferman- Phong. Calcolo paradifferenziale. Teoria di Littlewood- Paley. Localizzazione in spazi di frequenza. Spazi di Besov.
    • Teoria dei semigruppi (6 cfu)

      • Semigruppi di operatori, applicazioni alle equazioni di evoluzione
    • Ricerca operativa (6 cfu)

      • Grafi, programmazione lineare, programmazione intera, elementi di teoria dell'ottimizzazione.
    • Teoria dei numeri elementare (6 cfu)

      • Congruenze di grado superiore al primo e struttura moltiplicativa delle classi di resto. Proprietà algebriche e asintotiche delle funzioni aritmetiche. Problemi additivi e moltiplicativi legati alla distribuzione dei numeri primi. Approssimazioni razionali di numeri algebrici e trascendenti
    • Problemi di evoluzione (6 cfu)

      • Equazioni astratte, scale di Banach. Teorema di Cauchy-Kovalewski. Caratteristiche. Equazione delle onde. Sistemi iperbolici a coefficienti costanti. Condizioni  di Hadamard-Garding. Sistemi simmetrici, metodo dell'energia. Sistemi strettamente iperbolici. Simmetrizzatore micro-locale.
    • Calcolo scientifico (6 cfu)

      • Problemi di minimi quadrati, metodi del gradiente, decomposizione a valori singolari, calcolo di autovalori.
    • Elementi di calcolo in gruppi omogenei (6 cfu)

      • Gruppi di Lie nilpotenti semplicemente connessi: dilatazioni intrinseche, distanze invarianti, misura di Haar. Differenziabilità rispetto l'operazione di gruppo e le dilatazioni.
    • Campi ciclotomici (6 cfu)

      • Caratteri di Dirichlet, serie L di Dirichlet, numeri di Bernoulli, fomrula del numero di classi, teorema di Stickelberger.
    • Matematiche elementari da un punto di vista superiore: geometria (6 cfu)

      • Assiomatiche per la geometria euclidea; geometrie non euclidee; trasformazioni geometriche
    • Metodi matematici della crittografia (6 cfu)

      • Metodi ed algoritmi matematici applicati alla crittografia ed alla crittanalisi: fattorizzazione, logaritmo discreto. Curve ellittiche, fattorizzazione e crittografia ellittica ed iperellittica. Reticoli.
    • Metodi numerici per catene di Markov (6 cfu)

      • Matrici nonnegative e teorema di Perron-Frobenius. Metodi per catene di Markov finite e infinite. Modelli di code e loro matrici di transizione.
    • Metodi di ottimizzazione delle reti (6 cfu)

      • Algoritmi ad hoc per problemi di flusso su rete, routing in reti di comunicazione, progetto di reti di comunicazione, reti di trasporto.
    • Elementi di calcolo delle variazioni (6 cfu)

      • Principi variazionali in una e più variabili. Equazione di Eulero-Lagrange. Condizioni sufficienti di minimalità. Esempi classici di problemi variazionali. Funzioni assolutamente continue e metodo diretto. Geodetiche. Teorema del passo montano e principi di minimax.
    • Teoria algebrica dei numeri 1 (6 cfu)

      • Campi di numeri, interi dei campi di numeri; fattorizzazione unica degli ideali, ramificazione, gruppo delle classi di ideali, teorema delle unità di Dirichlet.
    • Probabilità (6 cfu)

      • Complementi di misura e integrazione: integrazione delle variabili aleatorie. Indipendenza di variabili aleatorie: leggi 0-1. Le funzioni caratteristiche. Convergenza di variabili aleatorie. Teoremi limite (leggi dei Grandi Numeri e teorema del Limite Centrale). Due esempi di processi stocastici: il processo di Wiener e il processo di Poisson.
    • Introduzione alla meccanica quantistica (6 cfu)

      • Meccanica quantistica delle particelle: dualità onda/particella, principio di sovrapposizione, principio di indeterminazione, equazione di Schroedinger.
    • Teoria dei codici e crittografia (6 cfu)

      • Trasmissione dei dati, stutture matematiche per la correzione efficiente degli errori di trasmissione. Principali codici correttori, loro proprietà e decodifica. Principali problemi crittografici: cifratura, firma, identificazione, integrità dei dati. Principali protocolli crittografici e problemi matematici soggiacenti.
    • Teoria delle categorie (6 cfu)

      • Categorie, funtori; aggiunti; limiti, colimiti; fasci, topoi.
    • Teoria dei campi e teoria di Galois (6 cfu)

      • Estensioni algebriche ed estensioni trascendenti, chiusura algebrica, separabilità, teoria di Galois, risolubilità, estensioni abeliane, teoria di Kummer.
    • Processi stocastici (6 cfu)

      • Processi di Markov, forme di Dirichlet, processi gaussiani.
    • Metodi topologici per le equazioni differenziali (6 cfu)

      • Teorie topologiche variazionali o non variazionali per alcune classi di equazioni non lineari di tipo differenziale o integrale.
    • Geometria simplettica (6 cfu)

      • Varietà simplettiche. Esempi standard. Teorema di Darboux. Strutture quasi-complesse compatibili.
    • Onde lineari e non lineari (6 cfu)

      • Principali proprietà delle soluzioni delle equazioni delle onde lineari e non lineari; proprietà dispersive delle soluzioni e decadimento dell'energia locale.
    • Superfici minime (6 cfu)

      • Risultati di esistenza per superfici minime: approccio classico, insiemi di perimetro finito, correnti. Alcuni risultati di regolarità per le ipersuperfici minime.
    • Analisi complessa B (6 cfu)

      • Funzioni plurisubarmoniche; domini pseudoconvessi; equazione del de-bar.
    • Metodi topologici in analisi globale (6 cfu)

      • Elementi di analisi non lineare per alcuni problemi di tipo “globale”, quali: il problema della sella, il punto fisso di Brouwer, le dimensioni e l’invarianza del dominio, la pettinabilità della sfera, il problema di Jordan. Applicazioni alle equazioni differenziali.
    • Finanza matematica (6 cfu)

      • Orbite periodiche e teorema di Poincaré-Birkhoff, teoria delle perturbazioni.
    • Gruppi di Coxeter (6 cfu)

      • Sistemi di radici e gruppi generati da riflessioni.
    • Geometria reale B (6 cfu)

      • Geometria degli insiemi semianalitici e subanalitici.
    • Metodi numerici per la grafica (6 cfu)

      • Parametrizzazione interpolazione e approssimazione di curve e superfici. Curve e superfici di Bezier, B-spline.
    • Teoria della calcolabilità (6 cfu)

      • Modelli di calcolo e funzioni calcolabili.
    • Operatori differenziali e teoremi dell’indice (6 cfu)

      • Algebre di Clifford. Operatori di Dirac. Teoremi dell'indice.
    • Metodi decisionali guidati dai modelli (6 cfu)

      • Ottimalità e algoritmi, algoritmi euristici, tecniche di rilassamento, algoritmi enumerativi. Software di ottimizzazione.
    • Geometria e topologia delle superfici (6 cfu)

      • Spazio di Teichmüller; laminazioni geodetiche; complessi di curve.
    • Calcolo delle variazioni A (6 cfu)

      • Il metodo diretto nel calcolo delle variazioni. Condizioni necessarie e sufficienti di semicontinuità inferiore per funzionali integrali su spazi di Sobolev di funzioni scalari. Il caso vettoriale. Integrali invarianti. Misure di Young e misure di Young gradienti. Convessità, convessità di rango-uno, quasiconessità, policonvessità. Rilassamento.
    • Algebra superiore A (6 cfu)

      • Algebra commutativa.
    • Sistemi dinamici discreti (6 cfu)

      • Dinamica topologica; insiemi iperbolici; teoria ergodica.
    • Fisica matematica (6 cfu)

      • Richiami di meccanica hamiltoniana, sistemi completamente integrabili e variabili azione angolo. Metodi perturbativi: teorema della media. Soluzioni periodiche del problema degli N-corpi, teorema geometrico di Poincaré-Birkhoff. Orbite periodiche con metodi variazionali.
    • Analisi armonica (6 cfu)

      • Fondamenti dell'Analisi armonica, interpolazione reale e comlessa, spazi di Lorentz, funzioni massimali, teoria di Calderon-Zygmund, spazi BMO, moltiplicatori di Fourier, integrali oscillanti e teoremi di restizione.
    • Teoria delle funzioni (6 cfu)

      • Elementi della teoria delle funzioni analitiche di una variabile complessa: serie di Mittag-Leffler,fattorizzazione di Weierstrass, fattorizzazione delle funzioni intere di ordine finito, sviluppi asintotici, teorema di Picard.
    • Elementi di logica matematica (6 cfu)

      • Calcolo dei predicati. Sistemi formali. Teorema di completezza.
    • Geometria reale computazionale (6 cfu)

      • Campi formalmente reali. Numeri algebrici reali, varietà algebriche reali. Algoritmi e applicazioni.
    • Metodi numerici per l’analisi di Fourier (6 cfu)

      • Serie di Fourier e trasformata di Fourier. Trasformata discreta di Fourier, trasformate trigonometriche. Algoritmi veloci per il calcolo delle trasformate discrete.
    • Ultrafiltri e metodi nonstandard (6 cfu)

      • Ultrafiltri e ultrapotenze. Fondamenti dell'analisi non-standard. Applicazioni alla teoria di Ramsey e alla teoria combinatoria dei numeri.
    • Equazioni alle derivate parziali (6 cfu)

      • Equazioni e sistemi del primo ordine. Rappresentazione esplicita delle soluzioni delle equazioni di Laplace, del calore, e delle onde. Proprietà qualitative delle soluzioni: principio del massimo, unicità, regolarità e dispersione.
    • Geometria reale C (6 cfu)

      • Topologia delle curve e superfici reali.
    • Analisi convessa (6 cfu)

      • Topologie deboli su spazi di Banach, funzioni convesse, calcolo in spazi di Banach, sottodifferenziale, disequazioni variazionali, multifunzioni.
    • Didattica della matematica e nuove tecnologie (6 cfu)

      • Metodologie, modelli e materiali didattici in contesti di aula multimediale; ruolo delle tecnologie nell'insegnamento / apprendimento della matematica: software didattici e lavagne interattive multimediali.
    • Equazioni differenziali ordinarie (6 cfu)

      • Problema di Cauchy. Equazioni di Bernoulli, D'Alembert, Clairaut, Eulero, Riccati. Metodo di Peano. Equazioni lineari. Dipendenza regolare dai dati. Soluzioni massimali.  Equilibri. Problemi di Sturm- Liouville.
    • Curve algebriche (6 cfu)

      • Curve algebriche, divisori. Curve ellittiche, iperellittiche, jacobiane. Applicazioni.
    • Geometria algebrica D (6 cfu)

      • Tori complessi e varietà abeliane.
    • Storia della matematica (6 cfu)

      • Il corso è di tipo istituzionale e intende offrire una panoramica delle grandi linee di sviluppo della matematica occidentale fino alla fine del XIX secolo. A questo aspetto verrà, di anno in anno, accoppiato un approfondimento di uno o più temi particolarmente rilevanti, quali la geometria cartesiana, l'invenzione del calcolo infinitesimale, le origini della teoria di Galois, la "nuova'' analisi di Cauchy.
    • Teoria algebrica dei numeri 2 (6 cfu)

      • Valori assoluti, campi locali, differente, discriminante, ramificazione, gruppi di ramificazione.
    • Metodi di approssimazione (6 cfu)

      • Risoluzione numerica di equazioni matriciali. Algoritmi numerici per matrici con struttura.
    • Forme modulari (6 cfu)

      • L-serie, equazioni funzionali e operatori di Heck
    • Geometria riemanniana (6 cfu)

      • Relazioni fra curvatura e topologia; teoremi di confronto e di pinching.
    • Algebra commutativa e geometria algebrica computazionale (6 cfu)

      • Costruzioni e algoritmi per l'algebra commutativa e la geometria algebrica, applicazioni.
    • Funzioni speciali (6 cfu)

      • Funzione gamma di Eulero: equazioni funzionali, formula di Stirling. Funzioni ellittiche: funzione P di Weierstrass. Elementi della teoria della funzione zeta di Riemann. Soluzioni di equazioni differenziali lineari a coefficienti analitici: funzione ipergeometrica, funzioni di Bessel.
    • Geodesia via satellite (6 cfu)

      • Problema dei minimi quadrati, simmetrie e degenerazioni. Campo gravitazionale di un corpo esteso, problema del satellite. Perturbazioni non-gravitazionali, geodesia e gravimetria spaziale, terrestre e interplanetaria.
    • Dinamica del sistema solare (6 cfu)

      • Equazioni del moto dei pianeti. Teorie perturbative, elementi propri. Risonanze, piccoli divisori, esponenti di Lyapunov.
    • Geometria degli spazi metrici (6 cfu)

      • Nozioni di curvatura. Quasi isometrie. Geometria a larga scala.
    • Elementi di algebra computazionale (6 cfu)

      • Rappresentazione di interi e polinomi. Algoritmi algebrici fondamentati. Sistemi di calcolo algebrico.
    • Meccanica spaziale (6 cfu)

      • Moto di satelliti artificiali e sonde spaziali, missioni spaziali interplanetarie.
    • Geometria reale A (6 cfu)

      • Geometria degli insiemi semialgebrici. Algebra reale. Strutture o-minimali.
    • Determinazione orbitale (6 cfu)

      • Problema dei minimi quadrati, simmetrie e degenerazioni. Problema dell'identificazione. Orbite preliminari. Soluzioni deboli. Incontri ravvicinati e monitoraggio degli impatti.
    • Logica matematica (6 cfu)

      • Calcolo dei predicati. Teoremi di incompletezza di Godel. Decidibilità e indecidibilità.
    • Algebra superiore B (6 cfu)

      • Algebre e loro rappresentazioni
    • Tecnologie per la didattica (6 cfu)

      • Ruolo delle tecnologie nell’apprendimento / insegnamento della matematica; uso e costruzione di strumenti didattici informatici, multimediali e telematici Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della matematica. I processi di insegnamento e apprendimento mediati dall'uso delle tecnologie nell'ambito della matematica. Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della matematica.
    • Geometria differenziale complessa (6 cfu)

      • Varietà complesse; coomologia di Dolbeault; varietà di Stein; metriche e distanze intrinseche.
    • Matematica discreta (6 cfu)

      • Calcolo combinatorio, funzioni generatrici, grafi, teoria di Ramsey.
    • Teoria degli insiemi (6 cfu)

      • Modelli della teoria degli insiemi.
    • Teoria dei nodi (6 cfu)

      • Invarianti di nodi e di link. Trecce.
    • Teoria del controllo ottimo (6 cfu)

      • Problemi di controllo di energia minima e di tempo minimo; esistenza e di sensitività delle soluzioni; principio di massimo di Pontryagin, approccio di programmazione dinamica ed equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman.
    • Geometria di contatto (6 cfu)

      • Varietà di contatto. Esempi standard. Teorema di Darboux. Nodi Legendriani e trasversi. Libri aperti e strutture di contatto.
    • Geometria e topologia differenziale (6 cfu)

      • Geometria differenziale di curve e superfici nello spazio euclideo, introduzione a varietà e mappe differenziabili in dimensione n.
    • Geometria algebrica A (6 cfu)

      • Schemi, fasci, coomologia.
    • Analisi non lineare (6 cfu)

      • Teorie e metodi sul comportamento globale di operatori non lineari, fra spazi di dimensione finita o spazi di funzioni, collegati con classici problemio equazioni non lineari.
    • Matematica e musica (6 cfu)

      • Formalizzazione algebrica delle strutture musicali.
    • Topologia differenziale (6 cfu)

      • Funzioni di Morse e decomposizioni in manici. Teorema dell'h-cobordismo.
    • Algebra computazionale A (6 cfu)

      • Aritmetica, fattorizzazione, integrazione.
    • Gruppi e rappresentazioni (6 cfu)

      • Rappresentazioni di gruppi finiti. Esempi di classi di gruppi.
    • Sistemi dinamici (6 cfu)

      • Sistemi dinamici lineari (con richiami di algebra lineare), stabilità e teoria qualitativa per sistemi dinamici non lineari, formalismo hamiltoniano e lagrangiano ad un grado di libertà, sistemi dinamici discreti, un esempio elementare di caos.
    • Laboratorio di fisica per l'insegnamento (6 cfu)

      • Sviluppare competenze nella gestione di esperienze di laboratorio, fornire basi teoriche di un approccio alla misura. Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della fisica. La progettazione e lo sviluppo delle attività di insegnamento relative alla fisica. Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della fisica
    • Analisi matematica 3 (6 cfu)

      • Spazi di Hilbert. Spazi di Lebesgue L^p. Convoluzione di funzioni. Serie di Fourier. Trasformata di Fourier. Formula dell'area e integrazione su superfici. Funzioni armoniche.
    • Dinamica del sistema Terra-Luna (6 cfu)

      • Il sistema Terra-Luna-Sole e le caratteristiche principali dell'orbita della Luna. Il tracking laser della Luna nell'era spaziale (LLR-Lunar Laser Ranging). LLR e la verifica della Relatività Generale.
    • Teoria analitica dei numeri A (6 cfu)

      • Problemi legati alla distribuzione dei primi; la Zeta di Riemann e le funzioni L di Dirichlet.
    • Introduzione alla teoria geometrica della misura (6 cfu)

      • Misure e dimensione di Hausdorff. Insiemi rettificabli. Formula dell'area e della coarea
    • Elementi di analisi complessa (6 cfu)

      • Teorema di uniformizzazione di Riemann; proprietà geometriche del gruppo delle omografie; principio di simmetria e sue applicazioni; un modello di piano iperbolico; cenni sulle funzioni di più variabili complesse.
    • Calcolo delle variazioni B (6 cfu)

      • Teoria della regolarità per minimi di funzionali integrali.
    • Algebre e gruppi di Lie (6 cfu)

      • Teoremi di struttura per le algebre di Lie di dimensione finita (incluso il caso delle algebre semisemplici complesse). Gruppi di Lie e relazione con le algebre di Lie. Introduzione alla teoria delle rappresentazioni delle algebre e gruppi di Lie.
    • Origini e sviluppo delle matematiche moderne (6 cfu)

      • Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica moderna: inquadramento generale, lettura diretta di testi, discussione della letteratura in materia.
    • Fisica II (9 cfu)

      • Elettrostatica e magnetostatica nel vuoto, correnti stazionarie, induzione, circuiti passivi lineari RLC, equazioni di Maxwell, onde elettromagnetiche, polarizzazione, irraggiamento, riflessione e rifrazione.
    • Geometria algebrica C (6 cfu)

      • Curve e superfici di Riemann.
    • Teoria e metodi dell'ottimizzazione (6 cfu)

      • Ottimizzazione non lineare: condizioni di ottimalità per problemi vincolati e non vincolati, teoria della dualità, metodi risolutivi per problemi vincolati e non vincolati, applicazioni.
    • Analisi superiore (6 cfu)

      • Spazi vettoriali topologici. misure e distribuzioni. Operatori illimitatii, aggiunto ad un operatore non limiato, teoria spettrale per operatori non limitati. Calcolo funzionale Forme quadratiche, soluzioni deboli e soluzioni forti.
    • Topologia algebrica (6 cfu)

      • Omotopia e teorie coomologiche.
    • Geometria algebrica E (6 cfu)

      • Superfici algebriche.
    • Algebra computazionale B (6 cfu)

      • Metodi effettivi per la risoluzione di sistemi di equazioni polimonmiali.
    • Algebra lineare e multilineare (6 cfu)

      • Strutture algebriche lineari.
    • Complementi di analisi funzionale (6 cfu)

      • Spazi vettoriali topologici, misure e distribuzioni. Convoluzione, trasformata di Fourier, teorema di Paley-Wiener ed applicazioni alle EDP. Teoria spettrale per operatori non limitati. Calcolo operazionale, semigruppi di operatori. Teorema di Malgrange-Ehrenpreis. Teoremi di punto fisso in dimensione infinita ed applicazioni alle EDP.
    • Topologia generale (6 cfu)

      • Spazi normali, teorema di Urysohn, compattificazioni, teorema di Baire, paracompattezza, partizioni dell’unità.
    • Analisi non standard (6 cfu)

      • Fondamenti dell'analisi non standard, scelta di applicazioni ad altre aree della matematica.
    • Elementi di topologia algebrica (6 cfu)

      • Omologia simpliciale e singolare, CW complessi, coomologia, prodotto cup, dualità di Poincaré.
    • Equazioni della fluidodinamica (6 cfu)

      • Introduzione alla teoria matematica delle equazioni alle derivate parziali della meccanica dei continui e in particolare a quelle di Eulero e Navier-Stokes per fluidi incomprimibili.
    • Topologia e geometria in bassa dimensione (6 cfu)

      • Varietà topologiche, lineari a pezzi e differenziabili di dimensione minore di 5.
    • Spazi di funzioni (6 cfu)

      • Proprietà fini delle funzioni derivabili in senso debole: funzioni di Sobolev e BV, insiemi di perimetro finito. Altri spazi di funzioni. Riarrangiamento e disuguaglianze funzionali.
    • Elementi di geometria algebrica (6 cfu)

      • Varietà affini, proiettive e quasi-proiettive. Morfismi. Applicazioni razionali. Punti lisci e dimensione.
    • Algebra 2 (6 cfu)

      • Gruppi: azioni di gruppi, costruzioni e presentazioni di gruppi. Moduli e caratterizzazione dei moduli su un PID. Anelli noetheriani. Teorema della base di Hilbert. Basi di Groebner e applicazioni.
    • Problemi e metodi della ricerca in didattica della matematica (6 cfu)

      • Il corso, rivolto agli studenti interessati alla ricerca in didattica della matematica, intende dare l’opportunità di conoscere e confrontarsi con le problematiche tipiche di tale campo di ricerca (sia quelle classiche che quelle più recenti) e con i metodi di ricerca utilizzati.
    • Teoria dei gruppi (6 cfu)

      • Serie di composizione, gruppi di permutazioni, gruppi nilpotenti, gruppi risolubili.
    • 3-varietà (6 cfu)

      • Risultati classici sulla topologia delle 3-varietà. Esempi e costruzioni di 3-varietà.
    • Fisica III (6 cfu)

      • Sistemi e trasformazioni termodinamiche, gas perfetto, prima e seconda legge, temperatura ed entropia; potenziali ritardati, relatività speciale e legami con l'elettromagnetismo, cenni su argomenti di fisica moderna (meccanica quantistica e altro).
    • Elementi di meccanica celeste (6 cfu)

      • Problema dei 2 corpi ed equazione di Keplero. Problema dei 3 corpi ristretto circolare, integrale di Jacobi, criterio di stabilità di Hill, cenni su orbite confinate ma caotiche. Maree ed evoluzione mareale nel sistema solare; la Terra come corpo esteso.
    • Equazioni ellittiche (6 cfu)

      • Teoria della regolarità. Equazioni in forma di divergenza. Equazioni non variazionali. Equazioni non lineari. Problemi al contorno. Frontiera libera. Problemi con ostacolo. Equazioni degeneri. Teoria del potenziale. Funzioni armoniche. Interpolazione. Autovalori.
    • Meccanica celeste (6 cfu)

      • Singolarità e orbite periodiche nel problema degli N corpi
    • Teoria analitica dei numeri B (6 cfu)

      • Problemi analitici di natura additiva con particolare riferimento al metodo di Hardy e Littlewood
    • Elementi di probabilità e statistica (6 cfu)

      • Probabilità su spazi numerabili: condizionamento, indipendenza, variabili aleatorie. Variabili aleatorie con densità: variabili gaussiane. Inferenza statistica: stima, test, intervalli di fiducia. Principali test statistici su modelli gaussiani.
    • Algebra omologica (6 cfu)

      • Moduli proiettivi e iniettivi. Categorie e funtori. Funtori aggiunti. Categorie di moduli. Successioni esatte, risoluzioni, funtori derivati. (Co)omologia di gruppi e algebre.
    • Algebra 1 (6 cfu)

      • Gruppi: teoremi di omomorfismo, permutazioni, gruppi abeliani finiti. Anelli e ideali, anelli speciali, anelli di polinomi. Elementi di teoria di Galois.
    • Introduzione all'analisi p-adica (6 cfu)

      • Struttura dei numeri p-adici; continuità, differenziabilità e analiticità in campo p-adico.
    • Elementi avanzati di algebra lineare numerica (6 cfu)

      • Metodi di Krylov, GMRES, BiCG, polinomi di matrici, problemi polinomiali agli autovalori, funzioni di matrici.
    • Metodi numerici per equazioni differenziali ordinarie (6 cfu)

      • Problemi ai valori iniziali e ai valori limite, metodi a un passo, metodi a più passi, metodi di shooting.
    • 2-varietà (6 cfu)

      • Varietà di dimensione due e loro automorfismi.
    • Algoritmi e strutture dei dati (6 cfu)

      • Strutture dei dati, analisi di algoritmi e complessità, progetto di algoritmi.
    • Teoria ergodica (6 cfu)

      • Teoremi di Krein-Milman e di Choquet, teoria spettrale. Esempi di base. Teoremi di Poincaré, Birkhoff, von Neumann. Decomposizione ergodica. "Mixing" e "weak mixing". Operatore di Perron- Frobenius. Decadimento delle correlazioni. Entropia. Dinamica simbolica. Catene di Markov e misura di Parry.
    • Teoria dei codici (6 cfu)

      • Trasmissione con errore, correzione d'errore. Famiglie di codici correttori. Metodi di geometria algebrica e algebra computazionale per la costruzione di codici e la decodifica.
    • Teoria dei controlli (6 cfu)

      • Teoria di controllabilità, osservabilità e stabilizzazione via feedback; modelli di controllo lineari; teoria geometrica di controllabilità per sistemi regolari; sistemi switching e sistemi ibridi.
    • Dinamica iperbolica (6 cfu)

      • Sistemi dinamici iperbolici; dinamica in dimensione bassa.
    • Analisi complessa A (6 cfu)

      • Il fascio dei germi delle funzioni analitiche; Nullstellensatz; spazi analitici; Teoremi A e B di Cartan.
    • Probabilità superiore (6 cfu)

      • Presentazione di una selezione di argomenti avanzati di probabilità quali Spazi Gaussiani, Calcolo di Malliavin, processi di Levy e Levy-stabili.
    • Equazioni alle derivate parziali 2 (6 cfu)

      • Selezione di argomenti avanzati della teoria delle equazioni alle derivate parziali.
    • Equazioni iperboliche (6 cfu)

      • Equazioni differenziali di tipo iperbolico, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
    • Modelli matematici in biomedicina e fisica matematica (6 cfu)

      • Obiettivi formativi: Equazioni differenziali ordinarie con effetti dissipativi (ritardo, memoria, etc) e stabilità, e loro applicazioni in biomedicina. Equazioni alle derivate parziali e loro applicazioni in fisica matematica.
    • Analisi geometrica (6 cfu)

      • Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi geometrica.
    • Geometria algebrica F (6 cfu)

      • Varietà toriche.
    • Teoria descrittiva della complessità (6 cfu)

      • Modelli finiti e complessità computazionale
    • Teoria dei modelli (6 cfu)

      • Modelli di teorie del primo ordine. Compattezza. Equivalenza elementare. Applicazioni all'aritmetica, ai campi, e ad altre strutture algebrico-relazionali.
    • Elementi di teoria degli insiemi (6 cfu)

      • Nozioni di logica. Teoria assiomatica degli insiemi. Cardinali. Ordinali.
    • Teoria geometrica della misura (6 cfu)

      • Nozioni di base di teoria geometrica della misura. Correnti normali ed intere. Esistenza delle soluzioni per il problema di Plateau omologico. Varifold.
    • Problem solving (6 cfu)

      • Ruolo dei problemi nell’insegnamento della matematica; euristiche; problem solving e problem posing.
    • Teoria dei giochi (6 cfu)

      • Equilibri nei modelli di giochi noncooperativi, teoria dei giochi cooperativi, giochi posizionali e giochi differenziali
    • Analisi in spazi metrici (6 cfu)

      • Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi su spazi metrici.
    • Equazioni differenziali stocastiche e applicazioni (6 cfu)

      • Introduzione ai teoremi di esistenza ed unicità (debole o forte) per equazioni differenziali stocastiche ordinarie, legami con le equazioni alle derivate parziali, applicazioni in ambito fisico o biologico.
    • Matematica e società (6 cfu)

      • Matematica, società e curricula; il contesto culturale nell'insegnamento ed apprendimento della matematica; il ruolo delle conoscenze matematiche non-scolastiche.
    • Matematiche elementari da un punto di vista superiore: aritmetica (6 cfu)

      • Gli insiemi numerici: possibili introduzioni, proprietà
    • Fondamenti della matematica (6 cfu)

      • Sistemi formali e teorie fondazionali.
    • Geometria algebrica B (6 cfu)

      • Varietà complesse, metodi trascendenti
    • Equazioni paraboliche (6 cfu)

      • Equazioni differenziali di tipo parabolico, lineari e non lineari, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
    • Meccanica superiore (6 cfu)

      • Obiettivi formativi: Indicatori di comportamento caotico e metodi ergodici per sistemi meccanici
    • Teoria della misura (6 cfu)

      • Misure astratte, misure su uno spazio topologico, integrale di Daniell, convergenze di misure.
    • 4-varietà (6 cfu)

      • Risultati classici sulla topologia delle 4-varietà. Esempi e costruzioni di 4-varietà.
    • Complementi di fisica (6 cfu)

      • Onde. Elementi di relatività ristretta. Equazioni d'onda relativistiche. Complementi di termodinamica e statistica.
    • Statistica matematica (6 cfu)

      • Modelli statistici: modelli dominati. Stime: stime consistenti e di Massima verosimiglianza. Intervalli di fiducia e test. I principali test sui modelli gaussiani (di Student, di Fisher Snedecor). Modelli statistici non parametrici: teorema di Glivenko-Cantelli e e test del chi-quadro.
    • Analisi reale (6 cfu)

      • Fondamenti dell'analisi reale (teoria della misura, spazi di funzioni).
    • Capacità non lineare, disequazioni variazionali e applicazioni (6 cfu)

      • Il percorso scelto ci permetterà di illustrare alcune tecniche e argomenti classici per trovare condizioni necessarie e sufficienti affinché un punto di frontiera sia regolare relativamente al problema di Dirichlet non omogeneo per l'operatore di Laplace non-lineare (il cosiddetto p-laplaciano).
    • Complementi di didattica della matematica (6 cfu)

      • Processi di apprendimento della matematica; contesti e tipi di razionalità; ostacoli epistemologici e didattici nell’insegnamento della matematica
    • Teoria della dimostrazione (6 cfu)

      • Il concetto formale di dimostrazione. Sistemi dimostrativi. Logiche non classiche. Analisi ordinale
    • Geometria iperbolica (6 cfu)

      • Lo spazio iperbolico. Esempi e costruzioni di varietà iperboliche. Proprietà topologiche e geometriche di varietà iperboliche.
  • 6 cfu a scelta nel gruppo ModAffInt

    • Moduli affini e integrativi
    • Meccanica dei continui (6 cfu)

      • Richiami di calcolo tensoriale, meccanica dei continui tridimensionali e dei continui unidimensionali (anche con struttura).
    • Storia della matematica antica e della sua tradizione (6 cfu)

      • Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica antica: inquadramento generale (caratteristiche della matematica greca, concetto di tradizione testuale, edizioni di riferimento), lettura diretta di testi legati a un autore classico o a una problematica, e studio della tradizione rinascimentale e dell'impatto sulla nascita della matematica moderna.
    • Meccanica relativistica (6 cfu)

      • Relatività speciale e principio di equivalenza di Einstein. Spazio-tempo come varietà. Moto lungo una geodetica. Equazioni di Einstein per la curvatura dello spazio-tempo. Metrica di Schwarzschild e di Kerr. Esempi di osservabili relativistiche
    • Dinamica olomorfa (6 cfu)

      • Insiemi di Julia e di Fatou; dinamica di funzioni olomorfe di una variabile.
    • Spazi simmetrici (6 cfu)

      • Gruppi di Lie. Algebre di Lie. Spazi localmente simmetrici e spazi simmetrici.
    • Analisi microlocale (6 cfu)

      • Operatori pseudodifferenziali. Integrali oscillanti. Fronte d'onda e propagazione delle singolarità. Teorema di Hörmander. Ottica geometrica e operatori integrali di Fourier. Disuguaglianza di Fefferman- Phong. Calcolo paradifferenziale. Teoria di Littlewood- Paley. Localizzazione in spazi di frequenza. Spazi di Besov.
    • Teoria dei semigruppi (6 cfu)

      • Semigruppi di operatori, applicazioni alle equazioni di evoluzione
    • Ricerca operativa (6 cfu)

      • Grafi, programmazione lineare, programmazione intera, elementi di teoria dell'ottimizzazione.
    • Teoria dei numeri elementare (6 cfu)

      • Congruenze di grado superiore al primo e struttura moltiplicativa delle classi di resto. Proprietà algebriche e asintotiche delle funzioni aritmetiche. Problemi additivi e moltiplicativi legati alla distribuzione dei numeri primi. Approssimazioni razionali di numeri algebrici e trascendenti
    • Problemi di evoluzione (6 cfu)

      • Equazioni astratte, scale di Banach. Teorema di Cauchy-Kovalewski. Caratteristiche. Equazione delle onde. Sistemi iperbolici a coefficienti costanti. Condizioni  di Hadamard-Garding. Sistemi simmetrici, metodo dell'energia. Sistemi strettamente iperbolici. Simmetrizzatore micro-locale.
    • Calcolo scientifico (6 cfu)

      • Problemi di minimi quadrati, metodi del gradiente, decomposizione a valori singolari, calcolo di autovalori.
    • Elementi di calcolo in gruppi omogenei (6 cfu)

      • Gruppi di Lie nilpotenti semplicemente connessi: dilatazioni intrinseche, distanze invarianti, misura di Haar. Differenziabilità rispetto l'operazione di gruppo e le dilatazioni.
    • Campi ciclotomici (6 cfu)

      • Caratteri di Dirichlet, serie L di Dirichlet, numeri di Bernoulli, fomrula del numero di classi, teorema di Stickelberger.
    • Matematiche elementari da un punto di vista superiore: geometria (6 cfu)

      • Assiomatiche per la geometria euclidea; geometrie non euclidee; trasformazioni geometriche
    • Metodi matematici della crittografia (6 cfu)

      • Metodi ed algoritmi matematici applicati alla crittografia ed alla crittanalisi: fattorizzazione, logaritmo discreto. Curve ellittiche, fattorizzazione e crittografia ellittica ed iperellittica. Reticoli.
    • Metodi numerici per catene di Markov (6 cfu)

      • Matrici nonnegative e teorema di Perron-Frobenius. Metodi per catene di Markov finite e infinite. Modelli di code e loro matrici di transizione.
    • Metodi di ottimizzazione delle reti (6 cfu)

      • Algoritmi ad hoc per problemi di flusso su rete, routing in reti di comunicazione, progetto di reti di comunicazione, reti di trasporto.
    • Elementi di calcolo delle variazioni (6 cfu)

      • Principi variazionali in una e più variabili. Equazione di Eulero-Lagrange. Condizioni sufficienti di minimalità. Esempi classici di problemi variazionali. Funzioni assolutamente continue e metodo diretto. Geodetiche. Teorema del passo montano e principi di minimax.
    • Teoria algebrica dei numeri 1 (6 cfu)

      • Campi di numeri, interi dei campi di numeri; fattorizzazione unica degli ideali, ramificazione, gruppo delle classi di ideali, teorema delle unità di Dirichlet.
    • Probabilità (6 cfu)

      • Complementi di misura e integrazione: integrazione delle variabili aleatorie. Indipendenza di variabili aleatorie: leggi 0-1. Le funzioni caratteristiche. Convergenza di variabili aleatorie. Teoremi limite (leggi dei Grandi Numeri e teorema del Limite Centrale). Due esempi di processi stocastici: il processo di Wiener e il processo di Poisson.
    • Introduzione alla meccanica quantistica (6 cfu)

      • Meccanica quantistica delle particelle: dualità onda/particella, principio di sovrapposizione, principio di indeterminazione, equazione di Schroedinger.
    • Teoria dei codici e crittografia (6 cfu)

      • Trasmissione dei dati, stutture matematiche per la correzione efficiente degli errori di trasmissione. Principali codici correttori, loro proprietà e decodifica. Principali problemi crittografici: cifratura, firma, identificazione, integrità dei dati. Principali protocolli crittografici e problemi matematici soggiacenti.
    • Teoria delle categorie (6 cfu)

      • Categorie, funtori; aggiunti; limiti, colimiti; fasci, topoi.
    • Teoria dei campi e teoria di Galois (6 cfu)

      • Estensioni algebriche ed estensioni trascendenti, chiusura algebrica, separabilità, teoria di Galois, risolubilità, estensioni abeliane, teoria di Kummer.
    • Processi stocastici (6 cfu)

      • Processi di Markov, forme di Dirichlet, processi gaussiani.
    • Metodi topologici per le equazioni differenziali (6 cfu)

      • Teorie topologiche variazionali o non variazionali per alcune classi di equazioni non lineari di tipo differenziale o integrale.
    • Geometria simplettica (6 cfu)

      • Varietà simplettiche. Esempi standard. Teorema di Darboux. Strutture quasi-complesse compatibili.
    • Onde lineari e non lineari (6 cfu)

      • Principali proprietà delle soluzioni delle equazioni delle onde lineari e non lineari; proprietà dispersive delle soluzioni e decadimento dell'energia locale.
    • Superfici minime (6 cfu)

      • Risultati di esistenza per superfici minime: approccio classico, insiemi di perimetro finito, correnti. Alcuni risultati di regolarità per le ipersuperfici minime.
    • Analisi complessa B (6 cfu)

      • Funzioni plurisubarmoniche; domini pseudoconvessi; equazione del de-bar.
    • Metodi topologici in analisi globale (6 cfu)

      • Elementi di analisi non lineare per alcuni problemi di tipo “globale”, quali: il problema della sella, il punto fisso di Brouwer, le dimensioni e l’invarianza del dominio, la pettinabilità della sfera, il problema di Jordan. Applicazioni alle equazioni differenziali.
    • Finanza matematica (6 cfu)

      • Orbite periodiche e teorema di Poincaré-Birkhoff, teoria delle perturbazioni.
    • Gruppi di Coxeter (6 cfu)

      • Sistemi di radici e gruppi generati da riflessioni.
    • Geometria reale B (6 cfu)

      • Geometria degli insiemi semianalitici e subanalitici.
    • Metodi numerici per la grafica (6 cfu)

      • Parametrizzazione interpolazione e approssimazione di curve e superfici. Curve e superfici di Bezier, B-spline.
    • Teoria della calcolabilità (6 cfu)

      • Modelli di calcolo e funzioni calcolabili.
    • Operatori differenziali e teoremi dell’indice (6 cfu)

      • Algebre di Clifford. Operatori di Dirac. Teoremi dell'indice.
    • Metodi decisionali guidati dai modelli (6 cfu)

      • Ottimalità e algoritmi, algoritmi euristici, tecniche di rilassamento, algoritmi enumerativi. Software di ottimizzazione.
    • Geometria e topologia delle superfici (6 cfu)

      • Spazio di Teichmüller; laminazioni geodetiche; complessi di curve.
    • Calcolo delle variazioni A (6 cfu)

      • Il metodo diretto nel calcolo delle variazioni. Condizioni necessarie e sufficienti di semicontinuità inferiore per funzionali integrali su spazi di Sobolev di funzioni scalari. Il caso vettoriale. Integrali invarianti. Misure di Young e misure di Young gradienti. Convessità, convessità di rango-uno, quasiconessità, policonvessità. Rilassamento.
    • Algebra superiore A (6 cfu)

      • Algebra commutativa.
    • Sistemi dinamici discreti (6 cfu)

      • Dinamica topologica; insiemi iperbolici; teoria ergodica.
    • Fisica matematica (6 cfu)

      • Richiami di meccanica hamiltoniana, sistemi completamente integrabili e variabili azione angolo. Metodi perturbativi: teorema della media. Soluzioni periodiche del problema degli N-corpi, teorema geometrico di Poincaré-Birkhoff. Orbite periodiche con metodi variazionali.
    • Analisi armonica (6 cfu)

      • Fondamenti dell'Analisi armonica, interpolazione reale e comlessa, spazi di Lorentz, funzioni massimali, teoria di Calderon-Zygmund, spazi BMO, moltiplicatori di Fourier, integrali oscillanti e teoremi di restizione.
    • Teoria delle funzioni (6 cfu)

      • Elementi della teoria delle funzioni analitiche di una variabile complessa: serie di Mittag-Leffler,fattorizzazione di Weierstrass, fattorizzazione delle funzioni intere di ordine finito, sviluppi asintotici, teorema di Picard.
    • Elementi di logica matematica (6 cfu)

      • Calcolo dei predicati. Sistemi formali. Teorema di completezza.
    • Geometria reale computazionale (6 cfu)

      • Campi formalmente reali. Numeri algebrici reali, varietà algebriche reali. Algoritmi e applicazioni.
    • Metodi numerici per l’analisi di Fourier (6 cfu)

      • Serie di Fourier e trasformata di Fourier. Trasformata discreta di Fourier, trasformate trigonometriche. Algoritmi veloci per il calcolo delle trasformate discrete.
    • Ultrafiltri e metodi nonstandard (6 cfu)

      • Ultrafiltri e ultrapotenze. Fondamenti dell'analisi non-standard. Applicazioni alla teoria di Ramsey e alla teoria combinatoria dei numeri.
    • Equazioni alle derivate parziali (6 cfu)

      • Equazioni e sistemi del primo ordine. Rappresentazione esplicita delle soluzioni delle equazioni di Laplace, del calore, e delle onde. Proprietà qualitative delle soluzioni: principio del massimo, unicità, regolarità e dispersione.
    • Geometria reale C (6 cfu)

      • Topologia delle curve e superfici reali.
    • Analisi convessa (6 cfu)

      • Topologie deboli su spazi di Banach, funzioni convesse, calcolo in spazi di Banach, sottodifferenziale, disequazioni variazionali, multifunzioni.
    • Didattica della matematica e nuove tecnologie (6 cfu)

      • Metodologie, modelli e materiali didattici in contesti di aula multimediale; ruolo delle tecnologie nell'insegnamento / apprendimento della matematica: software didattici e lavagne interattive multimediali.
    • Equazioni differenziali ordinarie (6 cfu)

      • Problema di Cauchy. Equazioni di Bernoulli, D'Alembert, Clairaut, Eulero, Riccati. Metodo di Peano. Equazioni lineari. Dipendenza regolare dai dati. Soluzioni massimali.  Equilibri. Problemi di Sturm- Liouville.
    • Curve algebriche (6 cfu)

      • Curve algebriche, divisori. Curve ellittiche, iperellittiche, jacobiane. Applicazioni.
    • Geometria algebrica D (6 cfu)

      • Tori complessi e varietà abeliane.
    • Storia della matematica (6 cfu)

      • Il corso è di tipo istituzionale e intende offrire una panoramica delle grandi linee di sviluppo della matematica occidentale fino alla fine del XIX secolo. A questo aspetto verrà, di anno in anno, accoppiato un approfondimento di uno o più temi particolarmente rilevanti, quali la geometria cartesiana, l'invenzione del calcolo infinitesimale, le origini della teoria di Galois, la "nuova'' analisi di Cauchy.
    • Teoria algebrica dei numeri 2 (6 cfu)

      • Valori assoluti, campi locali, differente, discriminante, ramificazione, gruppi di ramificazione.
    • Metodi di approssimazione (6 cfu)

      • Risoluzione numerica di equazioni matriciali. Algoritmi numerici per matrici con struttura.
    • Forme modulari (6 cfu)

      • L-serie, equazioni funzionali e operatori di Heck
    • Geometria riemanniana (6 cfu)

      • Relazioni fra curvatura e topologia; teoremi di confronto e di pinching.
    • Algebra commutativa e geometria algebrica computazionale (6 cfu)

      • Costruzioni e algoritmi per l'algebra commutativa e la geometria algebrica, applicazioni.
    • Funzioni speciali (6 cfu)

      • Funzione gamma di Eulero: equazioni funzionali, formula di Stirling. Funzioni ellittiche: funzione P di Weierstrass. Elementi della teoria della funzione zeta di Riemann. Soluzioni di equazioni differenziali lineari a coefficienti analitici: funzione ipergeometrica, funzioni di Bessel.
    • Geodesia via satellite (6 cfu)

      • Problema dei minimi quadrati, simmetrie e degenerazioni. Campo gravitazionale di un corpo esteso, problema del satellite. Perturbazioni non-gravitazionali, geodesia e gravimetria spaziale, terrestre e interplanetaria.
    • Dinamica del sistema solare (6 cfu)

      • Equazioni del moto dei pianeti. Teorie perturbative, elementi propri. Risonanze, piccoli divisori, esponenti di Lyapunov.
    • Geometria degli spazi metrici (6 cfu)

      • Nozioni di curvatura. Quasi isometrie. Geometria a larga scala.
    • Elementi di algebra computazionale (6 cfu)

      • Rappresentazione di interi e polinomi. Algoritmi algebrici fondamentati. Sistemi di calcolo algebrico.
    • Meccanica spaziale (6 cfu)

      • Moto di satelliti artificiali e sonde spaziali, missioni spaziali interplanetarie.
    • Geometria reale A (6 cfu)

      • Geometria degli insiemi semialgebrici. Algebra reale. Strutture o-minimali.
    • Determinazione orbitale (6 cfu)

      • Problema dei minimi quadrati, simmetrie e degenerazioni. Problema dell'identificazione. Orbite preliminari. Soluzioni deboli. Incontri ravvicinati e monitoraggio degli impatti.
    • Logica matematica (6 cfu)

      • Calcolo dei predicati. Teoremi di incompletezza di Godel. Decidibilità e indecidibilità.
    • Algebra superiore B (6 cfu)

      • Algebre e loro rappresentazioni
    • Tecnologie per la didattica (6 cfu)

      • Ruolo delle tecnologie nell’apprendimento / insegnamento della matematica; uso e costruzione di strumenti didattici informatici, multimediali e telematici Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della matematica. I processi di insegnamento e apprendimento mediati dall'uso delle tecnologie nell'ambito della matematica. Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della matematica.
    • Geometria differenziale complessa (6 cfu)

      • Varietà complesse; coomologia di Dolbeault; varietà di Stein; metriche e distanze intrinseche.
    • Matematica discreta (6 cfu)

      • Calcolo combinatorio, funzioni generatrici, grafi, teoria di Ramsey.
    • Teoria degli insiemi (6 cfu)

      • Modelli della teoria degli insiemi.
    • Teoria dei nodi (6 cfu)

      • Invarianti di nodi e di link. Trecce.
    • Teoria del controllo ottimo (6 cfu)

      • Problemi di controllo di energia minima e di tempo minimo; esistenza e di sensitività delle soluzioni; principio di massimo di Pontryagin, approccio di programmazione dinamica ed equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman.
    • Geometria di contatto (6 cfu)

      • Varietà di contatto. Esempi standard. Teorema di Darboux. Nodi Legendriani e trasversi. Libri aperti e strutture di contatto.
    • Geometria e topologia differenziale (6 cfu)

      • Geometria differenziale di curve e superfici nello spazio euclideo, introduzione a varietà e mappe differenziabili in dimensione n.
    • Geometria algebrica A (6 cfu)

      • Schemi, fasci, coomologia.
    • Analisi non lineare (6 cfu)

      • Teorie e metodi sul comportamento globale di operatori non lineari, fra spazi di dimensione finita o spazi di funzioni, collegati con classici problemio equazioni non lineari.
    • Matematica e musica (6 cfu)

      • Formalizzazione algebrica delle strutture musicali.
    • Topologia differenziale (6 cfu)

      • Funzioni di Morse e decomposizioni in manici. Teorema dell'h-cobordismo.
    • Algebra computazionale A (6 cfu)

      • Aritmetica, fattorizzazione, integrazione.
    • Gruppi e rappresentazioni (6 cfu)

      • Rappresentazioni di gruppi finiti. Esempi di classi di gruppi.
    • Sistemi dinamici (6 cfu)

      • Sistemi dinamici lineari (con richiami di algebra lineare), stabilità e teoria qualitativa per sistemi dinamici non lineari, formalismo hamiltoniano e lagrangiano ad un grado di libertà, sistemi dinamici discreti, un esempio elementare di caos.
    • Laboratorio di fisica per l'insegnamento (6 cfu)

      • Sviluppare competenze nella gestione di esperienze di laboratorio, fornire basi teoriche di un approccio alla misura. Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della fisica. La progettazione e lo sviluppo delle attività di insegnamento relative alla fisica. Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della fisica
    • Analisi matematica 3 (6 cfu)

      • Spazi di Hilbert. Spazi di Lebesgue L^p. Convoluzione di funzioni. Serie di Fourier. Trasformata di Fourier. Formula dell'area e integrazione su superfici. Funzioni armoniche.
    • Dinamica del sistema Terra-Luna (6 cfu)

      • Il sistema Terra-Luna-Sole e le caratteristiche principali dell'orbita della Luna. Il tracking laser della Luna nell'era spaziale (LLR-Lunar Laser Ranging). LLR e la verifica della Relatività Generale.
    • Teoria analitica dei numeri A (6 cfu)

      • Problemi legati alla distribuzione dei primi; la Zeta di Riemann e le funzioni L di Dirichlet.
    • Introduzione alla teoria geometrica della misura (6 cfu)

      • Misure e dimensione di Hausdorff. Insiemi rettificabli. Formula dell'area e della coarea
    • Elementi di analisi complessa (6 cfu)

      • Teorema di uniformizzazione di Riemann; proprietà geometriche del gruppo delle omografie; principio di simmetria e sue applicazioni; un modello di piano iperbolico; cenni sulle funzioni di più variabili complesse.
    • Calcolo delle variazioni B (6 cfu)

      • Teoria della regolarità per minimi di funzionali integrali.
    • Algebre e gruppi di Lie (6 cfu)

      • Teoremi di struttura per le algebre di Lie di dimensione finita (incluso il caso delle algebre semisemplici complesse). Gruppi di Lie e relazione con le algebre di Lie. Introduzione alla teoria delle rappresentazioni delle algebre e gruppi di Lie.
    • Origini e sviluppo delle matematiche moderne (6 cfu)

      • Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica moderna: inquadramento generale, lettura diretta di testi, discussione della letteratura in materia.
    • Fisica II (9 cfu)

      • Elettrostatica e magnetostatica nel vuoto, correnti stazionarie, induzione, circuiti passivi lineari RLC, equazioni di Maxwell, onde elettromagnetiche, polarizzazione, irraggiamento, riflessione e rifrazione.
    • Geometria algebrica C (6 cfu)

      • Curve e superfici di Riemann.
    • Teoria e metodi dell'ottimizzazione (6 cfu)

      • Ottimizzazione non lineare: condizioni di ottimalità per problemi vincolati e non vincolati, teoria della dualità, metodi risolutivi per problemi vincolati e non vincolati, applicazioni.
    • Analisi superiore (6 cfu)

      • Spazi vettoriali topologici. misure e distribuzioni. Operatori illimitatii, aggiunto ad un operatore non limiato, teoria spettrale per operatori non limitati. Calcolo funzionale Forme quadratiche, soluzioni deboli e soluzioni forti.
    • Topologia algebrica (6 cfu)

      • Omotopia e teorie coomologiche.
    • Geometria algebrica E (6 cfu)

      • Superfici algebriche.
    • Algebra computazionale B (6 cfu)

      • Metodi effettivi per la risoluzione di sistemi di equazioni polimonmiali.
    • Algebra lineare e multilineare (6 cfu)

      • Strutture algebriche lineari.
    • Complementi di analisi funzionale (6 cfu)

      • Spazi vettoriali topologici, misure e distribuzioni. Convoluzione, trasformata di Fourier, teorema di Paley-Wiener ed applicazioni alle EDP. Teoria spettrale per operatori non limitati. Calcolo operazionale, semigruppi di operatori. Teorema di Malgrange-Ehrenpreis. Teoremi di punto fisso in dimensione infinita ed applicazioni alle EDP.
    • Topologia generale (6 cfu)

      • Spazi normali, teorema di Urysohn, compattificazioni, teorema di Baire, paracompattezza, partizioni dell’unità.
    • Analisi non standard (6 cfu)

      • Fondamenti dell'analisi non standard, scelta di applicazioni ad altre aree della matematica.
    • Elementi di topologia algebrica (6 cfu)

      • Omologia simpliciale e singolare, CW complessi, coomologia, prodotto cup, dualità di Poincaré.
    • Equazioni della fluidodinamica (6 cfu)

      • Introduzione alla teoria matematica delle equazioni alle derivate parziali della meccanica dei continui e in particolare a quelle di Eulero e Navier-Stokes per fluidi incomprimibili.
    • Topologia e geometria in bassa dimensione (6 cfu)

      • Varietà topologiche, lineari a pezzi e differenziabili di dimensione minore di 5.
    • Spazi di funzioni (6 cfu)

      • Proprietà fini delle funzioni derivabili in senso debole: funzioni di Sobolev e BV, insiemi di perimetro finito. Altri spazi di funzioni. Riarrangiamento e disuguaglianze funzionali.
    • Elementi di geometria algebrica (6 cfu)

      • Varietà affini, proiettive e quasi-proiettive. Morfismi. Applicazioni razionali. Punti lisci e dimensione.
    • Algebra 2 (6 cfu)

      • Gruppi: azioni di gruppi, costruzioni e presentazioni di gruppi. Moduli e caratterizzazione dei moduli su un PID. Anelli noetheriani. Teorema della base di Hilbert. Basi di Groebner e applicazioni.
    • Problemi e metodi della ricerca in didattica della matematica (6 cfu)

      • Il corso, rivolto agli studenti interessati alla ricerca in didattica della matematica, intende dare l’opportunità di conoscere e confrontarsi con le problematiche tipiche di tale campo di ricerca (sia quelle classiche che quelle più recenti) e con i metodi di ricerca utilizzati.
    • Teoria dei gruppi (6 cfu)

      • Serie di composizione, gruppi di permutazioni, gruppi nilpotenti, gruppi risolubili.
    • 3-varietà (6 cfu)

      • Risultati classici sulla topologia delle 3-varietà. Esempi e costruzioni di 3-varietà.
    • Fisica III (6 cfu)

      • Sistemi e trasformazioni termodinamiche, gas perfetto, prima e seconda legge, temperatura ed entropia; potenziali ritardati, relatività speciale e legami con l'elettromagnetismo, cenni su argomenti di fisica moderna (meccanica quantistica e altro).
    • Elementi di meccanica celeste (6 cfu)

      • Problema dei 2 corpi ed equazione di Keplero. Problema dei 3 corpi ristretto circolare, integrale di Jacobi, criterio di stabilità di Hill, cenni su orbite confinate ma caotiche. Maree ed evoluzione mareale nel sistema solare; la Terra come corpo esteso.
    • Equazioni ellittiche (6 cfu)

      • Teoria della regolarità. Equazioni in forma di divergenza. Equazioni non variazionali. Equazioni non lineari. Problemi al contorno. Frontiera libera. Problemi con ostacolo. Equazioni degeneri. Teoria del potenziale. Funzioni armoniche. Interpolazione. Autovalori.
    • Meccanica celeste (6 cfu)

      • Singolarità e orbite periodiche nel problema degli N corpi
    • Teoria analitica dei numeri B (6 cfu)

      • Problemi analitici di natura additiva con particolare riferimento al metodo di Hardy e Littlewood
    • Elementi di probabilità e statistica (6 cfu)

      • Probabilità su spazi numerabili: condizionamento, indipendenza, variabili aleatorie. Variabili aleatorie con densità: variabili gaussiane. Inferenza statistica: stima, test, intervalli di fiducia. Principali test statistici su modelli gaussiani.
    • Algebra omologica (6 cfu)

      • Moduli proiettivi e iniettivi. Categorie e funtori. Funtori aggiunti. Categorie di moduli. Successioni esatte, risoluzioni, funtori derivati. (Co)omologia di gruppi e algebre.
    • Algebra 1 (6 cfu)

      • Gruppi: teoremi di omomorfismo, permutazioni, gruppi abeliani finiti. Anelli e ideali, anelli speciali, anelli di polinomi. Elementi di teoria di Galois.
    • Introduzione all'analisi p-adica (6 cfu)

      • Struttura dei numeri p-adici; continuità, differenziabilità e analiticità in campo p-adico.
    • Elementi avanzati di algebra lineare numerica (6 cfu)

      • Metodi di Krylov, GMRES, BiCG, polinomi di matrici, problemi polinomiali agli autovalori, funzioni di matrici.
    • Metodi numerici per equazioni differenziali ordinarie (6 cfu)

      • Problemi ai valori iniziali e ai valori limite, metodi a un passo, metodi a più passi, metodi di shooting.
    • 2-varietà (6 cfu)

      • Varietà di dimensione due e loro automorfismi.
    • Algoritmi e strutture dei dati (6 cfu)

      • Strutture dei dati, analisi di algoritmi e complessità, progetto di algoritmi.
    • Teoria ergodica (6 cfu)

      • Teoremi di Krein-Milman e di Choquet, teoria spettrale. Esempi di base. Teoremi di Poincaré, Birkhoff, von Neumann. Decomposizione ergodica. "Mixing" e "weak mixing". Operatore di Perron- Frobenius. Decadimento delle correlazioni. Entropia. Dinamica simbolica. Catene di Markov e misura di Parry.
    • Teoria dei codici (6 cfu)

      • Trasmissione con errore, correzione d'errore. Famiglie di codici correttori. Metodi di geometria algebrica e algebra computazionale per la costruzione di codici e la decodifica.
    • Teoria dei controlli (6 cfu)

      • Teoria di controllabilità, osservabilità e stabilizzazione via feedback; modelli di controllo lineari; teoria geometrica di controllabilità per sistemi regolari; sistemi switching e sistemi ibridi.
    • Dinamica iperbolica (6 cfu)

      • Sistemi dinamici iperbolici; dinamica in dimensione bassa.
    • Analisi complessa A (6 cfu)

      • Il fascio dei germi delle funzioni analitiche; Nullstellensatz; spazi analitici; Teoremi A e B di Cartan.
    • Probabilità superiore (6 cfu)

      • Presentazione di una selezione di argomenti avanzati di probabilità quali Spazi Gaussiani, Calcolo di Malliavin, processi di Levy e Levy-stabili.
    • Equazioni alle derivate parziali 2 (6 cfu)

      • Selezione di argomenti avanzati della teoria delle equazioni alle derivate parziali.
    • Equazioni iperboliche (6 cfu)

      • Equazioni differenziali di tipo iperbolico, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
    • Modelli matematici in biomedicina e fisica matematica (6 cfu)

      • Obiettivi formativi: Equazioni differenziali ordinarie con effetti dissipativi (ritardo, memoria, etc) e stabilità, e loro applicazioni in biomedicina. Equazioni alle derivate parziali e loro applicazioni in fisica matematica.
    • Analisi geometrica (6 cfu)

      • Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi geometrica.
    • Geometria algebrica F (6 cfu)

      • Varietà toriche.
    • Teoria descrittiva della complessità (6 cfu)

      • Modelli finiti e complessità computazionale
    • Teoria dei modelli (6 cfu)

      • Modelli di teorie del primo ordine. Compattezza. Equivalenza elementare. Applicazioni all'aritmetica, ai campi, e ad altre strutture algebrico-relazionali.
    • Elementi di teoria degli insiemi (6 cfu)

      • Nozioni di logica. Teoria assiomatica degli insiemi. Cardinali. Ordinali.
    • Teoria geometrica della misura (6 cfu)

      • Nozioni di base di teoria geometrica della misura. Correnti normali ed intere. Esistenza delle soluzioni per il problema di Plateau omologico. Varifold.
    • Problem solving (6 cfu)

      • Ruolo dei problemi nell’insegnamento della matematica; euristiche; problem solving e problem posing.
    • Teoria dei giochi (6 cfu)

      • Equilibri nei modelli di giochi noncooperativi, teoria dei giochi cooperativi, giochi posizionali e giochi differenziali
    • Analisi in spazi metrici (6 cfu)

      • Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi su spazi metrici.
    • Equazioni differenziali stocastiche e applicazioni (6 cfu)

      • Introduzione ai teoremi di esistenza ed unicità (debole o forte) per equazioni differenziali stocastiche ordinarie, legami con le equazioni alle derivate parziali, applicazioni in ambito fisico o biologico.
    • Matematica e società (6 cfu)

      • Matematica, società e curricula; il contesto culturale nell'insegnamento ed apprendimento della matematica; il ruolo delle conoscenze matematiche non-scolastiche.
    • Matematiche elementari da un punto di vista superiore: aritmetica (6 cfu)

      • Gli insiemi numerici: possibili introduzioni, proprietà
    • Fondamenti della matematica (6 cfu)

      • Sistemi formali e teorie fondazionali.
    • Geometria algebrica B (6 cfu)

      • Varietà complesse, metodi trascendenti
    • Equazioni paraboliche (6 cfu)

      • Equazioni differenziali di tipo parabolico, lineari e non lineari, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
    • Meccanica superiore (6 cfu)

      • Obiettivi formativi: Indicatori di comportamento caotico e metodi ergodici per sistemi meccanici
    • Teoria della misura (6 cfu)

      • Misure astratte, misure su uno spazio topologico, integrale di Daniell, convergenze di misure.
    • 4-varietà (6 cfu)

      • Risultati classici sulla topologia delle 4-varietà. Esempi e costruzioni di 4-varietà.
    • Complementi di fisica (6 cfu)

      • Onde. Elementi di relatività ristretta. Equazioni d'onda relativistiche. Complementi di termodinamica e statistica.
    • Statistica matematica (6 cfu)

      • Modelli statistici: modelli dominati. Stime: stime consistenti e di Massima verosimiglianza. Intervalli di fiducia e test. I principali test sui modelli gaussiani (di Student, di Fisher Snedecor). Modelli statistici non parametrici: teorema di Glivenko-Cantelli e e test del chi-quadro.
    • Analisi reale (6 cfu)

      • Fondamenti dell'analisi reale (teoria della misura, spazi di funzioni).
    • Capacità non lineare, disequazioni variazionali e applicazioni (6 cfu)

      • Il percorso scelto ci permetterà di illustrare alcune tecniche e argomenti classici per trovare condizioni necessarie e sufficienti affinché un punto di frontiera sia regolare relativamente al problema di Dirichlet non omogeneo per l'operatore di Laplace non-lineare (il cosiddetto p-laplaciano).
    • Complementi di didattica della matematica (6 cfu)

      • Processi di apprendimento della matematica; contesti e tipi di razionalità; ostacoli epistemologici e didattici nell’insegnamento della matematica
    • Teoria della dimostrazione (6 cfu)

      • Il concetto formale di dimostrazione. Sistemi dimostrativi. Logiche non classiche. Analisi ordinale
    • Geometria iperbolica (6 cfu)

      • Lo spazio iperbolico. Esempi e costruzioni di varietà iperboliche. Proprietà topologiche e geometriche di varietà iperboliche.
  • 6 cfu a scelta nel gruppo ModAppl

    • Moduli applicativi
    • Meccanica razionale (6 cfu)

      • Fondamenti di meccanica newtoniana, equazioni cardinali, moti centrali, corpo rigido, moti vincolati ed equazioni di Lagrange, integrali primi e riduzione, equilibri e piccole oscillazioni.
    • Ricerca operativa (6 cfu)

      • Grafi, programmazione lineare, programmazione intera, elementi di teoria dell'ottimizzazione.
    • Calcolo scientifico (6 cfu)

      • Problemi di minimi quadrati, metodi del gradiente, decomposizione a valori singolari, calcolo di autovalori.
    • Metodi numerici per catene di Markov (6 cfu)

      • Matrici nonnegative e teorema di Perron-Frobenius. Metodi per catene di Markov finite e infinite. Modelli di code e loro matrici di transizione.
    • Probabilità (6 cfu)

      • Complementi di misura e integrazione: integrazione delle variabili aleatorie. Indipendenza di variabili aleatorie: leggi 0-1. Le funzioni caratteristiche. Convergenza di variabili aleatorie. Teoremi limite (leggi dei Grandi Numeri e teorema del Limite Centrale). Due esempi di processi stocastici: il processo di Wiener e il processo di Poisson.
    • Fisica matematica (6 cfu)

      • Richiami di meccanica hamiltoniana, sistemi completamente integrabili e variabili azione angolo. Metodi perturbativi: teorema della media. Soluzioni periodiche del problema degli N-corpi, teorema geometrico di Poincaré-Birkhoff. Orbite periodiche con metodi variazionali.
    • Metodi di approssimazione (6 cfu)

      • Risoluzione numerica di equazioni matriciali. Algoritmi numerici per matrici con struttura.
    • Geodesia via satellite (6 cfu)

      • Problema dei minimi quadrati, simmetrie e degenerazioni. Campo gravitazionale di un corpo esteso, problema del satellite. Perturbazioni non-gravitazionali, geodesia e gravimetria spaziale, terrestre e interplanetaria.
    • Dinamica del sistema solare (6 cfu)

      • Equazioni del moto dei pianeti. Teorie perturbative, elementi propri. Risonanze, piccoli divisori, esponenti di Lyapunov.
    • Statistica Superiore (6 cfu)

      • Il corso si propone di fornirei: • Conoscenze fondamentali di statistica multivariata utili per l’analisi di tabelle di dati e serie storiche. • Abilità nell’uso del software statistico R. L’allievo al termine del corso conoscerà la teoria riguardante l’analisi di dati e serie storiche, sarà in grado di esaminare tabelle di dati e serie storiche tramite metodologie di statistica multivariata e saprà dare conclusioni quantitative per mezzo del software R. In particolare saprà quindi conoscere e saper applicare: • La regressione lineare multipla. • Il metodo delle componenti principali e analisi fattoriale. • Metodi di classificazione e clustering. • Metodi di analisi e previsione di serie storiche.
    • Meccanica spaziale (6 cfu)

      • Moto di satelliti artificiali e sonde spaziali, missioni spaziali interplanetarie.
    • Determinazione orbitale (6 cfu)

      • Problema dei minimi quadrati, simmetrie e degenerazioni. Problema dell'identificazione. Orbite preliminari. Soluzioni deboli. Incontri ravvicinati e monitoraggio degli impatti.
    • Teoria e metodi dell'ottimizzazione (6 cfu)

      • Ottimizzazione non lineare: condizioni di ottimalità per problemi vincolati e non vincolati, teoria della dualità, metodi risolutivi per problemi vincolati e non vincolati, applicazioni.
    • Elementi di meccanica celeste (6 cfu)

      • Problema dei 2 corpi ed equazione di Keplero. Problema dei 3 corpi ristretto circolare, integrale di Jacobi, criterio di stabilità di Hill, cenni su orbite confinate ma caotiche. Maree ed evoluzione mareale nel sistema solare; la Terra come corpo esteso.
    • Meccanica celeste (6 cfu)

      • Singolarità e orbite periodiche nel problema degli N corpi
    • Metodi numerici per equazioni differenziali ordinarie (6 cfu)

      • Problemi ai valori iniziali e ai valori limite, metodi a un passo, metodi a più passi, metodi di shooting.
    • Teoria dei giochi (6 cfu)

      • Equilibri nei modelli di giochi noncooperativi, teoria dei giochi cooperativi, giochi posizionali e giochi differenziali
    • Meccanica superiore (6 cfu)

      • Obiettivi formativi: Indicatori di comportamento caotico e metodi ergodici per sistemi meccanici
    • Statistica matematica (6 cfu)

      • Modelli statistici: modelli dominati. Stime: stime consistenti e di Massima verosimiglianza. Intervalli di fiducia e test. I principali test sui modelli gaussiani (di Student, di Fisher Snedecor). Modelli statistici non parametrici: teorema di Glivenko-Cantelli e e test del chi-quadro.
  • 6 cfu a scelta nel gruppo ModAppl

    • Moduli applicativi
    • Meccanica razionale (6 cfu)

      • Fondamenti di meccanica newtoniana, equazioni cardinali, moti centrali, corpo rigido, moti vincolati ed equazioni di Lagrange, integrali primi e riduzione, equilibri e piccole oscillazioni.
    • Ricerca operativa (6 cfu)

      • Grafi, programmazione lineare, programmazione intera, elementi di teoria dell'ottimizzazione.
    • Calcolo scientifico (6 cfu)

      • Problemi di minimi quadrati, metodi del gradiente, decomposizione a valori singolari, calcolo di autovalori.
    • Metodi numerici per catene di Markov (6 cfu)

      • Matrici nonnegative e teorema di Perron-Frobenius. Metodi per catene di Markov finite e infinite. Modelli di code e loro matrici di transizione.
    • Probabilità (6 cfu)

      • Complementi di misura e integrazione: integrazione delle variabili aleatorie. Indipendenza di variabili aleatorie: leggi 0-1. Le funzioni caratteristiche. Convergenza di variabili aleatorie. Teoremi limite (leggi dei Grandi Numeri e teorema del Limite Centrale). Due esempi di processi stocastici: il processo di Wiener e il processo di Poisson.
    • Fisica matematica (6 cfu)

      • Richiami di meccanica hamiltoniana, sistemi completamente integrabili e variabili azione angolo. Metodi perturbativi: teorema della media. Soluzioni periodiche del problema degli N-corpi, teorema geometrico di Poincaré-Birkhoff. Orbite periodiche con metodi variazionali.
    • Metodi di approssimazione (6 cfu)

      • Risoluzione numerica di equazioni matriciali. Algoritmi numerici per matrici con struttura.
    • Geodesia via satellite (6 cfu)

      • Problema dei minimi quadrati, simmetrie e degenerazioni. Campo gravitazionale di un corpo esteso, problema del satellite. Perturbazioni non-gravitazionali, geodesia e gravimetria spaziale, terrestre e interplanetaria.
    • Dinamica del sistema solare (6 cfu)

      • Equazioni del moto dei pianeti. Teorie perturbative, elementi propri. Risonanze, piccoli divisori, esponenti di Lyapunov.
    • Statistica Superiore (6 cfu)

      • Il corso si propone di fornirei: • Conoscenze fondamentali di statistica multivariata utili per l’analisi di tabelle di dati e serie storiche. • Abilità nell’uso del software statistico R. L’allievo al termine del corso conoscerà la teoria riguardante l’analisi di dati e serie storiche, sarà in grado di esaminare tabelle di dati e serie storiche tramite metodologie di statistica multivariata e saprà dare conclusioni quantitative per mezzo del software R. In particolare saprà quindi conoscere e saper applicare: • La regressione lineare multipla. • Il metodo delle componenti principali e analisi fattoriale. • Metodi di classificazione e clustering. • Metodi di analisi e previsione di serie storiche.
    • Meccanica spaziale (6 cfu)

      • Moto di satelliti artificiali e sonde spaziali, missioni spaziali interplanetarie.
    • Determinazione orbitale (6 cfu)

      • Problema dei minimi quadrati, simmetrie e degenerazioni. Problema dell'identificazione. Orbite preliminari. Soluzioni deboli. Incontri ravvicinati e monitoraggio degli impatti.
    • Teoria e metodi dell'ottimizzazione (6 cfu)

      • Ottimizzazione non lineare: condizioni di ottimalità per problemi vincolati e non vincolati, teoria della dualità, metodi risolutivi per problemi vincolati e non vincolati, applicazioni.
    • Elementi di meccanica celeste (6 cfu)

      • Problema dei 2 corpi ed equazione di Keplero. Problema dei 3 corpi ristretto circolare, integrale di Jacobi, criterio di stabilità di Hill, cenni su orbite confinate ma caotiche. Maree ed evoluzione mareale nel sistema solare; la Terra come corpo esteso.
    • Meccanica celeste (6 cfu)

      • Singolarità e orbite periodiche nel problema degli N corpi
    • Metodi numerici per equazioni differenziali ordinarie (6 cfu)

      • Problemi ai valori iniziali e ai valori limite, metodi a un passo, metodi a più passi, metodi di shooting.
    • Teoria dei giochi (6 cfu)

      • Equilibri nei modelli di giochi noncooperativi, teoria dei giochi cooperativi, giochi posizionali e giochi differenziali
    • Meccanica superiore (6 cfu)

      • Obiettivi formativi: Indicatori di comportamento caotico e metodi ergodici per sistemi meccanici
    • Statistica matematica (6 cfu)

      • Modelli statistici: modelli dominati. Stime: stime consistenti e di Massima verosimiglianza. Intervalli di fiducia e test. I principali test sui modelli gaussiani (di Student, di Fisher Snedecor). Modelli statistici non parametrici: teorema di Glivenko-Cantelli e e test del chi-quadro.
  • 6 cfu a scelta nel gruppo ModTeor

    • Moduli teorici
    • Dinamica olomorfa (6 cfu)

      • Insiemi di Julia e di Fatou; dinamica di funzioni olomorfe di una variabile.
    • Teoria dei numeri elementare (6 cfu)

      • Congruenze di grado superiore al primo e struttura moltiplicativa delle classi di resto. Proprietà algebriche e asintotiche delle funzioni aritmetiche. Problemi additivi e moltiplicativi legati alla distribuzione dei numeri primi. Approssimazioni razionali di numeri algebrici e trascendenti
    • Problemi di evoluzione (6 cfu)

      • Equazioni astratte, scale di Banach. Teorema di Cauchy-Kovalewski. Caratteristiche. Equazione delle onde. Sistemi iperbolici a coefficienti costanti. Condizioni  di Hadamard-Garding. Sistemi simmetrici, metodo dell'energia. Sistemi strettamente iperbolici. Simmetrizzatore micro-locale.
    • Elementi di calcolo delle variazioni (6 cfu)

      • Principi variazionali in una e più variabili. Equazione di Eulero-Lagrange. Condizioni sufficienti di minimalità. Esempi classici di problemi variazionali. Funzioni assolutamente continue e metodo diretto. Geodetiche. Teorema del passo montano e principi di minimax.
    • Teoria algebrica dei numeri 1 (6 cfu)

      • Campi di numeri, interi dei campi di numeri; fattorizzazione unica degli ideali, ramificazione, gruppo delle classi di ideali, teorema delle unità di Dirichlet.
    • Teoria dei campi e teoria di Galois (6 cfu)

      • Estensioni algebriche ed estensioni trascendenti, chiusura algebrica, separabilità, teoria di Galois, risolubilità, estensioni abeliane, teoria di Kummer.
    • Metodi topologici in analisi globale (6 cfu)

      • Elementi di analisi non lineare per alcuni problemi di tipo “globale”, quali: il problema della sella, il punto fisso di Brouwer, le dimensioni e l’invarianza del dominio, la pettinabilità della sfera, il problema di Jordan. Applicazioni alle equazioni differenziali.
    • Geometria reale B (6 cfu)

      • Geometria degli insiemi semianalitici e subanalitici.
    • Geometria e topologia delle superfici (6 cfu)

      • Spazio di Teichmüller; laminazioni geodetiche; complessi di curve.
    • Calcolo delle variazioni A (6 cfu)

      • Il metodo diretto nel calcolo delle variazioni. Condizioni necessarie e sufficienti di semicontinuità inferiore per funzionali integrali su spazi di Sobolev di funzioni scalari. Il caso vettoriale. Integrali invarianti. Misure di Young e misure di Young gradienti. Convessità, convessità di rango-uno, quasiconessità, policonvessità. Rilassamento.
    • Algebra superiore A (6 cfu)

      • Algebra commutativa.
    • Analisi armonica (6 cfu)

      • Fondamenti dell'Analisi armonica, interpolazione reale e comlessa, spazi di Lorentz, funzioni massimali, teoria di Calderon-Zygmund, spazi BMO, moltiplicatori di Fourier, integrali oscillanti e teoremi di restizione.
    • Ultrafiltri e metodi nonstandard (6 cfu)

      • Ultrafiltri e ultrapotenze. Fondamenti dell'analisi non-standard. Applicazioni alla teoria di Ramsey e alla teoria combinatoria dei numeri.
    • Equazioni alle derivate parziali (6 cfu)

      • Equazioni e sistemi del primo ordine. Rappresentazione esplicita delle soluzioni delle equazioni di Laplace, del calore, e delle onde. Proprietà qualitative delle soluzioni: principio del massimo, unicità, regolarità e dispersione.
    • Analisi convessa (6 cfu)

      • Topologie deboli su spazi di Banach, funzioni convesse, calcolo in spazi di Banach, sottodifferenziale, disequazioni variazionali, multifunzioni.
    • Geometria riemanniana (6 cfu)

      • Relazioni fra curvatura e topologia; teoremi di confronto e di pinching.
    • Algebra commutativa e geometria algebrica computazionale (6 cfu)

      • Costruzioni e algoritmi per l'algebra commutativa e la geometria algebrica, applicazioni.
    • Elementi di algebra computazionale (6 cfu)

      • Rappresentazione di interi e polinomi. Algoritmi algebrici fondamentati. Sistemi di calcolo algebrico.
    • Geometria reale A (6 cfu)

      • Geometria degli insiemi semialgebrici. Algebra reale. Strutture o-minimali.
    • Logica matematica (6 cfu)

      • Calcolo dei predicati. Teoremi di incompletezza di Godel. Decidibilità e indecidibilità.
    • Algebra superiore B (6 cfu)

      • Algebre e loro rappresentazioni
    • Geometria differenziale complessa (6 cfu)

      • Varietà complesse; coomologia di Dolbeault; varietà di Stein; metriche e distanze intrinseche.
    • Teoria degli insiemi (6 cfu)

      • Modelli della teoria degli insiemi.
    • Teoria dei nodi (6 cfu)

      • Invarianti di nodi e di link. Trecce.
    • Geometria e topologia differenziale (6 cfu)

      • Geometria differenziale di curve e superfici nello spazio euclideo, introduzione a varietà e mappe differenziabili in dimensione n.
    • Geometria algebrica A (6 cfu)

      • Schemi, fasci, coomologia.
    • Analisi non lineare (6 cfu)

      • Teorie e metodi sul comportamento globale di operatori non lineari, fra spazi di dimensione finita o spazi di funzioni, collegati con classici problemio equazioni non lineari.
    • Topologia differenziale (6 cfu)

      • Funzioni di Morse e decomposizioni in manici. Teorema dell'h-cobordismo.
    • Algebra computazionale A (6 cfu)

      • Aritmetica, fattorizzazione, integrazione.
    • Analisi matematica 3 (6 cfu)

      • Spazi di Hilbert. Spazi di Lebesgue L^p. Convoluzione di funzioni. Serie di Fourier. Trasformata di Fourier. Formula dell'area e integrazione su superfici. Funzioni armoniche.
    • Teoria analitica dei numeri A (6 cfu)

      • Problemi legati alla distribuzione dei primi; la Zeta di Riemann e le funzioni L di Dirichlet.
    • Elementi di analisi complessa (6 cfu)

      • Teorema di uniformizzazione di Riemann; proprietà geometriche del gruppo delle omografie; principio di simmetria e sue applicazioni; un modello di piano iperbolico; cenni sulle funzioni di più variabili complesse.
    • Geometria algebrica C (6 cfu)

      • Curve e superfici di Riemann.
    • Analisi superiore (6 cfu)

      • Spazi vettoriali topologici. misure e distribuzioni. Operatori illimitatii, aggiunto ad un operatore non limiato, teoria spettrale per operatori non limitati. Calcolo funzionale Forme quadratiche, soluzioni deboli e soluzioni forti.
    • Topologia algebrica (6 cfu)

      • Omotopia e teorie coomologiche.
    • Algebra computazionale B (6 cfu)

      • Metodi effettivi per la risoluzione di sistemi di equazioni polimonmiali.
    • Elementi di topologia algebrica (6 cfu)

      • Omologia simpliciale e singolare, CW complessi, coomologia, prodotto cup, dualità di Poincaré.
    • Equazioni della fluidodinamica (6 cfu)

      • Introduzione alla teoria matematica delle equazioni alle derivate parziali della meccanica dei continui e in particolare a quelle di Eulero e Navier-Stokes per fluidi incomprimibili.
    • Topologia e geometria in bassa dimensione (6 cfu)

      • Varietà topologiche, lineari a pezzi e differenziabili di dimensione minore di 5.
    • Elementi di geometria algebrica (6 cfu)

      • Varietà affini, proiettive e quasi-proiettive. Morfismi. Applicazioni razionali. Punti lisci e dimensione.
    • Algebra 2 (6 cfu)

      • Gruppi: azioni di gruppi, costruzioni e presentazioni di gruppi. Moduli e caratterizzazione dei moduli su un PID. Anelli noetheriani. Teorema della base di Hilbert. Basi di Groebner e applicazioni.
    • 3-varietà (6 cfu)

      • Risultati classici sulla topologia delle 3-varietà. Esempi e costruzioni di 3-varietà.
    • Equazioni ellittiche (6 cfu)

      • Teoria della regolarità. Equazioni in forma di divergenza. Equazioni non variazionali. Equazioni non lineari. Problemi al contorno. Frontiera libera. Problemi con ostacolo. Equazioni degeneri. Teoria del potenziale. Funzioni armoniche. Interpolazione. Autovalori.
    • Teoria dei controlli (6 cfu)

      • Teoria di controllabilità, osservabilità e stabilizzazione via feedback; modelli di controllo lineari; teoria geometrica di controllabilità per sistemi regolari; sistemi switching e sistemi ibridi.
    • Analisi complessa A (6 cfu)

      • Il fascio dei germi delle funzioni analitiche; Nullstellensatz; spazi analitici; Teoremi A e B di Cartan.
    • Equazioni alle derivate parziali 2 (6 cfu)

      • Selezione di argomenti avanzati della teoria delle equazioni alle derivate parziali.
    • Equazioni iperboliche (6 cfu)

      • Equazioni differenziali di tipo iperbolico, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
    • Teoria dei modelli (6 cfu)

      • Modelli di teorie del primo ordine. Compattezza. Equivalenza elementare. Applicazioni all'aritmetica, ai campi, e ad altre strutture algebrico-relazionali.
    • Elementi di teoria degli insiemi (6 cfu)

      • Nozioni di logica. Teoria assiomatica degli insiemi. Cardinali. Ordinali.
    • Geometria algebrica B (6 cfu)

      • Varietà complesse, metodi trascendenti
    • Teoria della misura (6 cfu)

      • Misure astratte, misure su uno spazio topologico, integrale di Daniell, convergenze di misure.
    • Geometria iperbolica (6 cfu)

      • Lo spazio iperbolico. Esempi e costruzioni di varietà iperboliche. Proprietà topologiche e geometriche di varietà iperboliche.
  • 6 cfu a scelta nel gruppo ModTeor

    • Moduli teorici
    • Dinamica olomorfa (6 cfu)

      • Insiemi di Julia e di Fatou; dinamica di funzioni olomorfe di una variabile.
    • Teoria dei numeri elementare (6 cfu)

      • Congruenze di grado superiore al primo e struttura moltiplicativa delle classi di resto. Proprietà algebriche e asintotiche delle funzioni aritmetiche. Problemi additivi e moltiplicativi legati alla distribuzione dei numeri primi. Approssimazioni razionali di numeri algebrici e trascendenti
    • Problemi di evoluzione (6 cfu)

      • Equazioni astratte, scale di Banach. Teorema di Cauchy-Kovalewski. Caratteristiche. Equazione delle onde. Sistemi iperbolici a coefficienti costanti. Condizioni  di Hadamard-Garding. Sistemi simmetrici, metodo dell'energia. Sistemi strettamente iperbolici. Simmetrizzatore micro-locale.
    • Elementi di calcolo delle variazioni (6 cfu)

      • Principi variazionali in una e più variabili. Equazione di Eulero-Lagrange. Condizioni sufficienti di minimalità. Esempi classici di problemi variazionali. Funzioni assolutamente continue e metodo diretto. Geodetiche. Teorema del passo montano e principi di minimax.
    • Teoria algebrica dei numeri 1 (6 cfu)

      • Campi di numeri, interi dei campi di numeri; fattorizzazione unica degli ideali, ramificazione, gruppo delle classi di ideali, teorema delle unità di Dirichlet.
    • Teoria dei campi e teoria di Galois (6 cfu)

      • Estensioni algebriche ed estensioni trascendenti, chiusura algebrica, separabilità, teoria di Galois, risolubilità, estensioni abeliane, teoria di Kummer.
    • Metodi topologici in analisi globale (6 cfu)

      • Elementi di analisi non lineare per alcuni problemi di tipo “globale”, quali: il problema della sella, il punto fisso di Brouwer, le dimensioni e l’invarianza del dominio, la pettinabilità della sfera, il problema di Jordan. Applicazioni alle equazioni differenziali.
    • Geometria reale B (6 cfu)

      • Geometria degli insiemi semianalitici e subanalitici.
    • Geometria e topologia delle superfici (6 cfu)

      • Spazio di Teichmüller; laminazioni geodetiche; complessi di curve.
    • Calcolo delle variazioni A (6 cfu)

      • Il metodo diretto nel calcolo delle variazioni. Condizioni necessarie e sufficienti di semicontinuità inferiore per funzionali integrali su spazi di Sobolev di funzioni scalari. Il caso vettoriale. Integrali invarianti. Misure di Young e misure di Young gradienti. Convessità, convessità di rango-uno, quasiconessità, policonvessità. Rilassamento.
    • Algebra superiore A (6 cfu)

      • Algebra commutativa.
    • Analisi armonica (6 cfu)

      • Fondamenti dell'Analisi armonica, interpolazione reale e comlessa, spazi di Lorentz, funzioni massimali, teoria di Calderon-Zygmund, spazi BMO, moltiplicatori di Fourier, integrali oscillanti e teoremi di restizione.
    • Ultrafiltri e metodi nonstandard (6 cfu)

      • Ultrafiltri e ultrapotenze. Fondamenti dell'analisi non-standard. Applicazioni alla teoria di Ramsey e alla teoria combinatoria dei numeri.
    • Equazioni alle derivate parziali (6 cfu)

      • Equazioni e sistemi del primo ordine. Rappresentazione esplicita delle soluzioni delle equazioni di Laplace, del calore, e delle onde. Proprietà qualitative delle soluzioni: principio del massimo, unicità, regolarità e dispersione.
    • Analisi convessa (6 cfu)

      • Topologie deboli su spazi di Banach, funzioni convesse, calcolo in spazi di Banach, sottodifferenziale, disequazioni variazionali, multifunzioni.
    • Geometria riemanniana (6 cfu)

      • Relazioni fra curvatura e topologia; teoremi di confronto e di pinching.
    • Algebra commutativa e geometria algebrica computazionale (6 cfu)

      • Costruzioni e algoritmi per l'algebra commutativa e la geometria algebrica, applicazioni.
    • Elementi di algebra computazionale (6 cfu)

      • Rappresentazione di interi e polinomi. Algoritmi algebrici fondamentati. Sistemi di calcolo algebrico.
    • Geometria reale A (6 cfu)

      • Geometria degli insiemi semialgebrici. Algebra reale. Strutture o-minimali.
    • Logica matematica (6 cfu)

      • Calcolo dei predicati. Teoremi di incompletezza di Godel. Decidibilità e indecidibilità.
    • Algebra superiore B (6 cfu)

      • Algebre e loro rappresentazioni
    • Geometria differenziale complessa (6 cfu)

      • Varietà complesse; coomologia di Dolbeault; varietà di Stein; metriche e distanze intrinseche.
    • Teoria degli insiemi (6 cfu)

      • Modelli della teoria degli insiemi.
    • Teoria dei nodi (6 cfu)

      • Invarianti di nodi e di link. Trecce.
    • Geometria e topologia differenziale (6 cfu)

      • Geometria differenziale di curve e superfici nello spazio euclideo, introduzione a varietà e mappe differenziabili in dimensione n.
    • Geometria algebrica A (6 cfu)

      • Schemi, fasci, coomologia.
    • Analisi non lineare (6 cfu)

      • Teorie e metodi sul comportamento globale di operatori non lineari, fra spazi di dimensione finita o spazi di funzioni, collegati con classici problemio equazioni non lineari.
    • Topologia differenziale (6 cfu)

      • Funzioni di Morse e decomposizioni in manici. Teorema dell'h-cobordismo.
    • Algebra computazionale A (6 cfu)

      • Aritmetica, fattorizzazione, integrazione.
    • Analisi matematica 3 (6 cfu)

      • Spazi di Hilbert. Spazi di Lebesgue L^p. Convoluzione di funzioni. Serie di Fourier. Trasformata di Fourier. Formula dell'area e integrazione su superfici. Funzioni armoniche.
    • Teoria analitica dei numeri A (6 cfu)

      • Problemi legati alla distribuzione dei primi; la Zeta di Riemann e le funzioni L di Dirichlet.
    • Elementi di analisi complessa (6 cfu)

      • Teorema di uniformizzazione di Riemann; proprietà geometriche del gruppo delle omografie; principio di simmetria e sue applicazioni; un modello di piano iperbolico; cenni sulle funzioni di più variabili complesse.
    • Geometria algebrica C (6 cfu)

      • Curve e superfici di Riemann.
    • Analisi superiore (6 cfu)

      • Spazi vettoriali topologici. misure e distribuzioni. Operatori illimitatii, aggiunto ad un operatore non limiato, teoria spettrale per operatori non limitati. Calcolo funzionale Forme quadratiche, soluzioni deboli e soluzioni forti.
    • Topologia algebrica (6 cfu)

      • Omotopia e teorie coomologiche.
    • Algebra computazionale B (6 cfu)

      • Metodi effettivi per la risoluzione di sistemi di equazioni polimonmiali.
    • Elementi di topologia algebrica (6 cfu)

      • Omologia simpliciale e singolare, CW complessi, coomologia, prodotto cup, dualità di Poincaré.
    • Equazioni della fluidodinamica (6 cfu)

      • Introduzione alla teoria matematica delle equazioni alle derivate parziali della meccanica dei continui e in particolare a quelle di Eulero e Navier-Stokes per fluidi incomprimibili.
    • Topologia e geometria in bassa dimensione (6 cfu)

      • Varietà topologiche, lineari a pezzi e differenziabili di dimensione minore di 5.
    • Elementi di geometria algebrica (6 cfu)

      • Varietà affini, proiettive e quasi-proiettive. Morfismi. Applicazioni razionali. Punti lisci e dimensione.
    • Algebra 2 (6 cfu)

      • Gruppi: azioni di gruppi, costruzioni e presentazioni di gruppi. Moduli e caratterizzazione dei moduli su un PID. Anelli noetheriani. Teorema della base di Hilbert. Basi di Groebner e applicazioni.
    • 3-varietà (6 cfu)

      • Risultati classici sulla topologia delle 3-varietà. Esempi e costruzioni di 3-varietà.
    • Equazioni ellittiche (6 cfu)

      • Teoria della regolarità. Equazioni in forma di divergenza. Equazioni non variazionali. Equazioni non lineari. Problemi al contorno. Frontiera libera. Problemi con ostacolo. Equazioni degeneri. Teoria del potenziale. Funzioni armoniche. Interpolazione. Autovalori.
    • Teoria dei controlli (6 cfu)

      • Teoria di controllabilità, osservabilità e stabilizzazione via feedback; modelli di controllo lineari; teoria geometrica di controllabilità per sistemi regolari; sistemi switching e sistemi ibridi.
    • Analisi complessa A (6 cfu)

      • Il fascio dei germi delle funzioni analitiche; Nullstellensatz; spazi analitici; Teoremi A e B di Cartan.
    • Equazioni alle derivate parziali 2 (6 cfu)

      • Selezione di argomenti avanzati della teoria delle equazioni alle derivate parziali.
    • Equazioni iperboliche (6 cfu)

      • Equazioni differenziali di tipo iperbolico, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
    • Teoria dei modelli (6 cfu)

      • Modelli di teorie del primo ordine. Compattezza. Equivalenza elementare. Applicazioni all'aritmetica, ai campi, e ad altre strutture algebrico-relazionali.
    • Elementi di teoria degli insiemi (6 cfu)

      • Nozioni di logica. Teoria assiomatica degli insiemi. Cardinali. Ordinali.
    • Geometria algebrica B (6 cfu)

      • Varietà complesse, metodi trascendenti
    • Teoria della misura (6 cfu)

      • Misure astratte, misure su uno spazio topologico, integrale di Daniell, convergenze di misure.
    • Geometria iperbolica (6 cfu)

      • Lo spazio iperbolico. Esempi e costruzioni di varietà iperboliche. Proprietà topologiche e geometriche di varietà iperboliche.
  • Secondo anno

  • A scelta dello studente (6 cfu)

    • Qualsiasi insegnamento attivato nell'Ateneo, purché coerente con il progetto formativo. La coerenza delle attività scelte dallo studente con il progetto formativo deve essere approvata dal Consiglio di Corso di Studio, anche tenendo conto degli specifici interessi culturali e di sviluppo di carriera dello studente.
  • Prova finale (27 cfu)

    • La prova finale del corso di Laurea Magistrale in Matematica consiste nella stesura di una tesi (in italiano o in inglese) elaborata in modo originale dallo studente con l’assistenza di almeno un docente (relatore), eventualmente esterno al corso di studi, e in una esposizione orale conclusiva del lavoro svolto. La prova finale verrà valutata in base alla originalità dei risultati, alla padronanza dell’argomento, all’autonomia e alle capacità espositiva e di ricerca bibliografica mostrate dal candidato. La redazione della tesi può eventualmente avvenire anche all’interno di un tirocinio formativo (stage) presso aziende o laboratori esterni, o durante soggiorni di studio presso altre università italiane ed estere, anche nel quadro di accordi internazionali.
      Alla prova finale sono attribuiti 27 CFU, di cui 1 CFU corrispondente a ulteriori attività formative utili per l’inserimento nel mondo del lavoro.
      Nomina del controrelatore.
      La tesi dev’essere esaminata anche da un controrelatore, che produrrà un parere da presentare in fase
      di discussione finale. Se il relatore è esterno al dipartimento di Matematica dell’Università di Pisa, allora il controrelatore dev’essere scelto fra i docenti afferenti al dipartimento di Matematica dell’Università di Pisa. La nomina del controrelatore spetta al presidente di corso di laurea magistrale in Matematica, partendo (ma non necessariamente limitandosi a) uno o più nominativi che devono essere suggeriti dal relatore con almeno un mese d’anticipo sulla sessione di laurea in cui sarà discussa la tesi.
  • 6 cfu a scelta nel gruppo ModAffInt

    • Moduli affini e integrativi
    • Meccanica dei continui (6 cfu)

      • Richiami di calcolo tensoriale, meccanica dei continui tridimensionali e dei continui unidimensionali (anche con struttura).
    • Storia della matematica antica e della sua tradizione (6 cfu)

      • Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica antica: inquadramento generale (caratteristiche della matematica greca, concetto di tradizione testuale, edizioni di riferimento), lettura diretta di testi legati a un autore classico o a una problematica, e studio della tradizione rinascimentale e dell'impatto sulla nascita della matematica moderna.
    • Meccanica relativistica (6 cfu)

      • Relatività speciale e principio di equivalenza di Einstein. Spazio-tempo come varietà. Moto lungo una geodetica. Equazioni di Einstein per la curvatura dello spazio-tempo. Metrica di Schwarzschild e di Kerr. Esempi di osservabili relativistiche
    • Dinamica olomorfa (6 cfu)

      • Insiemi di Julia e di Fatou; dinamica di funzioni olomorfe di una variabile.
    • Spazi simmetrici (6 cfu)

      • Gruppi di Lie. Algebre di Lie. Spazi localmente simmetrici e spazi simmetrici.
    • Analisi microlocale (6 cfu)

      • Operatori pseudodifferenziali. Integrali oscillanti. Fronte d'onda e propagazione delle singolarità. Teorema di Hörmander. Ottica geometrica e operatori integrali di Fourier. Disuguaglianza di Fefferman- Phong. Calcolo paradifferenziale. Teoria di Littlewood- Paley. Localizzazione in spazi di frequenza. Spazi di Besov.
    • Teoria dei semigruppi (6 cfu)

      • Semigruppi di operatori, applicazioni alle equazioni di evoluzione
    • Ricerca operativa (6 cfu)

      • Grafi, programmazione lineare, programmazione intera, elementi di teoria dell'ottimizzazione.
    • Teoria dei numeri elementare (6 cfu)

      • Congruenze di grado superiore al primo e struttura moltiplicativa delle classi di resto. Proprietà algebriche e asintotiche delle funzioni aritmetiche. Problemi additivi e moltiplicativi legati alla distribuzione dei numeri primi. Approssimazioni razionali di numeri algebrici e trascendenti
    • Problemi di evoluzione (6 cfu)

      • Equazioni astratte, scale di Banach. Teorema di Cauchy-Kovalewski. Caratteristiche. Equazione delle onde. Sistemi iperbolici a coefficienti costanti. Condizioni  di Hadamard-Garding. Sistemi simmetrici, metodo dell'energia. Sistemi strettamente iperbolici. Simmetrizzatore micro-locale.
    • Calcolo scientifico (6 cfu)

      • Problemi di minimi quadrati, metodi del gradiente, decomposizione a valori singolari, calcolo di autovalori.
    • Elementi di calcolo in gruppi omogenei (6 cfu)

      • Gruppi di Lie nilpotenti semplicemente connessi: dilatazioni intrinseche, distanze invarianti, misura di Haar. Differenziabilità rispetto l'operazione di gruppo e le dilatazioni.
    • Campi ciclotomici (6 cfu)

      • Caratteri di Dirichlet, serie L di Dirichlet, numeri di Bernoulli, fomrula del numero di classi, teorema di Stickelberger.
    • Matematiche elementari da un punto di vista superiore: geometria (6 cfu)

      • Assiomatiche per la geometria euclidea; geometrie non euclidee; trasformazioni geometriche
    • Metodi matematici della crittografia (6 cfu)

      • Metodi ed algoritmi matematici applicati alla crittografia ed alla crittanalisi: fattorizzazione, logaritmo discreto. Curve ellittiche, fattorizzazione e crittografia ellittica ed iperellittica. Reticoli.
    • Metodi numerici per catene di Markov (6 cfu)

      • Matrici nonnegative e teorema di Perron-Frobenius. Metodi per catene di Markov finite e infinite. Modelli di code e loro matrici di transizione.
    • Metodi di ottimizzazione delle reti (6 cfu)

      • Algoritmi ad hoc per problemi di flusso su rete, routing in reti di comunicazione, progetto di reti di comunicazione, reti di trasporto.
    • Elementi di calcolo delle variazioni (6 cfu)

      • Principi variazionali in una e più variabili. Equazione di Eulero-Lagrange. Condizioni sufficienti di minimalità. Esempi classici di problemi variazionali. Funzioni assolutamente continue e metodo diretto. Geodetiche. Teorema del passo montano e principi di minimax.
    • Teoria algebrica dei numeri 1 (6 cfu)

      • Campi di numeri, interi dei campi di numeri; fattorizzazione unica degli ideali, ramificazione, gruppo delle classi di ideali, teorema delle unità di Dirichlet.
    • Probabilità (6 cfu)

      • Complementi di misura e integrazione: integrazione delle variabili aleatorie. Indipendenza di variabili aleatorie: leggi 0-1. Le funzioni caratteristiche. Convergenza di variabili aleatorie. Teoremi limite (leggi dei Grandi Numeri e teorema del Limite Centrale). Due esempi di processi stocastici: il processo di Wiener e il processo di Poisson.
    • Introduzione alla meccanica quantistica (6 cfu)

      • Meccanica quantistica delle particelle: dualità onda/particella, principio di sovrapposizione, principio di indeterminazione, equazione di Schroedinger.
    • Teoria dei codici e crittografia (6 cfu)

      • Trasmissione dei dati, stutture matematiche per la correzione efficiente degli errori di trasmissione. Principali codici correttori, loro proprietà e decodifica. Principali problemi crittografici: cifratura, firma, identificazione, integrità dei dati. Principali protocolli crittografici e problemi matematici soggiacenti.
    • Teoria delle categorie (6 cfu)

      • Categorie, funtori; aggiunti; limiti, colimiti; fasci, topoi.
    • Teoria dei campi e teoria di Galois (6 cfu)

      • Estensioni algebriche ed estensioni trascendenti, chiusura algebrica, separabilità, teoria di Galois, risolubilità, estensioni abeliane, teoria di Kummer.
    • Processi stocastici (6 cfu)

      • Processi di Markov, forme di Dirichlet, processi gaussiani.
    • Metodi topologici per le equazioni differenziali (6 cfu)

      • Teorie topologiche variazionali o non variazionali per alcune classi di equazioni non lineari di tipo differenziale o integrale.
    • Geometria simplettica (6 cfu)

      • Varietà simplettiche. Esempi standard. Teorema di Darboux. Strutture quasi-complesse compatibili.
    • Onde lineari e non lineari (6 cfu)

      • Principali proprietà delle soluzioni delle equazioni delle onde lineari e non lineari; proprietà dispersive delle soluzioni e decadimento dell'energia locale.
    • Superfici minime (6 cfu)

      • Risultati di esistenza per superfici minime: approccio classico, insiemi di perimetro finito, correnti. Alcuni risultati di regolarità per le ipersuperfici minime.
    • Analisi complessa B (6 cfu)

      • Funzioni plurisubarmoniche; domini pseudoconvessi; equazione del de-bar.
    • Metodi topologici in analisi globale (6 cfu)

      • Elementi di analisi non lineare per alcuni problemi di tipo “globale”, quali: il problema della sella, il punto fisso di Brouwer, le dimensioni e l’invarianza del dominio, la pettinabilità della sfera, il problema di Jordan. Applicazioni alle equazioni differenziali.
    • Finanza matematica (6 cfu)

      • Orbite periodiche e teorema di Poincaré-Birkhoff, teoria delle perturbazioni.
    • Gruppi di Coxeter (6 cfu)

      • Sistemi di radici e gruppi generati da riflessioni.
    • Geometria reale B (6 cfu)

      • Geometria degli insiemi semianalitici e subanalitici.
    • Metodi numerici per la grafica (6 cfu)

      • Parametrizzazione interpolazione e approssimazione di curve e superfici. Curve e superfici di Bezier, B-spline.
    • Teoria della calcolabilità (6 cfu)

      • Modelli di calcolo e funzioni calcolabili.
    • Operatori differenziali e teoremi dell’indice (6 cfu)

      • Algebre di Clifford. Operatori di Dirac. Teoremi dell'indice.
    • Metodi decisionali guidati dai modelli (6 cfu)

      • Ottimalità e algoritmi, algoritmi euristici, tecniche di rilassamento, algoritmi enumerativi. Software di ottimizzazione.
    • Geometria e topologia delle superfici (6 cfu)

      • Spazio di Teichmüller; laminazioni geodetiche; complessi di curve.
    • Calcolo delle variazioni A (6 cfu)

      • Il metodo diretto nel calcolo delle variazioni. Condizioni necessarie e sufficienti di semicontinuità inferiore per funzionali integrali su spazi di Sobolev di funzioni scalari. Il caso vettoriale. Integrali invarianti. Misure di Young e misure di Young gradienti. Convessità, convessità di rango-uno, quasiconessità, policonvessità. Rilassamento.
    • Algebra superiore A (6 cfu)

      • Algebra commutativa.
    • Sistemi dinamici discreti (6 cfu)

      • Dinamica topologica; insiemi iperbolici; teoria ergodica.
    • Fisica matematica (6 cfu)

      • Richiami di meccanica hamiltoniana, sistemi completamente integrabili e variabili azione angolo. Metodi perturbativi: teorema della media. Soluzioni periodiche del problema degli N-corpi, teorema geometrico di Poincaré-Birkhoff. Orbite periodiche con metodi variazionali.
    • Analisi armonica (6 cfu)

      • Fondamenti dell'Analisi armonica, interpolazione reale e comlessa, spazi di Lorentz, funzioni massimali, teoria di Calderon-Zygmund, spazi BMO, moltiplicatori di Fourier, integrali oscillanti e teoremi di restizione.
    • Teoria delle funzioni (6 cfu)

      • Elementi della teoria delle funzioni analitiche di una variabile complessa: serie di Mittag-Leffler,fattorizzazione di Weierstrass, fattorizzazione delle funzioni intere di ordine finito, sviluppi asintotici, teorema di Picard.
    • Elementi di logica matematica (6 cfu)

      • Calcolo dei predicati. Sistemi formali. Teorema di completezza.
    • Geometria reale computazionale (6 cfu)

      • Campi formalmente reali. Numeri algebrici reali, varietà algebriche reali. Algoritmi e applicazioni.
    • Metodi numerici per l’analisi di Fourier (6 cfu)

      • Serie di Fourier e trasformata di Fourier. Trasformata discreta di Fourier, trasformate trigonometriche. Algoritmi veloci per il calcolo delle trasformate discrete.
    • Ultrafiltri e metodi nonstandard (6 cfu)

      • Ultrafiltri e ultrapotenze. Fondamenti dell'analisi non-standard. Applicazioni alla teoria di Ramsey e alla teoria combinatoria dei numeri.
    • Equazioni alle derivate parziali (6 cfu)

      • Equazioni e sistemi del primo ordine. Rappresentazione esplicita delle soluzioni delle equazioni di Laplace, del calore, e delle onde. Proprietà qualitative delle soluzioni: principio del massimo, unicità, regolarità e dispersione.
    • Geometria reale C (6 cfu)

      • Topologia delle curve e superfici reali.
    • Analisi convessa (6 cfu)

      • Topologie deboli su spazi di Banach, funzioni convesse, calcolo in spazi di Banach, sottodifferenziale, disequazioni variazionali, multifunzioni.
    • Didattica della matematica e nuove tecnologie (6 cfu)

      • Metodologie, modelli e materiali didattici in contesti di aula multimediale; ruolo delle tecnologie nell'insegnamento / apprendimento della matematica: software didattici e lavagne interattive multimediali.
    • Equazioni differenziali ordinarie (6 cfu)

      • Problema di Cauchy. Equazioni di Bernoulli, D'Alembert, Clairaut, Eulero, Riccati. Metodo di Peano. Equazioni lineari. Dipendenza regolare dai dati. Soluzioni massimali.  Equilibri. Problemi di Sturm- Liouville.
    • Curve algebriche (6 cfu)

      • Curve algebriche, divisori. Curve ellittiche, iperellittiche, jacobiane. Applicazioni.
    • Geometria algebrica D (6 cfu)

      • Tori complessi e varietà abeliane.
    • Storia della matematica (6 cfu)

      • Il corso è di tipo istituzionale e intende offrire una panoramica delle grandi linee di sviluppo della matematica occidentale fino alla fine del XIX secolo. A questo aspetto verrà, di anno in anno, accoppiato un approfondimento di uno o più temi particolarmente rilevanti, quali la geometria cartesiana, l'invenzione del calcolo infinitesimale, le origini della teoria di Galois, la "nuova'' analisi di Cauchy.
    • Teoria algebrica dei numeri 2 (6 cfu)

      • Valori assoluti, campi locali, differente, discriminante, ramificazione, gruppi di ramificazione.
    • Metodi di approssimazione (6 cfu)

      • Risoluzione numerica di equazioni matriciali. Algoritmi numerici per matrici con struttura.
    • Forme modulari (6 cfu)

      • L-serie, equazioni funzionali e operatori di Heck
    • Geometria riemanniana (6 cfu)

      • Relazioni fra curvatura e topologia; teoremi di confronto e di pinching.
    • Algebra commutativa e geometria algebrica computazionale (6 cfu)

      • Costruzioni e algoritmi per l'algebra commutativa e la geometria algebrica, applicazioni.
    • Funzioni speciali (6 cfu)

      • Funzione gamma di Eulero: equazioni funzionali, formula di Stirling. Funzioni ellittiche: funzione P di Weierstrass. Elementi della teoria della funzione zeta di Riemann. Soluzioni di equazioni differenziali lineari a coefficienti analitici: funzione ipergeometrica, funzioni di Bessel.
    • Geodesia via satellite (6 cfu)

      • Problema dei minimi quadrati, simmetrie e degenerazioni. Campo gravitazionale di un corpo esteso, problema del satellite. Perturbazioni non-gravitazionali, geodesia e gravimetria spaziale, terrestre e interplanetaria.
    • Dinamica del sistema solare (6 cfu)

      • Equazioni del moto dei pianeti. Teorie perturbative, elementi propri. Risonanze, piccoli divisori, esponenti di Lyapunov.
    • Geometria degli spazi metrici (6 cfu)

      • Nozioni di curvatura. Quasi isometrie. Geometria a larga scala.
    • Elementi di algebra computazionale (6 cfu)

      • Rappresentazione di interi e polinomi. Algoritmi algebrici fondamentati. Sistemi di calcolo algebrico.
    • Meccanica spaziale (6 cfu)

      • Moto di satelliti artificiali e sonde spaziali, missioni spaziali interplanetarie.
    • Geometria reale A (6 cfu)

      • Geometria degli insiemi semialgebrici. Algebra reale. Strutture o-minimali.
    • Determinazione orbitale (6 cfu)

      • Problema dei minimi quadrati, simmetrie e degenerazioni. Problema dell'identificazione. Orbite preliminari. Soluzioni deboli. Incontri ravvicinati e monitoraggio degli impatti.
    • Logica matematica (6 cfu)

      • Calcolo dei predicati. Teoremi di incompletezza di Godel. Decidibilità e indecidibilità.
    • Algebra superiore B (6 cfu)

      • Algebre e loro rappresentazioni
    • Tecnologie per la didattica (6 cfu)

      • Ruolo delle tecnologie nell’apprendimento / insegnamento della matematica; uso e costruzione di strumenti didattici informatici, multimediali e telematici Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della matematica. I processi di insegnamento e apprendimento mediati dall'uso delle tecnologie nell'ambito della matematica. Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della matematica.
    • Geometria differenziale complessa (6 cfu)

      • Varietà complesse; coomologia di Dolbeault; varietà di Stein; metriche e distanze intrinseche.
    • Matematica discreta (6 cfu)

      • Calcolo combinatorio, funzioni generatrici, grafi, teoria di Ramsey.
    • Teoria degli insiemi (6 cfu)

      • Modelli della teoria degli insiemi.
    • Teoria dei nodi (6 cfu)

      • Invarianti di nodi e di link. Trecce.
    • Teoria del controllo ottimo (6 cfu)

      • Problemi di controllo di energia minima e di tempo minimo; esistenza e di sensitività delle soluzioni; principio di massimo di Pontryagin, approccio di programmazione dinamica ed equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman.
    • Geometria di contatto (6 cfu)

      • Varietà di contatto. Esempi standard. Teorema di Darboux. Nodi Legendriani e trasversi. Libri aperti e strutture di contatto.
    • Geometria e topologia differenziale (6 cfu)

      • Geometria differenziale di curve e superfici nello spazio euclideo, introduzione a varietà e mappe differenziabili in dimensione n.
    • Geometria algebrica A (6 cfu)

      • Schemi, fasci, coomologia.
    • Analisi non lineare (6 cfu)

      • Teorie e metodi sul comportamento globale di operatori non lineari, fra spazi di dimensione finita o spazi di funzioni, collegati con classici problemio equazioni non lineari.
    • Matematica e musica (6 cfu)

      • Formalizzazione algebrica delle strutture musicali.
    • Topologia differenziale (6 cfu)

      • Funzioni di Morse e decomposizioni in manici. Teorema dell'h-cobordismo.
    • Algebra computazionale A (6 cfu)

      • Aritmetica, fattorizzazione, integrazione.
    • Gruppi e rappresentazioni (6 cfu)

      • Rappresentazioni di gruppi finiti. Esempi di classi di gruppi.
    • Sistemi dinamici (6 cfu)

      • Sistemi dinamici lineari (con richiami di algebra lineare), stabilità e teoria qualitativa per sistemi dinamici non lineari, formalismo hamiltoniano e lagrangiano ad un grado di libertà, sistemi dinamici discreti, un esempio elementare di caos.
    • Laboratorio di fisica per l'insegnamento (6 cfu)

      • Sviluppare competenze nella gestione di esperienze di laboratorio, fornire basi teoriche di un approccio alla misura. Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della fisica. La progettazione e lo sviluppo delle attività di insegnamento relative alla fisica. Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della fisica
    • Analisi matematica 3 (6 cfu)

      • Spazi di Hilbert. Spazi di Lebesgue L^p. Convoluzione di funzioni. Serie di Fourier. Trasformata di Fourier. Formula dell'area e integrazione su superfici. Funzioni armoniche.
    • Dinamica del sistema Terra-Luna (6 cfu)

      • Il sistema Terra-Luna-Sole e le caratteristiche principali dell'orbita della Luna. Il tracking laser della Luna nell'era spaziale (LLR-Lunar Laser Ranging). LLR e la verifica della Relatività Generale.
    • Teoria analitica dei numeri A (6 cfu)

      • Problemi legati alla distribuzione dei primi; la Zeta di Riemann e le funzioni L di Dirichlet.
    • Introduzione alla teoria geometrica della misura (6 cfu)

      • Misure e dimensione di Hausdorff. Insiemi rettificabli. Formula dell'area e della coarea
    • Elementi di analisi complessa (6 cfu)

      • Teorema di uniformizzazione di Riemann; proprietà geometriche del gruppo delle omografie; principio di simmetria e sue applicazioni; un modello di piano iperbolico; cenni sulle funzioni di più variabili complesse.
    • Calcolo delle variazioni B (6 cfu)

      • Teoria della regolarità per minimi di funzionali integrali.
    • Algebre e gruppi di Lie (6 cfu)

      • Teoremi di struttura per le algebre di Lie di dimensione finita (incluso il caso delle algebre semisemplici complesse). Gruppi di Lie e relazione con le algebre di Lie. Introduzione alla teoria delle rappresentazioni delle algebre e gruppi di Lie.
    • Origini e sviluppo delle matematiche moderne (6 cfu)

      • Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica moderna: inquadramento generale, lettura diretta di testi, discussione della letteratura in materia.
    • Fisica II (9 cfu)

      • Elettrostatica e magnetostatica nel vuoto, correnti stazionarie, induzione, circuiti passivi lineari RLC, equazioni di Maxwell, onde elettromagnetiche, polarizzazione, irraggiamento, riflessione e rifrazione.
    • Geometria algebrica C (6 cfu)

      • Curve e superfici di Riemann.
    • Teoria e metodi dell'ottimizzazione (6 cfu)

      • Ottimizzazione non lineare: condizioni di ottimalità per problemi vincolati e non vincolati, teoria della dualità, metodi risolutivi per problemi vincolati e non vincolati, applicazioni.
    • Analisi superiore (6 cfu)

      • Spazi vettoriali topologici. misure e distribuzioni. Operatori illimitatii, aggiunto ad un operatore non limiato, teoria spettrale per operatori non limitati. Calcolo funzionale Forme quadratiche, soluzioni deboli e soluzioni forti.
    • Topologia algebrica (6 cfu)

      • Omotopia e teorie coomologiche.
    • Geometria algebrica E (6 cfu)

      • Superfici algebriche.
    • Algebra computazionale B (6 cfu)

      • Metodi effettivi per la risoluzione di sistemi di equazioni polimonmiali.
    • Algebra lineare e multilineare (6 cfu)

      • Strutture algebriche lineari.
    • Complementi di analisi funzionale (6 cfu)

      • Spazi vettoriali topologici, misure e distribuzioni. Convoluzione, trasformata di Fourier, teorema di Paley-Wiener ed applicazioni alle EDP. Teoria spettrale per operatori non limitati. Calcolo operazionale, semigruppi di operatori. Teorema di Malgrange-Ehrenpreis. Teoremi di punto fisso in dimensione infinita ed applicazioni alle EDP.
    • Topologia generale (6 cfu)

      • Spazi normali, teorema di Urysohn, compattificazioni, teorema di Baire, paracompattezza, partizioni dell’unità.
    • Analisi non standard (6 cfu)

      • Fondamenti dell'analisi non standard, scelta di applicazioni ad altre aree della matematica.
    • Elementi di topologia algebrica (6 cfu)

      • Omologia simpliciale e singolare, CW complessi, coomologia, prodotto cup, dualità di Poincaré.
    • Equazioni della fluidodinamica (6 cfu)

      • Introduzione alla teoria matematica delle equazioni alle derivate parziali della meccanica dei continui e in particolare a quelle di Eulero e Navier-Stokes per fluidi incomprimibili.
    • Topologia e geometria in bassa dimensione (6 cfu)

      • Varietà topologiche, lineari a pezzi e differenziabili di dimensione minore di 5.
    • Spazi di funzioni (6 cfu)

      • Proprietà fini delle funzioni derivabili in senso debole: funzioni di Sobolev e BV, insiemi di perimetro finito. Altri spazi di funzioni. Riarrangiamento e disuguaglianze funzionali.
    • Elementi di geometria algebrica (6 cfu)

      • Varietà affini, proiettive e quasi-proiettive. Morfismi. Applicazioni razionali. Punti lisci e dimensione.
    • Algebra 2 (6 cfu)

      • Gruppi: azioni di gruppi, costruzioni e presentazioni di gruppi. Moduli e caratterizzazione dei moduli su un PID. Anelli noetheriani. Teorema della base di Hilbert. Basi di Groebner e applicazioni.
    • Problemi e metodi della ricerca in didattica della matematica (6 cfu)

      • Il corso, rivolto agli studenti interessati alla ricerca in didattica della matematica, intende dare l’opportunità di conoscere e confrontarsi con le problematiche tipiche di tale campo di ricerca (sia quelle classiche che quelle più recenti) e con i metodi di ricerca utilizzati.
    • Teoria dei gruppi (6 cfu)

      • Serie di composizione, gruppi di permutazioni, gruppi nilpotenti, gruppi risolubili.
    • 3-varietà (6 cfu)

      • Risultati classici sulla topologia delle 3-varietà. Esempi e costruzioni di 3-varietà.
    • Fisica III (6 cfu)

      • Sistemi e trasformazioni termodinamiche, gas perfetto, prima e seconda legge, temperatura ed entropia; potenziali ritardati, relatività speciale e legami con l'elettromagnetismo, cenni su argomenti di fisica moderna (meccanica quantistica e altro).
    • Elementi di meccanica celeste (6 cfu)

      • Problema dei 2 corpi ed equazione di Keplero. Problema dei 3 corpi ristretto circolare, integrale di Jacobi, criterio di stabilità di Hill, cenni su orbite confinate ma caotiche. Maree ed evoluzione mareale nel sistema solare; la Terra come corpo esteso.
    • Equazioni ellittiche (6 cfu)

      • Teoria della regolarità. Equazioni in forma di divergenza. Equazioni non variazionali. Equazioni non lineari. Problemi al contorno. Frontiera libera. Problemi con ostacolo. Equazioni degeneri. Teoria del potenziale. Funzioni armoniche. Interpolazione. Autovalori.
    • Meccanica celeste (6 cfu)

      • Singolarità e orbite periodiche nel problema degli N corpi
    • Teoria analitica dei numeri B (6 cfu)

      • Problemi analitici di natura additiva con particolare riferimento al metodo di Hardy e Littlewood
    • Elementi di probabilità e statistica (6 cfu)

      • Probabilità su spazi numerabili: condizionamento, indipendenza, variabili aleatorie. Variabili aleatorie con densità: variabili gaussiane. Inferenza statistica: stima, test, intervalli di fiducia. Principali test statistici su modelli gaussiani.
    • Algebra omologica (6 cfu)

      • Moduli proiettivi e iniettivi. Categorie e funtori. Funtori aggiunti. Categorie di moduli. Successioni esatte, risoluzioni, funtori derivati. (Co)omologia di gruppi e algebre.
    • Algebra 1 (6 cfu)

      • Gruppi: teoremi di omomorfismo, permutazioni, gruppi abeliani finiti. Anelli e ideali, anelli speciali, anelli di polinomi. Elementi di teoria di Galois.
    • Introduzione all'analisi p-adica (6 cfu)

      • Struttura dei numeri p-adici; continuità, differenziabilità e analiticità in campo p-adico.
    • Elementi avanzati di algebra lineare numerica (6 cfu)

      • Metodi di Krylov, GMRES, BiCG, polinomi di matrici, problemi polinomiali agli autovalori, funzioni di matrici.
    • Metodi numerici per equazioni differenziali ordinarie (6 cfu)

      • Problemi ai valori iniziali e ai valori limite, metodi a un passo, metodi a più passi, metodi di shooting.
    • 2-varietà (6 cfu)

      • Varietà di dimensione due e loro automorfismi.
    • Algoritmi e strutture dei dati (6 cfu)

      • Strutture dei dati, analisi di algoritmi e complessità, progetto di algoritmi.
    • Teoria ergodica (6 cfu)

      • Teoremi di Krein-Milman e di Choquet, teoria spettrale. Esempi di base. Teoremi di Poincaré, Birkhoff, von Neumann. Decomposizione ergodica. "Mixing" e "weak mixing". Operatore di Perron- Frobenius. Decadimento delle correlazioni. Entropia. Dinamica simbolica. Catene di Markov e misura di Parry.
    • Teoria dei codici (6 cfu)

      • Trasmissione con errore, correzione d'errore. Famiglie di codici correttori. Metodi di geometria algebrica e algebra computazionale per la costruzione di codici e la decodifica.
    • Teoria dei controlli (6 cfu)

      • Teoria di controllabilità, osservabilità e stabilizzazione via feedback; modelli di controllo lineari; teoria geometrica di controllabilità per sistemi regolari; sistemi switching e sistemi ibridi.
    • Dinamica iperbolica (6 cfu)

      • Sistemi dinamici iperbolici; dinamica in dimensione bassa.
    • Analisi complessa A (6 cfu)

      • Il fascio dei germi delle funzioni analitiche; Nullstellensatz; spazi analitici; Teoremi A e B di Cartan.
    • Probabilità superiore (6 cfu)

      • Presentazione di una selezione di argomenti avanzati di probabilità quali Spazi Gaussiani, Calcolo di Malliavin, processi di Levy e Levy-stabili.
    • Equazioni alle derivate parziali 2 (6 cfu)

      • Selezione di argomenti avanzati della teoria delle equazioni alle derivate parziali.
    • Equazioni iperboliche (6 cfu)

      • Equazioni differenziali di tipo iperbolico, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
    • Modelli matematici in biomedicina e fisica matematica (6 cfu)

      • Obiettivi formativi: Equazioni differenziali ordinarie con effetti dissipativi (ritardo, memoria, etc) e stabilità, e loro applicazioni in biomedicina. Equazioni alle derivate parziali e loro applicazioni in fisica matematica.
    • Analisi geometrica (6 cfu)

      • Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi geometrica.
    • Geometria algebrica F (6 cfu)

      • Varietà toriche.
    • Teoria descrittiva della complessità (6 cfu)

      • Modelli finiti e complessità computazionale
    • Teoria dei modelli (6 cfu)

      • Modelli di teorie del primo ordine. Compattezza. Equivalenza elementare. Applicazioni all'aritmetica, ai campi, e ad altre strutture algebrico-relazionali.
    • Elementi di teoria degli insiemi (6 cfu)

      • Nozioni di logica. Teoria assiomatica degli insiemi. Cardinali. Ordinali.
    • Teoria geometrica della misura (6 cfu)

      • Nozioni di base di teoria geometrica della misura. Correnti normali ed intere. Esistenza delle soluzioni per il problema di Plateau omologico. Varifold.
    • Problem solving (6 cfu)

      • Ruolo dei problemi nell’insegnamento della matematica; euristiche; problem solving e problem posing.
    • Teoria dei giochi (6 cfu)

      • Equilibri nei modelli di giochi noncooperativi, teoria dei giochi cooperativi, giochi posizionali e giochi differenziali
    • Analisi in spazi metrici (6 cfu)

      • Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi su spazi metrici.
    • Equazioni differenziali stocastiche e applicazioni (6 cfu)

      • Introduzione ai teoremi di esistenza ed unicità (debole o forte) per equazioni differenziali stocastiche ordinarie, legami con le equazioni alle derivate parziali, applicazioni in ambito fisico o biologico.
    • Matematica e società (6 cfu)

      • Matematica, società e curricula; il contesto culturale nell'insegnamento ed apprendimento della matematica; il ruolo delle conoscenze matematiche non-scolastiche.
    • Matematiche elementari da un punto di vista superiore: aritmetica (6 cfu)

      • Gli insiemi numerici: possibili introduzioni, proprietà
    • Fondamenti della matematica (6 cfu)

      • Sistemi formali e teorie fondazionali.
    • Geometria algebrica B (6 cfu)

      • Varietà complesse, metodi trascendenti
    • Equazioni paraboliche (6 cfu)

      • Equazioni differenziali di tipo parabolico, lineari e non lineari, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
    • Meccanica superiore (6 cfu)

      • Obiettivi formativi: Indicatori di comportamento caotico e metodi ergodici per sistemi meccanici
    • Teoria della misura (6 cfu)

      • Misure astratte, misure su uno spazio topologico, integrale di Daniell, convergenze di misure.
    • 4-varietà (6 cfu)

      • Risultati classici sulla topologia delle 4-varietà. Esempi e costruzioni di 4-varietà.
    • Complementi di fisica (6 cfu)

      • Onde. Elementi di relatività ristretta. Equazioni d'onda relativistiche. Complementi di termodinamica e statistica.
    • Statistica matematica (6 cfu)

      • Modelli statistici: modelli dominati. Stime: stime consistenti e di Massima verosimiglianza. Intervalli di fiducia e test. I principali test sui modelli gaussiani (di Student, di Fisher Snedecor). Modelli statistici non parametrici: teorema di Glivenko-Cantelli e e test del chi-quadro.
    • Analisi reale (6 cfu)

      • Fondamenti dell'analisi reale (teoria della misura, spazi di funzioni).
    • Capacità non lineare, disequazioni variazionali e applicazioni (6 cfu)

      • Il percorso scelto ci permetterà di illustrare alcune tecniche e argomenti classici per trovare condizioni necessarie e sufficienti affinché un punto di frontiera sia regolare relativamente al problema di Dirichlet non omogeneo per l'operatore di Laplace non-lineare (il cosiddetto p-laplaciano).
    • Complementi di didattica della matematica (6 cfu)

      • Processi di apprendimento della matematica; contesti e tipi di razionalità; ostacoli epistemologici e didattici nell’insegnamento della matematica
    • Teoria della dimostrazione (6 cfu)

      • Il concetto formale di dimostrazione. Sistemi dimostrativi. Logiche non classiche. Analisi ordinale
    • Geometria iperbolica (6 cfu)

      • Lo spazio iperbolico. Esempi e costruzioni di varietà iperboliche. Proprietà topologiche e geometriche di varietà iperboliche.
  • 6 cfu a scelta nel gruppo ModAffInt

    • Moduli affini e integrativi
    • Meccanica dei continui (6 cfu)

      • Richiami di calcolo tensoriale, meccanica dei continui tridimensionali e dei continui unidimensionali (anche con struttura).
    • Storia della matematica antica e della sua tradizione (6 cfu)

      • Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica antica: inquadramento generale (caratteristiche della matematica greca, concetto di tradizione testuale, edizioni di riferimento), lettura diretta di testi legati a un autore classico o a una problematica, e studio della tradizione rinascimentale e dell'impatto sulla nascita della matematica moderna.
    • Meccanica relativistica (6 cfu)

      • Relatività speciale e principio di equivalenza di Einstein. Spazio-tempo come varietà. Moto lungo una geodetica. Equazioni di Einstein per la curvatura dello spazio-tempo. Metrica di Schwarzschild e di Kerr. Esempi di osservabili relativistiche
    • Dinamica olomorfa (6 cfu)

      • Insiemi di Julia e di Fatou; dinamica di funzioni olomorfe di una variabile.
    • Spazi simmetrici (6 cfu)

      • Gruppi di Lie. Algebre di Lie. Spazi localmente simmetrici e spazi simmetrici.
    • Analisi microlocale (6 cfu)

      • Operatori pseudodifferenziali. Integrali oscillanti. Fronte d'onda e propagazione delle singolarità. Teorema di Hörmander. Ottica geometrica e operatori integrali di Fourier. Disuguaglianza di Fefferman- Phong. Calcolo paradifferenziale. Teoria di Littlewood- Paley. Localizzazione in spazi di frequenza. Spazi di Besov.
    • Teoria dei semigruppi (6 cfu)

      • Semigruppi di operatori, applicazioni alle equazioni di evoluzione
    • Ricerca operativa (6 cfu)

      • Grafi, programmazione lineare, programmazione intera, elementi di teoria dell'ottimizzazione.
    • Teoria dei numeri elementare (6 cfu)

      • Congruenze di grado superiore al primo e struttura moltiplicativa delle classi di resto. Proprietà algebriche e asintotiche delle funzioni aritmetiche. Problemi additivi e moltiplicativi legati alla distribuzione dei numeri primi. Approssimazioni razionali di numeri algebrici e trascendenti
    • Problemi di evoluzione (6 cfu)

      • Equazioni astratte, scale di Banach. Teorema di Cauchy-Kovalewski. Caratteristiche. Equazione delle onde. Sistemi iperbolici a coefficienti costanti. Condizioni  di Hadamard-Garding. Sistemi simmetrici, metodo dell'energia. Sistemi strettamente iperbolici. Simmetrizzatore micro-locale.
    • Calcolo scientifico (6 cfu)

      • Problemi di minimi quadrati, metodi del gradiente, decomposizione a valori singolari, calcolo di autovalori.
    • Elementi di calcolo in gruppi omogenei (6 cfu)

      • Gruppi di Lie nilpotenti semplicemente connessi: dilatazioni intrinseche, distanze invarianti, misura di Haar. Differenziabilità rispetto l'operazione di gruppo e le dilatazioni.
    • Campi ciclotomici (6 cfu)

      • Caratteri di Dirichlet, serie L di Dirichlet, numeri di Bernoulli, fomrula del numero di classi, teorema di Stickelberger.
    • Matematiche elementari da un punto di vista superiore: geometria (6 cfu)

      • Assiomatiche per la geometria euclidea; geometrie non euclidee; trasformazioni geometriche
    • Metodi matematici della crittografia (6 cfu)

      • Metodi ed algoritmi matematici applicati alla crittografia ed alla crittanalisi: fattorizzazione, logaritmo discreto. Curve ellittiche, fattorizzazione e crittografia ellittica ed iperellittica. Reticoli.
    • Metodi numerici per catene di Markov (6 cfu)

      • Matrici nonnegative e teorema di Perron-Frobenius. Metodi per catene di Markov finite e infinite. Modelli di code e loro matrici di transizione.
    • Metodi di ottimizzazione delle reti (6 cfu)

      • Algoritmi ad hoc per problemi di flusso su rete, routing in reti di comunicazione, progetto di reti di comunicazione, reti di trasporto.
    • Elementi di calcolo delle variazioni (6 cfu)

      • Principi variazionali in una e più variabili. Equazione di Eulero-Lagrange. Condizioni sufficienti di minimalità. Esempi classici di problemi variazionali. Funzioni assolutamente continue e metodo diretto. Geodetiche. Teorema del passo montano e principi di minimax.
    • Teoria algebrica dei numeri 1 (6 cfu)

      • Campi di numeri, interi dei campi di numeri; fattorizzazione unica degli ideali, ramificazione, gruppo delle classi di ideali, teorema delle unità di Dirichlet.
    • Probabilità (6 cfu)

      • Complementi di misura e integrazione: integrazione delle variabili aleatorie. Indipendenza di variabili aleatorie: leggi 0-1. Le funzioni caratteristiche. Convergenza di variabili aleatorie. Teoremi limite (leggi dei Grandi Numeri e teorema del Limite Centrale). Due esempi di processi stocastici: il processo di Wiener e il processo di Poisson.
    • Introduzione alla meccanica quantistica (6 cfu)

      • Meccanica quantistica delle particelle: dualità onda/particella, principio di sovrapposizione, principio di indeterminazione, equazione di Schroedinger.
    • Teoria dei codici e crittografia (6 cfu)

      • Trasmissione dei dati, stutture matematiche per la correzione efficiente degli errori di trasmissione. Principali codici correttori, loro proprietà e decodifica. Principali problemi crittografici: cifratura, firma, identificazione, integrità dei dati. Principali protocolli crittografici e problemi matematici soggiacenti.
    • Teoria delle categorie (6 cfu)

      • Categorie, funtori; aggiunti; limiti, colimiti; fasci, topoi.
    • Teoria dei campi e teoria di Galois (6 cfu)

      • Estensioni algebriche ed estensioni trascendenti, chiusura algebrica, separabilità, teoria di Galois, risolubilità, estensioni abeliane, teoria di Kummer.
    • Processi stocastici (6 cfu)

      • Processi di Markov, forme di Dirichlet, processi gaussiani.
    • Metodi topologici per le equazioni differenziali (6 cfu)

      • Teorie topologiche variazionali o non variazionali per alcune classi di equazioni non lineari di tipo differenziale o integrale.
    • Geometria simplettica (6 cfu)

      • Varietà simplettiche. Esempi standard. Teorema di Darboux. Strutture quasi-complesse compatibili.
    • Onde lineari e non lineari (6 cfu)

      • Principali proprietà delle soluzioni delle equazioni delle onde lineari e non lineari; proprietà dispersive delle soluzioni e decadimento dell'energia locale.
    • Superfici minime (6 cfu)

      • Risultati di esistenza per superfici minime: approccio classico, insiemi di perimetro finito, correnti. Alcuni risultati di regolarità per le ipersuperfici minime.
    • Analisi complessa B (6 cfu)

      • Funzioni plurisubarmoniche; domini pseudoconvessi; equazione del de-bar.
    • Metodi topologici in analisi globale (6 cfu)

      • Elementi di analisi non lineare per alcuni problemi di tipo “globale”, quali: il problema della sella, il punto fisso di Brouwer, le dimensioni e l’invarianza del dominio, la pettinabilità della sfera, il problema di Jordan. Applicazioni alle equazioni differenziali.
    • Finanza matematica (6 cfu)

      • Orbite periodiche e teorema di Poincaré-Birkhoff, teoria delle perturbazioni.
    • Gruppi di Coxeter (6 cfu)

      • Sistemi di radici e gruppi generati da riflessioni.
    • Geometria reale B (6 cfu)

      • Geometria degli insiemi semianalitici e subanalitici.
    • Metodi numerici per la grafica (6 cfu)

      • Parametrizzazione interpolazione e approssimazione di curve e superfici. Curve e superfici di Bezier, B-spline.
    • Teoria della calcolabilità (6 cfu)

      • Modelli di calcolo e funzioni calcolabili.
    • Operatori differenziali e teoremi dell’indice (6 cfu)

      • Algebre di Clifford. Operatori di Dirac. Teoremi dell'indice.
    • Metodi decisionali guidati dai modelli (6 cfu)

      • Ottimalità e algoritmi, algoritmi euristici, tecniche di rilassamento, algoritmi enumerativi. Software di ottimizzazione.
    • Geometria e topologia delle superfici (6 cfu)

      • Spazio di Teichmüller; laminazioni geodetiche; complessi di curve.
    • Calcolo delle variazioni A (6 cfu)

      • Il metodo diretto nel calcolo delle variazioni. Condizioni necessarie e sufficienti di semicontinuità inferiore per funzionali integrali su spazi di Sobolev di funzioni scalari. Il caso vettoriale. Integrali invarianti. Misure di Young e misure di Young gradienti. Convessità, convessità di rango-uno, quasiconessità, policonvessità. Rilassamento.
    • Algebra superiore A (6 cfu)

      • Algebra commutativa.
    • Sistemi dinamici discreti (6 cfu)

      • Dinamica topologica; insiemi iperbolici; teoria ergodica.
    • Fisica matematica (6 cfu)

      • Richiami di meccanica hamiltoniana, sistemi completamente integrabili e variabili azione angolo. Metodi perturbativi: teorema della media. Soluzioni periodiche del problema degli N-corpi, teorema geometrico di Poincaré-Birkhoff. Orbite periodiche con metodi variazionali.
    • Analisi armonica (6 cfu)

      • Fondamenti dell'Analisi armonica, interpolazione reale e comlessa, spazi di Lorentz, funzioni massimali, teoria di Calderon-Zygmund, spazi BMO, moltiplicatori di Fourier, integrali oscillanti e teoremi di restizione.
    • Teoria delle funzioni (6 cfu)

      • Elementi della teoria delle funzioni analitiche di una variabile complessa: serie di Mittag-Leffler,fattorizzazione di Weierstrass, fattorizzazione delle funzioni intere di ordine finito, sviluppi asintotici, teorema di Picard.
    • Elementi di logica matematica (6 cfu)

      • Calcolo dei predicati. Sistemi formali. Teorema di completezza.
    • Geometria reale computazionale (6 cfu)

      • Campi formalmente reali. Numeri algebrici reali, varietà algebriche reali. Algoritmi e applicazioni.
    • Metodi numerici per l’analisi di Fourier (6 cfu)

      • Serie di Fourier e trasformata di Fourier. Trasformata discreta di Fourier, trasformate trigonometriche. Algoritmi veloci per il calcolo delle trasformate discrete.
    • Ultrafiltri e metodi nonstandard (6 cfu)

      • Ultrafiltri e ultrapotenze. Fondamenti dell'analisi non-standard. Applicazioni alla teoria di Ramsey e alla teoria combinatoria dei numeri.
    • Equazioni alle derivate parziali (6 cfu)

      • Equazioni e sistemi del primo ordine. Rappresentazione esplicita delle soluzioni delle equazioni di Laplace, del calore, e delle onde. Proprietà qualitative delle soluzioni: principio del massimo, unicità, regolarità e dispersione.
    • Geometria reale C (6 cfu)

      • Topologia delle curve e superfici reali.
    • Analisi convessa (6 cfu)

      • Topologie deboli su spazi di Banach, funzioni convesse, calcolo in spazi di Banach, sottodifferenziale, disequazioni variazionali, multifunzioni.
    • Didattica della matematica e nuove tecnologie (6 cfu)

      • Metodologie, modelli e materiali didattici in contesti di aula multimediale; ruolo delle tecnologie nell'insegnamento / apprendimento della matematica: software didattici e lavagne interattive multimediali.
    • Equazioni differenziali ordinarie (6 cfu)

      • Problema di Cauchy. Equazioni di Bernoulli, D'Alembert, Clairaut, Eulero, Riccati. Metodo di Peano. Equazioni lineari. Dipendenza regolare dai dati. Soluzioni massimali.  Equilibri. Problemi di Sturm- Liouville.
    • Curve algebriche (6 cfu)

      • Curve algebriche, divisori. Curve ellittiche, iperellittiche, jacobiane. Applicazioni.
    • Geometria algebrica D (6 cfu)

      • Tori complessi e varietà abeliane.
    • Storia della matematica (6 cfu)

      • Il corso è di tipo istituzionale e intende offrire una panoramica delle grandi linee di sviluppo della matematica occidentale fino alla fine del XIX secolo. A questo aspetto verrà, di anno in anno, accoppiato un approfondimento di uno o più temi particolarmente rilevanti, quali la geometria cartesiana, l'invenzione del calcolo infinitesimale, le origini della teoria di Galois, la "nuova'' analisi di Cauchy.
    • Teoria algebrica dei numeri 2 (6 cfu)

      • Valori assoluti, campi locali, differente, discriminante, ramificazione, gruppi di ramificazione.
    • Metodi di approssimazione (6 cfu)

      • Risoluzione numerica di equazioni matriciali. Algoritmi numerici per matrici con struttura.
    • Forme modulari (6 cfu)

      • L-serie, equazioni funzionali e operatori di Heck
    • Geometria riemanniana (6 cfu)

      • Relazioni fra curvatura e topologia; teoremi di confronto e di pinching.
    • Algebra commutativa e geometria algebrica computazionale (6 cfu)

      • Costruzioni e algoritmi per l'algebra commutativa e la geometria algebrica, applicazioni.
    • Funzioni speciali (6 cfu)

      • Funzione gamma di Eulero: equazioni funzionali, formula di Stirling. Funzioni ellittiche: funzione P di Weierstrass. Elementi della teoria della funzione zeta di Riemann. Soluzioni di equazioni differenziali lineari a coefficienti analitici: funzione ipergeometrica, funzioni di Bessel.
    • Geodesia via satellite (6 cfu)

      • Problema dei minimi quadrati, simmetrie e degenerazioni. Campo gravitazionale di un corpo esteso, problema del satellite. Perturbazioni non-gravitazionali, geodesia e gravimetria spaziale, terrestre e interplanetaria.
    • Dinamica del sistema solare (6 cfu)

      • Equazioni del moto dei pianeti. Teorie perturbative, elementi propri. Risonanze, piccoli divisori, esponenti di Lyapunov.
    • Geometria degli spazi metrici (6 cfu)

      • Nozioni di curvatura. Quasi isometrie. Geometria a larga scala.
    • Elementi di algebra computazionale (6 cfu)

      • Rappresentazione di interi e polinomi. Algoritmi algebrici fondamentati. Sistemi di calcolo algebrico.
    • Meccanica spaziale (6 cfu)

      • Moto di satelliti artificiali e sonde spaziali, missioni spaziali interplanetarie.
    • Geometria reale A (6 cfu)

      • Geometria degli insiemi semialgebrici. Algebra reale. Strutture o-minimali.
    • Determinazione orbitale (6 cfu)

      • Problema dei minimi quadrati, simmetrie e degenerazioni. Problema dell'identificazione. Orbite preliminari. Soluzioni deboli. Incontri ravvicinati e monitoraggio degli impatti.
    • Logica matematica (6 cfu)

      • Calcolo dei predicati. Teoremi di incompletezza di Godel. Decidibilità e indecidibilità.
    • Algebra superiore B (6 cfu)

      • Algebre e loro rappresentazioni
    • Tecnologie per la didattica (6 cfu)

      • Ruolo delle tecnologie nell’apprendimento / insegnamento della matematica; uso e costruzione di strumenti didattici informatici, multimediali e telematici Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della matematica. I processi di insegnamento e apprendimento mediati dall'uso delle tecnologie nell'ambito della matematica. Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della matematica.
    • Geometria differenziale complessa (6 cfu)

      • Varietà complesse; coomologia di Dolbeault; varietà di Stein; metriche e distanze intrinseche.
    • Matematica discreta (6 cfu)

      • Calcolo combinatorio, funzioni generatrici, grafi, teoria di Ramsey.
    • Teoria degli insiemi (6 cfu)

      • Modelli della teoria degli insiemi.
    • Teoria dei nodi (6 cfu)

      • Invarianti di nodi e di link. Trecce.
    • Teoria del controllo ottimo (6 cfu)

      • Problemi di controllo di energia minima e di tempo minimo; esistenza e di sensitività delle soluzioni; principio di massimo di Pontryagin, approccio di programmazione dinamica ed equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman.
    • Geometria di contatto (6 cfu)

      • Varietà di contatto. Esempi standard. Teorema di Darboux. Nodi Legendriani e trasversi. Libri aperti e strutture di contatto.
    • Geometria e topologia differenziale (6 cfu)

      • Geometria differenziale di curve e superfici nello spazio euclideo, introduzione a varietà e mappe differenziabili in dimensione n.
    • Geometria algebrica A (6 cfu)

      • Schemi, fasci, coomologia.
    • Analisi non lineare (6 cfu)

      • Teorie e metodi sul comportamento globale di operatori non lineari, fra spazi di dimensione finita o spazi di funzioni, collegati con classici problemio equazioni non lineari.
    • Matematica e musica (6 cfu)

      • Formalizzazione algebrica delle strutture musicali.
    • Topologia differenziale (6 cfu)

      • Funzioni di Morse e decomposizioni in manici. Teorema dell'h-cobordismo.
    • Algebra computazionale A (6 cfu)

      • Aritmetica, fattorizzazione, integrazione.
    • Gruppi e rappresentazioni (6 cfu)

      • Rappresentazioni di gruppi finiti. Esempi di classi di gruppi.
    • Sistemi dinamici (6 cfu)

      • Sistemi dinamici lineari (con richiami di algebra lineare), stabilità e teoria qualitativa per sistemi dinamici non lineari, formalismo hamiltoniano e lagrangiano ad un grado di libertà, sistemi dinamici discreti, un esempio elementare di caos.
    • Laboratorio di fisica per l'insegnamento (6 cfu)

      • Sviluppare competenze nella gestione di esperienze di laboratorio, fornire basi teoriche di un approccio alla misura. Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della fisica. La progettazione e lo sviluppo delle attività di insegnamento relative alla fisica. Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della fisica
    • Analisi matematica 3 (6 cfu)

      • Spazi di Hilbert. Spazi di Lebesgue L^p. Convoluzione di funzioni. Serie di Fourier. Trasformata di Fourier. Formula dell'area e integrazione su superfici. Funzioni armoniche.
    • Dinamica del sistema Terra-Luna (6 cfu)

      • Il sistema Terra-Luna-Sole e le caratteristiche principali dell'orbita della Luna. Il tracking laser della Luna nell'era spaziale (LLR-Lunar Laser Ranging). LLR e la verifica della Relatività Generale.
    • Teoria analitica dei numeri A (6 cfu)

      • Problemi legati alla distribuzione dei primi; la Zeta di Riemann e le funzioni L di Dirichlet.
    • Introduzione alla teoria geometrica della misura (6 cfu)

      • Misure e dimensione di Hausdorff. Insiemi rettificabli. Formula dell'area e della coarea
    • Elementi di analisi complessa (6 cfu)

      • Teorema di uniformizzazione di Riemann; proprietà geometriche del gruppo delle omografie; principio di simmetria e sue applicazioni; un modello di piano iperbolico; cenni sulle funzioni di più variabili complesse.
    • Calcolo delle variazioni B (6 cfu)

      • Teoria della regolarità per minimi di funzionali integrali.
    • Algebre e gruppi di Lie (6 cfu)

      • Teoremi di struttura per le algebre di Lie di dimensione finita (incluso il caso delle algebre semisemplici complesse). Gruppi di Lie e relazione con le algebre di Lie. Introduzione alla teoria delle rappresentazioni delle algebre e gruppi di Lie.
    • Origini e sviluppo delle matematiche moderne (6 cfu)

      • Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica moderna: inquadramento generale, lettura diretta di testi, discussione della letteratura in materia.
    • Fisica II (9 cfu)

      • Elettrostatica e magnetostatica nel vuoto, correnti stazionarie, induzione, circuiti passivi lineari RLC, equazioni di Maxwell, onde elettromagnetiche, polarizzazione, irraggiamento, riflessione e rifrazione.
    • Geometria algebrica C (6 cfu)

      • Curve e superfici di Riemann.
    • Teoria e metodi dell'ottimizzazione (6 cfu)

      • Ottimizzazione non lineare: condizioni di ottimalità per problemi vincolati e non vincolati, teoria della dualità, metodi risolutivi per problemi vincolati e non vincolati, applicazioni.
    • Analisi superiore (6 cfu)

      • Spazi vettoriali topologici. misure e distribuzioni. Operatori illimitatii, aggiunto ad un operatore non limiato, teoria spettrale per operatori non limitati. Calcolo funzionale Forme quadratiche, soluzioni deboli e soluzioni forti.
    • Topologia algebrica (6 cfu)

      • Omotopia e teorie coomologiche.
    • Geometria algebrica E (6 cfu)

      • Superfici algebriche.
    • Algebra computazionale B (6 cfu)

      • Metodi effettivi per la risoluzione di sistemi di equazioni polimonmiali.
    • Algebra lineare e multilineare (6 cfu)

      • Strutture algebriche lineari.
    • Complementi di analisi funzionale (6 cfu)

      • Spazi vettoriali topologici, misure e distribuzioni. Convoluzione, trasformata di Fourier, teorema di Paley-Wiener ed applicazioni alle EDP. Teoria spettrale per operatori non limitati. Calcolo operazionale, semigruppi di operatori. Teorema di Malgrange-Ehrenpreis. Teoremi di punto fisso in dimensione infinita ed applicazioni alle EDP.
    • Topologia generale (6 cfu)

      • Spazi normali, teorema di Urysohn, compattificazioni, teorema di Baire, paracompattezza, partizioni dell’unità.
    • Analisi non standard (6 cfu)

      • Fondamenti dell'analisi non standard, scelta di applicazioni ad altre aree della matematica.
    • Elementi di topologia algebrica (6 cfu)

      • Omologia simpliciale e singolare, CW complessi, coomologia, prodotto cup, dualità di Poincaré.
    • Equazioni della fluidodinamica (6 cfu)

      • Introduzione alla teoria matematica delle equazioni alle derivate parziali della meccanica dei continui e in particolare a quelle di Eulero e Navier-Stokes per fluidi incomprimibili.
    • Topologia e geometria in bassa dimensione (6 cfu)

      • Varietà topologiche, lineari a pezzi e differenziabili di dimensione minore di 5.
    • Spazi di funzioni (6 cfu)

      • Proprietà fini delle funzioni derivabili in senso debole: funzioni di Sobolev e BV, insiemi di perimetro finito. Altri spazi di funzioni. Riarrangiamento e disuguaglianze funzionali.
    • Elementi di geometria algebrica (6 cfu)

      • Varietà affini, proiettive e quasi-proiettive. Morfismi. Applicazioni razionali. Punti lisci e dimensione.
    • Algebra 2 (6 cfu)

      • Gruppi: azioni di gruppi, costruzioni e presentazioni di gruppi. Moduli e caratterizzazione dei moduli su un PID. Anelli noetheriani. Teorema della base di Hilbert. Basi di Groebner e applicazioni.
    • Problemi e metodi della ricerca in didattica della matematica (6 cfu)

      • Il corso, rivolto agli studenti interessati alla ricerca in didattica della matematica, intende dare l’opportunità di conoscere e confrontarsi con le problematiche tipiche di tale campo di ricerca (sia quelle classiche che quelle più recenti) e con i metodi di ricerca utilizzati.
    • Teoria dei gruppi (6 cfu)

      • Serie di composizione, gruppi di permutazioni, gruppi nilpotenti, gruppi risolubili.
    • 3-varietà (6 cfu)

      • Risultati classici sulla topologia delle 3-varietà. Esempi e costruzioni di 3-varietà.
    • Fisica III (6 cfu)

      • Sistemi e trasformazioni termodinamiche, gas perfetto, prima e seconda legge, temperatura ed entropia; potenziali ritardati, relatività speciale e legami con l'elettromagnetismo, cenni su argomenti di fisica moderna (meccanica quantistica e altro).
    • Elementi di meccanica celeste (6 cfu)

      • Problema dei 2 corpi ed equazione di Keplero. Problema dei 3 corpi ristretto circolare, integrale di Jacobi, criterio di stabilità di Hill, cenni su orbite confinate ma caotiche. Maree ed evoluzione mareale nel sistema solare; la Terra come corpo esteso.
    • Equazioni ellittiche (6 cfu)

      • Teoria della regolarità. Equazioni in forma di divergenza. Equazioni non variazionali. Equazioni non lineari. Problemi al contorno. Frontiera libera. Problemi con ostacolo. Equazioni degeneri. Teoria del potenziale. Funzioni armoniche. Interpolazione. Autovalori.
    • Meccanica celeste (6 cfu)

      • Singolarità e orbite periodiche nel problema degli N corpi
    • Teoria analitica dei numeri B (6 cfu)

      • Problemi analitici di natura additiva con particolare riferimento al metodo di Hardy e Littlewood
    • Elementi di probabilità e statistica (6 cfu)

      • Probabilità su spazi numerabili: condizionamento, indipendenza, variabili aleatorie. Variabili aleatorie con densità: variabili gaussiane. Inferenza statistica: stima, test, intervalli di fiducia. Principali test statistici su modelli gaussiani.
    • Algebra omologica (6 cfu)

      • Moduli proiettivi e iniettivi. Categorie e funtori. Funtori aggiunti. Categorie di moduli. Successioni esatte, risoluzioni, funtori derivati. (Co)omologia di gruppi e algebre.
    • Algebra 1 (6 cfu)

      • Gruppi: teoremi di omomorfismo, permutazioni, gruppi abeliani finiti. Anelli e ideali, anelli speciali, anelli di polinomi. Elementi di teoria di Galois.
    • Introduzione all'analisi p-adica (6 cfu)

      • Struttura dei numeri p-adici; continuità, differenziabilità e analiticità in campo p-adico.
    • Elementi avanzati di algebra lineare numerica (6 cfu)

      • Metodi di Krylov, GMRES, BiCG, polinomi di matrici, problemi polinomiali agli autovalori, funzioni di matrici.
    • Metodi numerici per equazioni differenziali ordinarie (6 cfu)

      • Problemi ai valori iniziali e ai valori limite, metodi a un passo, metodi a più passi, metodi di shooting.
    • 2-varietà (6 cfu)

      • Varietà di dimensione due e loro automorfismi.
    • Algoritmi e strutture dei dati (6 cfu)

      • Strutture dei dati, analisi di algoritmi e complessità, progetto di algoritmi.
    • Teoria ergodica (6 cfu)

      • Teoremi di Krein-Milman e di Choquet, teoria spettrale. Esempi di base. Teoremi di Poincaré, Birkhoff, von Neumann. Decomposizione ergodica. "Mixing" e "weak mixing". Operatore di Perron- Frobenius. Decadimento delle correlazioni. Entropia. Dinamica simbolica. Catene di Markov e misura di Parry.
    • Teoria dei codici (6 cfu)

      • Trasmissione con errore, correzione d'errore. Famiglie di codici correttori. Metodi di geometria algebrica e algebra computazionale per la costruzione di codici e la decodifica.
    • Teoria dei controlli (6 cfu)

      • Teoria di controllabilità, osservabilità e stabilizzazione via feedback; modelli di controllo lineari; teoria geometrica di controllabilità per sistemi regolari; sistemi switching e sistemi ibridi.
    • Dinamica iperbolica (6 cfu)

      • Sistemi dinamici iperbolici; dinamica in dimensione bassa.
    • Analisi complessa A (6 cfu)

      • Il fascio dei germi delle funzioni analitiche; Nullstellensatz; spazi analitici; Teoremi A e B di Cartan.
    • Probabilità superiore (6 cfu)

      • Presentazione di una selezione di argomenti avanzati di probabilità quali Spazi Gaussiani, Calcolo di Malliavin, processi di Levy e Levy-stabili.
    • Equazioni alle derivate parziali 2 (6 cfu)

      • Selezione di argomenti avanzati della teoria delle equazioni alle derivate parziali.
    • Equazioni iperboliche (6 cfu)

      • Equazioni differenziali di tipo iperbolico, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
    • Modelli matematici in biomedicina e fisica matematica (6 cfu)

      • Obiettivi formativi: Equazioni differenziali ordinarie con effetti dissipativi (ritardo, memoria, etc) e stabilità, e loro applicazioni in biomedicina. Equazioni alle derivate parziali e loro applicazioni in fisica matematica.
    • Analisi geometrica (6 cfu)

      • Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi geometrica.
    • Geometria algebrica F (6 cfu)

      • Varietà toriche.
    • Teoria descrittiva della complessità (6 cfu)

      • Modelli finiti e complessità computazionale
    • Teoria dei modelli (6 cfu)

      • Modelli di teorie del primo ordine. Compattezza. Equivalenza elementare. Applicazioni all'aritmetica, ai campi, e ad altre strutture algebrico-relazionali.
    • Elementi di teoria degli insiemi (6 cfu)

      • Nozioni di logica. Teoria assiomatica degli insiemi. Cardinali. Ordinali.
    • Teoria geometrica della misura (6 cfu)

      • Nozioni di base di teoria geometrica della misura. Correnti normali ed intere. Esistenza delle soluzioni per il problema di Plateau omologico. Varifold.
    • Problem solving (6 cfu)

      • Ruolo dei problemi nell’insegnamento della matematica; euristiche; problem solving e problem posing.
    • Teoria dei giochi (6 cfu)

      • Equilibri nei modelli di giochi noncooperativi, teoria dei giochi cooperativi, giochi posizionali e giochi differenziali
    • Analisi in spazi metrici (6 cfu)

      • Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi su spazi metrici.
    • Equazioni differenziali stocastiche e applicazioni (6 cfu)

      • Introduzione ai teoremi di esistenza ed unicità (debole o forte) per equazioni differenziali stocastiche ordinarie, legami con le equazioni alle derivate parziali, applicazioni in ambito fisico o biologico.
    • Matematica e società (6 cfu)

      • Matematica, società e curricula; il contesto culturale nell'insegnamento ed apprendimento della matematica; il ruolo delle conoscenze matematiche non-scolastiche.
    • Matematiche elementari da un punto di vista superiore: aritmetica (6 cfu)

      • Gli insiemi numerici: possibili introduzioni, proprietà
    • Fondamenti della matematica (6 cfu)

      • Sistemi formali e teorie fondazionali.
    • Geometria algebrica B (6 cfu)

      • Varietà complesse, metodi trascendenti
    • Equazioni paraboliche (6 cfu)

      • Equazioni differenziali di tipo parabolico, lineari e non lineari, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
    • Meccanica superiore (6 cfu)

      • Obiettivi formativi: Indicatori di comportamento caotico e metodi ergodici per sistemi meccanici
    • Teoria della misura (6 cfu)

      • Misure astratte, misure su uno spazio topologico, integrale di Daniell, convergenze di misure.
    • 4-varietà (6 cfu)

      • Risultati classici sulla topologia delle 4-varietà. Esempi e costruzioni di 4-varietà.
    • Complementi di fisica (6 cfu)

      • Onde. Elementi di relatività ristretta. Equazioni d'onda relativistiche. Complementi di termodinamica e statistica.
    • Statistica matematica (6 cfu)

      • Modelli statistici: modelli dominati. Stime: stime consistenti e di Massima verosimiglianza. Intervalli di fiducia e test. I principali test sui modelli gaussiani (di Student, di Fisher Snedecor). Modelli statistici non parametrici: teorema di Glivenko-Cantelli e e test del chi-quadro.
    • Analisi reale (6 cfu)

      • Fondamenti dell'analisi reale (teoria della misura, spazi di funzioni).
    • Capacità non lineare, disequazioni variazionali e applicazioni (6 cfu)

      • Il percorso scelto ci permetterà di illustrare alcune tecniche e argomenti classici per trovare condizioni necessarie e sufficienti affinché un punto di frontiera sia regolare relativamente al problema di Dirichlet non omogeneo per l'operatore di Laplace non-lineare (il cosiddetto p-laplaciano).
    • Complementi di didattica della matematica (6 cfu)

      • Processi di apprendimento della matematica; contesti e tipi di razionalità; ostacoli epistemologici e didattici nell’insegnamento della matematica
    • Teoria della dimostrazione (6 cfu)

      • Il concetto formale di dimostrazione. Sistemi dimostrativi. Logiche non classiche. Analisi ordinale
    • Geometria iperbolica (6 cfu)

      • Lo spazio iperbolico. Esempi e costruzioni di varietà iperboliche. Proprietà topologiche e geometriche di varietà iperboliche.
  • 6 cfu a scelta nel gruppo ModAffInt

    • Moduli affini e integrativi
    • Meccanica dei continui (6 cfu)

      • Richiami di calcolo tensoriale, meccanica dei continui tridimensionali e dei continui unidimensionali (anche con struttura).
    • Storia della matematica antica e della sua tradizione (6 cfu)

      • Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica antica: inquadramento generale (caratteristiche della matematica greca, concetto di tradizione testuale, edizioni di riferimento), lettura diretta di testi legati a un autore classico o a una problematica, e studio della tradizione rinascimentale e dell'impatto sulla nascita della matematica moderna.
    • Meccanica relativistica (6 cfu)

      • Relatività speciale e principio di equivalenza di Einstein. Spazio-tempo come varietà. Moto lungo una geodetica. Equazioni di Einstein per la curvatura dello spazio-tempo. Metrica di Schwarzschild e di Kerr. Esempi di osservabili relativistiche
    • Dinamica olomorfa (6 cfu)

      • Insiemi di Julia e di Fatou; dinamica di funzioni olomorfe di una variabile.
    • Spazi simmetrici (6 cfu)

      • Gruppi di Lie. Algebre di Lie. Spazi localmente simmetrici e spazi simmetrici.
    • Analisi microlocale (6 cfu)

      • Operatori pseudodifferenziali. Integrali oscillanti. Fronte d'onda e propagazione delle singolarità. Teorema di Hörmander. Ottica geometrica e operatori integrali di Fourier. Disuguaglianza di Fefferman- Phong. Calcolo paradifferenziale. Teoria di Littlewood- Paley. Localizzazione in spazi di frequenza. Spazi di Besov.
    • Teoria dei semigruppi (6 cfu)

      • Semigruppi di operatori, applicazioni alle equazioni di evoluzione
    • Ricerca operativa (6 cfu)

      • Grafi, programmazione lineare, programmazione intera, elementi di teoria dell'ottimizzazione.
    • Teoria dei numeri elementare (6 cfu)

      • Congruenze di grado superiore al primo e struttura moltiplicativa delle classi di resto. Proprietà algebriche e asintotiche delle funzioni aritmetiche. Problemi additivi e moltiplicativi legati alla distribuzione dei numeri primi. Approssimazioni razionali di numeri algebrici e trascendenti
    • Problemi di evoluzione (6 cfu)

      • Equazioni astratte, scale di Banach. Teorema di Cauchy-Kovalewski. Caratteristiche. Equazione delle onde. Sistemi iperbolici a coefficienti costanti. Condizioni  di Hadamard-Garding. Sistemi simmetrici, metodo dell'energia. Sistemi strettamente iperbolici. Simmetrizzatore micro-locale.
    • Calcolo scientifico (6 cfu)

      • Problemi di minimi quadrati, metodi del gradiente, decomposizione a valori singolari, calcolo di autovalori.
    • Elementi di calcolo in gruppi omogenei (6 cfu)

      • Gruppi di Lie nilpotenti semplicemente connessi: dilatazioni intrinseche, distanze invarianti, misura di Haar. Differenziabilità rispetto l'operazione di gruppo e le dilatazioni.
    • Campi ciclotomici (6 cfu)

      • Caratteri di Dirichlet, serie L di Dirichlet, numeri di Bernoulli, fomrula del numero di classi, teorema di Stickelberger.
    • Matematiche elementari da un punto di vista superiore: geometria (6 cfu)

      • Assiomatiche per la geometria euclidea; geometrie non euclidee; trasformazioni geometriche
    • Metodi matematici della crittografia (6 cfu)

      • Metodi ed algoritmi matematici applicati alla crittografia ed alla crittanalisi: fattorizzazione, logaritmo discreto. Curve ellittiche, fattorizzazione e crittografia ellittica ed iperellittica. Reticoli.
    • Metodi numerici per catene di Markov (6 cfu)

      • Matrici nonnegative e teorema di Perron-Frobenius. Metodi per catene di Markov finite e infinite. Modelli di code e loro matrici di transizione.
    • Metodi di ottimizzazione delle reti (6 cfu)

      • Algoritmi ad hoc per problemi di flusso su rete, routing in reti di comunicazione, progetto di reti di comunicazione, reti di trasporto.
    • Elementi di calcolo delle variazioni (6 cfu)

      • Principi variazionali in una e più variabili. Equazione di Eulero-Lagrange. Condizioni sufficienti di minimalità. Esempi classici di problemi variazionali. Funzioni assolutamente continue e metodo diretto. Geodetiche. Teorema del passo montano e principi di minimax.
    • Teoria algebrica dei numeri 1 (6 cfu)

      • Campi di numeri, interi dei campi di numeri; fattorizzazione unica degli ideali, ramificazione, gruppo delle classi di ideali, teorema delle unità di Dirichlet.
    • Probabilità (6 cfu)

      • Complementi di misura e integrazione: integrazione delle variabili aleatorie. Indipendenza di variabili aleatorie: leggi 0-1. Le funzioni caratteristiche. Convergenza di variabili aleatorie. Teoremi limite (leggi dei Grandi Numeri e teorema del Limite Centrale). Due esempi di processi stocastici: il processo di Wiener e il processo di Poisson.
    • Introduzione alla meccanica quantistica (6 cfu)

      • Meccanica quantistica delle particelle: dualità onda/particella, principio di sovrapposizione, principio di indeterminazione, equazione di Schroedinger.
    • Teoria dei codici e crittografia (6 cfu)

      • Trasmissione dei dati, stutture matematiche per la correzione efficiente degli errori di trasmissione. Principali codici correttori, loro proprietà e decodifica. Principali problemi crittografici: cifratura, firma, identificazione, integrità dei dati. Principali protocolli crittografici e problemi matematici soggiacenti.
    • Teoria delle categorie (6 cfu)

      • Categorie, funtori; aggiunti; limiti, colimiti; fasci, topoi.
    • Teoria dei campi e teoria di Galois (6 cfu)

      • Estensioni algebriche ed estensioni trascendenti, chiusura algebrica, separabilità, teoria di Galois, risolubilità, estensioni abeliane, teoria di Kummer.
    • Processi stocastici (6 cfu)

      • Processi di Markov, forme di Dirichlet, processi gaussiani.
    • Metodi topologici per le equazioni differenziali (6 cfu)

      • Teorie topologiche variazionali o non variazionali per alcune classi di equazioni non lineari di tipo differenziale o integrale.
    • Geometria simplettica (6 cfu)

      • Varietà simplettiche. Esempi standard. Teorema di Darboux. Strutture quasi-complesse compatibili.
    • Onde lineari e non lineari (6 cfu)

      • Principali proprietà delle soluzioni delle equazioni delle onde lineari e non lineari; proprietà dispersive delle soluzioni e decadimento dell'energia locale.
    • Superfici minime (6 cfu)

      • Risultati di esistenza per superfici minime: approccio classico, insiemi di perimetro finito, correnti. Alcuni risultati di regolarità per le ipersuperfici minime.
    • Analisi complessa B (6 cfu)

      • Funzioni plurisubarmoniche; domini pseudoconvessi; equazione del de-bar.
    • Metodi topologici in analisi globale (6 cfu)

      • Elementi di analisi non lineare per alcuni problemi di tipo “globale”, quali: il problema della sella, il punto fisso di Brouwer, le dimensioni e l’invarianza del dominio, la pettinabilità della sfera, il problema di Jordan. Applicazioni alle equazioni differenziali.
    • Finanza matematica (6 cfu)

      • Orbite periodiche e teorema di Poincaré-Birkhoff, teoria delle perturbazioni.
    • Gruppi di Coxeter (6 cfu)

      • Sistemi di radici e gruppi generati da riflessioni.
    • Geometria reale B (6 cfu)

      • Geometria degli insiemi semianalitici e subanalitici.
    • Metodi numerici per la grafica (6 cfu)

      • Parametrizzazione interpolazione e approssimazione di curve e superfici. Curve e superfici di Bezier, B-spline.
    • Teoria della calcolabilità (6 cfu)

      • Modelli di calcolo e funzioni calcolabili.
    • Operatori differenziali e teoremi dell’indice (6 cfu)

      • Algebre di Clifford. Operatori di Dirac. Teoremi dell'indice.
    • Metodi decisionali guidati dai modelli (6 cfu)

      • Ottimalità e algoritmi, algoritmi euristici, tecniche di rilassamento, algoritmi enumerativi. Software di ottimizzazione.
    • Geometria e topologia delle superfici (6 cfu)

      • Spazio di Teichmüller; laminazioni geodetiche; complessi di curve.
    • Calcolo delle variazioni A (6 cfu)

      • Il metodo diretto nel calcolo delle variazioni. Condizioni necessarie e sufficienti di semicontinuità inferiore per funzionali integrali su spazi di Sobolev di funzioni scalari. Il caso vettoriale. Integrali invarianti. Misure di Young e misure di Young gradienti. Convessità, convessità di rango-uno, quasiconessità, policonvessità. Rilassamento.
    • Algebra superiore A (6 cfu)

      • Algebra commutativa.
    • Sistemi dinamici discreti (6 cfu)

      • Dinamica topologica; insiemi iperbolici; teoria ergodica.
    • Fisica matematica (6 cfu)

      • Richiami di meccanica hamiltoniana, sistemi completamente integrabili e variabili azione angolo. Metodi perturbativi: teorema della media. Soluzioni periodiche del problema degli N-corpi, teorema geometrico di Poincaré-Birkhoff. Orbite periodiche con metodi variazionali.
    • Analisi armonica (6 cfu)

      • Fondamenti dell'Analisi armonica, interpolazione reale e comlessa, spazi di Lorentz, funzioni massimali, teoria di Calderon-Zygmund, spazi BMO, moltiplicatori di Fourier, integrali oscillanti e teoremi di restizione.
    • Teoria delle funzioni (6 cfu)

      • Elementi della teoria delle funzioni analitiche di una variabile complessa: serie di Mittag-Leffler,fattorizzazione di Weierstrass, fattorizzazione delle funzioni intere di ordine finito, sviluppi asintotici, teorema di Picard.
    • Elementi di logica matematica (6 cfu)

      • Calcolo dei predicati. Sistemi formali. Teorema di completezza.
    • Geometria reale computazionale (6 cfu)

      • Campi formalmente reali. Numeri algebrici reali, varietà algebriche reali. Algoritmi e applicazioni.
    • Metodi numerici per l’analisi di Fourier (6 cfu)

      • Serie di Fourier e trasformata di Fourier. Trasformata discreta di Fourier, trasformate trigonometriche. Algoritmi veloci per il calcolo delle trasformate discrete.
    • Ultrafiltri e metodi nonstandard (6 cfu)

      • Ultrafiltri e ultrapotenze. Fondamenti dell'analisi non-standard. Applicazioni alla teoria di Ramsey e alla teoria combinatoria dei numeri.
    • Equazioni alle derivate parziali (6 cfu)

      • Equazioni e sistemi del primo ordine. Rappresentazione esplicita delle soluzioni delle equazioni di Laplace, del calore, e delle onde. Proprietà qualitative delle soluzioni: principio del massimo, unicità, regolarità e dispersione.
    • Geometria reale C (6 cfu)

      • Topologia delle curve e superfici reali.
    • Analisi convessa (6 cfu)

      • Topologie deboli su spazi di Banach, funzioni convesse, calcolo in spazi di Banach, sottodifferenziale, disequazioni variazionali, multifunzioni.
    • Didattica della matematica e nuove tecnologie (6 cfu)

      • Metodologie, modelli e materiali didattici in contesti di aula multimediale; ruolo delle tecnologie nell'insegnamento / apprendimento della matematica: software didattici e lavagne interattive multimediali.
    • Equazioni differenziali ordinarie (6 cfu)

      • Problema di Cauchy. Equazioni di Bernoulli, D'Alembert, Clairaut, Eulero, Riccati. Metodo di Peano. Equazioni lineari. Dipendenza regolare dai dati. Soluzioni massimali.  Equilibri. Problemi di Sturm- Liouville.
    • Curve algebriche (6 cfu)

      • Curve algebriche, divisori. Curve ellittiche, iperellittiche, jacobiane. Applicazioni.
    • Geometria algebrica D (6 cfu)

      • Tori complessi e varietà abeliane.
    • Storia della matematica (6 cfu)

      • Il corso è di tipo istituzionale e intende offrire una panoramica delle grandi linee di sviluppo della matematica occidentale fino alla fine del XIX secolo. A questo aspetto verrà, di anno in anno, accoppiato un approfondimento di uno o più temi particolarmente rilevanti, quali la geometria cartesiana, l'invenzione del calcolo infinitesimale, le origini della teoria di Galois, la "nuova'' analisi di Cauchy.
    • Teoria algebrica dei numeri 2 (6 cfu)

      • Valori assoluti, campi locali, differente, discriminante, ramificazione, gruppi di ramificazione.
    • Metodi di approssimazione (6 cfu)

      • Risoluzione numerica di equazioni matriciali. Algoritmi numerici per matrici con struttura.
    • Forme modulari (6 cfu)

      • L-serie, equazioni funzionali e operatori di Heck
    • Geometria riemanniana (6 cfu)

      • Relazioni fra curvatura e topologia; teoremi di confronto e di pinching.
    • Algebra commutativa e geometria algebrica computazionale (6 cfu)

      • Costruzioni e algoritmi per l'algebra commutativa e la geometria algebrica, applicazioni.
    • Funzioni speciali (6 cfu)

      • Funzione gamma di Eulero: equazioni funzionali, formula di Stirling. Funzioni ellittiche: funzione P di Weierstrass. Elementi della teoria della funzione zeta di Riemann. Soluzioni di equazioni differenziali lineari a coefficienti analitici: funzione ipergeometrica, funzioni di Bessel.
    • Geodesia via satellite (6 cfu)

      • Problema dei minimi quadrati, simmetrie e degenerazioni. Campo gravitazionale di un corpo esteso, problema del satellite. Perturbazioni non-gravitazionali, geodesia e gravimetria spaziale, terrestre e interplanetaria.
    • Dinamica del sistema solare (6 cfu)

      • Equazioni del moto dei pianeti. Teorie perturbative, elementi propri. Risonanze, piccoli divisori, esponenti di Lyapunov.
    • Geometria degli spazi metrici (6 cfu)

      • Nozioni di curvatura. Quasi isometrie. Geometria a larga scala.
    • Elementi di algebra computazionale (6 cfu)

      • Rappresentazione di interi e polinomi. Algoritmi algebrici fondamentati. Sistemi di calcolo algebrico.
    • Meccanica spaziale (6 cfu)

      • Moto di satelliti artificiali e sonde spaziali, missioni spaziali interplanetarie.
    • Geometria reale A (6 cfu)

      • Geometria degli insiemi semialgebrici. Algebra reale. Strutture o-minimali.
    • Determinazione orbitale (6 cfu)

      • Problema dei minimi quadrati, simmetrie e degenerazioni. Problema dell'identificazione. Orbite preliminari. Soluzioni deboli. Incontri ravvicinati e monitoraggio degli impatti.
    • Logica matematica (6 cfu)

      • Calcolo dei predicati. Teoremi di incompletezza di Godel. Decidibilità e indecidibilità.
    • Algebra superiore B (6 cfu)

      • Algebre e loro rappresentazioni
    • Tecnologie per la didattica (6 cfu)

      • Ruolo delle tecnologie nell’apprendimento / insegnamento della matematica; uso e costruzione di strumenti didattici informatici, multimediali e telematici Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della matematica. I processi di insegnamento e apprendimento mediati dall'uso delle tecnologie nell'ambito della matematica. Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della matematica.
    • Geometria differenziale complessa (6 cfu)

      • Varietà complesse; coomologia di Dolbeault; varietà di Stein; metriche e distanze intrinseche.
    • Matematica discreta (6 cfu)

      • Calcolo combinatorio, funzioni generatrici, grafi, teoria di Ramsey.
    • Teoria degli insiemi (6 cfu)

      • Modelli della teoria degli insiemi.
    • Teoria dei nodi (6 cfu)

      • Invarianti di nodi e di link. Trecce.
    • Teoria del controllo ottimo (6 cfu)

      • Problemi di controllo di energia minima e di tempo minimo; esistenza e di sensitività delle soluzioni; principio di massimo di Pontryagin, approccio di programmazione dinamica ed equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman.
    • Geometria di contatto (6 cfu)

      • Varietà di contatto. Esempi standard. Teorema di Darboux. Nodi Legendriani e trasversi. Libri aperti e strutture di contatto.
    • Geometria e topologia differenziale (6 cfu)

      • Geometria differenziale di curve e superfici nello spazio euclideo, introduzione a varietà e mappe differenziabili in dimensione n.
    • Geometria algebrica A (6 cfu)

      • Schemi, fasci, coomologia.
    • Analisi non lineare (6 cfu)

      • Teorie e metodi sul comportamento globale di operatori non lineari, fra spazi di dimensione finita o spazi di funzioni, collegati con classici problemio equazioni non lineari.
    • Matematica e musica (6 cfu)

      • Formalizzazione algebrica delle strutture musicali.
    • Topologia differenziale (6 cfu)

      • Funzioni di Morse e decomposizioni in manici. Teorema dell'h-cobordismo.
    • Algebra computazionale A (6 cfu)

      • Aritmetica, fattorizzazione, integrazione.
    • Gruppi e rappresentazioni (6 cfu)

      • Rappresentazioni di gruppi finiti. Esempi di classi di gruppi.
    • Sistemi dinamici (6 cfu)

      • Sistemi dinamici lineari (con richiami di algebra lineare), stabilità e teoria qualitativa per sistemi dinamici non lineari, formalismo hamiltoniano e lagrangiano ad un grado di libertà, sistemi dinamici discreti, un esempio elementare di caos.
    • Laboratorio di fisica per l'insegnamento (6 cfu)

      • Sviluppare competenze nella gestione di esperienze di laboratorio, fornire basi teoriche di un approccio alla misura. Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della fisica. La progettazione e lo sviluppo delle attività di insegnamento relative alla fisica. Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della fisica
    • Analisi matematica 3 (6 cfu)

      • Spazi di Hilbert. Spazi di Lebesgue L^p. Convoluzione di funzioni. Serie di Fourier. Trasformata di Fourier. Formula dell'area e integrazione su superfici. Funzioni armoniche.
    • Dinamica del sistema Terra-Luna (6 cfu)

      • Il sistema Terra-Luna-Sole e le caratteristiche principali dell'orbita della Luna. Il tracking laser della Luna nell'era spaziale (LLR-Lunar Laser Ranging). LLR e la verifica della Relatività Generale.
    • Teoria analitica dei numeri A (6 cfu)

      • Problemi legati alla distribuzione dei primi; la Zeta di Riemann e le funzioni L di Dirichlet.
    • Introduzione alla teoria geometrica della misura (6 cfu)

      • Misure e dimensione di Hausdorff. Insiemi rettificabli. Formula dell'area e della coarea
    • Elementi di analisi complessa (6 cfu)

      • Teorema di uniformizzazione di Riemann; proprietà geometriche del gruppo delle omografie; principio di simmetria e sue applicazioni; un modello di piano iperbolico; cenni sulle funzioni di più variabili complesse.
    • Calcolo delle variazioni B (6 cfu)

      • Teoria della regolarità per minimi di funzionali integrali.
    • Algebre e gruppi di Lie (6 cfu)

      • Teoremi di struttura per le algebre di Lie di dimensione finita (incluso il caso delle algebre semisemplici complesse). Gruppi di Lie e relazione con le algebre di Lie. Introduzione alla teoria delle rappresentazioni delle algebre e gruppi di Lie.
    • Origini e sviluppo delle matematiche moderne (6 cfu)

      • Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica moderna: inquadramento generale, lettura diretta di testi, discussione della letteratura in materia.
    • Fisica II (9 cfu)

      • Elettrostatica e magnetostatica nel vuoto, correnti stazionarie, induzione, circuiti passivi lineari RLC, equazioni di Maxwell, onde elettromagnetiche, polarizzazione, irraggiamento, riflessione e rifrazione.
    • Geometria algebrica C (6 cfu)

      • Curve e superfici di Riemann.
    • Teoria e metodi dell'ottimizzazione (6 cfu)

      • Ottimizzazione non lineare: condizioni di ottimalità per problemi vincolati e non vincolati, teoria della dualità, metodi risolutivi per problemi vincolati e non vincolati, applicazioni.
    • Analisi superiore (6 cfu)

      • Spazi vettoriali topologici. misure e distribuzioni. Operatori illimitatii, aggiunto ad un operatore non limiato, teoria spettrale per operatori non limitati. Calcolo funzionale Forme quadratiche, soluzioni deboli e soluzioni forti.
    • Topologia algebrica (6 cfu)

      • Omotopia e teorie coomologiche.
    • Geometria algebrica E (6 cfu)

      • Superfici algebriche.
    • Algebra computazionale B (6 cfu)

      • Metodi effettivi per la risoluzione di sistemi di equazioni polimonmiali.
    • Algebra lineare e multilineare (6 cfu)

      • Strutture algebriche lineari.
    • Complementi di analisi funzionale (6 cfu)

      • Spazi vettoriali topologici, misure e distribuzioni. Convoluzione, trasformata di Fourier, teorema di Paley-Wiener ed applicazioni alle EDP. Teoria spettrale per operatori non limitati. Calcolo operazionale, semigruppi di operatori. Teorema di Malgrange-Ehrenpreis. Teoremi di punto fisso in dimensione infinita ed applicazioni alle EDP.
    • Topologia generale (6 cfu)

      • Spazi normali, teorema di Urysohn, compattificazioni, teorema di Baire, paracompattezza, partizioni dell’unità.
    • Analisi non standard (6 cfu)

      • Fondamenti dell'analisi non standard, scelta di applicazioni ad altre aree della matematica.
    • Elementi di topologia algebrica (6 cfu)

      • Omologia simpliciale e singolare, CW complessi, coomologia, prodotto cup, dualità di Poincaré.
    • Equazioni della fluidodinamica (6 cfu)

      • Introduzione alla teoria matematica delle equazioni alle derivate parziali della meccanica dei continui e in particolare a quelle di Eulero e Navier-Stokes per fluidi incomprimibili.
    • Topologia e geometria in bassa dimensione (6 cfu)

      • Varietà topologiche, lineari a pezzi e differenziabili di dimensione minore di 5.
    • Spazi di funzioni (6 cfu)

      • Proprietà fini delle funzioni derivabili in senso debole: funzioni di Sobolev e BV, insiemi di perimetro finito. Altri spazi di funzioni. Riarrangiamento e disuguaglianze funzionali.
    • Elementi di geometria algebrica (6 cfu)

      • Varietà affini, proiettive e quasi-proiettive. Morfismi. Applicazioni razionali. Punti lisci e dimensione.
    • Algebra 2 (6 cfu)

      • Gruppi: azioni di gruppi, costruzioni e presentazioni di gruppi. Moduli e caratterizzazione dei moduli su un PID. Anelli noetheriani. Teorema della base di Hilbert. Basi di Groebner e applicazioni.
    • Problemi e metodi della ricerca in didattica della matematica (6 cfu)

      • Il corso, rivolto agli studenti interessati alla ricerca in didattica della matematica, intende dare l’opportunità di conoscere e confrontarsi con le problematiche tipiche di tale campo di ricerca (sia quelle classiche che quelle più recenti) e con i metodi di ricerca utilizzati.
    • Teoria dei gruppi (6 cfu)

      • Serie di composizione, gruppi di permutazioni, gruppi nilpotenti, gruppi risolubili.
    • 3-varietà (6 cfu)

      • Risultati classici sulla topologia delle 3-varietà. Esempi e costruzioni di 3-varietà.
    • Fisica III (6 cfu)

      • Sistemi e trasformazioni termodinamiche, gas perfetto, prima e seconda legge, temperatura ed entropia; potenziali ritardati, relatività speciale e legami con l'elettromagnetismo, cenni su argomenti di fisica moderna (meccanica quantistica e altro).
    • Elementi di meccanica celeste (6 cfu)

      • Problema dei 2 corpi ed equazione di Keplero. Problema dei 3 corpi ristretto circolare, integrale di Jacobi, criterio di stabilità di Hill, cenni su orbite confinate ma caotiche. Maree ed evoluzione mareale nel sistema solare; la Terra come corpo esteso.
    • Equazioni ellittiche (6 cfu)

      • Teoria della regolarità. Equazioni in forma di divergenza. Equazioni non variazionali. Equazioni non lineari. Problemi al contorno. Frontiera libera. Problemi con ostacolo. Equazioni degeneri. Teoria del potenziale. Funzioni armoniche. Interpolazione. Autovalori.
    • Meccanica celeste (6 cfu)

      • Singolarità e orbite periodiche nel problema degli N corpi
    • Teoria analitica dei numeri B (6 cfu)

      • Problemi analitici di natura additiva con particolare riferimento al metodo di Hardy e Littlewood
    • Elementi di probabilità e statistica (6 cfu)

      • Probabilità su spazi numerabili: condizionamento, indipendenza, variabili aleatorie. Variabili aleatorie con densità: variabili gaussiane. Inferenza statistica: stima, test, intervalli di fiducia. Principali test statistici su modelli gaussiani.
    • Algebra omologica (6 cfu)

      • Moduli proiettivi e iniettivi. Categorie e funtori. Funtori aggiunti. Categorie di moduli. Successioni esatte, risoluzioni, funtori derivati. (Co)omologia di gruppi e algebre.
    • Algebra 1 (6 cfu)

      • Gruppi: teoremi di omomorfismo, permutazioni, gruppi abeliani finiti. Anelli e ideali, anelli speciali, anelli di polinomi. Elementi di teoria di Galois.
    • Introduzione all'analisi p-adica (6 cfu)

      • Struttura dei numeri p-adici; continuità, differenziabilità e analiticità in campo p-adico.
    • Elementi avanzati di algebra lineare numerica (6 cfu)

      • Metodi di Krylov, GMRES, BiCG, polinomi di matrici, problemi polinomiali agli autovalori, funzioni di matrici.
    • Metodi numerici per equazioni differenziali ordinarie (6 cfu)

      • Problemi ai valori iniziali e ai valori limite, metodi a un passo, metodi a più passi, metodi di shooting.
    • 2-varietà (6 cfu)

      • Varietà di dimensione due e loro automorfismi.
    • Algoritmi e strutture dei dati (6 cfu)

      • Strutture dei dati, analisi di algoritmi e complessità, progetto di algoritmi.
    • Teoria ergodica (6 cfu)

      • Teoremi di Krein-Milman e di Choquet, teoria spettrale. Esempi di base. Teoremi di Poincaré, Birkhoff, von Neumann. Decomposizione ergodica. "Mixing" e "weak mixing". Operatore di Perron- Frobenius. Decadimento delle correlazioni. Entropia. Dinamica simbolica. Catene di Markov e misura di Parry.
    • Teoria dei codici (6 cfu)

      • Trasmissione con errore, correzione d'errore. Famiglie di codici correttori. Metodi di geometria algebrica e algebra computazionale per la costruzione di codici e la decodifica.
    • Teoria dei controlli (6 cfu)

      • Teoria di controllabilità, osservabilità e stabilizzazione via feedback; modelli di controllo lineari; teoria geometrica di controllabilità per sistemi regolari; sistemi switching e sistemi ibridi.
    • Dinamica iperbolica (6 cfu)

      • Sistemi dinamici iperbolici; dinamica in dimensione bassa.
    • Analisi complessa A (6 cfu)

      • Il fascio dei germi delle funzioni analitiche; Nullstellensatz; spazi analitici; Teoremi A e B di Cartan.
    • Probabilità superiore (6 cfu)

      • Presentazione di una selezione di argomenti avanzati di probabilità quali Spazi Gaussiani, Calcolo di Malliavin, processi di Levy e Levy-stabili.
    • Equazioni alle derivate parziali 2 (6 cfu)

      • Selezione di argomenti avanzati della teoria delle equazioni alle derivate parziali.
    • Equazioni iperboliche (6 cfu)

      • Equazioni differenziali di tipo iperbolico, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
    • Modelli matematici in biomedicina e fisica matematica (6 cfu)

      • Obiettivi formativi: Equazioni differenziali ordinarie con effetti dissipativi (ritardo, memoria, etc) e stabilità, e loro applicazioni in biomedicina. Equazioni alle derivate parziali e loro applicazioni in fisica matematica.
    • Analisi geometrica (6 cfu)

      • Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi geometrica.
    • Geometria algebrica F (6 cfu)

      • Varietà toriche.
    • Teoria descrittiva della complessità (6 cfu)

      • Modelli finiti e complessità computazionale
    • Teoria dei modelli (6 cfu)

      • Modelli di teorie del primo ordine. Compattezza. Equivalenza elementare. Applicazioni all'aritmetica, ai campi, e ad altre strutture algebrico-relazionali.
    • Elementi di teoria degli insiemi (6 cfu)

      • Nozioni di logica. Teoria assiomatica degli insiemi. Cardinali. Ordinali.
    • Teoria geometrica della misura (6 cfu)

      • Nozioni di base di teoria geometrica della misura. Correnti normali ed intere. Esistenza delle soluzioni per il problema di Plateau omologico. Varifold.
    • Problem solving (6 cfu)

      • Ruolo dei problemi nell’insegnamento della matematica; euristiche; problem solving e problem posing.
    • Teoria dei giochi (6 cfu)

      • Equilibri nei modelli di giochi noncooperativi, teoria dei giochi cooperativi, giochi posizionali e giochi differenziali
    • Analisi in spazi metrici (6 cfu)

      • Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi su spazi metrici.
    • Equazioni differenziali stocastiche e applicazioni (6 cfu)

      • Introduzione ai teoremi di esistenza ed unicità (debole o forte) per equazioni differenziali stocastiche ordinarie, legami con le equazioni alle derivate parziali, applicazioni in ambito fisico o biologico.
    • Matematica e società (6 cfu)

      • Matematica, società e curricula; il contesto culturale nell'insegnamento ed apprendimento della matematica; il ruolo delle conoscenze matematiche non-scolastiche.
    • Matematiche elementari da un punto di vista superiore: aritmetica (6 cfu)

      • Gli insiemi numerici: possibili introduzioni, proprietà
    • Fondamenti della matematica (6 cfu)

      • Sistemi formali e teorie fondazionali.
    • Geometria algebrica B (6 cfu)

      • Varietà complesse, metodi trascendenti
    • Equazioni paraboliche (6 cfu)

      • Equazioni differenziali di tipo parabolico, lineari e non lineari, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
    • Meccanica superiore (6 cfu)

      • Obiettivi formativi: Indicatori di comportamento caotico e metodi ergodici per sistemi meccanici
    • Teoria della misura (6 cfu)

      • Misure astratte, misure su uno spazio topologico, integrale di Daniell, convergenze di misure.
    • 4-varietà (6 cfu)

      • Risultati classici sulla topologia delle 4-varietà. Esempi e costruzioni di 4-varietà.
    • Complementi di fisica (6 cfu)

      • Onde. Elementi di relatività ristretta. Equazioni d'onda relativistiche. Complementi di termodinamica e statistica.
    • Statistica matematica (6 cfu)

      • Modelli statistici: modelli dominati. Stime: stime consistenti e di Massima verosimiglianza. Intervalli di fiducia e test. I principali test sui modelli gaussiani (di Student, di Fisher Snedecor). Modelli statistici non parametrici: teorema di Glivenko-Cantelli e e test del chi-quadro.
    • Analisi reale (6 cfu)

      • Fondamenti dell'analisi reale (teoria della misura, spazi di funzioni).
    • Capacità non lineare, disequazioni variazionali e applicazioni (6 cfu)

      • Il percorso scelto ci permetterà di illustrare alcune tecniche e argomenti classici per trovare condizioni necessarie e sufficienti affinché un punto di frontiera sia regolare relativamente al problema di Dirichlet non omogeneo per l'operatore di Laplace non-lineare (il cosiddetto p-laplaciano).
    • Complementi di didattica della matematica (6 cfu)

      • Processi di apprendimento della matematica; contesti e tipi di razionalità; ostacoli epistemologici e didattici nell’insegnamento della matematica
    • Teoria della dimostrazione (6 cfu)

      • Il concetto formale di dimostrazione. Sistemi dimostrativi. Logiche non classiche. Analisi ordinale
    • Geometria iperbolica (6 cfu)

      • Lo spazio iperbolico. Esempi e costruzioni di varietà iperboliche. Proprietà topologiche e geometriche di varietà iperboliche.
  • 9 cfu a scelta nel gruppo IstFisNum

    • Istituzioni fisico-numeriche
    • Istituzioni di analisi numerica (9 cfu)

      • Polinomi ortogonali; approssimazione ai minimi quadrati e minimax; interpolazione spline; formule gaussiane di integrazione. Metodi alle differenze finite per equazioni alle derivate parziali di tipo ellittico, parabolico e iperbolico.
    • Istituzioni di fisica matematica (9 cfu)

      • Principi variazionali della Meccanica ed equazioni di Eulero-Lagrange, dinamica e geodetiche, sistemi hamiltoniani, trasformazioni canoniche, equazione di Hamilton-Jacobi, problemi integrabili e teorema di Liouville-Arnold, introduzione alla teoria delle perturbazioni.

  • Applicativo

    Primo anno

  • A scelta dello studente (6 cfu)

    • Qualsiasi insegnamento attivato nell'Ateneo, purché coerente con il progetto formativo. La coerenza delle attività scelte dallo studente con il progetto formativo deve essere approvata dal Consiglio di Corso di Studio, anche tenendo conto degli specifici interessi culturali e di sviluppo di carriera dello studente.
  • Istituzioni di fisica matematica (9 cfu)

    • Principi variazionali della Meccanica ed equazioni di Eulero-Lagrange, dinamica e geodetiche, sistemi hamiltoniani, trasformazioni canoniche, equazione di Hamilton-Jacobi, problemi integrabili e teorema di Liouville-Arnold, introduzione alla teoria delle perturbazioni.
  • Istituzioni di analisi numerica (9 cfu)

    • Polinomi ortogonali; approssimazione ai minimi quadrati e minimax; interpolazione spline; formule gaussiane di integrazione. Metodi alle differenze finite per equazioni alle derivate parziali di tipo ellittico, parabolico e iperbolico.
  • 6 cfu a scelta nel gruppo ModAffInt

    • Moduli affini e integrativi
    • Meccanica dei continui (6 cfu)

      • Richiami di calcolo tensoriale, meccanica dei continui tridimensionali e dei continui unidimensionali (anche con struttura).
    • Storia della matematica antica e della sua tradizione (6 cfu)

      • Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica antica: inquadramento generale (caratteristiche della matematica greca, concetto di tradizione testuale, edizioni di riferimento), lettura diretta di testi legati a un autore classico o a una problematica, e studio della tradizione rinascimentale e dell'impatto sulla nascita della matematica moderna.
    • Meccanica relativistica (6 cfu)

      • Relatività speciale e principio di equivalenza di Einstein. Spazio-tempo come varietà. Moto lungo una geodetica. Equazioni di Einstein per la curvatura dello spazio-tempo. Metrica di Schwarzschild e di Kerr. Esempi di osservabili relativistiche
    • Dinamica olomorfa (6 cfu)

      • Insiemi di Julia e di Fatou; dinamica di funzioni olomorfe di una variabile.
    • Spazi simmetrici (6 cfu)

      • Gruppi di Lie. Algebre di Lie. Spazi localmente simmetrici e spazi simmetrici.
    • Analisi microlocale (6 cfu)

      • Operatori pseudodifferenziali. Integrali oscillanti. Fronte d'onda e propagazione delle singolarità. Teorema di Hörmander. Ottica geometrica e operatori integrali di Fourier. Disuguaglianza di Fefferman- Phong. Calcolo paradifferenziale. Teoria di Littlewood- Paley. Localizzazione in spazi di frequenza. Spazi di Besov.
    • Teoria dei semigruppi (6 cfu)

      • Semigruppi di operatori, applicazioni alle equazioni di evoluzione
    • Ricerca operativa (6 cfu)

      • Grafi, programmazione lineare, programmazione intera, elementi di teoria dell'ottimizzazione.
    • Teoria dei numeri elementare (6 cfu)

      • Congruenze di grado superiore al primo e struttura moltiplicativa delle classi di resto. Proprietà algebriche e asintotiche delle funzioni aritmetiche. Problemi additivi e moltiplicativi legati alla distribuzione dei numeri primi. Approssimazioni razionali di numeri algebrici e trascendenti
    • Problemi di evoluzione (6 cfu)

      • Equazioni astratte, scale di Banach. Teorema di Cauchy-Kovalewski. Caratteristiche. Equazione delle onde. Sistemi iperbolici a coefficienti costanti. Condizioni  di Hadamard-Garding. Sistemi simmetrici, metodo dell'energia. Sistemi strettamente iperbolici. Simmetrizzatore micro-locale.
    • Calcolo scientifico (6 cfu)

      • Problemi di minimi quadrati, metodi del gradiente, decomposizione a valori singolari, calcolo di autovalori.
    • Elementi di calcolo in gruppi omogenei (6 cfu)

      • Gruppi di Lie nilpotenti semplicemente connessi: dilatazioni intrinseche, distanze invarianti, misura di Haar. Differenziabilità rispetto l'operazione di gruppo e le dilatazioni.
    • Campi ciclotomici (6 cfu)

      • Caratteri di Dirichlet, serie L di Dirichlet, numeri di Bernoulli, fomrula del numero di classi, teorema di Stickelberger.
    • Matematiche elementari da un punto di vista superiore: geometria (6 cfu)

      • Assiomatiche per la geometria euclidea; geometrie non euclidee; trasformazioni geometriche
    • Metodi matematici della crittografia (6 cfu)

      • Metodi ed algoritmi matematici applicati alla crittografia ed alla crittanalisi: fattorizzazione, logaritmo discreto. Curve ellittiche, fattorizzazione e crittografia ellittica ed iperellittica. Reticoli.
    • Metodi numerici per catene di Markov (6 cfu)

      • Matrici nonnegative e teorema di Perron-Frobenius. Metodi per catene di Markov finite e infinite. Modelli di code e loro matrici di transizione.
    • Metodi di ottimizzazione delle reti (6 cfu)

      • Algoritmi ad hoc per problemi di flusso su rete, routing in reti di comunicazione, progetto di reti di comunicazione, reti di trasporto.
    • Elementi di calcolo delle variazioni (6 cfu)

      • Principi variazionali in una e più variabili. Equazione di Eulero-Lagrange. Condizioni sufficienti di minimalità. Esempi classici di problemi variazionali. Funzioni assolutamente continue e metodo diretto. Geodetiche. Teorema del passo montano e principi di minimax.
    • Teoria algebrica dei numeri 1 (6 cfu)

      • Campi di numeri, interi dei campi di numeri; fattorizzazione unica degli ideali, ramificazione, gruppo delle classi di ideali, teorema delle unità di Dirichlet.
    • Probabilità (6 cfu)

      • Complementi di misura e integrazione: integrazione delle variabili aleatorie. Indipendenza di variabili aleatorie: leggi 0-1. Le funzioni caratteristiche. Convergenza di variabili aleatorie. Teoremi limite (leggi dei Grandi Numeri e teorema del Limite Centrale). Due esempi di processi stocastici: il processo di Wiener e il processo di Poisson.
    • Introduzione alla meccanica quantistica (6 cfu)

      • Meccanica quantistica delle particelle: dualità onda/particella, principio di sovrapposizione, principio di indeterminazione, equazione di Schroedinger.
    • Teoria dei codici e crittografia (6 cfu)

      • Trasmissione dei dati, stutture matematiche per la correzione efficiente degli errori di trasmissione. Principali codici correttori, loro proprietà e decodifica. Principali problemi crittografici: cifratura, firma, identificazione, integrità dei dati. Principali protocolli crittografici e problemi matematici soggiacenti.
    • Teoria delle categorie (6 cfu)

      • Categorie, funtori; aggiunti; limiti, colimiti; fasci, topoi.
    • Teoria dei campi e teoria di Galois (6 cfu)

      • Estensioni algebriche ed estensioni trascendenti, chiusura algebrica, separabilità, teoria di Galois, risolubilità, estensioni abeliane, teoria di Kummer.
    • Processi stocastici (6 cfu)

      • Processi di Markov, forme di Dirichlet, processi gaussiani.
    • Metodi topologici per le equazioni differenziali (6 cfu)

      • Teorie topologiche variazionali o non variazionali per alcune classi di equazioni non lineari di tipo differenziale o integrale.
    • Geometria simplettica (6 cfu)

      • Varietà simplettiche. Esempi standard. Teorema di Darboux. Strutture quasi-complesse compatibili.
    • Onde lineari e non lineari (6 cfu)

      • Principali proprietà delle soluzioni delle equazioni delle onde lineari e non lineari; proprietà dispersive delle soluzioni e decadimento dell'energia locale.
    • Superfici minime (6 cfu)

      • Risultati di esistenza per superfici minime: approccio classico, insiemi di perimetro finito, correnti. Alcuni risultati di regolarità per le ipersuperfici minime.
    • Analisi complessa B (6 cfu)

      • Funzioni plurisubarmoniche; domini pseudoconvessi; equazione del de-bar.
    • Metodi topologici in analisi globale (6 cfu)

      • Elementi di analisi non lineare per alcuni problemi di tipo “globale”, quali: il problema della sella, il punto fisso di Brouwer, le dimensioni e l’invarianza del dominio, la pettinabilità della sfera, il problema di Jordan. Applicazioni alle equazioni differenziali.
    • Finanza matematica (6 cfu)

      • Orbite periodiche e teorema di Poincaré-Birkhoff, teoria delle perturbazioni.
    • Gruppi di Coxeter (6 cfu)

      • Sistemi di radici e gruppi generati da riflessioni.
    • Geometria reale B (6 cfu)

      • Geometria degli insiemi semianalitici e subanalitici.
    • Metodi numerici per la grafica (6 cfu)

      • Parametrizzazione interpolazione e approssimazione di curve e superfici. Curve e superfici di Bezier, B-spline.
    • Teoria della calcolabilità (6 cfu)

      • Modelli di calcolo e funzioni calcolabili.
    • Operatori differenziali e teoremi dell’indice (6 cfu)

      • Algebre di Clifford. Operatori di Dirac. Teoremi dell'indice.
    • Metodi decisionali guidati dai modelli (6 cfu)

      • Ottimalità e algoritmi, algoritmi euristici, tecniche di rilassamento, algoritmi enumerativi. Software di ottimizzazione.
    • Geometria e topologia delle superfici (6 cfu)

      • Spazio di Teichmüller; laminazioni geodetiche; complessi di curve.
    • Calcolo delle variazioni A (6 cfu)

      • Il metodo diretto nel calcolo delle variazioni. Condizioni necessarie e sufficienti di semicontinuità inferiore per funzionali integrali su spazi di Sobolev di funzioni scalari. Il caso vettoriale. Integrali invarianti. Misure di Young e misure di Young gradienti. Convessità, convessità di rango-uno, quasiconessità, policonvessità. Rilassamento.
    • Algebra superiore A (6 cfu)

      • Algebra commutativa.
    • Sistemi dinamici discreti (6 cfu)

      • Dinamica topologica; insiemi iperbolici; teoria ergodica.
    • Fisica matematica (6 cfu)

      • Richiami di meccanica hamiltoniana, sistemi completamente integrabili e variabili azione angolo. Metodi perturbativi: teorema della media. Soluzioni periodiche del problema degli N-corpi, teorema geometrico di Poincaré-Birkhoff. Orbite periodiche con metodi variazionali.
    • Analisi armonica (6 cfu)

      • Fondamenti dell'Analisi armonica, interpolazione reale e comlessa, spazi di Lorentz, funzioni massimali, teoria di Calderon-Zygmund, spazi BMO, moltiplicatori di Fourier, integrali oscillanti e teoremi di restizione.
    • Teoria delle funzioni (6 cfu)

      • Elementi della teoria delle funzioni analitiche di una variabile complessa: serie di Mittag-Leffler,fattorizzazione di Weierstrass, fattorizzazione delle funzioni intere di ordine finito, sviluppi asintotici, teorema di Picard.
    • Elementi di logica matematica (6 cfu)

      • Calcolo dei predicati. Sistemi formali. Teorema di completezza.
    • Geometria reale computazionale (6 cfu)

      • Campi formalmente reali. Numeri algebrici reali, varietà algebriche reali. Algoritmi e applicazioni.
    • Metodi numerici per l’analisi di Fourier (6 cfu)

      • Serie di Fourier e trasformata di Fourier. Trasformata discreta di Fourier, trasformate trigonometriche. Algoritmi veloci per il calcolo delle trasformate discrete.
    • Ultrafiltri e metodi nonstandard (6 cfu)

      • Ultrafiltri e ultrapotenze. Fondamenti dell'analisi non-standard. Applicazioni alla teoria di Ramsey e alla teoria combinatoria dei numeri.
    • Equazioni alle derivate parziali (6 cfu)

      • Equazioni e sistemi del primo ordine. Rappresentazione esplicita delle soluzioni delle equazioni di Laplace, del calore, e delle onde. Proprietà qualitative delle soluzioni: principio del massimo, unicità, regolarità e dispersione.
    • Geometria reale C (6 cfu)

      • Topologia delle curve e superfici reali.
    • Analisi convessa (6 cfu)

      • Topologie deboli su spazi di Banach, funzioni convesse, calcolo in spazi di Banach, sottodifferenziale, disequazioni variazionali, multifunzioni.
    • Didattica della matematica e nuove tecnologie (6 cfu)

      • Metodologie, modelli e materiali didattici in contesti di aula multimediale; ruolo delle tecnologie nell'insegnamento / apprendimento della matematica: software didattici e lavagne interattive multimediali.
    • Equazioni differenziali ordinarie (6 cfu)

      • Problema di Cauchy. Equazioni di Bernoulli, D'Alembert, Clairaut, Eulero, Riccati. Metodo di Peano. Equazioni lineari. Dipendenza regolare dai dati. Soluzioni massimali.  Equilibri. Problemi di Sturm- Liouville.
    • Curve algebriche (6 cfu)

      • Curve algebriche, divisori. Curve ellittiche, iperellittiche, jacobiane. Applicazioni.
    • Geometria algebrica D (6 cfu)

      • Tori complessi e varietà abeliane.
    • Storia della matematica (6 cfu)

      • Il corso è di tipo istituzionale e intende offrire una panoramica delle grandi linee di sviluppo della matematica occidentale fino alla fine del XIX secolo. A questo aspetto verrà, di anno in anno, accoppiato un approfondimento di uno o più temi particolarmente rilevanti, quali la geometria cartesiana, l'invenzione del calcolo infinitesimale, le origini della teoria di Galois, la "nuova'' analisi di Cauchy.
    • Teoria algebrica dei numeri 2 (6 cfu)

      • Valori assoluti, campi locali, differente, discriminante, ramificazione, gruppi di ramificazione.
    • Metodi di approssimazione (6 cfu)

      • Risoluzione numerica di equazioni matriciali. Algoritmi numerici per matrici con struttura.
    • Forme modulari (6 cfu)

      • L-serie, equazioni funzionali e operatori di Heck
    • Geometria riemanniana (6 cfu)

      • Relazioni fra curvatura e topologia; teoremi di confronto e di pinching.
    • Algebra commutativa e geometria algebrica computazionale (6 cfu)

      • Costruzioni e algoritmi per l'algebra commutativa e la geometria algebrica, applicazioni.
    • Funzioni speciali (6 cfu)

      • Funzione gamma di Eulero: equazioni funzionali, formula di Stirling. Funzioni ellittiche: funzione P di Weierstrass. Elementi della teoria della funzione zeta di Riemann. Soluzioni di equazioni differenziali lineari a coefficienti analitici: funzione ipergeometrica, funzioni di Bessel.
    • Geodesia via satellite (6 cfu)

      • Problema dei minimi quadrati, simmetrie e degenerazioni. Campo gravitazionale di un corpo esteso, problema del satellite. Perturbazioni non-gravitazionali, geodesia e gravimetria spaziale, terrestre e interplanetaria.
    • Dinamica del sistema solare (6 cfu)

      • Equazioni del moto dei pianeti. Teorie perturbative, elementi propri. Risonanze, piccoli divisori, esponenti di Lyapunov.
    • Geometria degli spazi metrici (6 cfu)

      • Nozioni di curvatura. Quasi isometrie. Geometria a larga scala.
    • Elementi di algebra computazionale (6 cfu)

      • Rappresentazione di interi e polinomi. Algoritmi algebrici fondamentati. Sistemi di calcolo algebrico.
    • Meccanica spaziale (6 cfu)

      • Moto di satelliti artificiali e sonde spaziali, missioni spaziali interplanetarie.
    • Geometria reale A (6 cfu)

      • Geometria degli insiemi semialgebrici. Algebra reale. Strutture o-minimali.
    • Determinazione orbitale (6 cfu)

      • Problema dei minimi quadrati, simmetrie e degenerazioni. Problema dell'identificazione. Orbite preliminari. Soluzioni deboli. Incontri ravvicinati e monitoraggio degli impatti.
    • Logica matematica (6 cfu)

      • Calcolo dei predicati. Teoremi di incompletezza di Godel. Decidibilità e indecidibilità.
    • Algebra superiore B (6 cfu)

      • Algebre e loro rappresentazioni
    • Tecnologie per la didattica (6 cfu)

      • Ruolo delle tecnologie nell’apprendimento / insegnamento della matematica; uso e costruzione di strumenti didattici informatici, multimediali e telematici Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della matematica. I processi di insegnamento e apprendimento mediati dall'uso delle tecnologie nell'ambito della matematica. Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della matematica.
    • Geometria differenziale complessa (6 cfu)

      • Varietà complesse; coomologia di Dolbeault; varietà di Stein; metriche e distanze intrinseche.
    • Matematica discreta (6 cfu)

      • Calcolo combinatorio, funzioni generatrici, grafi, teoria di Ramsey.
    • Teoria degli insiemi (6 cfu)

      • Modelli della teoria degli insiemi.
    • Teoria dei nodi (6 cfu)

      • Invarianti di nodi e di link. Trecce.
    • Teoria del controllo ottimo (6 cfu)

      • Problemi di controllo di energia minima e di tempo minimo; esistenza e di sensitività delle soluzioni; principio di massimo di Pontryagin, approccio di programmazione dinamica ed equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman.
    • Geometria di contatto (6 cfu)

      • Varietà di contatto. Esempi standard. Teorema di Darboux. Nodi Legendriani e trasversi. Libri aperti e strutture di contatto.
    • Geometria e topologia differenziale (6 cfu)

      • Geometria differenziale di curve e superfici nello spazio euclideo, introduzione a varietà e mappe differenziabili in dimensione n.
    • Geometria algebrica A (6 cfu)

      • Schemi, fasci, coomologia.
    • Analisi non lineare (6 cfu)

      • Teorie e metodi sul comportamento globale di operatori non lineari, fra spazi di dimensione finita o spazi di funzioni, collegati con classici problemio equazioni non lineari.
    • Matematica e musica (6 cfu)

      • Formalizzazione algebrica delle strutture musicali.
    • Topologia differenziale (6 cfu)

      • Funzioni di Morse e decomposizioni in manici. Teorema dell'h-cobordismo.
    • Algebra computazionale A (6 cfu)

      • Aritmetica, fattorizzazione, integrazione.
    • Gruppi e rappresentazioni (6 cfu)

      • Rappresentazioni di gruppi finiti. Esempi di classi di gruppi.
    • Sistemi dinamici (6 cfu)

      • Sistemi dinamici lineari (con richiami di algebra lineare), stabilità e teoria qualitativa per sistemi dinamici non lineari, formalismo hamiltoniano e lagrangiano ad un grado di libertà, sistemi dinamici discreti, un esempio elementare di caos.
    • Laboratorio di fisica per l'insegnamento (6 cfu)

      • Sviluppare competenze nella gestione di esperienze di laboratorio, fornire basi teoriche di un approccio alla misura. Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della fisica. La progettazione e lo sviluppo delle attività di insegnamento relative alla fisica. Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della fisica
    • Analisi matematica 3 (6 cfu)

      • Spazi di Hilbert. Spazi di Lebesgue L^p. Convoluzione di funzioni. Serie di Fourier. Trasformata di Fourier. Formula dell'area e integrazione su superfici. Funzioni armoniche.
    • Dinamica del sistema Terra-Luna (6 cfu)

      • Il sistema Terra-Luna-Sole e le caratteristiche principali dell'orbita della Luna. Il tracking laser della Luna nell'era spaziale (LLR-Lunar Laser Ranging). LLR e la verifica della Relatività Generale.
    • Teoria analitica dei numeri A (6 cfu)

      • Problemi legati alla distribuzione dei primi; la Zeta di Riemann e le funzioni L di Dirichlet.
    • Introduzione alla teoria geometrica della misura (6 cfu)

      • Misure e dimensione di Hausdorff. Insiemi rettificabli. Formula dell'area e della coarea
    • Elementi di analisi complessa (6 cfu)

      • Teorema di uniformizzazione di Riemann; proprietà geometriche del gruppo delle omografie; principio di simmetria e sue applicazioni; un modello di piano iperbolico; cenni sulle funzioni di più variabili complesse.
    • Calcolo delle variazioni B (6 cfu)

      • Teoria della regolarità per minimi di funzionali integrali.
    • Algebre e gruppi di Lie (6 cfu)

      • Teoremi di struttura per le algebre di Lie di dimensione finita (incluso il caso delle algebre semisemplici complesse). Gruppi di Lie e relazione con le algebre di Lie. Introduzione alla teoria delle rappresentazioni delle algebre e gruppi di Lie.
    • Origini e sviluppo delle matematiche moderne (6 cfu)

      • Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica moderna: inquadramento generale, lettura diretta di testi, discussione della letteratura in materia.
    • Fisica II (9 cfu)

      • Elettrostatica e magnetostatica nel vuoto, correnti stazionarie, induzione, circuiti passivi lineari RLC, equazioni di Maxwell, onde elettromagnetiche, polarizzazione, irraggiamento, riflessione e rifrazione.
    • Geometria algebrica C (6 cfu)

      • Curve e superfici di Riemann.
    • Teoria e metodi dell'ottimizzazione (6 cfu)

      • Ottimizzazione non lineare: condizioni di ottimalità per problemi vincolati e non vincolati, teoria della dualità, metodi risolutivi per problemi vincolati e non vincolati, applicazioni.
    • Analisi superiore (6 cfu)

      • Spazi vettoriali topologici. misure e distribuzioni. Operatori illimitatii, aggiunto ad un operatore non limiato, teoria spettrale per operatori non limitati. Calcolo funzionale Forme quadratiche, soluzioni deboli e soluzioni forti.
    • Topologia algebrica (6 cfu)

      • Omotopia e teorie coomologiche.
    • Geometria algebrica E (6 cfu)

      • Superfici algebriche.
    • Algebra computazionale B (6 cfu)

      • Metodi effettivi per la risoluzione di sistemi di equazioni polimonmiali.
    • Algebra lineare e multilineare (6 cfu)

      • Strutture algebriche lineari.
    • Complementi di analisi funzionale (6 cfu)

      • Spazi vettoriali topologici, misure e distribuzioni. Convoluzione, trasformata di Fourier, teorema di Paley-Wiener ed applicazioni alle EDP. Teoria spettrale per operatori non limitati. Calcolo operazionale, semigruppi di operatori. Teorema di Malgrange-Ehrenpreis. Teoremi di punto fisso in dimensione infinita ed applicazioni alle EDP.
    • Topologia generale (6 cfu)

      • Spazi normali, teorema di Urysohn, compattificazioni, teorema di Baire, paracompattezza, partizioni dell’unità.
    • Analisi non standard (6 cfu)

      • Fondamenti dell'analisi non standard, scelta di applicazioni ad altre aree della matematica.
    • Elementi di topologia algebrica (6 cfu)

      • Omologia simpliciale e singolare, CW complessi, coomologia, prodotto cup, dualità di Poincaré.
    • Equazioni della fluidodinamica (6 cfu)

      • Introduzione alla teoria matematica delle equazioni alle derivate parziali della meccanica dei continui e in particolare a quelle di Eulero e Navier-Stokes per fluidi incomprimibili.
    • Topologia e geometria in bassa dimensione (6 cfu)

      • Varietà topologiche, lineari a pezzi e differenziabili di dimensione minore di 5.
    • Spazi di funzioni (6 cfu)

      • Proprietà fini delle funzioni derivabili in senso debole: funzioni di Sobolev e BV, insiemi di perimetro finito. Altri spazi di funzioni. Riarrangiamento e disuguaglianze funzionali.
    • Elementi di geometria algebrica (6 cfu)

      • Varietà affini, proiettive e quasi-proiettive. Morfismi. Applicazioni razionali. Punti lisci e dimensione.
    • Algebra 2 (6 cfu)

      • Gruppi: azioni di gruppi, costruzioni e presentazioni di gruppi. Moduli e caratterizzazione dei moduli su un PID. Anelli noetheriani. Teorema della base di Hilbert. Basi di Groebner e applicazioni.
    • Problemi e metodi della ricerca in didattica della matematica (6 cfu)

      • Il corso, rivolto agli studenti interessati alla ricerca in didattica della matematica, intende dare l’opportunità di conoscere e confrontarsi con le problematiche tipiche di tale campo di ricerca (sia quelle classiche che quelle più recenti) e con i metodi di ricerca utilizzati.
    • Teoria dei gruppi (6 cfu)

      • Serie di composizione, gruppi di permutazioni, gruppi nilpotenti, gruppi risolubili.
    • 3-varietà (6 cfu)

      • Risultati classici sulla topologia delle 3-varietà. Esempi e costruzioni di 3-varietà.
    • Fisica III (6 cfu)

      • Sistemi e trasformazioni termodinamiche, gas perfetto, prima e seconda legge, temperatura ed entropia; potenziali ritardati, relatività speciale e legami con l'elettromagnetismo, cenni su argomenti di fisica moderna (meccanica quantistica e altro).
    • Elementi di meccanica celeste (6 cfu)

      • Problema dei 2 corpi ed equazione di Keplero. Problema dei 3 corpi ristretto circolare, integrale di Jacobi, criterio di stabilità di Hill, cenni su orbite confinate ma caotiche. Maree ed evoluzione mareale nel sistema solare; la Terra come corpo esteso.
    • Equazioni ellittiche (6 cfu)

      • Teoria della regolarità. Equazioni in forma di divergenza. Equazioni non variazionali. Equazioni non lineari. Problemi al contorno. Frontiera libera. Problemi con ostacolo. Equazioni degeneri. Teoria del potenziale. Funzioni armoniche. Interpolazione. Autovalori.
    • Meccanica celeste (6 cfu)

      • Singolarità e orbite periodiche nel problema degli N corpi
    • Teoria analitica dei numeri B (6 cfu)

      • Problemi analitici di natura additiva con particolare riferimento al metodo di Hardy e Littlewood
    • Elementi di probabilità e statistica (6 cfu)

      • Probabilità su spazi numerabili: condizionamento, indipendenza, variabili aleatorie. Variabili aleatorie con densità: variabili gaussiane. Inferenza statistica: stima, test, intervalli di fiducia. Principali test statistici su modelli gaussiani.
    • Algebra omologica (6 cfu)

      • Moduli proiettivi e iniettivi. Categorie e funtori. Funtori aggiunti. Categorie di moduli. Successioni esatte, risoluzioni, funtori derivati. (Co)omologia di gruppi e algebre.
    • Algebra 1 (6 cfu)

      • Gruppi: teoremi di omomorfismo, permutazioni, gruppi abeliani finiti. Anelli e ideali, anelli speciali, anelli di polinomi. Elementi di teoria di Galois.
    • Introduzione all'analisi p-adica (6 cfu)

      • Struttura dei numeri p-adici; continuità, differenziabilità e analiticità in campo p-adico.
    • Elementi avanzati di algebra lineare numerica (6 cfu)

      • Metodi di Krylov, GMRES, BiCG, polinomi di matrici, problemi polinomiali agli autovalori, funzioni di matrici.
    • Metodi numerici per equazioni differenziali ordinarie (6 cfu)

      • Problemi ai valori iniziali e ai valori limite, metodi a un passo, metodi a più passi, metodi di shooting.
    • 2-varietà (6 cfu)

      • Varietà di dimensione due e loro automorfismi.
    • Algoritmi e strutture dei dati (6 cfu)

      • Strutture dei dati, analisi di algoritmi e complessità, progetto di algoritmi.
    • Teoria ergodica (6 cfu)

      • Teoremi di Krein-Milman e di Choquet, teoria spettrale. Esempi di base. Teoremi di Poincaré, Birkhoff, von Neumann. Decomposizione ergodica. "Mixing" e "weak mixing". Operatore di Perron- Frobenius. Decadimento delle correlazioni. Entropia. Dinamica simbolica. Catene di Markov e misura di Parry.
    • Teoria dei codici (6 cfu)

      • Trasmissione con errore, correzione d'errore. Famiglie di codici correttori. Metodi di geometria algebrica e algebra computazionale per la costruzione di codici e la decodifica.
    • Teoria dei controlli (6 cfu)

      • Teoria di controllabilità, osservabilità e stabilizzazione via feedback; modelli di controllo lineari; teoria geometrica di controllabilità per sistemi regolari; sistemi switching e sistemi ibridi.
    • Dinamica iperbolica (6 cfu)

      • Sistemi dinamici iperbolici; dinamica in dimensione bassa.
    • Analisi complessa A (6 cfu)

      • Il fascio dei germi delle funzioni analitiche; Nullstellensatz; spazi analitici; Teoremi A e B di Cartan.
    • Probabilità superiore (6 cfu)

      • Presentazione di una selezione di argomenti avanzati di probabilità quali Spazi Gaussiani, Calcolo di Malliavin, processi di Levy e Levy-stabili.
    • Equazioni alle derivate parziali 2 (6 cfu)

      • Selezione di argomenti avanzati della teoria delle equazioni alle derivate parziali.
    • Equazioni iperboliche (6 cfu)

      • Equazioni differenziali di tipo iperbolico, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
    • Modelli matematici in biomedicina e fisica matematica (6 cfu)

      • Obiettivi formativi: Equazioni differenziali ordinarie con effetti dissipativi (ritardo, memoria, etc) e stabilità, e loro applicazioni in biomedicina. Equazioni alle derivate parziali e loro applicazioni in fisica matematica.
    • Analisi geometrica (6 cfu)

      • Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi geometrica.
    • Geometria algebrica F (6 cfu)

      • Varietà toriche.
    • Teoria descrittiva della complessità (6 cfu)

      • Modelli finiti e complessità computazionale
    • Teoria dei modelli (6 cfu)

      • Modelli di teorie del primo ordine. Compattezza. Equivalenza elementare. Applicazioni all'aritmetica, ai campi, e ad altre strutture algebrico-relazionali.
    • Elementi di teoria degli insiemi (6 cfu)

      • Nozioni di logica. Teoria assiomatica degli insiemi. Cardinali. Ordinali.
    • Teoria geometrica della misura (6 cfu)

      • Nozioni di base di teoria geometrica della misura. Correnti normali ed intere. Esistenza delle soluzioni per il problema di Plateau omologico. Varifold.
    • Problem solving (6 cfu)

      • Ruolo dei problemi nell’insegnamento della matematica; euristiche; problem solving e problem posing.
    • Teoria dei giochi (6 cfu)

      • Equilibri nei modelli di giochi noncooperativi, teoria dei giochi cooperativi, giochi posizionali e giochi differenziali
    • Analisi in spazi metrici (6 cfu)

      • Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi su spazi metrici.
    • Equazioni differenziali stocastiche e applicazioni (6 cfu)

      • Introduzione ai teoremi di esistenza ed unicità (debole o forte) per equazioni differenziali stocastiche ordinarie, legami con le equazioni alle derivate parziali, applicazioni in ambito fisico o biologico.
    • Matematica e società (6 cfu)

      • Matematica, società e curricula; il contesto culturale nell'insegnamento ed apprendimento della matematica; il ruolo delle conoscenze matematiche non-scolastiche.
    • Matematiche elementari da un punto di vista superiore: aritmetica (6 cfu)

      • Gli insiemi numerici: possibili introduzioni, proprietà
    • Fondamenti della matematica (6 cfu)

      • Sistemi formali e teorie fondazionali.
    • Geometria algebrica B (6 cfu)

      • Varietà complesse, metodi trascendenti
    • Equazioni paraboliche (6 cfu)

      • Equazioni differenziali di tipo parabolico, lineari e non lineari, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
    • Meccanica superiore (6 cfu)

      • Obiettivi formativi: Indicatori di comportamento caotico e metodi ergodici per sistemi meccanici
    • Teoria della misura (6 cfu)

      • Misure astratte, misure su uno spazio topologico, integrale di Daniell, convergenze di misure.
    • 4-varietà (6 cfu)

      • Risultati classici sulla topologia delle 4-varietà. Esempi e costruzioni di 4-varietà.
    • Complementi di fisica (6 cfu)

      • Onde. Elementi di relatività ristretta. Equazioni d'onda relativistiche. Complementi di termodinamica e statistica.
    • Statistica matematica (6 cfu)

      • Modelli statistici: modelli dominati. Stime: stime consistenti e di Massima verosimiglianza. Intervalli di fiducia e test. I principali test sui modelli gaussiani (di Student, di Fisher Snedecor). Modelli statistici non parametrici: teorema di Glivenko-Cantelli e e test del chi-quadro.
    • Analisi reale (6 cfu)

      • Fondamenti dell'analisi reale (teoria della misura, spazi di funzioni).
    • Capacità non lineare, disequazioni variazionali e applicazioni (6 cfu)

      • Il percorso scelto ci permetterà di illustrare alcune tecniche e argomenti classici per trovare condizioni necessarie e sufficienti affinché un punto di frontiera sia regolare relativamente al problema di Dirichlet non omogeneo per l'operatore di Laplace non-lineare (il cosiddetto p-laplaciano).
    • Complementi di didattica della matematica (6 cfu)

      • Processi di apprendimento della matematica; contesti e tipi di razionalità; ostacoli epistemologici e didattici nell’insegnamento della matematica
    • Teoria della dimostrazione (6 cfu)

      • Il concetto formale di dimostrazione. Sistemi dimostrativi. Logiche non classiche. Analisi ordinale
    • Geometria iperbolica (6 cfu)

      • Lo spazio iperbolico. Esempi e costruzioni di varietà iperboliche. Proprietà topologiche e geometriche di varietà iperboliche.
  • 6 cfu a scelta nel gruppo ModAffInt

    • Moduli affini e integrativi
    • Meccanica dei continui (6 cfu)

      • Richiami di calcolo tensoriale, meccanica dei continui tridimensionali e dei continui unidimensionali (anche con struttura).
    • Storia della matematica antica e della sua tradizione (6 cfu)

      • Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica antica: inquadramento generale (caratteristiche della matematica greca, concetto di tradizione testuale, edizioni di riferimento), lettura diretta di testi legati a un autore classico o a una problematica, e studio della tradizione rinascimentale e dell'impatto sulla nascita della matematica moderna.
    • Meccanica relativistica (6 cfu)

      • Relatività speciale e principio di equivalenza di Einstein. Spazio-tempo come varietà. Moto lungo una geodetica. Equazioni di Einstein per la curvatura dello spazio-tempo. Metrica di Schwarzschild e di Kerr. Esempi di osservabili relativistiche
    • Dinamica olomorfa (6 cfu)

      • Insiemi di Julia e di Fatou; dinamica di funzioni olomorfe di una variabile.
    • Spazi simmetrici (6 cfu)

      • Gruppi di Lie. Algebre di Lie. Spazi localmente simmetrici e spazi simmetrici.
    • Analisi microlocale (6 cfu)

      • Operatori pseudodifferenziali. Integrali oscillanti. Fronte d'onda e propagazione delle singolarità. Teorema di Hörmander. Ottica geometrica e operatori integrali di Fourier. Disuguaglianza di Fefferman- Phong. Calcolo paradifferenziale. Teoria di Littlewood- Paley. Localizzazione in spazi di frequenza. Spazi di Besov.
    • Teoria dei semigruppi (6 cfu)

      • Semigruppi di operatori, applicazioni alle equazioni di evoluzione
    • Ricerca operativa (6 cfu)

      • Grafi, programmazione lineare, programmazione intera, elementi di teoria dell'ottimizzazione.
    • Teoria dei numeri elementare (6 cfu)

      • Congruenze di grado superiore al primo e struttura moltiplicativa delle classi di resto. Proprietà algebriche e asintotiche delle funzioni aritmetiche. Problemi additivi e moltiplicativi legati alla distribuzione dei numeri primi. Approssimazioni razionali di numeri algebrici e trascendenti
    • Problemi di evoluzione (6 cfu)

      • Equazioni astratte, scale di Banach. Teorema di Cauchy-Kovalewski. Caratteristiche. Equazione delle onde. Sistemi iperbolici a coefficienti costanti. Condizioni  di Hadamard-Garding. Sistemi simmetrici, metodo dell'energia. Sistemi strettamente iperbolici. Simmetrizzatore micro-locale.
    • Calcolo scientifico (6 cfu)

      • Problemi di minimi quadrati, metodi del gradiente, decomposizione a valori singolari, calcolo di autovalori.
    • Elementi di calcolo in gruppi omogenei (6 cfu)

      • Gruppi di Lie nilpotenti semplicemente connessi: dilatazioni intrinseche, distanze invarianti, misura di Haar. Differenziabilità rispetto l'operazione di gruppo e le dilatazioni.
    • Campi ciclotomici (6 cfu)

      • Caratteri di Dirichlet, serie L di Dirichlet, numeri di Bernoulli, fomrula del numero di classi, teorema di Stickelberger.
    • Matematiche elementari da un punto di vista superiore: geometria (6 cfu)

      • Assiomatiche per la geometria euclidea; geometrie non euclidee; trasformazioni geometriche
    • Metodi matematici della crittografia (6 cfu)

      • Metodi ed algoritmi matematici applicati alla crittografia ed alla crittanalisi: fattorizzazione, logaritmo discreto. Curve ellittiche, fattorizzazione e crittografia ellittica ed iperellittica. Reticoli.
    • Metodi numerici per catene di Markov (6 cfu)

      • Matrici nonnegative e teorema di Perron-Frobenius. Metodi per catene di Markov finite e infinite. Modelli di code e loro matrici di transizione.
    • Metodi di ottimizzazione delle reti (6 cfu)

      • Algoritmi ad hoc per problemi di flusso su rete, routing in reti di comunicazione, progetto di reti di comunicazione, reti di trasporto.
    • Elementi di calcolo delle variazioni (6 cfu)

      • Principi variazionali in una e più variabili. Equazione di Eulero-Lagrange. Condizioni sufficienti di minimalità. Esempi classici di problemi variazionali. Funzioni assolutamente continue e metodo diretto. Geodetiche. Teorema del passo montano e principi di minimax.
    • Teoria algebrica dei numeri 1 (6 cfu)

      • Campi di numeri, interi dei campi di numeri; fattorizzazione unica degli ideali, ramificazione, gruppo delle classi di ideali, teorema delle unità di Dirichlet.
    • Probabilità (6 cfu)

      • Complementi di misura e integrazione: integrazione delle variabili aleatorie. Indipendenza di variabili aleatorie: leggi 0-1. Le funzioni caratteristiche. Convergenza di variabili aleatorie. Teoremi limite (leggi dei Grandi Numeri e teorema del Limite Centrale). Due esempi di processi stocastici: il processo di Wiener e il processo di Poisson.
    • Introduzione alla meccanica quantistica (6 cfu)

      • Meccanica quantistica delle particelle: dualità onda/particella, principio di sovrapposizione, principio di indeterminazione, equazione di Schroedinger.
    • Teoria dei codici e crittografia (6 cfu)

      • Trasmissione dei dati, stutture matematiche per la correzione efficiente degli errori di trasmissione. Principali codici correttori, loro proprietà e decodifica. Principali problemi crittografici: cifratura, firma, identificazione, integrità dei dati. Principali protocolli crittografici e problemi matematici soggiacenti.
    • Teoria delle categorie (6 cfu)

      • Categorie, funtori; aggiunti; limiti, colimiti; fasci, topoi.
    • Teoria dei campi e teoria di Galois (6 cfu)

      • Estensioni algebriche ed estensioni trascendenti, chiusura algebrica, separabilità, teoria di Galois, risolubilità, estensioni abeliane, teoria di Kummer.
    • Processi stocastici (6 cfu)

      • Processi di Markov, forme di Dirichlet, processi gaussiani.
    • Metodi topologici per le equazioni differenziali (6 cfu)

      • Teorie topologiche variazionali o non variazionali per alcune classi di equazioni non lineari di tipo differenziale o integrale.
    • Geometria simplettica (6 cfu)

      • Varietà simplettiche. Esempi standard. Teorema di Darboux. Strutture quasi-complesse compatibili.
    • Onde lineari e non lineari (6 cfu)

      • Principali proprietà delle soluzioni delle equazioni delle onde lineari e non lineari; proprietà dispersive delle soluzioni e decadimento dell'energia locale.
    • Superfici minime (6 cfu)

      • Risultati di esistenza per superfici minime: approccio classico, insiemi di perimetro finito, correnti. Alcuni risultati di regolarità per le ipersuperfici minime.
    • Analisi complessa B (6 cfu)

      • Funzioni plurisubarmoniche; domini pseudoconvessi; equazione del de-bar.
    • Metodi topologici in analisi globale (6 cfu)

      • Elementi di analisi non lineare per alcuni problemi di tipo “globale”, quali: il problema della sella, il punto fisso di Brouwer, le dimensioni e l’invarianza del dominio, la pettinabilità della sfera, il problema di Jordan. Applicazioni alle equazioni differenziali.
    • Finanza matematica (6 cfu)

      • Orbite periodiche e teorema di Poincaré-Birkhoff, teoria delle perturbazioni.
    • Gruppi di Coxeter (6 cfu)

      • Sistemi di radici e gruppi generati da riflessioni.
    • Geometria reale B (6 cfu)

      • Geometria degli insiemi semianalitici e subanalitici.
    • Metodi numerici per la grafica (6 cfu)

      • Parametrizzazione interpolazione e approssimazione di curve e superfici. Curve e superfici di Bezier, B-spline.
    • Teoria della calcolabilità (6 cfu)

      • Modelli di calcolo e funzioni calcolabili.
    • Operatori differenziali e teoremi dell’indice (6 cfu)

      • Algebre di Clifford. Operatori di Dirac. Teoremi dell'indice.
    • Metodi decisionali guidati dai modelli (6 cfu)

      • Ottimalità e algoritmi, algoritmi euristici, tecniche di rilassamento, algoritmi enumerativi. Software di ottimizzazione.
    • Geometria e topologia delle superfici (6 cfu)

      • Spazio di Teichmüller; laminazioni geodetiche; complessi di curve.
    • Calcolo delle variazioni A (6 cfu)

      • Il metodo diretto nel calcolo delle variazioni. Condizioni necessarie e sufficienti di semicontinuità inferiore per funzionali integrali su spazi di Sobolev di funzioni scalari. Il caso vettoriale. Integrali invarianti. Misure di Young e misure di Young gradienti. Convessità, convessità di rango-uno, quasiconessità, policonvessità. Rilassamento.
    • Algebra superiore A (6 cfu)

      • Algebra commutativa.
    • Sistemi dinamici discreti (6 cfu)

      • Dinamica topologica; insiemi iperbolici; teoria ergodica.
    • Fisica matematica (6 cfu)

      • Richiami di meccanica hamiltoniana, sistemi completamente integrabili e variabili azione angolo. Metodi perturbativi: teorema della media. Soluzioni periodiche del problema degli N-corpi, teorema geometrico di Poincaré-Birkhoff. Orbite periodiche con metodi variazionali.
    • Analisi armonica (6 cfu)

      • Fondamenti dell'Analisi armonica, interpolazione reale e comlessa, spazi di Lorentz, funzioni massimali, teoria di Calderon-Zygmund, spazi BMO, moltiplicatori di Fourier, integrali oscillanti e teoremi di restizione.
    • Teoria delle funzioni (6 cfu)

      • Elementi della teoria delle funzioni analitiche di una variabile complessa: serie di Mittag-Leffler,fattorizzazione di Weierstrass, fattorizzazione delle funzioni intere di ordine finito, sviluppi asintotici, teorema di Picard.
    • Elementi di logica matematica (6 cfu)

      • Calcolo dei predicati. Sistemi formali. Teorema di completezza.
    • Geometria reale computazionale (6 cfu)

      • Campi formalmente reali. Numeri algebrici reali, varietà algebriche reali. Algoritmi e applicazioni.
    • Metodi numerici per l’analisi di Fourier (6 cfu)

      • Serie di Fourier e trasformata di Fourier. Trasformata discreta di Fourier, trasformate trigonometriche. Algoritmi veloci per il calcolo delle trasformate discrete.
    • Ultrafiltri e metodi nonstandard (6 cfu)

      • Ultrafiltri e ultrapotenze. Fondamenti dell'analisi non-standard. Applicazioni alla teoria di Ramsey e alla teoria combinatoria dei numeri.
    • Equazioni alle derivate parziali (6 cfu)

      • Equazioni e sistemi del primo ordine. Rappresentazione esplicita delle soluzioni delle equazioni di Laplace, del calore, e delle onde. Proprietà qualitative delle soluzioni: principio del massimo, unicità, regolarità e dispersione.
    • Geometria reale C (6 cfu)

      • Topologia delle curve e superfici reali.
    • Analisi convessa (6 cfu)

      • Topologie deboli su spazi di Banach, funzioni convesse, calcolo in spazi di Banach, sottodifferenziale, disequazioni variazionali, multifunzioni.
    • Didattica della matematica e nuove tecnologie (6 cfu)

      • Metodologie, modelli e materiali didattici in contesti di aula multimediale; ruolo delle tecnologie nell'insegnamento / apprendimento della matematica: software didattici e lavagne interattive multimediali.
    • Equazioni differenziali ordinarie (6 cfu)

      • Problema di Cauchy. Equazioni di Bernoulli, D'Alembert, Clairaut, Eulero, Riccati. Metodo di Peano. Equazioni lineari. Dipendenza regolare dai dati. Soluzioni massimali.  Equilibri. Problemi di Sturm- Liouville.
    • Curve algebriche (6 cfu)

      • Curve algebriche, divisori. Curve ellittiche, iperellittiche, jacobiane. Applicazioni.
    • Geometria algebrica D (6 cfu)

      • Tori complessi e varietà abeliane.
    • Storia della matematica (6 cfu)

      • Il corso è di tipo istituzionale e intende offrire una panoramica delle grandi linee di sviluppo della matematica occidentale fino alla fine del XIX secolo. A questo aspetto verrà, di anno in anno, accoppiato un approfondimento di uno o più temi particolarmente rilevanti, quali la geometria cartesiana, l'invenzione del calcolo infinitesimale, le origini della teoria di Galois, la "nuova'' analisi di Cauchy.
    • Teoria algebrica dei numeri 2 (6 cfu)

      • Valori assoluti, campi locali, differente, discriminante, ramificazione, gruppi di ramificazione.
    • Metodi di approssimazione (6 cfu)

      • Risoluzione numerica di equazioni matriciali. Algoritmi numerici per matrici con struttura.
    • Forme modulari (6 cfu)

      • L-serie, equazioni funzionali e operatori di Heck
    • Geometria riemanniana (6 cfu)

      • Relazioni fra curvatura e topologia; teoremi di confronto e di pinching.
    • Algebra commutativa e geometria algebrica computazionale (6 cfu)

      • Costruzioni e algoritmi per l'algebra commutativa e la geometria algebrica, applicazioni.
    • Funzioni speciali (6 cfu)

      • Funzione gamma di Eulero: equazioni funzionali, formula di Stirling. Funzioni ellittiche: funzione P di Weierstrass. Elementi della teoria della funzione zeta di Riemann. Soluzioni di equazioni differenziali lineari a coefficienti analitici: funzione ipergeometrica, funzioni di Bessel.
    • Geodesia via satellite (6 cfu)

      • Problema dei minimi quadrati, simmetrie e degenerazioni. Campo gravitazionale di un corpo esteso, problema del satellite. Perturbazioni non-gravitazionali, geodesia e gravimetria spaziale, terrestre e interplanetaria.
    • Dinamica del sistema solare (6 cfu)

      • Equazioni del moto dei pianeti. Teorie perturbative, elementi propri. Risonanze, piccoli divisori, esponenti di Lyapunov.
    • Geometria degli spazi metrici (6 cfu)

      • Nozioni di curvatura. Quasi isometrie. Geometria a larga scala.
    • Elementi di algebra computazionale (6 cfu)

      • Rappresentazione di interi e polinomi. Algoritmi algebrici fondamentati. Sistemi di calcolo algebrico.
    • Meccanica spaziale (6 cfu)

      • Moto di satelliti artificiali e sonde spaziali, missioni spaziali interplanetarie.
    • Geometria reale A (6 cfu)

      • Geometria degli insiemi semialgebrici. Algebra reale. Strutture o-minimali.
    • Determinazione orbitale (6 cfu)

      • Problema dei minimi quadrati, simmetrie e degenerazioni. Problema dell'identificazione. Orbite preliminari. Soluzioni deboli. Incontri ravvicinati e monitoraggio degli impatti.
    • Logica matematica (6 cfu)

      • Calcolo dei predicati. Teoremi di incompletezza di Godel. Decidibilità e indecidibilità.
    • Algebra superiore B (6 cfu)

      • Algebre e loro rappresentazioni
    • Tecnologie per la didattica (6 cfu)

      • Ruolo delle tecnologie nell’apprendimento / insegnamento della matematica; uso e costruzione di strumenti didattici informatici, multimediali e telematici Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della matematica. I processi di insegnamento e apprendimento mediati dall'uso delle tecnologie nell'ambito della matematica. Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della matematica.
    • Geometria differenziale complessa (6 cfu)

      • Varietà complesse; coomologia di Dolbeault; varietà di Stein; metriche e distanze intrinseche.
    • Matematica discreta (6 cfu)

      • Calcolo combinatorio, funzioni generatrici, grafi, teoria di Ramsey.
    • Teoria degli insiemi (6 cfu)

      • Modelli della teoria degli insiemi.
    • Teoria dei nodi (6 cfu)

      • Invarianti di nodi e di link. Trecce.
    • Teoria del controllo ottimo (6 cfu)

      • Problemi di controllo di energia minima e di tempo minimo; esistenza e di sensitività delle soluzioni; principio di massimo di Pontryagin, approccio di programmazione dinamica ed equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman.
    • Geometria di contatto (6 cfu)

      • Varietà di contatto. Esempi standard. Teorema di Darboux. Nodi Legendriani e trasversi. Libri aperti e strutture di contatto.
    • Geometria e topologia differenziale (6 cfu)

      • Geometria differenziale di curve e superfici nello spazio euclideo, introduzione a varietà e mappe differenziabili in dimensione n.
    • Geometria algebrica A (6 cfu)

      • Schemi, fasci, coomologia.
    • Analisi non lineare (6 cfu)

      • Teorie e metodi sul comportamento globale di operatori non lineari, fra spazi di dimensione finita o spazi di funzioni, collegati con classici problemio equazioni non lineari.
    • Matematica e musica (6 cfu)

      • Formalizzazione algebrica delle strutture musicali.
    • Topologia differenziale (6 cfu)

      • Funzioni di Morse e decomposizioni in manici. Teorema dell'h-cobordismo.
    • Algebra computazionale A (6 cfu)

      • Aritmetica, fattorizzazione, integrazione.
    • Gruppi e rappresentazioni (6 cfu)

      • Rappresentazioni di gruppi finiti. Esempi di classi di gruppi.
    • Sistemi dinamici (6 cfu)

      • Sistemi dinamici lineari (con richiami di algebra lineare), stabilità e teoria qualitativa per sistemi dinamici non lineari, formalismo hamiltoniano e lagrangiano ad un grado di libertà, sistemi dinamici discreti, un esempio elementare di caos.
    • Laboratorio di fisica per l'insegnamento (6 cfu)

      • Sviluppare competenze nella gestione di esperienze di laboratorio, fornire basi teoriche di un approccio alla misura. Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della fisica. La progettazione e lo sviluppo delle attività di insegnamento relative alla fisica. Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della fisica
    • Analisi matematica 3 (6 cfu)

      • Spazi di Hilbert. Spazi di Lebesgue L^p. Convoluzione di funzioni. Serie di Fourier. Trasformata di Fourier. Formula dell'area e integrazione su superfici. Funzioni armoniche.
    • Dinamica del sistema Terra-Luna (6 cfu)

      • Il sistema Terra-Luna-Sole e le caratteristiche principali dell'orbita della Luna. Il tracking laser della Luna nell'era spaziale (LLR-Lunar Laser Ranging). LLR e la verifica della Relatività Generale.
    • Teoria analitica dei numeri A (6 cfu)

      • Problemi legati alla distribuzione dei primi; la Zeta di Riemann e le funzioni L di Dirichlet.
    • Introduzione alla teoria geometrica della misura (6 cfu)

      • Misure e dimensione di Hausdorff. Insiemi rettificabli. Formula dell'area e della coarea
    • Elementi di analisi complessa (6 cfu)

      • Teorema di uniformizzazione di Riemann; proprietà geometriche del gruppo delle omografie; principio di simmetria e sue applicazioni; un modello di piano iperbolico; cenni sulle funzioni di più variabili complesse.
    • Calcolo delle variazioni B (6 cfu)

      • Teoria della regolarità per minimi di funzionali integrali.
    • Algebre e gruppi di Lie (6 cfu)

      • Teoremi di struttura per le algebre di Lie di dimensione finita (incluso il caso delle algebre semisemplici complesse). Gruppi di Lie e relazione con le algebre di Lie. Introduzione alla teoria delle rappresentazioni delle algebre e gruppi di Lie.
    • Origini e sviluppo delle matematiche moderne (6 cfu)

      • Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica moderna: inquadramento generale, lettura diretta di testi, discussione della letteratura in materia.
    • Fisica II (9 cfu)

      • Elettrostatica e magnetostatica nel vuoto, correnti stazionarie, induzione, circuiti passivi lineari RLC, equazioni di Maxwell, onde elettromagnetiche, polarizzazione, irraggiamento, riflessione e rifrazione.
    • Geometria algebrica C (6 cfu)

      • Curve e superfici di Riemann.
    • Teoria e metodi dell'ottimizzazione (6 cfu)

      • Ottimizzazione non lineare: condizioni di ottimalità per problemi vincolati e non vincolati, teoria della dualità, metodi risolutivi per problemi vincolati e non vincolati, applicazioni.
    • Analisi superiore (6 cfu)

      • Spazi vettoriali topologici. misure e distribuzioni. Operatori illimitatii, aggiunto ad un operatore non limiato, teoria spettrale per operatori non limitati. Calcolo funzionale Forme quadratiche, soluzioni deboli e soluzioni forti.
    • Topologia algebrica (6 cfu)

      • Omotopia e teorie coomologiche.
    • Geometria algebrica E (6 cfu)

      • Superfici algebriche.
    • Algebra computazionale B (6 cfu)

      • Metodi effettivi per la risoluzione di sistemi di equazioni polimonmiali.
    • Algebra lineare e multilineare (6 cfu)

      • Strutture algebriche lineari.
    • Complementi di analisi funzionale (6 cfu)

      • Spazi vettoriali topologici, misure e distribuzioni. Convoluzione, trasformata di Fourier, teorema di Paley-Wiener ed applicazioni alle EDP. Teoria spettrale per operatori non limitati. Calcolo operazionale, semigruppi di operatori. Teorema di Malgrange-Ehrenpreis. Teoremi di punto fisso in dimensione infinita ed applicazioni alle EDP.
    • Topologia generale (6 cfu)

      • Spazi normali, teorema di Urysohn, compattificazioni, teorema di Baire, paracompattezza, partizioni dell’unità.
    • Analisi non standard (6 cfu)

      • Fondamenti dell'analisi non standard, scelta di applicazioni ad altre aree della matematica.
    • Elementi di topologia algebrica (6 cfu)

      • Omologia simpliciale e singolare, CW complessi, coomologia, prodotto cup, dualità di Poincaré.
    • Equazioni della fluidodinamica (6 cfu)

      • Introduzione alla teoria matematica delle equazioni alle derivate parziali della meccanica dei continui e in particolare a quelle di Eulero e Navier-Stokes per fluidi incomprimibili.
    • Topologia e geometria in bassa dimensione (6 cfu)

      • Varietà topologiche, lineari a pezzi e differenziabili di dimensione minore di 5.
    • Spazi di funzioni (6 cfu)

      • Proprietà fini delle funzioni derivabili in senso debole: funzioni di Sobolev e BV, insiemi di perimetro finito. Altri spazi di funzioni. Riarrangiamento e disuguaglianze funzionali.
    • Elementi di geometria algebrica (6 cfu)

      • Varietà affini, proiettive e quasi-proiettive. Morfismi. Applicazioni razionali. Punti lisci e dimensione.
    • Algebra 2 (6 cfu)

      • Gruppi: azioni di gruppi, costruzioni e presentazioni di gruppi. Moduli e caratterizzazione dei moduli su un PID. Anelli noetheriani. Teorema della base di Hilbert. Basi di Groebner e applicazioni.
    • Problemi e metodi della ricerca in didattica della matematica (6 cfu)

      • Il corso, rivolto agli studenti interessati alla ricerca in didattica della matematica, intende dare l’opportunità di conoscere e confrontarsi con le problematiche tipiche di tale campo di ricerca (sia quelle classiche che quelle più recenti) e con i metodi di ricerca utilizzati.
    • Teoria dei gruppi (6 cfu)

      • Serie di composizione, gruppi di permutazioni, gruppi nilpotenti, gruppi risolubili.
    • 3-varietà (6 cfu)

      • Risultati classici sulla topologia delle 3-varietà. Esempi e costruzioni di 3-varietà.
    • Fisica III (6 cfu)

      • Sistemi e trasformazioni termodinamiche, gas perfetto, prima e seconda legge, temperatura ed entropia; potenziali ritardati, relatività speciale e legami con l'elettromagnetismo, cenni su argomenti di fisica moderna (meccanica quantistica e altro).
    • Elementi di meccanica celeste (6 cfu)

      • Problema dei 2 corpi ed equazione di Keplero. Problema dei 3 corpi ristretto circolare, integrale di Jacobi, criterio di stabilità di Hill, cenni su orbite confinate ma caotiche. Maree ed evoluzione mareale nel sistema solare; la Terra come corpo esteso.
    • Equazioni ellittiche (6 cfu)

      • Teoria della regolarità. Equazioni in forma di divergenza. Equazioni non variazionali. Equazioni non lineari. Problemi al contorno. Frontiera libera. Problemi con ostacolo. Equazioni degeneri. Teoria del potenziale. Funzioni armoniche. Interpolazione. Autovalori.
    • Meccanica celeste (6 cfu)

      • Singolarità e orbite periodiche nel problema degli N corpi
    • Teoria analitica dei numeri B (6 cfu)

      • Problemi analitici di natura additiva con particolare riferimento al metodo di Hardy e Littlewood
    • Elementi di probabilità e statistica (6 cfu)

      • Probabilità su spazi numerabili: condizionamento, indipendenza, variabili aleatorie. Variabili aleatorie con densità: variabili gaussiane. Inferenza statistica: stima, test, intervalli di fiducia. Principali test statistici su modelli gaussiani.
    • Algebra omologica (6 cfu)

      • Moduli proiettivi e iniettivi. Categorie e funtori. Funtori aggiunti. Categorie di moduli. Successioni esatte, risoluzioni, funtori derivati. (Co)omologia di gruppi e algebre.
    • Algebra 1 (6 cfu)

      • Gruppi: teoremi di omomorfismo, permutazioni, gruppi abeliani finiti. Anelli e ideali, anelli speciali, anelli di polinomi. Elementi di teoria di Galois.
    • Introduzione all'analisi p-adica (6 cfu)

      • Struttura dei numeri p-adici; continuità, differenziabilità e analiticità in campo p-adico.
    • Elementi avanzati di algebra lineare numerica (6 cfu)

      • Metodi di Krylov, GMRES, BiCG, polinomi di matrici, problemi polinomiali agli autovalori, funzioni di matrici.
    • Metodi numerici per equazioni differenziali ordinarie (6 cfu)

      • Problemi ai valori iniziali e ai valori limite, metodi a un passo, metodi a più passi, metodi di shooting.
    • 2-varietà (6 cfu)

      • Varietà di dimensione due e loro automorfismi.
    • Algoritmi e strutture dei dati (6 cfu)

      • Strutture dei dati, analisi di algoritmi e complessità, progetto di algoritmi.
    • Teoria ergodica (6 cfu)

      • Teoremi di Krein-Milman e di Choquet, teoria spettrale. Esempi di base. Teoremi di Poincaré, Birkhoff, von Neumann. Decomposizione ergodica. "Mixing" e "weak mixing". Operatore di Perron- Frobenius. Decadimento delle correlazioni. Entropia. Dinamica simbolica. Catene di Markov e misura di Parry.
    • Teoria dei codici (6 cfu)

      • Trasmissione con errore, correzione d'errore. Famiglie di codici correttori. Metodi di geometria algebrica e algebra computazionale per la costruzione di codici e la decodifica.
    • Teoria dei controlli (6 cfu)

      • Teoria di controllabilità, osservabilità e stabilizzazione via feedback; modelli di controllo lineari; teoria geometrica di controllabilità per sistemi regolari; sistemi switching e sistemi ibridi.
    • Dinamica iperbolica (6 cfu)

      • Sistemi dinamici iperbolici; dinamica in dimensione bassa.
    • Analisi complessa A (6 cfu)

      • Il fascio dei germi delle funzioni analitiche; Nullstellensatz; spazi analitici; Teoremi A e B di Cartan.
    • Probabilità superiore (6 cfu)

      • Presentazione di una selezione di argomenti avanzati di probabilità quali Spazi Gaussiani, Calcolo di Malliavin, processi di Levy e Levy-stabili.
    • Equazioni alle derivate parziali 2 (6 cfu)

      • Selezione di argomenti avanzati della teoria delle equazioni alle derivate parziali.
    • Equazioni iperboliche (6 cfu)

      • Equazioni differenziali di tipo iperbolico, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
    • Modelli matematici in biomedicina e fisica matematica (6 cfu)

      • Obiettivi formativi: Equazioni differenziali ordinarie con effetti dissipativi (ritardo, memoria, etc) e stabilità, e loro applicazioni in biomedicina. Equazioni alle derivate parziali e loro applicazioni in fisica matematica.
    • Analisi geometrica (6 cfu)

      • Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi geometrica.
    • Geometria algebrica F (6 cfu)

      • Varietà toriche.
    • Teoria descrittiva della complessità (6 cfu)

      • Modelli finiti e complessità computazionale
    • Teoria dei modelli (6 cfu)

      • Modelli di teorie del primo ordine. Compattezza. Equivalenza elementare. Applicazioni all'aritmetica, ai campi, e ad altre strutture algebrico-relazionali.
    • Elementi di teoria degli insiemi (6 cfu)

      • Nozioni di logica. Teoria assiomatica degli insiemi. Cardinali. Ordinali.
    • Teoria geometrica della misura (6 cfu)

      • Nozioni di base di teoria geometrica della misura. Correnti normali ed intere. Esistenza delle soluzioni per il problema di Plateau omologico. Varifold.
    • Problem solving (6 cfu)

      • Ruolo dei problemi nell’insegnamento della matematica; euristiche; problem solving e problem posing.
    • Teoria dei giochi (6 cfu)

      • Equilibri nei modelli di giochi noncooperativi, teoria dei giochi cooperativi, giochi posizionali e giochi differenziali
    • Analisi in spazi metrici (6 cfu)

      • Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi su spazi metrici.
    • Equazioni differenziali stocastiche e applicazioni (6 cfu)

      • Introduzione ai teoremi di esistenza ed unicità (debole o forte) per equazioni differenziali stocastiche ordinarie, legami con le equazioni alle derivate parziali, applicazioni in ambito fisico o biologico.
    • Matematica e società (6 cfu)

      • Matematica, società e curricula; il contesto culturale nell'insegnamento ed apprendimento della matematica; il ruolo delle conoscenze matematiche non-scolastiche.
    • Matematiche elementari da un punto di vista superiore: aritmetica (6 cfu)

      • Gli insiemi numerici: possibili introduzioni, proprietà
    • Fondamenti della matematica (6 cfu)

      • Sistemi formali e teorie fondazionali.
    • Geometria algebrica B (6 cfu)

      • Varietà complesse, metodi trascendenti
    • Equazioni paraboliche (6 cfu)

      • Equazioni differenziali di tipo parabolico, lineari e non lineari, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
    • Meccanica superiore (6 cfu)

      • Obiettivi formativi: Indicatori di comportamento caotico e metodi ergodici per sistemi meccanici
    • Teoria della misura (6 cfu)

      • Misure astratte, misure su uno spazio topologico, integrale di Daniell, convergenze di misure.
    • 4-varietà (6 cfu)

      • Risultati classici sulla topologia delle 4-varietà. Esempi e costruzioni di 4-varietà.
    • Complementi di fisica (6 cfu)

      • Onde. Elementi di relatività ristretta. Equazioni d'onda relativistiche. Complementi di termodinamica e statistica.
    • Statistica matematica (6 cfu)

      • Modelli statistici: modelli dominati. Stime: stime consistenti e di Massima verosimiglianza. Intervalli di fiducia e test. I principali test sui modelli gaussiani (di Student, di Fisher Snedecor). Modelli statistici non parametrici: teorema di Glivenko-Cantelli e e test del chi-quadro.
    • Analisi reale (6 cfu)

      • Fondamenti dell'analisi reale (teoria della misura, spazi di funzioni).
    • Capacità non lineare, disequazioni variazionali e applicazioni (6 cfu)

      • Il percorso scelto ci permetterà di illustrare alcune tecniche e argomenti classici per trovare condizioni necessarie e sufficienti affinché un punto di frontiera sia regolare relativamente al problema di Dirichlet non omogeneo per l'operatore di Laplace non-lineare (il cosiddetto p-laplaciano).
    • Complementi di didattica della matematica (6 cfu)

      • Processi di apprendimento della matematica; contesti e tipi di razionalità; ostacoli epistemologici e didattici nell’insegnamento della matematica
    • Teoria della dimostrazione (6 cfu)

      • Il concetto formale di dimostrazione. Sistemi dimostrativi. Logiche non classiche. Analisi ordinale
    • Geometria iperbolica (6 cfu)

      • Lo spazio iperbolico. Esempi e costruzioni di varietà iperboliche. Proprietà topologiche e geometriche di varietà iperboliche.
  • 6 cfu a scelta nel gruppo ModAppl

    • Moduli applicativi
    • Meccanica razionale (6 cfu)

      • Fondamenti di meccanica newtoniana, equazioni cardinali, moti centrali, corpo rigido, moti vincolati ed equazioni di Lagrange, integrali primi e riduzione, equilibri e piccole oscillazioni.
    • Ricerca operativa (6 cfu)

      • Grafi, programmazione lineare, programmazione intera, elementi di teoria dell'ottimizzazione.
    • Calcolo scientifico (6 cfu)

      • Problemi di minimi quadrati, metodi del gradiente, decomposizione a valori singolari, calcolo di autovalori.
    • Metodi numerici per catene di Markov (6 cfu)

      • Matrici nonnegative e teorema di Perron-Frobenius. Metodi per catene di Markov finite e infinite. Modelli di code e loro matrici di transizione.
    • Probabilità (6 cfu)

      • Complementi di misura e integrazione: integrazione delle variabili aleatorie. Indipendenza di variabili aleatorie: leggi 0-1. Le funzioni caratteristiche. Convergenza di variabili aleatorie. Teoremi limite (leggi dei Grandi Numeri e teorema del Limite Centrale). Due esempi di processi stocastici: il processo di Wiener e il processo di Poisson.
    • Fisica matematica (6 cfu)

      • Richiami di meccanica hamiltoniana, sistemi completamente integrabili e variabili azione angolo. Metodi perturbativi: teorema della media. Soluzioni periodiche del problema degli N-corpi, teorema geometrico di Poincaré-Birkhoff. Orbite periodiche con metodi variazionali.
    • Metodi di approssimazione (6 cfu)

      • Risoluzione numerica di equazioni matriciali. Algoritmi numerici per matrici con struttura.
    • Geodesia via satellite (6 cfu)

      • Problema dei minimi quadrati, simmetrie e degenerazioni. Campo gravitazionale di un corpo esteso, problema del satellite. Perturbazioni non-gravitazionali, geodesia e gravimetria spaziale, terrestre e interplanetaria.
    • Dinamica del sistema solare (6 cfu)

      • Equazioni del moto dei pianeti. Teorie perturbative, elementi propri. Risonanze, piccoli divisori, esponenti di Lyapunov.
    • Statistica Superiore (6 cfu)

      • Il corso si propone di fornirei: • Conoscenze fondamentali di statistica multivariata utili per l’analisi di tabelle di dati e serie storiche. • Abilità nell’uso del software statistico R. L’allievo al termine del corso conoscerà la teoria riguardante l’analisi di dati e serie storiche, sarà in grado di esaminare tabelle di dati e serie storiche tramite metodologie di statistica multivariata e saprà dare conclusioni quantitative per mezzo del software R. In particolare saprà quindi conoscere e saper applicare: • La regressione lineare multipla. • Il metodo delle componenti principali e analisi fattoriale. • Metodi di classificazione e clustering. • Metodi di analisi e previsione di serie storiche.
    • Meccanica spaziale (6 cfu)

      • Moto di satelliti artificiali e sonde spaziali, missioni spaziali interplanetarie.
    • Determinazione orbitale (6 cfu)

      • Problema dei minimi quadrati, simmetrie e degenerazioni. Problema dell'identificazione. Orbite preliminari. Soluzioni deboli. Incontri ravvicinati e monitoraggio degli impatti.
    • Teoria e metodi dell'ottimizzazione (6 cfu)

      • Ottimizzazione non lineare: condizioni di ottimalità per problemi vincolati e non vincolati, teoria della dualità, metodi risolutivi per problemi vincolati e non vincolati, applicazioni.
    • Elementi di meccanica celeste (6 cfu)

      • Problema dei 2 corpi ed equazione di Keplero. Problema dei 3 corpi ristretto circolare, integrale di Jacobi, criterio di stabilità di Hill, cenni su orbite confinate ma caotiche. Maree ed evoluzione mareale nel sistema solare; la Terra come corpo esteso.
    • Meccanica celeste (6 cfu)

      • Singolarità e orbite periodiche nel problema degli N corpi
    • Metodi numerici per equazioni differenziali ordinarie (6 cfu)

      • Problemi ai valori iniziali e ai valori limite, metodi a un passo, metodi a più passi, metodi di shooting.
    • Teoria dei giochi (6 cfu)

      • Equilibri nei modelli di giochi noncooperativi, teoria dei giochi cooperativi, giochi posizionali e giochi differenziali
    • Meccanica superiore (6 cfu)

      • Obiettivi formativi: Indicatori di comportamento caotico e metodi ergodici per sistemi meccanici
    • Statistica matematica (6 cfu)

      • Modelli statistici: modelli dominati. Stime: stime consistenti e di Massima verosimiglianza. Intervalli di fiducia e test. I principali test sui modelli gaussiani (di Student, di Fisher Snedecor). Modelli statistici non parametrici: teorema di Glivenko-Cantelli e e test del chi-quadro.
  • 6 cfu a scelta nel gruppo ModAppl

    • Moduli applicativi
    • Meccanica razionale (6 cfu)

      • Fondamenti di meccanica newtoniana, equazioni cardinali, moti centrali, corpo rigido, moti vincolati ed equazioni di Lagrange, integrali primi e riduzione, equilibri e piccole oscillazioni.
    • Ricerca operativa (6 cfu)

      • Grafi, programmazione lineare, programmazione intera, elementi di teoria dell'ottimizzazione.
    • Calcolo scientifico (6 cfu)

      • Problemi di minimi quadrati, metodi del gradiente, decomposizione a valori singolari, calcolo di autovalori.
    • Metodi numerici per catene di Markov (6 cfu)

      • Matrici nonnegative e teorema di Perron-Frobenius. Metodi per catene di Markov finite e infinite. Modelli di code e loro matrici di transizione.
    • Probabilità (6 cfu)

      • Complementi di misura e integrazione: integrazione delle variabili aleatorie. Indipendenza di variabili aleatorie: leggi 0-1. Le funzioni caratteristiche. Convergenza di variabili aleatorie. Teoremi limite (leggi dei Grandi Numeri e teorema del Limite Centrale). Due esempi di processi stocastici: il processo di Wiener e il processo di Poisson.
    • Fisica matematica (6 cfu)

      • Richiami di meccanica hamiltoniana, sistemi completamente integrabili e variabili azione angolo. Metodi perturbativi: teorema della media. Soluzioni periodiche del problema degli N-corpi, teorema geometrico di Poincaré-Birkhoff. Orbite periodiche con metodi variazionali.
    • Metodi di approssimazione (6 cfu)

      • Risoluzione numerica di equazioni matriciali. Algoritmi numerici per matrici con struttura.
    • Geodesia via satellite (6 cfu)

      • Problema dei minimi quadrati, simmetrie e degenerazioni. Campo gravitazionale di un corpo esteso, problema del satellite. Perturbazioni non-gravitazionali, geodesia e gravimetria spaziale, terrestre e interplanetaria.
    • Dinamica del sistema solare (6 cfu)

      • Equazioni del moto dei pianeti. Teorie perturbative, elementi propri. Risonanze, piccoli divisori, esponenti di Lyapunov.
    • Statistica Superiore (6 cfu)

      • Il corso si propone di fornirei: • Conoscenze fondamentali di statistica multivariata utili per l’analisi di tabelle di dati e serie storiche. • Abilità nell’uso del software statistico R. L’allievo al termine del corso conoscerà la teoria riguardante l’analisi di dati e serie storiche, sarà in grado di esaminare tabelle di dati e serie storiche tramite metodologie di statistica multivariata e saprà dare conclusioni quantitative per mezzo del software R. In particolare saprà quindi conoscere e saper applicare: • La regressione lineare multipla. • Il metodo delle componenti principali e analisi fattoriale. • Metodi di classificazione e clustering. • Metodi di analisi e previsione di serie storiche.
    • Meccanica spaziale (6 cfu)

      • Moto di satelliti artificiali e sonde spaziali, missioni spaziali interplanetarie.
    • Determinazione orbitale (6 cfu)

      • Problema dei minimi quadrati, simmetrie e degenerazioni. Problema dell'identificazione. Orbite preliminari. Soluzioni deboli. Incontri ravvicinati e monitoraggio degli impatti.
    • Teoria e metodi dell'ottimizzazione (6 cfu)

      • Ottimizzazione non lineare: condizioni di ottimalità per problemi vincolati e non vincolati, teoria della dualità, metodi risolutivi per problemi vincolati e non vincolati, applicazioni.
    • Elementi di meccanica celeste (6 cfu)

      • Problema dei 2 corpi ed equazione di Keplero. Problema dei 3 corpi ristretto circolare, integrale di Jacobi, criterio di stabilità di Hill, cenni su orbite confinate ma caotiche. Maree ed evoluzione mareale nel sistema solare; la Terra come corpo esteso.
    • Meccanica celeste (6 cfu)

      • Singolarità e orbite periodiche nel problema degli N corpi
    • Metodi numerici per equazioni differenziali ordinarie (6 cfu)

      • Problemi ai valori iniziali e ai valori limite, metodi a un passo, metodi a più passi, metodi di shooting.
    • Teoria dei giochi (6 cfu)

      • Equilibri nei modelli di giochi noncooperativi, teoria dei giochi cooperativi, giochi posizionali e giochi differenziali
    • Meccanica superiore (6 cfu)

      • Obiettivi formativi: Indicatori di comportamento caotico e metodi ergodici per sistemi meccanici
    • Statistica matematica (6 cfu)

      • Modelli statistici: modelli dominati. Stime: stime consistenti e di Massima verosimiglianza. Intervalli di fiducia e test. I principali test sui modelli gaussiani (di Student, di Fisher Snedecor). Modelli statistici non parametrici: teorema di Glivenko-Cantelli e e test del chi-quadro.
  • 6 cfu a scelta nel gruppo ModTeor

    • Moduli teorici
    • Dinamica olomorfa (6 cfu)

      • Insiemi di Julia e di Fatou; dinamica di funzioni olomorfe di una variabile.
    • Teoria dei numeri elementare (6 cfu)

      • Congruenze di grado superiore al primo e struttura moltiplicativa delle classi di resto. Proprietà algebriche e asintotiche delle funzioni aritmetiche. Problemi additivi e moltiplicativi legati alla distribuzione dei numeri primi. Approssimazioni razionali di numeri algebrici e trascendenti
    • Problemi di evoluzione (6 cfu)

      • Equazioni astratte, scale di Banach. Teorema di Cauchy-Kovalewski. Caratteristiche. Equazione delle onde. Sistemi iperbolici a coefficienti costanti. Condizioni  di Hadamard-Garding. Sistemi simmetrici, metodo dell'energia. Sistemi strettamente iperbolici. Simmetrizzatore micro-locale.
    • Elementi di calcolo delle variazioni (6 cfu)

      • Principi variazionali in una e più variabili. Equazione di Eulero-Lagrange. Condizioni sufficienti di minimalità. Esempi classici di problemi variazionali. Funzioni assolutamente continue e metodo diretto. Geodetiche. Teorema del passo montano e principi di minimax.
    • Teoria algebrica dei numeri 1 (6 cfu)

      • Campi di numeri, interi dei campi di numeri; fattorizzazione unica degli ideali, ramificazione, gruppo delle classi di ideali, teorema delle unità di Dirichlet.
    • Teoria dei campi e teoria di Galois (6 cfu)

      • Estensioni algebriche ed estensioni trascendenti, chiusura algebrica, separabilità, teoria di Galois, risolubilità, estensioni abeliane, teoria di Kummer.
    • Metodi topologici in analisi globale (6 cfu)

      • Elementi di analisi non lineare per alcuni problemi di tipo “globale”, quali: il problema della sella, il punto fisso di Brouwer, le dimensioni e l’invarianza del dominio, la pettinabilità della sfera, il problema di Jordan. Applicazioni alle equazioni differenziali.
    • Geometria reale B (6 cfu)

      • Geometria degli insiemi semianalitici e subanalitici.
    • Geometria e topologia delle superfici (6 cfu)

      • Spazio di Teichmüller; laminazioni geodetiche; complessi di curve.
    • Calcolo delle variazioni A (6 cfu)

      • Il metodo diretto nel calcolo delle variazioni. Condizioni necessarie e sufficienti di semicontinuità inferiore per funzionali integrali su spazi di Sobolev di funzioni scalari. Il caso vettoriale. Integrali invarianti. Misure di Young e misure di Young gradienti. Convessità, convessità di rango-uno, quasiconessità, policonvessità. Rilassamento.
    • Algebra superiore A (6 cfu)

      • Algebra commutativa.
    • Analisi armonica (6 cfu)

      • Fondamenti dell'Analisi armonica, interpolazione reale e comlessa, spazi di Lorentz, funzioni massimali, teoria di Calderon-Zygmund, spazi BMO, moltiplicatori di Fourier, integrali oscillanti e teoremi di restizione.
    • Ultrafiltri e metodi nonstandard (6 cfu)

      • Ultrafiltri e ultrapotenze. Fondamenti dell'analisi non-standard. Applicazioni alla teoria di Ramsey e alla teoria combinatoria dei numeri.
    • Equazioni alle derivate parziali (6 cfu)

      • Equazioni e sistemi del primo ordine. Rappresentazione esplicita delle soluzioni delle equazioni di Laplace, del calore, e delle onde. Proprietà qualitative delle soluzioni: principio del massimo, unicità, regolarità e dispersione.
    • Analisi convessa (6 cfu)

      • Topologie deboli su spazi di Banach, funzioni convesse, calcolo in spazi di Banach, sottodifferenziale, disequazioni variazionali, multifunzioni.
    • Geometria riemanniana (6 cfu)

      • Relazioni fra curvatura e topologia; teoremi di confronto e di pinching.
    • Algebra commutativa e geometria algebrica computazionale (6 cfu)

      • Costruzioni e algoritmi per l'algebra commutativa e la geometria algebrica, applicazioni.
    • Elementi di algebra computazionale (6 cfu)

      • Rappresentazione di interi e polinomi. Algoritmi algebrici fondamentati. Sistemi di calcolo algebrico.
    • Geometria reale A (6 cfu)

      • Geometria degli insiemi semialgebrici. Algebra reale. Strutture o-minimali.
    • Logica matematica (6 cfu)

      • Calcolo dei predicati. Teoremi di incompletezza di Godel. Decidibilità e indecidibilità.
    • Algebra superiore B (6 cfu)

      • Algebre e loro rappresentazioni
    • Geometria differenziale complessa (6 cfu)

      • Varietà complesse; coomologia di Dolbeault; varietà di Stein; metriche e distanze intrinseche.
    • Teoria degli insiemi (6 cfu)

      • Modelli della teoria degli insiemi.
    • Teoria dei nodi (6 cfu)

      • Invarianti di nodi e di link. Trecce.
    • Geometria e topologia differenziale (6 cfu)

      • Geometria differenziale di curve e superfici nello spazio euclideo, introduzione a varietà e mappe differenziabili in dimensione n.
    • Geometria algebrica A (6 cfu)

      • Schemi, fasci, coomologia.
    • Analisi non lineare (6 cfu)

      • Teorie e metodi sul comportamento globale di operatori non lineari, fra spazi di dimensione finita o spazi di funzioni, collegati con classici problemio equazioni non lineari.
    • Topologia differenziale (6 cfu)

      • Funzioni di Morse e decomposizioni in manici. Teorema dell'h-cobordismo.
    • Algebra computazionale A (6 cfu)

      • Aritmetica, fattorizzazione, integrazione.
    • Analisi matematica 3 (6 cfu)

      • Spazi di Hilbert. Spazi di Lebesgue L^p. Convoluzione di funzioni. Serie di Fourier. Trasformata di Fourier. Formula dell'area e integrazione su superfici. Funzioni armoniche.
    • Teoria analitica dei numeri A (6 cfu)

      • Problemi legati alla distribuzione dei primi; la Zeta di Riemann e le funzioni L di Dirichlet.
    • Elementi di analisi complessa (6 cfu)

      • Teorema di uniformizzazione di Riemann; proprietà geometriche del gruppo delle omografie; principio di simmetria e sue applicazioni; un modello di piano iperbolico; cenni sulle funzioni di più variabili complesse.
    • Geometria algebrica C (6 cfu)

      • Curve e superfici di Riemann.
    • Analisi superiore (6 cfu)

      • Spazi vettoriali topologici. misure e distribuzioni. Operatori illimitatii, aggiunto ad un operatore non limiato, teoria spettrale per operatori non limitati. Calcolo funzionale Forme quadratiche, soluzioni deboli e soluzioni forti.
    • Topologia algebrica (6 cfu)

      • Omotopia e teorie coomologiche.
    • Algebra computazionale B (6 cfu)

      • Metodi effettivi per la risoluzione di sistemi di equazioni polimonmiali.
    • Elementi di topologia algebrica (6 cfu)

      • Omologia simpliciale e singolare, CW complessi, coomologia, prodotto cup, dualità di Poincaré.
    • Equazioni della fluidodinamica (6 cfu)

      • Introduzione alla teoria matematica delle equazioni alle derivate parziali della meccanica dei continui e in particolare a quelle di Eulero e Navier-Stokes per fluidi incomprimibili.
    • Topologia e geometria in bassa dimensione (6 cfu)

      • Varietà topologiche, lineari a pezzi e differenziabili di dimensione minore di 5.
    • Elementi di geometria algebrica (6 cfu)

      • Varietà affini, proiettive e quasi-proiettive. Morfismi. Applicazioni razionali. Punti lisci e dimensione.
    • Algebra 2 (6 cfu)

      • Gruppi: azioni di gruppi, costruzioni e presentazioni di gruppi. Moduli e caratterizzazione dei moduli su un PID. Anelli noetheriani. Teorema della base di Hilbert. Basi di Groebner e applicazioni.
    • 3-varietà (6 cfu)

      • Risultati classici sulla topologia delle 3-varietà. Esempi e costruzioni di 3-varietà.
    • Equazioni ellittiche (6 cfu)

      • Teoria della regolarità. Equazioni in forma di divergenza. Equazioni non variazionali. Equazioni non lineari. Problemi al contorno. Frontiera libera. Problemi con ostacolo. Equazioni degeneri. Teoria del potenziale. Funzioni armoniche. Interpolazione. Autovalori.
    • Teoria dei controlli (6 cfu)

      • Teoria di controllabilità, osservabilità e stabilizzazione via feedback; modelli di controllo lineari; teoria geometrica di controllabilità per sistemi regolari; sistemi switching e sistemi ibridi.
    • Analisi complessa A (6 cfu)

      • Il fascio dei germi delle funzioni analitiche; Nullstellensatz; spazi analitici; Teoremi A e B di Cartan.
    • Equazioni alle derivate parziali 2 (6 cfu)

      • Selezione di argomenti avanzati della teoria delle equazioni alle derivate parziali.
    • Equazioni iperboliche (6 cfu)

      • Equazioni differenziali di tipo iperbolico, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
    • Teoria dei modelli (6 cfu)

      • Modelli di teorie del primo ordine. Compattezza. Equivalenza elementare. Applicazioni all'aritmetica, ai campi, e ad altre strutture algebrico-relazionali.
    • Elementi di teoria degli insiemi (6 cfu)

      • Nozioni di logica. Teoria assiomatica degli insiemi. Cardinali. Ordinali.
    • Geometria algebrica B (6 cfu)

      • Varietà complesse, metodi trascendenti
    • Teoria della misura (6 cfu)

      • Misure astratte, misure su uno spazio topologico, integrale di Daniell, convergenze di misure.
    • Geometria iperbolica (6 cfu)

      • Lo spazio iperbolico. Esempi e costruzioni di varietà iperboliche. Proprietà topologiche e geometriche di varietà iperboliche.
  • 6 cfu a scelta nel gruppo ModTeor

    • Moduli teorici
    • Dinamica olomorfa (6 cfu)

      • Insiemi di Julia e di Fatou; dinamica di funzioni olomorfe di una variabile.
    • Teoria dei numeri elementare (6 cfu)

      • Congruenze di grado superiore al primo e struttura moltiplicativa delle classi di resto. Proprietà algebriche e asintotiche delle funzioni aritmetiche. Problemi additivi e moltiplicativi legati alla distribuzione dei numeri primi. Approssimazioni razionali di numeri algebrici e trascendenti
    • Problemi di evoluzione (6 cfu)

      • Equazioni astratte, scale di Banach. Teorema di Cauchy-Kovalewski. Caratteristiche. Equazione delle onde. Sistemi iperbolici a coefficienti costanti. Condizioni  di Hadamard-Garding. Sistemi simmetrici, metodo dell'energia. Sistemi strettamente iperbolici. Simmetrizzatore micro-locale.
    • Elementi di calcolo delle variazioni (6 cfu)

      • Principi variazionali in una e più variabili. Equazione di Eulero-Lagrange. Condizioni sufficienti di minimalità. Esempi classici di problemi variazionali. Funzioni assolutamente continue e metodo diretto. Geodetiche. Teorema del passo montano e principi di minimax.
    • Teoria algebrica dei numeri 1 (6 cfu)

      • Campi di numeri, interi dei campi di numeri; fattorizzazione unica degli ideali, ramificazione, gruppo delle classi di ideali, teorema delle unità di Dirichlet.
    • Teoria dei campi e teoria di Galois (6 cfu)

      • Estensioni algebriche ed estensioni trascendenti, chiusura algebrica, separabilità, teoria di Galois, risolubilità, estensioni abeliane, teoria di Kummer.
    • Metodi topologici in analisi globale (6 cfu)

      • Elementi di analisi non lineare per alcuni problemi di tipo “globale”, quali: il problema della sella, il punto fisso di Brouwer, le dimensioni e l’invarianza del dominio, la pettinabilità della sfera, il problema di Jordan. Applicazioni alle equazioni differenziali.
    • Geometria reale B (6 cfu)

      • Geometria degli insiemi semianalitici e subanalitici.
    • Geometria e topologia delle superfici (6 cfu)

      • Spazio di Teichmüller; laminazioni geodetiche; complessi di curve.
    • Calcolo delle variazioni A (6 cfu)

      • Il metodo diretto nel calcolo delle variazioni. Condizioni necessarie e sufficienti di semicontinuità inferiore per funzionali integrali su spazi di Sobolev di funzioni scalari. Il caso vettoriale. Integrali invarianti. Misure di Young e misure di Young gradienti. Convessità, convessità di rango-uno, quasiconessità, policonvessità. Rilassamento.
    • Algebra superiore A (6 cfu)

      • Algebra commutativa.
    • Analisi armonica (6 cfu)

      • Fondamenti dell'Analisi armonica, interpolazione reale e comlessa, spazi di Lorentz, funzioni massimali, teoria di Calderon-Zygmund, spazi BMO, moltiplicatori di Fourier, integrali oscillanti e teoremi di restizione.
    • Ultrafiltri e metodi nonstandard (6 cfu)

      • Ultrafiltri e ultrapotenze. Fondamenti dell'analisi non-standard. Applicazioni alla teoria di Ramsey e alla teoria combinatoria dei numeri.
    • Equazioni alle derivate parziali (6 cfu)

      • Equazioni e sistemi del primo ordine. Rappresentazione esplicita delle soluzioni delle equazioni di Laplace, del calore, e delle onde. Proprietà qualitative delle soluzioni: principio del massimo, unicità, regolarità e dispersione.
    • Analisi convessa (6 cfu)

      • Topologie deboli su spazi di Banach, funzioni convesse, calcolo in spazi di Banach, sottodifferenziale, disequazioni variazionali, multifunzioni.
    • Geometria riemanniana (6 cfu)

      • Relazioni fra curvatura e topologia; teoremi di confronto e di pinching.
    • Algebra commutativa e geometria algebrica computazionale (6 cfu)

      • Costruzioni e algoritmi per l'algebra commutativa e la geometria algebrica, applicazioni.
    • Elementi di algebra computazionale (6 cfu)

      • Rappresentazione di interi e polinomi. Algoritmi algebrici fondamentati. Sistemi di calcolo algebrico.
    • Geometria reale A (6 cfu)

      • Geometria degli insiemi semialgebrici. Algebra reale. Strutture o-minimali.
    • Logica matematica (6 cfu)

      • Calcolo dei predicati. Teoremi di incompletezza di Godel. Decidibilità e indecidibilità.
    • Algebra superiore B (6 cfu)

      • Algebre e loro rappresentazioni
    • Geometria differenziale complessa (6 cfu)

      • Varietà complesse; coomologia di Dolbeault; varietà di Stein; metriche e distanze intrinseche.
    • Teoria degli insiemi (6 cfu)

      • Modelli della teoria degli insiemi.
    • Teoria dei nodi (6 cfu)

      • Invarianti di nodi e di link. Trecce.
    • Geometria e topologia differenziale (6 cfu)

      • Geometria differenziale di curve e superfici nello spazio euclideo, introduzione a varietà e mappe differenziabili in dimensione n.
    • Geometria algebrica A (6 cfu)

      • Schemi, fasci, coomologia.
    • Analisi non lineare (6 cfu)

      • Teorie e metodi sul comportamento globale di operatori non lineari, fra spazi di dimensione finita o spazi di funzioni, collegati con classici problemio equazioni non lineari.
    • Topologia differenziale (6 cfu)

      • Funzioni di Morse e decomposizioni in manici. Teorema dell'h-cobordismo.
    • Algebra computazionale A (6 cfu)

      • Aritmetica, fattorizzazione, integrazione.
    • Analisi matematica 3 (6 cfu)

      • Spazi di Hilbert. Spazi di Lebesgue L^p. Convoluzione di funzioni. Serie di Fourier. Trasformata di Fourier. Formula dell'area e integrazione su superfici. Funzioni armoniche.
    • Teoria analitica dei numeri A (6 cfu)

      • Problemi legati alla distribuzione dei primi; la Zeta di Riemann e le funzioni L di Dirichlet.
    • Elementi di analisi complessa (6 cfu)

      • Teorema di uniformizzazione di Riemann; proprietà geometriche del gruppo delle omografie; principio di simmetria e sue applicazioni; un modello di piano iperbolico; cenni sulle funzioni di più variabili complesse.
    • Geometria algebrica C (6 cfu)

      • Curve e superfici di Riemann.
    • Analisi superiore (6 cfu)

      • Spazi vettoriali topologici. misure e distribuzioni. Operatori illimitatii, aggiunto ad un operatore non limiato, teoria spettrale per operatori non limitati. Calcolo funzionale Forme quadratiche, soluzioni deboli e soluzioni forti.
    • Topologia algebrica (6 cfu)

      • Omotopia e teorie coomologiche.
    • Algebra computazionale B (6 cfu)

      • Metodi effettivi per la risoluzione di sistemi di equazioni polimonmiali.
    • Elementi di topologia algebrica (6 cfu)

      • Omologia simpliciale e singolare, CW complessi, coomologia, prodotto cup, dualità di Poincaré.
    • Equazioni della fluidodinamica (6 cfu)

      • Introduzione alla teoria matematica delle equazioni alle derivate parziali della meccanica dei continui e in particolare a quelle di Eulero e Navier-Stokes per fluidi incomprimibili.
    • Topologia e geometria in bassa dimensione (6 cfu)

      • Varietà topologiche, lineari a pezzi e differenziabili di dimensione minore di 5.
    • Elementi di geometria algebrica (6 cfu)

      • Varietà affini, proiettive e quasi-proiettive. Morfismi. Applicazioni razionali. Punti lisci e dimensione.
    • Algebra 2 (6 cfu)

      • Gruppi: azioni di gruppi, costruzioni e presentazioni di gruppi. Moduli e caratterizzazione dei moduli su un PID. Anelli noetheriani. Teorema della base di Hilbert. Basi di Groebner e applicazioni.
    • 3-varietà (6 cfu)

      • Risultati classici sulla topologia delle 3-varietà. Esempi e costruzioni di 3-varietà.
    • Equazioni ellittiche (6 cfu)

      • Teoria della regolarità. Equazioni in forma di divergenza. Equazioni non variazionali. Equazioni non lineari. Problemi al contorno. Frontiera libera. Problemi con ostacolo. Equazioni degeneri. Teoria del potenziale. Funzioni armoniche. Interpolazione. Autovalori.
    • Teoria dei controlli (6 cfu)

      • Teoria di controllabilità, osservabilità e stabilizzazione via feedback; modelli di controllo lineari; teoria geometrica di controllabilità per sistemi regolari; sistemi switching e sistemi ibridi.
    • Analisi complessa A (6 cfu)

      • Il fascio dei germi delle funzioni analitiche; Nullstellensatz; spazi analitici; Teoremi A e B di Cartan.
    • Equazioni alle derivate parziali 2 (6 cfu)

      • Selezione di argomenti avanzati della teoria delle equazioni alle derivate parziali.
    • Equazioni iperboliche (6 cfu)

      • Equazioni differenziali di tipo iperbolico, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
    • Teoria dei modelli (6 cfu)

      • Modelli di teorie del primo ordine. Compattezza. Equivalenza elementare. Applicazioni all'aritmetica, ai campi, e ad altre strutture algebrico-relazionali.
    • Elementi di teoria degli insiemi (6 cfu)

      • Nozioni di logica. Teoria assiomatica degli insiemi. Cardinali. Ordinali.
    • Geometria algebrica B (6 cfu)

      • Varietà complesse, metodi trascendenti
    • Teoria della misura (6 cfu)

      • Misure astratte, misure su uno spazio topologico, integrale di Daniell, convergenze di misure.
    • Geometria iperbolica (6 cfu)

      • Lo spazio iperbolico. Esempi e costruzioni di varietà iperboliche. Proprietà topologiche e geometriche di varietà iperboliche.
  • Secondo anno

  • Prova finale (27 cfu)

    • La prova finale del corso di Laurea Magistrale in Matematica consiste nella stesura di una tesi (in italiano o in inglese) elaborata in modo originale dallo studente con l’assistenza di almeno un docente (relatore), eventualmente esterno al corso di studi, e in una esposizione orale conclusiva del lavoro svolto. La prova finale verrà valutata in base alla originalità dei risultati, alla padronanza dell’argomento, all’autonomia e alle capacità espositiva e di ricerca bibliografica mostrate dal candidato. La redazione della tesi può eventualmente avvenire anche all’interno di un tirocinio formativo (stage) presso aziende o laboratori esterni, o durante soggiorni di studio presso altre università italiane ed estere, anche nel quadro di accordi internazionali.
      Alla prova finale sono attribuiti 27 CFU, di cui 1 CFU corrispondente a ulteriori attività formative utili per l’inserimento nel mondo del lavoro.
      Nomina del controrelatore.
      La tesi dev’essere esaminata anche da un controrelatore, che produrrà un parere da presentare in fase
      di discussione finale. Se il relatore è esterno al dipartimento di Matematica dell’Università di Pisa, allora il controrelatore dev’essere scelto fra i docenti afferenti al dipartimento di Matematica dell’Università di Pisa. La nomina del controrelatore spetta al presidente di corso di laurea magistrale in Matematica, partendo (ma non necessariamente limitandosi a) uno o più nominativi che devono essere suggeriti dal relatore con almeno un mese d’anticipo sulla sessione di laurea in cui sarà discussa la tesi.
  • A scelta dello studente (6 cfu)

    • Qualsiasi insegnamento attivato nell'Ateneo, purché coerente con il progetto formativo. La coerenza delle attività scelte dallo studente con il progetto formativo deve essere approvata dal Consiglio di Corso di Studio, anche tenendo conto degli specifici interessi culturali e di sviluppo di carriera dello studente.
  • 9 cfu a scelta nel gruppo IstTeor

    • Istituzioni teoriche
    • Istituzioni di algebra (9 cfu)

      • Localizzazione di anelli e moduli, anelli e moduli noetheriani ed artiniani, decomposizione primaria, estensioni intere, domini di Dedekind, valutazioni ed anelli di valutazione, completamenti, dimensione e polinomio di Hilbert.
    • Istituzioni di geometria (9 cfu)

      • Calcolo differenziale globale; coomologia di de Rham; connessioni e curvature; rudimenti di gruppi di Lie.
    • Istituzioni di analisi matematica (9 cfu)

      • Spazi di Banach e Hilbert. Operatori lineari, completezza, convessità, dualità, teoria spettrale per operatori compatti su spazi di Hilbert ed applicazioni al problema di Sturm. Spazi di distribuzioni. Trasformata di Fourier di distribuzioni. Spazi di Sobolev, immersioni di Sobolev, compattezza e teorema di traccia.
  • 6 cfu a scelta nel gruppo ModAffInt

    • Moduli affini e integrativi
    • Meccanica dei continui (6 cfu)

      • Richiami di calcolo tensoriale, meccanica dei continui tridimensionali e dei continui unidimensionali (anche con struttura).
    • Storia della matematica antica e della sua tradizione (6 cfu)

      • Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica antica: inquadramento generale (caratteristiche della matematica greca, concetto di tradizione testuale, edizioni di riferimento), lettura diretta di testi legati a un autore classico o a una problematica, e studio della tradizione rinascimentale e dell'impatto sulla nascita della matematica moderna.
    • Meccanica relativistica (6 cfu)

      • Relatività speciale e principio di equivalenza di Einstein. Spazio-tempo come varietà. Moto lungo una geodetica. Equazioni di Einstein per la curvatura dello spazio-tempo. Metrica di Schwarzschild e di Kerr. Esempi di osservabili relativistiche
    • Dinamica olomorfa (6 cfu)

      • Insiemi di Julia e di Fatou; dinamica di funzioni olomorfe di una variabile.
    • Spazi simmetrici (6 cfu)

      • Gruppi di Lie. Algebre di Lie. Spazi localmente simmetrici e spazi simmetrici.
    • Analisi microlocale (6 cfu)

      • Operatori pseudodifferenziali. Integrali oscillanti. Fronte d'onda e propagazione delle singolarità. Teorema di Hörmander. Ottica geometrica e operatori integrali di Fourier. Disuguaglianza di Fefferman- Phong. Calcolo paradifferenziale. Teoria di Littlewood- Paley. Localizzazione in spazi di frequenza. Spazi di Besov.
    • Teoria dei semigruppi (6 cfu)

      • Semigruppi di operatori, applicazioni alle equazioni di evoluzione
    • Ricerca operativa (6 cfu)

      • Grafi, programmazione lineare, programmazione intera, elementi di teoria dell'ottimizzazione.
    • Teoria dei numeri elementare (6 cfu)

      • Congruenze di grado superiore al primo e struttura moltiplicativa delle classi di resto. Proprietà algebriche e asintotiche delle funzioni aritmetiche. Problemi additivi e moltiplicativi legati alla distribuzione dei numeri primi. Approssimazioni razionali di numeri algebrici e trascendenti
    • Problemi di evoluzione (6 cfu)

      • Equazioni astratte, scale di Banach. Teorema di Cauchy-Kovalewski. Caratteristiche. Equazione delle onde. Sistemi iperbolici a coefficienti costanti. Condizioni  di Hadamard-Garding. Sistemi simmetrici, metodo dell'energia. Sistemi strettamente iperbolici. Simmetrizzatore micro-locale.
    • Calcolo scientifico (6 cfu)

      • Problemi di minimi quadrati, metodi del gradiente, decomposizione a valori singolari, calcolo di autovalori.
    • Elementi di calcolo in gruppi omogenei (6 cfu)

      • Gruppi di Lie nilpotenti semplicemente connessi: dilatazioni intrinseche, distanze invarianti, misura di Haar. Differenziabilità rispetto l'operazione di gruppo e le dilatazioni.
    • Campi ciclotomici (6 cfu)

      • Caratteri di Dirichlet, serie L di Dirichlet, numeri di Bernoulli, fomrula del numero di classi, teorema di Stickelberger.
    • Matematiche elementari da un punto di vista superiore: geometria (6 cfu)

      • Assiomatiche per la geometria euclidea; geometrie non euclidee; trasformazioni geometriche
    • Metodi matematici della crittografia (6 cfu)

      • Metodi ed algoritmi matematici applicati alla crittografia ed alla crittanalisi: fattorizzazione, logaritmo discreto. Curve ellittiche, fattorizzazione e crittografia ellittica ed iperellittica. Reticoli.
    • Metodi numerici per catene di Markov (6 cfu)

      • Matrici nonnegative e teorema di Perron-Frobenius. Metodi per catene di Markov finite e infinite. Modelli di code e loro matrici di transizione.
    • Metodi di ottimizzazione delle reti (6 cfu)

      • Algoritmi ad hoc per problemi di flusso su rete, routing in reti di comunicazione, progetto di reti di comunicazione, reti di trasporto.
    • Elementi di calcolo delle variazioni (6 cfu)

      • Principi variazionali in una e più variabili. Equazione di Eulero-Lagrange. Condizioni sufficienti di minimalità. Esempi classici di problemi variazionali. Funzioni assolutamente continue e metodo diretto. Geodetiche. Teorema del passo montano e principi di minimax.
    • Teoria algebrica dei numeri 1 (6 cfu)

      • Campi di numeri, interi dei campi di numeri; fattorizzazione unica degli ideali, ramificazione, gruppo delle classi di ideali, teorema delle unità di Dirichlet.
    • Probabilità (6 cfu)

      • Complementi di misura e integrazione: integrazione delle variabili aleatorie. Indipendenza di variabili aleatorie: leggi 0-1. Le funzioni caratteristiche. Convergenza di variabili aleatorie. Teoremi limite (leggi dei Grandi Numeri e teorema del Limite Centrale). Due esempi di processi stocastici: il processo di Wiener e il processo di Poisson.
    • Introduzione alla meccanica quantistica (6 cfu)

      • Meccanica quantistica delle particelle: dualità onda/particella, principio di sovrapposizione, principio di indeterminazione, equazione di Schroedinger.
    • Teoria dei codici e crittografia (6 cfu)

      • Trasmissione dei dati, stutture matematiche per la correzione efficiente degli errori di trasmissione. Principali codici correttori, loro proprietà e decodifica. Principali problemi crittografici: cifratura, firma, identificazione, integrità dei dati. Principali protocolli crittografici e problemi matematici soggiacenti.
    • Teoria delle categorie (6 cfu)

      • Categorie, funtori; aggiunti; limiti, colimiti; fasci, topoi.
    • Teoria dei campi e teoria di Galois (6 cfu)

      • Estensioni algebriche ed estensioni trascendenti, chiusura algebrica, separabilità, teoria di Galois, risolubilità, estensioni abeliane, teoria di Kummer.
    • Processi stocastici (6 cfu)

      • Processi di Markov, forme di Dirichlet, processi gaussiani.
    • Metodi topologici per le equazioni differenziali (6 cfu)

      • Teorie topologiche variazionali o non variazionali per alcune classi di equazioni non lineari di tipo differenziale o integrale.
    • Geometria simplettica (6 cfu)

      • Varietà simplettiche. Esempi standard. Teorema di Darboux. Strutture quasi-complesse compatibili.
    • Onde lineari e non lineari (6 cfu)

      • Principali proprietà delle soluzioni delle equazioni delle onde lineari e non lineari; proprietà dispersive delle soluzioni e decadimento dell'energia locale.
    • Superfici minime (6 cfu)

      • Risultati di esistenza per superfici minime: approccio classico, insiemi di perimetro finito, correnti. Alcuni risultati di regolarità per le ipersuperfici minime.
    • Analisi complessa B (6 cfu)

      • Funzioni plurisubarmoniche; domini pseudoconvessi; equazione del de-bar.
    • Metodi topologici in analisi globale (6 cfu)

      • Elementi di analisi non lineare per alcuni problemi di tipo “globale”, quali: il problema della sella, il punto fisso di Brouwer, le dimensioni e l’invarianza del dominio, la pettinabilità della sfera, il problema di Jordan. Applicazioni alle equazioni differenziali.
    • Finanza matematica (6 cfu)

      • Orbite periodiche e teorema di Poincaré-Birkhoff, teoria delle perturbazioni.
    • Gruppi di Coxeter (6 cfu)

      • Sistemi di radici e gruppi generati da riflessioni.
    • Geometria reale B (6 cfu)

      • Geometria degli insiemi semianalitici e subanalitici.
    • Metodi numerici per la grafica (6 cfu)

      • Parametrizzazione interpolazione e approssimazione di curve e superfici. Curve e superfici di Bezier, B-spline.
    • Teoria della calcolabilità (6 cfu)

      • Modelli di calcolo e funzioni calcolabili.
    • Operatori differenziali e teoremi dell’indice (6 cfu)

      • Algebre di Clifford. Operatori di Dirac. Teoremi dell'indice.
    • Metodi decisionali guidati dai modelli (6 cfu)

      • Ottimalità e algoritmi, algoritmi euristici, tecniche di rilassamento, algoritmi enumerativi. Software di ottimizzazione.
    • Geometria e topologia delle superfici (6 cfu)

      • Spazio di Teichmüller; laminazioni geodetiche; complessi di curve.
    • Calcolo delle variazioni A (6 cfu)

      • Il metodo diretto nel calcolo delle variazioni. Condizioni necessarie e sufficienti di semicontinuità inferiore per funzionali integrali su spazi di Sobolev di funzioni scalari. Il caso vettoriale. Integrali invarianti. Misure di Young e misure di Young gradienti. Convessità, convessità di rango-uno, quasiconessità, policonvessità. Rilassamento.
    • Algebra superiore A (6 cfu)

      • Algebra commutativa.
    • Sistemi dinamici discreti (6 cfu)

      • Dinamica topologica; insiemi iperbolici; teoria ergodica.
    • Fisica matematica (6 cfu)

      • Richiami di meccanica hamiltoniana, sistemi completamente integrabili e variabili azione angolo. Metodi perturbativi: teorema della media. Soluzioni periodiche del problema degli N-corpi, teorema geometrico di Poincaré-Birkhoff. Orbite periodiche con metodi variazionali.
    • Analisi armonica (6 cfu)

      • Fondamenti dell'Analisi armonica, interpolazione reale e comlessa, spazi di Lorentz, funzioni massimali, teoria di Calderon-Zygmund, spazi BMO, moltiplicatori di Fourier, integrali oscillanti e teoremi di restizione.
    • Teoria delle funzioni (6 cfu)

      • Elementi della teoria delle funzioni analitiche di una variabile complessa: serie di Mittag-Leffler,fattorizzazione di Weierstrass, fattorizzazione delle funzioni intere di ordine finito, sviluppi asintotici, teorema di Picard.
    • Elementi di logica matematica (6 cfu)

      • Calcolo dei predicati. Sistemi formali. Teorema di completezza.
    • Geometria reale computazionale (6 cfu)

      • Campi formalmente reali. Numeri algebrici reali, varietà algebriche reali. Algoritmi e applicazioni.
    • Metodi numerici per l’analisi di Fourier (6 cfu)

      • Serie di Fourier e trasformata di Fourier. Trasformata discreta di Fourier, trasformate trigonometriche. Algoritmi veloci per il calcolo delle trasformate discrete.
    • Ultrafiltri e metodi nonstandard (6 cfu)

      • Ultrafiltri e ultrapotenze. Fondamenti dell'analisi non-standard. Applicazioni alla teoria di Ramsey e alla teoria combinatoria dei numeri.
    • Equazioni alle derivate parziali (6 cfu)

      • Equazioni e sistemi del primo ordine. Rappresentazione esplicita delle soluzioni delle equazioni di Laplace, del calore, e delle onde. Proprietà qualitative delle soluzioni: principio del massimo, unicità, regolarità e dispersione.
    • Geometria reale C (6 cfu)

      • Topologia delle curve e superfici reali.
    • Analisi convessa (6 cfu)

      • Topologie deboli su spazi di Banach, funzioni convesse, calcolo in spazi di Banach, sottodifferenziale, disequazioni variazionali, multifunzioni.
    • Didattica della matematica e nuove tecnologie (6 cfu)

      • Metodologie, modelli e materiali didattici in contesti di aula multimediale; ruolo delle tecnologie nell'insegnamento / apprendimento della matematica: software didattici e lavagne interattive multimediali.
    • Equazioni differenziali ordinarie (6 cfu)

      • Problema di Cauchy. Equazioni di Bernoulli, D'Alembert, Clairaut, Eulero, Riccati. Metodo di Peano. Equazioni lineari. Dipendenza regolare dai dati. Soluzioni massimali.  Equilibri. Problemi di Sturm- Liouville.
    • Curve algebriche (6 cfu)

      • Curve algebriche, divisori. Curve ellittiche, iperellittiche, jacobiane. Applicazioni.
    • Geometria algebrica D (6 cfu)

      • Tori complessi e varietà abeliane.
    • Storia della matematica (6 cfu)

      • Il corso è di tipo istituzionale e intende offrire una panoramica delle grandi linee di sviluppo della matematica occidentale fino alla fine del XIX secolo. A questo aspetto verrà, di anno in anno, accoppiato un approfondimento di uno o più temi particolarmente rilevanti, quali la geometria cartesiana, l'invenzione del calcolo infinitesimale, le origini della teoria di Galois, la "nuova'' analisi di Cauchy.
    • Teoria algebrica dei numeri 2 (6 cfu)

      • Valori assoluti, campi locali, differente, discriminante, ramificazione, gruppi di ramificazione.
    • Metodi di approssimazione (6 cfu)

      • Risoluzione numerica di equazioni matriciali. Algoritmi numerici per matrici con struttura.
    • Forme modulari (6 cfu)

      • L-serie, equazioni funzionali e operatori di Heck
    • Geometria riemanniana (6 cfu)

      • Relazioni fra curvatura e topologia; teoremi di confronto e di pinching.
    • Algebra commutativa e geometria algebrica computazionale (6 cfu)

      • Costruzioni e algoritmi per l'algebra commutativa e la geometria algebrica, applicazioni.
    • Funzioni speciali (6 cfu)

      • Funzione gamma di Eulero: equazioni funzionali, formula di Stirling. Funzioni ellittiche: funzione P di Weierstrass. Elementi della teoria della funzione zeta di Riemann. Soluzioni di equazioni differenziali lineari a coefficienti analitici: funzione ipergeometrica, funzioni di Bessel.
    • Geodesia via satellite (6 cfu)

      • Problema dei minimi quadrati, simmetrie e degenerazioni. Campo gravitazionale di un corpo esteso, problema del satellite. Perturbazioni non-gravitazionali, geodesia e gravimetria spaziale, terrestre e interplanetaria.
    • Dinamica del sistema solare (6 cfu)

      • Equazioni del moto dei pianeti. Teorie perturbative, elementi propri. Risonanze, piccoli divisori, esponenti di Lyapunov.
    • Geometria degli spazi metrici (6 cfu)

      • Nozioni di curvatura. Quasi isometrie. Geometria a larga scala.
    • Elementi di algebra computazionale (6 cfu)

      • Rappresentazione di interi e polinomi. Algoritmi algebrici fondamentati. Sistemi di calcolo algebrico.
    • Meccanica spaziale (6 cfu)

      • Moto di satelliti artificiali e sonde spaziali, missioni spaziali interplanetarie.
    • Geometria reale A (6 cfu)

      • Geometria degli insiemi semialgebrici. Algebra reale. Strutture o-minimali.
    • Determinazione orbitale (6 cfu)

      • Problema dei minimi quadrati, simmetrie e degenerazioni. Problema dell'identificazione. Orbite preliminari. Soluzioni deboli. Incontri ravvicinati e monitoraggio degli impatti.
    • Logica matematica (6 cfu)

      • Calcolo dei predicati. Teoremi di incompletezza di Godel. Decidibilità e indecidibilità.
    • Algebra superiore B (6 cfu)

      • Algebre e loro rappresentazioni
    • Tecnologie per la didattica (6 cfu)

      • Ruolo delle tecnologie nell’apprendimento / insegnamento della matematica; uso e costruzione di strumenti didattici informatici, multimediali e telematici Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della matematica. I processi di insegnamento e apprendimento mediati dall'uso delle tecnologie nell'ambito della matematica. Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della matematica.
    • Geometria differenziale complessa (6 cfu)

      • Varietà complesse; coomologia di Dolbeault; varietà di Stein; metriche e distanze intrinseche.
    • Matematica discreta (6 cfu)

      • Calcolo combinatorio, funzioni generatrici, grafi, teoria di Ramsey.
    • Teoria degli insiemi (6 cfu)

      • Modelli della teoria degli insiemi.
    • Teoria dei nodi (6 cfu)

      • Invarianti di nodi e di link. Trecce.
    • Teoria del controllo ottimo (6 cfu)

      • Problemi di controllo di energia minima e di tempo minimo; esistenza e di sensitività delle soluzioni; principio di massimo di Pontryagin, approccio di programmazione dinamica ed equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman.
    • Geometria di contatto (6 cfu)

      • Varietà di contatto. Esempi standard. Teorema di Darboux. Nodi Legendriani e trasversi. Libri aperti e strutture di contatto.
    • Geometria e topologia differenziale (6 cfu)

      • Geometria differenziale di curve e superfici nello spazio euclideo, introduzione a varietà e mappe differenziabili in dimensione n.
    • Geometria algebrica A (6 cfu)

      • Schemi, fasci, coomologia.
    • Analisi non lineare (6 cfu)

      • Teorie e metodi sul comportamento globale di operatori non lineari, fra spazi di dimensione finita o spazi di funzioni, collegati con classici problemio equazioni non lineari.
    • Matematica e musica (6 cfu)

      • Formalizzazione algebrica delle strutture musicali.
    • Topologia differenziale (6 cfu)

      • Funzioni di Morse e decomposizioni in manici. Teorema dell'h-cobordismo.
    • Algebra computazionale A (6 cfu)

      • Aritmetica, fattorizzazione, integrazione.
    • Gruppi e rappresentazioni (6 cfu)

      • Rappresentazioni di gruppi finiti. Esempi di classi di gruppi.
    • Sistemi dinamici (6 cfu)

      • Sistemi dinamici lineari (con richiami di algebra lineare), stabilità e teoria qualitativa per sistemi dinamici non lineari, formalismo hamiltoniano e lagrangiano ad un grado di libertà, sistemi dinamici discreti, un esempio elementare di caos.
    • Laboratorio di fisica per l'insegnamento (6 cfu)

      • Sviluppare competenze nella gestione di esperienze di laboratorio, fornire basi teoriche di un approccio alla misura. Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della fisica. La progettazione e lo sviluppo delle attività di insegnamento relative alla fisica. Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della fisica
    • Analisi matematica 3 (6 cfu)

      • Spazi di Hilbert. Spazi di Lebesgue L^p. Convoluzione di funzioni. Serie di Fourier. Trasformata di Fourier. Formula dell'area e integrazione su superfici. Funzioni armoniche.
    • Dinamica del sistema Terra-Luna (6 cfu)

      • Il sistema Terra-Luna-Sole e le caratteristiche principali dell'orbita della Luna. Il tracking laser della Luna nell'era spaziale (LLR-Lunar Laser Ranging). LLR e la verifica della Relatività Generale.
    • Teoria analitica dei numeri A (6 cfu)

      • Problemi legati alla distribuzione dei primi; la Zeta di Riemann e le funzioni L di Dirichlet.
    • Introduzione alla teoria geometrica della misura (6 cfu)

      • Misure e dimensione di Hausdorff. Insiemi rettificabli. Formula dell'area e della coarea
    • Elementi di analisi complessa (6 cfu)

      • Teorema di uniformizzazione di Riemann; proprietà geometriche del gruppo delle omografie; principio di simmetria e sue applicazioni; un modello di piano iperbolico; cenni sulle funzioni di più variabili complesse.
    • Calcolo delle variazioni B (6 cfu)

      • Teoria della regolarità per minimi di funzionali integrali.
    • Algebre e gruppi di Lie (6 cfu)

      • Teoremi di struttura per le algebre di Lie di dimensione finita (incluso il caso delle algebre semisemplici complesse). Gruppi di Lie e relazione con le algebre di Lie. Introduzione alla teoria delle rappresentazioni delle algebre e gruppi di Lie.
    • Origini e sviluppo delle matematiche moderne (6 cfu)

      • Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica moderna: inquadramento generale, lettura diretta di testi, discussione della letteratura in materia.
    • Fisica II (9 cfu)

      • Elettrostatica e magnetostatica nel vuoto, correnti stazionarie, induzione, circuiti passivi lineari RLC, equazioni di Maxwell, onde elettromagnetiche, polarizzazione, irraggiamento, riflessione e rifrazione.
    • Geometria algebrica C (6 cfu)

      • Curve e superfici di Riemann.
    • Teoria e metodi dell'ottimizzazione (6 cfu)

      • Ottimizzazione non lineare: condizioni di ottimalità per problemi vincolati e non vincolati, teoria della dualità, metodi risolutivi per problemi vincolati e non vincolati, applicazioni.
    • Analisi superiore (6 cfu)

      • Spazi vettoriali topologici. misure e distribuzioni. Operatori illimitatii, aggiunto ad un operatore non limiato, teoria spettrale per operatori non limitati. Calcolo funzionale Forme quadratiche, soluzioni deboli e soluzioni forti.
    • Topologia algebrica (6 cfu)

      • Omotopia e teorie coomologiche.
    • Geometria algebrica E (6 cfu)

      • Superfici algebriche.
    • Algebra computazionale B (6 cfu)

      • Metodi effettivi per la risoluzione di sistemi di equazioni polimonmiali.
    • Algebra lineare e multilineare (6 cfu)

      • Strutture algebriche lineari.
    • Complementi di analisi funzionale (6 cfu)

      • Spazi vettoriali topologici, misure e distribuzioni. Convoluzione, trasformata di Fourier, teorema di Paley-Wiener ed applicazioni alle EDP. Teoria spettrale per operatori non limitati. Calcolo operazionale, semigruppi di operatori. Teorema di Malgrange-Ehrenpreis. Teoremi di punto fisso in dimensione infinita ed applicazioni alle EDP.
    • Topologia generale (6 cfu)

      • Spazi normali, teorema di Urysohn, compattificazioni, teorema di Baire, paracompattezza, partizioni dell’unità.
    • Analisi non standard (6 cfu)

      • Fondamenti dell'analisi non standard, scelta di applicazioni ad altre aree della matematica.
    • Elementi di topologia algebrica (6 cfu)

      • Omologia simpliciale e singolare, CW complessi, coomologia, prodotto cup, dualità di Poincaré.
    • Equazioni della fluidodinamica (6 cfu)

      • Introduzione alla teoria matematica delle equazioni alle derivate parziali della meccanica dei continui e in particolare a quelle di Eulero e Navier-Stokes per fluidi incomprimibili.
    • Topologia e geometria in bassa dimensione (6 cfu)

      • Varietà topologiche, lineari a pezzi e differenziabili di dimensione minore di 5.
    • Spazi di funzioni (6 cfu)

      • Proprietà fini delle funzioni derivabili in senso debole: funzioni di Sobolev e BV, insiemi di perimetro finito. Altri spazi di funzioni. Riarrangiamento e disuguaglianze funzionali.
    • Elementi di geometria algebrica (6 cfu)

      • Varietà affini, proiettive e quasi-proiettive. Morfismi. Applicazioni razionali. Punti lisci e dimensione.
    • Algebra 2 (6 cfu)

      • Gruppi: azioni di gruppi, costruzioni e presentazioni di gruppi. Moduli e caratterizzazione dei moduli su un PID. Anelli noetheriani. Teorema della base di Hilbert. Basi di Groebner e applicazioni.
    • Problemi e metodi della ricerca in didattica della matematica (6 cfu)

      • Il corso, rivolto agli studenti interessati alla ricerca in didattica della matematica, intende dare l’opportunità di conoscere e confrontarsi con le problematiche tipiche di tale campo di ricerca (sia quelle classiche che quelle più recenti) e con i metodi di ricerca utilizzati.
    • Teoria dei gruppi (6 cfu)

      • Serie di composizione, gruppi di permutazioni, gruppi nilpotenti, gruppi risolubili.
    • 3-varietà (6 cfu)

      • Risultati classici sulla topologia delle 3-varietà. Esempi e costruzioni di 3-varietà.
    • Fisica III (6 cfu)

      • Sistemi e trasformazioni termodinamiche, gas perfetto, prima e seconda legge, temperatura ed entropia; potenziali ritardati, relatività speciale e legami con l'elettromagnetismo, cenni su argomenti di fisica moderna (meccanica quantistica e altro).
    • Elementi di meccanica celeste (6 cfu)

      • Problema dei 2 corpi ed equazione di Keplero. Problema dei 3 corpi ristretto circolare, integrale di Jacobi, criterio di stabilità di Hill, cenni su orbite confinate ma caotiche. Maree ed evoluzione mareale nel sistema solare; la Terra come corpo esteso.
    • Equazioni ellittiche (6 cfu)

      • Teoria della regolarità. Equazioni in forma di divergenza. Equazioni non variazionali. Equazioni non lineari. Problemi al contorno. Frontiera libera. Problemi con ostacolo. Equazioni degeneri. Teoria del potenziale. Funzioni armoniche. Interpolazione. Autovalori.
    • Meccanica celeste (6 cfu)

      • Singolarità e orbite periodiche nel problema degli N corpi
    • Teoria analitica dei numeri B (6 cfu)

      • Problemi analitici di natura additiva con particolare riferimento al metodo di Hardy e Littlewood
    • Elementi di probabilità e statistica (6 cfu)

      • Probabilità su spazi numerabili: condizionamento, indipendenza, variabili aleatorie. Variabili aleatorie con densità: variabili gaussiane. Inferenza statistica: stima, test, intervalli di fiducia. Principali test statistici su modelli gaussiani.
    • Algebra omologica (6 cfu)

      • Moduli proiettivi e iniettivi. Categorie e funtori. Funtori aggiunti. Categorie di moduli. Successioni esatte, risoluzioni, funtori derivati. (Co)omologia di gruppi e algebre.
    • Algebra 1 (6 cfu)

      • Gruppi: teoremi di omomorfismo, permutazioni, gruppi abeliani finiti. Anelli e ideali, anelli speciali, anelli di polinomi. Elementi di teoria di Galois.
    • Introduzione all'analisi p-adica (6 cfu)

      • Struttura dei numeri p-adici; continuità, differenziabilità e analiticità in campo p-adico.
    • Elementi avanzati di algebra lineare numerica (6 cfu)

      • Metodi di Krylov, GMRES, BiCG, polinomi di matrici, problemi polinomiali agli autovalori, funzioni di matrici.
    • Metodi numerici per equazioni differenziali ordinarie (6 cfu)

      • Problemi ai valori iniziali e ai valori limite, metodi a un passo, metodi a più passi, metodi di shooting.
    • 2-varietà (6 cfu)

      • Varietà di dimensione due e loro automorfismi.
    • Algoritmi e strutture dei dati (6 cfu)

      • Strutture dei dati, analisi di algoritmi e complessità, progetto di algoritmi.
    • Teoria ergodica (6 cfu)

      • Teoremi di Krein-Milman e di Choquet, teoria spettrale. Esempi di base. Teoremi di Poincaré, Birkhoff, von Neumann. Decomposizione ergodica. "Mixing" e "weak mixing". Operatore di Perron- Frobenius. Decadimento delle correlazioni. Entropia. Dinamica simbolica. Catene di Markov e misura di Parry.
    • Teoria dei codici (6 cfu)

      • Trasmissione con errore, correzione d'errore. Famiglie di codici correttori. Metodi di geometria algebrica e algebra computazionale per la costruzione di codici e la decodifica.
    • Teoria dei controlli (6 cfu)

      • Teoria di controllabilità, osservabilità e stabilizzazione via feedback; modelli di controllo lineari; teoria geometrica di controllabilità per sistemi regolari; sistemi switching e sistemi ibridi.
    • Dinamica iperbolica (6 cfu)

      • Sistemi dinamici iperbolici; dinamica in dimensione bassa.
    • Analisi complessa A (6 cfu)

      • Il fascio dei germi delle funzioni analitiche; Nullstellensatz; spazi analitici; Teoremi A e B di Cartan.
    • Probabilità superiore (6 cfu)

      • Presentazione di una selezione di argomenti avanzati di probabilità quali Spazi Gaussiani, Calcolo di Malliavin, processi di Levy e Levy-stabili.
    • Equazioni alle derivate parziali 2 (6 cfu)

      • Selezione di argomenti avanzati della teoria delle equazioni alle derivate parziali.
    • Equazioni iperboliche (6 cfu)

      • Equazioni differenziali di tipo iperbolico, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
    • Modelli matematici in biomedicina e fisica matematica (6 cfu)

      • Obiettivi formativi: Equazioni differenziali ordinarie con effetti dissipativi (ritardo, memoria, etc) e stabilità, e loro applicazioni in biomedicina. Equazioni alle derivate parziali e loro applicazioni in fisica matematica.
    • Analisi geometrica (6 cfu)

      • Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi geometrica.
    • Geometria algebrica F (6 cfu)

      • Varietà toriche.
    • Teoria descrittiva della complessità (6 cfu)

      • Modelli finiti e complessità computazionale
    • Teoria dei modelli (6 cfu)

      • Modelli di teorie del primo ordine. Compattezza. Equivalenza elementare. Applicazioni all'aritmetica, ai campi, e ad altre strutture algebrico-relazionali.
    • Elementi di teoria degli insiemi (6 cfu)

      • Nozioni di logica. Teoria assiomatica degli insiemi. Cardinali. Ordinali.
    • Teoria geometrica della misura (6 cfu)

      • Nozioni di base di teoria geometrica della misura. Correnti normali ed intere. Esistenza delle soluzioni per il problema di Plateau omologico. Varifold.
    • Problem solving (6 cfu)

      • Ruolo dei problemi nell’insegnamento della matematica; euristiche; problem solving e problem posing.
    • Teoria dei giochi (6 cfu)

      • Equilibri nei modelli di giochi noncooperativi, teoria dei giochi cooperativi, giochi posizionali e giochi differenziali
    • Analisi in spazi metrici (6 cfu)

      • Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi su spazi metrici.
    • Equazioni differenziali stocastiche e applicazioni (6 cfu)

      • Introduzione ai teoremi di esistenza ed unicità (debole o forte) per equazioni differenziali stocastiche ordinarie, legami con le equazioni alle derivate parziali, applicazioni in ambito fisico o biologico.
    • Matematica e società (6 cfu)

      • Matematica, società e curricula; il contesto culturale nell'insegnamento ed apprendimento della matematica; il ruolo delle conoscenze matematiche non-scolastiche.
    • Matematiche elementari da un punto di vista superiore: aritmetica (6 cfu)

      • Gli insiemi numerici: possibili introduzioni, proprietà
    • Fondamenti della matematica (6 cfu)

      • Sistemi formali e teorie fondazionali.
    • Geometria algebrica B (6 cfu)

      • Varietà complesse, metodi trascendenti
    • Equazioni paraboliche (6 cfu)

      • Equazioni differenziali di tipo parabolico, lineari e non lineari, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
    • Meccanica superiore (6 cfu)

      • Obiettivi formativi: Indicatori di comportamento caotico e metodi ergodici per sistemi meccanici
    • Teoria della misura (6 cfu)

      • Misure astratte, misure su uno spazio topologico, integrale di Daniell, convergenze di misure.
    • 4-varietà (6 cfu)

      • Risultati classici sulla topologia delle 4-varietà. Esempi e costruzioni di 4-varietà.
    • Complementi di fisica (6 cfu)

      • Onde. Elementi di relatività ristretta. Equazioni d'onda relativistiche. Complementi di termodinamica e statistica.
    • Statistica matematica (6 cfu)

      • Modelli statistici: modelli dominati. Stime: stime consistenti e di Massima verosimiglianza. Intervalli di fiducia e test. I principali test sui modelli gaussiani (di Student, di Fisher Snedecor). Modelli statistici non parametrici: teorema di Glivenko-Cantelli e e test del chi-quadro.
    • Analisi reale (6 cfu)

      • Fondamenti dell'analisi reale (teoria della misura, spazi di funzioni).
    • Capacità non lineare, disequazioni variazionali e applicazioni (6 cfu)

      • Il percorso scelto ci permetterà di illustrare alcune tecniche e argomenti classici per trovare condizioni necessarie e sufficienti affinché un punto di frontiera sia regolare relativamente al problema di Dirichlet non omogeneo per l'operatore di Laplace non-lineare (il cosiddetto p-laplaciano).
    • Complementi di didattica della matematica (6 cfu)

      • Processi di apprendimento della matematica; contesti e tipi di razionalità; ostacoli epistemologici e didattici nell’insegnamento della matematica
    • Teoria della dimostrazione (6 cfu)

      • Il concetto formale di dimostrazione. Sistemi dimostrativi. Logiche non classiche. Analisi ordinale
    • Geometria iperbolica (6 cfu)

      • Lo spazio iperbolico. Esempi e costruzioni di varietà iperboliche. Proprietà topologiche e geometriche di varietà iperboliche.
  • 6 cfu a scelta nel gruppo ModAffInt

    • Moduli affini e integrativi
    • Meccanica dei continui (6 cfu)

      • Richiami di calcolo tensoriale, meccanica dei continui tridimensionali e dei continui unidimensionali (anche con struttura).
    • Storia della matematica antica e della sua tradizione (6 cfu)

      • Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica antica: inquadramento generale (caratteristiche della matematica greca, concetto di tradizione testuale, edizioni di riferimento), lettura diretta di testi legati a un autore classico o a una problematica, e studio della tradizione rinascimentale e dell'impatto sulla nascita della matematica moderna.
    • Meccanica relativistica (6 cfu)

      • Relatività speciale e principio di equivalenza di Einstein. Spazio-tempo come varietà. Moto lungo una geodetica. Equazioni di Einstein per la curvatura dello spazio-tempo. Metrica di Schwarzschild e di Kerr. Esempi di osservabili relativistiche
    • Dinamica olomorfa (6 cfu)

      • Insiemi di Julia e di Fatou; dinamica di funzioni olomorfe di una variabile.
    • Spazi simmetrici (6 cfu)

      • Gruppi di Lie. Algebre di Lie. Spazi localmente simmetrici e spazi simmetrici.
    • Analisi microlocale (6 cfu)

      • Operatori pseudodifferenziali. Integrali oscillanti. Fronte d'onda e propagazione delle singolarità. Teorema di Hörmander. Ottica geometrica e operatori integrali di Fourier. Disuguaglianza di Fefferman- Phong. Calcolo paradifferenziale. Teoria di Littlewood- Paley. Localizzazione in spazi di frequenza. Spazi di Besov.
    • Teoria dei semigruppi (6 cfu)

      • Semigruppi di operatori, applicazioni alle equazioni di evoluzione
    • Ricerca operativa (6 cfu)

      • Grafi, programmazione lineare, programmazione intera, elementi di teoria dell'ottimizzazione.
    • Teoria dei numeri elementare (6 cfu)

      • Congruenze di grado superiore al primo e struttura moltiplicativa delle classi di resto. Proprietà algebriche e asintotiche delle funzioni aritmetiche. Problemi additivi e moltiplicativi legati alla distribuzione dei numeri primi. Approssimazioni razionali di numeri algebrici e trascendenti
    • Problemi di evoluzione (6 cfu)

      • Equazioni astratte, scale di Banach. Teorema di Cauchy-Kovalewski. Caratteristiche. Equazione delle onde. Sistemi iperbolici a coefficienti costanti. Condizioni  di Hadamard-Garding. Sistemi simmetrici, metodo dell'energia. Sistemi strettamente iperbolici. Simmetrizzatore micro-locale.
    • Calcolo scientifico (6 cfu)

      • Problemi di minimi quadrati, metodi del gradiente, decomposizione a valori singolari, calcolo di autovalori.
    • Elementi di calcolo in gruppi omogenei (6 cfu)

      • Gruppi di Lie nilpotenti semplicemente connessi: dilatazioni intrinseche, distanze invarianti, misura di Haar. Differenziabilità rispetto l'operazione di gruppo e le dilatazioni.
    • Campi ciclotomici (6 cfu)

      • Caratteri di Dirichlet, serie L di Dirichlet, numeri di Bernoulli, fomrula del numero di classi, teorema di Stickelberger.
    • Matematiche elementari da un punto di vista superiore: geometria (6 cfu)

      • Assiomatiche per la geometria euclidea; geometrie non euclidee; trasformazioni geometriche
    • Metodi matematici della crittografia (6 cfu)

      • Metodi ed algoritmi matematici applicati alla crittografia ed alla crittanalisi: fattorizzazione, logaritmo discreto. Curve ellittiche, fattorizzazione e crittografia ellittica ed iperellittica. Reticoli.
    • Metodi numerici per catene di Markov (6 cfu)

      • Matrici nonnegative e teorema di Perron-Frobenius. Metodi per catene di Markov finite e infinite. Modelli di code e loro matrici di transizione.
    • Metodi di ottimizzazione delle reti (6 cfu)

      • Algoritmi ad hoc per problemi di flusso su rete, routing in reti di comunicazione, progetto di reti di comunicazione, reti di trasporto.
    • Elementi di calcolo delle variazioni (6 cfu)

      • Principi variazionali in una e più variabili. Equazione di Eulero-Lagrange. Condizioni sufficienti di minimalità. Esempi classici di problemi variazionali. Funzioni assolutamente continue e metodo diretto. Geodetiche. Teorema del passo montano e principi di minimax.
    • Teoria algebrica dei numeri 1 (6 cfu)

      • Campi di numeri, interi dei campi di numeri; fattorizzazione unica degli ideali, ramificazione, gruppo delle classi di ideali, teorema delle unità di Dirichlet.
    • Probabilità (6 cfu)

      • Complementi di misura e integrazione: integrazione delle variabili aleatorie. Indipendenza di variabili aleatorie: leggi 0-1. Le funzioni caratteristiche. Convergenza di variabili aleatorie. Teoremi limite (leggi dei Grandi Numeri e teorema del Limite Centrale). Due esempi di processi stocastici: il processo di Wiener e il processo di Poisson.
    • Introduzione alla meccanica quantistica (6 cfu)

      • Meccanica quantistica delle particelle: dualità onda/particella, principio di sovrapposizione, principio di indeterminazione, equazione di Schroedinger.
    • Teoria dei codici e crittografia (6 cfu)

      • Trasmissione dei dati, stutture matematiche per la correzione efficiente degli errori di trasmissione. Principali codici correttori, loro proprietà e decodifica. Principali problemi crittografici: cifratura, firma, identificazione, integrità dei dati. Principali protocolli crittografici e problemi matematici soggiacenti.
    • Teoria delle categorie (6 cfu)

      • Categorie, funtori; aggiunti; limiti, colimiti; fasci, topoi.
    • Teoria dei campi e teoria di Galois (6 cfu)

      • Estensioni algebriche ed estensioni trascendenti, chiusura algebrica, separabilità, teoria di Galois, risolubilità, estensioni abeliane, teoria di Kummer.
    • Processi stocastici (6 cfu)

      • Processi di Markov, forme di Dirichlet, processi gaussiani.
    • Metodi topologici per le equazioni differenziali (6 cfu)

      • Teorie topologiche variazionali o non variazionali per alcune classi di equazioni non lineari di tipo differenziale o integrale.
    • Geometria simplettica (6 cfu)

      • Varietà simplettiche. Esempi standard. Teorema di Darboux. Strutture quasi-complesse compatibili.
    • Onde lineari e non lineari (6 cfu)

      • Principali proprietà delle soluzioni delle equazioni delle onde lineari e non lineari; proprietà dispersive delle soluzioni e decadimento dell'energia locale.
    • Superfici minime (6 cfu)

      • Risultati di esistenza per superfici minime: approccio classico, insiemi di perimetro finito, correnti. Alcuni risultati di regolarità per le ipersuperfici minime.
    • Analisi complessa B (6 cfu)

      • Funzioni plurisubarmoniche; domini pseudoconvessi; equazione del de-bar.
    • Metodi topologici in analisi globale (6 cfu)

      • Elementi di analisi non lineare per alcuni problemi di tipo “globale”, quali: il problema della sella, il punto fisso di Brouwer, le dimensioni e l’invarianza del dominio, la pettinabilità della sfera, il problema di Jordan. Applicazioni alle equazioni differenziali.
    • Finanza matematica (6 cfu)

      • Orbite periodiche e teorema di Poincaré-Birkhoff, teoria delle perturbazioni.
    • Gruppi di Coxeter (6 cfu)

      • Sistemi di radici e gruppi generati da riflessioni.
    • Geometria reale B (6 cfu)

      • Geometria degli insiemi semianalitici e subanalitici.
    • Metodi numerici per la grafica (6 cfu)

      • Parametrizzazione interpolazione e approssimazione di curve e superfici. Curve e superfici di Bezier, B-spline.
    • Teoria della calcolabilità (6 cfu)

      • Modelli di calcolo e funzioni calcolabili.
    • Operatori differenziali e teoremi dell’indice (6 cfu)

      • Algebre di Clifford. Operatori di Dirac. Teoremi dell'indice.
    • Metodi decisionali guidati dai modelli (6 cfu)

      • Ottimalità e algoritmi, algoritmi euristici, tecniche di rilassamento, algoritmi enumerativi. Software di ottimizzazione.
    • Geometria e topologia delle superfici (6 cfu)

      • Spazio di Teichmüller; laminazioni geodetiche; complessi di curve.
    • Calcolo delle variazioni A (6 cfu)

      • Il metodo diretto nel calcolo delle variazioni. Condizioni necessarie e sufficienti di semicontinuità inferiore per funzionali integrali su spazi di Sobolev di funzioni scalari. Il caso vettoriale. Integrali invarianti. Misure di Young e misure di Young gradienti. Convessità, convessità di rango-uno, quasiconessità, policonvessità. Rilassamento.
    • Algebra superiore A (6 cfu)

      • Algebra commutativa.
    • Sistemi dinamici discreti (6 cfu)

      • Dinamica topologica; insiemi iperbolici; teoria ergodica.
    • Fisica matematica (6 cfu)

      • Richiami di meccanica hamiltoniana, sistemi completamente integrabili e variabili azione angolo. Metodi perturbativi: teorema della media. Soluzioni periodiche del problema degli N-corpi, teorema geometrico di Poincaré-Birkhoff. Orbite periodiche con metodi variazionali.
    • Analisi armonica (6 cfu)

      • Fondamenti dell'Analisi armonica, interpolazione reale e comlessa, spazi di Lorentz, funzioni massimali, teoria di Calderon-Zygmund, spazi BMO, moltiplicatori di Fourier, integrali oscillanti e teoremi di restizione.
    • Teoria delle funzioni (6 cfu)

      • Elementi della teoria delle funzioni analitiche di una variabile complessa: serie di Mittag-Leffler,fattorizzazione di Weierstrass, fattorizzazione delle funzioni intere di ordine finito, sviluppi asintotici, teorema di Picard.
    • Elementi di logica matematica (6 cfu)

      • Calcolo dei predicati. Sistemi formali. Teorema di completezza.
    • Geometria reale computazionale (6 cfu)

      • Campi formalmente reali. Numeri algebrici reali, varietà algebriche reali. Algoritmi e applicazioni.
    • Metodi numerici per l’analisi di Fourier (6 cfu)

      • Serie di Fourier e trasformata di Fourier. Trasformata discreta di Fourier, trasformate trigonometriche. Algoritmi veloci per il calcolo delle trasformate discrete.
    • Ultrafiltri e metodi nonstandard (6 cfu)

      • Ultrafiltri e ultrapotenze. Fondamenti dell'analisi non-standard. Applicazioni alla teoria di Ramsey e alla teoria combinatoria dei numeri.
    • Equazioni alle derivate parziali (6 cfu)

      • Equazioni e sistemi del primo ordine. Rappresentazione esplicita delle soluzioni delle equazioni di Laplace, del calore, e delle onde. Proprietà qualitative delle soluzioni: principio del massimo, unicità, regolarità e dispersione.
    • Geometria reale C (6 cfu)

      • Topologia delle curve e superfici reali.
    • Analisi convessa (6 cfu)

      • Topologie deboli su spazi di Banach, funzioni convesse, calcolo in spazi di Banach, sottodifferenziale, disequazioni variazionali, multifunzioni.
    • Didattica della matematica e nuove tecnologie (6 cfu)

      • Metodologie, modelli e materiali didattici in contesti di aula multimediale; ruolo delle tecnologie nell'insegnamento / apprendimento della matematica: software didattici e lavagne interattive multimediali.
    • Equazioni differenziali ordinarie (6 cfu)

      • Problema di Cauchy. Equazioni di Bernoulli, D'Alembert, Clairaut, Eulero, Riccati. Metodo di Peano. Equazioni lineari. Dipendenza regolare dai dati. Soluzioni massimali.  Equilibri. Problemi di Sturm- Liouville.
    • Curve algebriche (6 cfu)

      • Curve algebriche, divisori. Curve ellittiche, iperellittiche, jacobiane. Applicazioni.
    • Geometria algebrica D (6 cfu)

      • Tori complessi e varietà abeliane.
    • Storia della matematica (6 cfu)

      • Il corso è di tipo istituzionale e intende offrire una panoramica delle grandi linee di sviluppo della matematica occidentale fino alla fine del XIX secolo. A questo aspetto verrà, di anno in anno, accoppiato un approfondimento di uno o più temi particolarmente rilevanti, quali la geometria cartesiana, l'invenzione del calcolo infinitesimale, le origini della teoria di Galois, la "nuova'' analisi di Cauchy.
    • Teoria algebrica dei numeri 2 (6 cfu)

      • Valori assoluti, campi locali, differente, discriminante, ramificazione, gruppi di ramificazione.
    • Metodi di approssimazione (6 cfu)

      • Risoluzione numerica di equazioni matriciali. Algoritmi numerici per matrici con struttura.
    • Forme modulari (6 cfu)

      • L-serie, equazioni funzionali e operatori di Heck
    • Geometria riemanniana (6 cfu)

      • Relazioni fra curvatura e topologia; teoremi di confronto e di pinching.
    • Algebra commutativa e geometria algebrica computazionale (6 cfu)

      • Costruzioni e algoritmi per l'algebra commutativa e la geometria algebrica, applicazioni.
    • Funzioni speciali (6 cfu)

      • Funzione gamma di Eulero: equazioni funzionali, formula di Stirling. Funzioni ellittiche: funzione P di Weierstrass. Elementi della teoria della funzione zeta di Riemann. Soluzioni di equazioni differenziali lineari a coefficienti analitici: funzione ipergeometrica, funzioni di Bessel.
    • Geodesia via satellite (6 cfu)

      • Problema dei minimi quadrati, simmetrie e degenerazioni. Campo gravitazionale di un corpo esteso, problema del satellite. Perturbazioni non-gravitazionali, geodesia e gravimetria spaziale, terrestre e interplanetaria.
    • Dinamica del sistema solare (6 cfu)

      • Equazioni del moto dei pianeti. Teorie perturbative, elementi propri. Risonanze, piccoli divisori, esponenti di Lyapunov.
    • Geometria degli spazi metrici (6 cfu)

      • Nozioni di curvatura. Quasi isometrie. Geometria a larga scala.
    • Elementi di algebra computazionale (6 cfu)

      • Rappresentazione di interi e polinomi. Algoritmi algebrici fondamentati. Sistemi di calcolo algebrico.
    • Meccanica spaziale (6 cfu)

      • Moto di satelliti artificiali e sonde spaziali, missioni spaziali interplanetarie.
    • Geometria reale A (6 cfu)

      • Geometria degli insiemi semialgebrici. Algebra reale. Strutture o-minimali.
    • Determinazione orbitale (6 cfu)

      • Problema dei minimi quadrati, simmetrie e degenerazioni. Problema dell'identificazione. Orbite preliminari. Soluzioni deboli. Incontri ravvicinati e monitoraggio degli impatti.
    • Logica matematica (6 cfu)

      • Calcolo dei predicati. Teoremi di incompletezza di Godel. Decidibilità e indecidibilità.
    • Algebra superiore B (6 cfu)

      • Algebre e loro rappresentazioni
    • Tecnologie per la didattica (6 cfu)

      • Ruolo delle tecnologie nell’apprendimento / insegnamento della matematica; uso e costruzione di strumenti didattici informatici, multimediali e telematici Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della matematica. I processi di insegnamento e apprendimento mediati dall'uso delle tecnologie nell'ambito della matematica. Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della matematica.
    • Geometria differenziale complessa (6 cfu)

      • Varietà complesse; coomologia di Dolbeault; varietà di Stein; metriche e distanze intrinseche.
    • Matematica discreta (6 cfu)

      • Calcolo combinatorio, funzioni generatrici, grafi, teoria di Ramsey.
    • Teoria degli insiemi (6 cfu)

      • Modelli della teoria degli insiemi.
    • Teoria dei nodi (6 cfu)

      • Invarianti di nodi e di link. Trecce.
    • Teoria del controllo ottimo (6 cfu)

      • Problemi di controllo di energia minima e di tempo minimo; esistenza e di sensitività delle soluzioni; principio di massimo di Pontryagin, approccio di programmazione dinamica ed equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman.
    • Geometria di contatto (6 cfu)

      • Varietà di contatto. Esempi standard. Teorema di Darboux. Nodi Legendriani e trasversi. Libri aperti e strutture di contatto.
    • Geometria e topologia differenziale (6 cfu)

      • Geometria differenziale di curve e superfici nello spazio euclideo, introduzione a varietà e mappe differenziabili in dimensione n.
    • Geometria algebrica A (6 cfu)

      • Schemi, fasci, coomologia.
    • Analisi non lineare (6 cfu)

      • Teorie e metodi sul comportamento globale di operatori non lineari, fra spazi di dimensione finita o spazi di funzioni, collegati con classici problemio equazioni non lineari.
    • Matematica e musica (6 cfu)

      • Formalizzazione algebrica delle strutture musicali.
    • Topologia differenziale (6 cfu)

      • Funzioni di Morse e decomposizioni in manici. Teorema dell'h-cobordismo.
    • Algebra computazionale A (6 cfu)

      • Aritmetica, fattorizzazione, integrazione.
    • Gruppi e rappresentazioni (6 cfu)

      • Rappresentazioni di gruppi finiti. Esempi di classi di gruppi.
    • Sistemi dinamici (6 cfu)

      • Sistemi dinamici lineari (con richiami di algebra lineare), stabilità e teoria qualitativa per sistemi dinamici non lineari, formalismo hamiltoniano e lagrangiano ad un grado di libertà, sistemi dinamici discreti, un esempio elementare di caos.
    • Laboratorio di fisica per l'insegnamento (6 cfu)

      • Sviluppare competenze nella gestione di esperienze di laboratorio, fornire basi teoriche di un approccio alla misura. Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della fisica. La progettazione e lo sviluppo delle attività di insegnamento relative alla fisica. Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della fisica
    • Analisi matematica 3 (6 cfu)

      • Spazi di Hilbert. Spazi di Lebesgue L^p. Convoluzione di funzioni. Serie di Fourier. Trasformata di Fourier. Formula dell'area e integrazione su superfici. Funzioni armoniche.
    • Dinamica del sistema Terra-Luna (6 cfu)

      • Il sistema Terra-Luna-Sole e le caratteristiche principali dell'orbita della Luna. Il tracking laser della Luna nell'era spaziale (LLR-Lunar Laser Ranging). LLR e la verifica della Relatività Generale.
    • Teoria analitica dei numeri A (6 cfu)

      • Problemi legati alla distribuzione dei primi; la Zeta di Riemann e le funzioni L di Dirichlet.
    • Introduzione alla teoria geometrica della misura (6 cfu)

      • Misure e dimensione di Hausdorff. Insiemi rettificabli. Formula dell'area e della coarea
    • Elementi di analisi complessa (6 cfu)

      • Teorema di uniformizzazione di Riemann; proprietà geometriche del gruppo delle omografie; principio di simmetria e sue applicazioni; un modello di piano iperbolico; cenni sulle funzioni di più variabili complesse.
    • Calcolo delle variazioni B (6 cfu)

      • Teoria della regolarità per minimi di funzionali integrali.
    • Algebre e gruppi di Lie (6 cfu)

      • Teoremi di struttura per le algebre di Lie di dimensione finita (incluso il caso delle algebre semisemplici complesse). Gruppi di Lie e relazione con le algebre di Lie. Introduzione alla teoria delle rappresentazioni delle algebre e gruppi di Lie.
    • Origini e sviluppo delle matematiche moderne (6 cfu)

      • Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica moderna: inquadramento generale, lettura diretta di testi, discussione della letteratura in materia.
    • Fisica II (9 cfu)

      • Elettrostatica e magnetostatica nel vuoto, correnti stazionarie, induzione, circuiti passivi lineari RLC, equazioni di Maxwell, onde elettromagnetiche, polarizzazione, irraggiamento, riflessione e rifrazione.
    • Geometria algebrica C (6 cfu)

      • Curve e superfici di Riemann.
    • Teoria e metodi dell'ottimizzazione (6 cfu)

      • Ottimizzazione non lineare: condizioni di ottimalità per problemi vincolati e non vincolati, teoria della dualità, metodi risolutivi per problemi vincolati e non vincolati, applicazioni.
    • Analisi superiore (6 cfu)

      • Spazi vettoriali topologici. misure e distribuzioni. Operatori illimitatii, aggiunto ad un operatore non limiato, teoria spettrale per operatori non limitati. Calcolo funzionale Forme quadratiche, soluzioni deboli e soluzioni forti.
    • Topologia algebrica (6 cfu)

      • Omotopia e teorie coomologiche.
    • Geometria algebrica E (6 cfu)

      • Superfici algebriche.
    • Algebra computazionale B (6 cfu)

      • Metodi effettivi per la risoluzione di sistemi di equazioni polimonmiali.
    • Algebra lineare e multilineare (6 cfu)

      • Strutture algebriche lineari.
    • Complementi di analisi funzionale (6 cfu)

      • Spazi vettoriali topologici, misure e distribuzioni. Convoluzione, trasformata di Fourier, teorema di Paley-Wiener ed applicazioni alle EDP. Teoria spettrale per operatori non limitati. Calcolo operazionale, semigruppi di operatori. Teorema di Malgrange-Ehrenpreis. Teoremi di punto fisso in dimensione infinita ed applicazioni alle EDP.
    • Topologia generale (6 cfu)

      • Spazi normali, teorema di Urysohn, compattificazioni, teorema di Baire, paracompattezza, partizioni dell’unità.
    • Analisi non standard (6 cfu)

      • Fondamenti dell'analisi non standard, scelta di applicazioni ad altre aree della matematica.
    • Elementi di topologia algebrica (6 cfu)

      • Omologia simpliciale e singolare, CW complessi, coomologia, prodotto cup, dualità di Poincaré.
    • Equazioni della fluidodinamica (6 cfu)

      • Introduzione alla teoria matematica delle equazioni alle derivate parziali della meccanica dei continui e in particolare a quelle di Eulero e Navier-Stokes per fluidi incomprimibili.
    • Topologia e geometria in bassa dimensione (6 cfu)

      • Varietà topologiche, lineari a pezzi e differenziabili di dimensione minore di 5.
    • Spazi di funzioni (6 cfu)

      • Proprietà fini delle funzioni derivabili in senso debole: funzioni di Sobolev e BV, insiemi di perimetro finito. Altri spazi di funzioni. Riarrangiamento e disuguaglianze funzionali.
    • Elementi di geometria algebrica (6 cfu)

      • Varietà affini, proiettive e quasi-proiettive. Morfismi. Applicazioni razionali. Punti lisci e dimensione.
    • Algebra 2 (6 cfu)

      • Gruppi: azioni di gruppi, costruzioni e presentazioni di gruppi. Moduli e caratterizzazione dei moduli su un PID. Anelli noetheriani. Teorema della base di Hilbert. Basi di Groebner e applicazioni.
    • Problemi e metodi della ricerca in didattica della matematica (6 cfu)

      • Il corso, rivolto agli studenti interessati alla ricerca in didattica della matematica, intende dare l’opportunità di conoscere e confrontarsi con le problematiche tipiche di tale campo di ricerca (sia quelle classiche che quelle più recenti) e con i metodi di ricerca utilizzati.
    • Teoria dei gruppi (6 cfu)

      • Serie di composizione, gruppi di permutazioni, gruppi nilpotenti, gruppi risolubili.
    • 3-varietà (6 cfu)

      • Risultati classici sulla topologia delle 3-varietà. Esempi e costruzioni di 3-varietà.
    • Fisica III (6 cfu)

      • Sistemi e trasformazioni termodinamiche, gas perfetto, prima e seconda legge, temperatura ed entropia; potenziali ritardati, relatività speciale e legami con l'elettromagnetismo, cenni su argomenti di fisica moderna (meccanica quantistica e altro).
    • Elementi di meccanica celeste (6 cfu)

      • Problema dei 2 corpi ed equazione di Keplero. Problema dei 3 corpi ristretto circolare, integrale di Jacobi, criterio di stabilità di Hill, cenni su orbite confinate ma caotiche. Maree ed evoluzione mareale nel sistema solare; la Terra come corpo esteso.
    • Equazioni ellittiche (6 cfu)

      • Teoria della regolarità. Equazioni in forma di divergenza. Equazioni non variazionali. Equazioni non lineari. Problemi al contorno. Frontiera libera. Problemi con ostacolo. Equazioni degeneri. Teoria del potenziale. Funzioni armoniche. Interpolazione. Autovalori.
    • Meccanica celeste (6 cfu)

      • Singolarità e orbite periodiche nel problema degli N corpi
    • Teoria analitica dei numeri B (6 cfu)

      • Problemi analitici di natura additiva con particolare riferimento al metodo di Hardy e Littlewood
    • Elementi di probabilità e statistica (6 cfu)

      • Probabilità su spazi numerabili: condizionamento, indipendenza, variabili aleatorie. Variabili aleatorie con densità: variabili gaussiane. Inferenza statistica: stima, test, intervalli di fiducia. Principali test statistici su modelli gaussiani.
    • Algebra omologica (6 cfu)

      • Moduli proiettivi e iniettivi. Categorie e funtori. Funtori aggiunti. Categorie di moduli. Successioni esatte, risoluzioni, funtori derivati. (Co)omologia di gruppi e algebre.
    • Algebra 1 (6 cfu)

      • Gruppi: teoremi di omomorfismo, permutazioni, gruppi abeliani finiti. Anelli e ideali, anelli speciali, anelli di polinomi. Elementi di teoria di Galois.
    • Introduzione all'analisi p-adica (6 cfu)

      • Struttura dei numeri p-adici; continuità, differenziabilità e analiticità in campo p-adico.
    • Elementi avanzati di algebra lineare numerica (6 cfu)

      • Metodi di Krylov, GMRES, BiCG, polinomi di matrici, problemi polinomiali agli autovalori, funzioni di matrici.
    • Metodi numerici per equazioni differenziali ordinarie (6 cfu)

      • Problemi ai valori iniziali e ai valori limite, metodi a un passo, metodi a più passi, metodi di shooting.
    • 2-varietà (6 cfu)

      • Varietà di dimensione due e loro automorfismi.
    • Algoritmi e strutture dei dati (6 cfu)

      • Strutture dei dati, analisi di algoritmi e complessità, progetto di algoritmi.
    • Teoria ergodica (6 cfu)

      • Teoremi di Krein-Milman e di Choquet, teoria spettrale. Esempi di base. Teoremi di Poincaré, Birkhoff, von Neumann. Decomposizione ergodica. "Mixing" e "weak mixing". Operatore di Perron- Frobenius. Decadimento delle correlazioni. Entropia. Dinamica simbolica. Catene di Markov e misura di Parry.
    • Teoria dei codici (6 cfu)

      • Trasmissione con errore, correzione d'errore. Famiglie di codici correttori. Metodi di geometria algebrica e algebra computazionale per la costruzione di codici e la decodifica.
    • Teoria dei controlli (6 cfu)

      • Teoria di controllabilità, osservabilità e stabilizzazione via feedback; modelli di controllo lineari; teoria geometrica di controllabilità per sistemi regolari; sistemi switching e sistemi ibridi.
    • Dinamica iperbolica (6 cfu)

      • Sistemi dinamici iperbolici; dinamica in dimensione bassa.
    • Analisi complessa A (6 cfu)

      • Il fascio dei germi delle funzioni analitiche; Nullstellensatz; spazi analitici; Teoremi A e B di Cartan.
    • Probabilità superiore (6 cfu)

      • Presentazione di una selezione di argomenti avanzati di probabilità quali Spazi Gaussiani, Calcolo di Malliavin, processi di Levy e Levy-stabili.
    • Equazioni alle derivate parziali 2 (6 cfu)

      • Selezione di argomenti avanzati della teoria delle equazioni alle derivate parziali.
    • Equazioni iperboliche (6 cfu)

      • Equazioni differenziali di tipo iperbolico, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
    • Modelli matematici in biomedicina e fisica matematica (6 cfu)

      • Obiettivi formativi: Equazioni differenziali ordinarie con effetti dissipativi (ritardo, memoria, etc) e stabilità, e loro applicazioni in biomedicina. Equazioni alle derivate parziali e loro applicazioni in fisica matematica.
    • Analisi geometrica (6 cfu)

      • Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi geometrica.
    • Geometria algebrica F (6 cfu)

      • Varietà toriche.
    • Teoria descrittiva della complessità (6 cfu)

      • Modelli finiti e complessità computazionale
    • Teoria dei modelli (6 cfu)

      • Modelli di teorie del primo ordine. Compattezza. Equivalenza elementare. Applicazioni all'aritmetica, ai campi, e ad altre strutture algebrico-relazionali.
    • Elementi di teoria degli insiemi (6 cfu)

      • Nozioni di logica. Teoria assiomatica degli insiemi. Cardinali. Ordinali.
    • Teoria geometrica della misura (6 cfu)

      • Nozioni di base di teoria geometrica della misura. Correnti normali ed intere. Esistenza delle soluzioni per il problema di Plateau omologico. Varifold.
    • Problem solving (6 cfu)

      • Ruolo dei problemi nell’insegnamento della matematica; euristiche; problem solving e problem posing.
    • Teoria dei giochi (6 cfu)

      • Equilibri nei modelli di giochi noncooperativi, teoria dei giochi cooperativi, giochi posizionali e giochi differenziali
    • Analisi in spazi metrici (6 cfu)

      • Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi su spazi metrici.
    • Equazioni differenziali stocastiche e applicazioni (6 cfu)

      • Introduzione ai teoremi di esistenza ed unicità (debole o forte) per equazioni differenziali stocastiche ordinarie, legami con le equazioni alle derivate parziali, applicazioni in ambito fisico o biologico.
    • Matematica e società (6 cfu)

      • Matematica, società e curricula; il contesto culturale nell'insegnamento ed apprendimento della matematica; il ruolo delle conoscenze matematiche non-scolastiche.
    • Matematiche elementari da un punto di vista superiore: aritmetica (6 cfu)

      • Gli insiemi numerici: possibili introduzioni, proprietà
    • Fondamenti della matematica (6 cfu)

      • Sistemi formali e teorie fondazionali.
    • Geometria algebrica B (6 cfu)

      • Varietà complesse, metodi trascendenti
    • Equazioni paraboliche (6 cfu)

      • Equazioni differenziali di tipo parabolico, lineari e non lineari, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
    • Meccanica superiore (6 cfu)

      • Obiettivi formativi: Indicatori di comportamento caotico e metodi ergodici per sistemi meccanici
    • Teoria della misura (6 cfu)

      • Misure astratte, misure su uno spazio topologico, integrale di Daniell, convergenze di misure.
    • 4-varietà (6 cfu)

      • Risultati classici sulla topologia delle 4-varietà. Esempi e costruzioni di 4-varietà.
    • Complementi di fisica (6 cfu)

      • Onde. Elementi di relatività ristretta. Equazioni d'onda relativistiche. Complementi di termodinamica e statistica.
    • Statistica matematica (6 cfu)

      • Modelli statistici: modelli dominati. Stime: stime consistenti e di Massima verosimiglianza. Intervalli di fiducia e test. I principali test sui modelli gaussiani (di Student, di Fisher Snedecor). Modelli statistici non parametrici: teorema di Glivenko-Cantelli e e test del chi-quadro.
    • Analisi reale (6 cfu)

      • Fondamenti dell'analisi reale (teoria della misura, spazi di funzioni).
    • Capacità non lineare, disequazioni variazionali e applicazioni (6 cfu)

      • Il percorso scelto ci permetterà di illustrare alcune tecniche e argomenti classici per trovare condizioni necessarie e sufficienti affinché un punto di frontiera sia regolare relativamente al problema di Dirichlet non omogeneo per l'operatore di Laplace non-lineare (il cosiddetto p-laplaciano).
    • Complementi di didattica della matematica (6 cfu)

      • Processi di apprendimento della matematica; contesti e tipi di razionalità; ostacoli epistemologici e didattici nell’insegnamento della matematica
    • Teoria della dimostrazione (6 cfu)

      • Il concetto formale di dimostrazione. Sistemi dimostrativi. Logiche non classiche. Analisi ordinale
    • Geometria iperbolica (6 cfu)

      • Lo spazio iperbolico. Esempi e costruzioni di varietà iperboliche. Proprietà topologiche e geometriche di varietà iperboliche.
  • 6 cfu a scelta nel gruppo ModAffInt

    • Moduli affini e integrativi
    • Meccanica dei continui (6 cfu)

      • Richiami di calcolo tensoriale, meccanica dei continui tridimensionali e dei continui unidimensionali (anche con struttura).
    • Storia della matematica antica e della sua tradizione (6 cfu)

      • Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica antica: inquadramento generale (caratteristiche della matematica greca, concetto di tradizione testuale, edizioni di riferimento), lettura diretta di testi legati a un autore classico o a una problematica, e studio della tradizione rinascimentale e dell'impatto sulla nascita della matematica moderna.
    • Meccanica relativistica (6 cfu)

      • Relatività speciale e principio di equivalenza di Einstein. Spazio-tempo come varietà. Moto lungo una geodetica. Equazioni di Einstein per la curvatura dello spazio-tempo. Metrica di Schwarzschild e di Kerr. Esempi di osservabili relativistiche
    • Dinamica olomorfa (6 cfu)

      • Insiemi di Julia e di Fatou; dinamica di funzioni olomorfe di una variabile.
    • Spazi simmetrici (6 cfu)

      • Gruppi di Lie. Algebre di Lie. Spazi localmente simmetrici e spazi simmetrici.
    • Analisi microlocale (6 cfu)

      • Operatori pseudodifferenziali. Integrali oscillanti. Fronte d'onda e propagazione delle singolarità. Teorema di Hörmander. Ottica geometrica e operatori integrali di Fourier. Disuguaglianza di Fefferman- Phong. Calcolo paradifferenziale. Teoria di Littlewood- Paley. Localizzazione in spazi di frequenza. Spazi di Besov.
    • Teoria dei semigruppi (6 cfu)

      • Semigruppi di operatori, applicazioni alle equazioni di evoluzione
    • Ricerca operativa (6 cfu)

      • Grafi, programmazione lineare, programmazione intera, elementi di teoria dell'ottimizzazione.
    • Teoria dei numeri elementare (6 cfu)

      • Congruenze di grado superiore al primo e struttura moltiplicativa delle classi di resto. Proprietà algebriche e asintotiche delle funzioni aritmetiche. Problemi additivi e moltiplicativi legati alla distribuzione dei numeri primi. Approssimazioni razionali di numeri algebrici e trascendenti
    • Problemi di evoluzione (6 cfu)

      • Equazioni astratte, scale di Banach. Teorema di Cauchy-Kovalewski. Caratteristiche. Equazione delle onde. Sistemi iperbolici a coefficienti costanti. Condizioni  di Hadamard-Garding. Sistemi simmetrici, metodo dell'energia. Sistemi strettamente iperbolici. Simmetrizzatore micro-locale.
    • Calcolo scientifico (6 cfu)

      • Problemi di minimi quadrati, metodi del gradiente, decomposizione a valori singolari, calcolo di autovalori.
    • Elementi di calcolo in gruppi omogenei (6 cfu)

      • Gruppi di Lie nilpotenti semplicemente connessi: dilatazioni intrinseche, distanze invarianti, misura di Haar. Differenziabilità rispetto l'operazione di gruppo e le dilatazioni.
    • Campi ciclotomici (6 cfu)

      • Caratteri di Dirichlet, serie L di Dirichlet, numeri di Bernoulli, fomrula del numero di classi, teorema di Stickelberger.
    • Matematiche elementari da un punto di vista superiore: geometria (6 cfu)

      • Assiomatiche per la geometria euclidea; geometrie non euclidee; trasformazioni geometriche
    • Metodi matematici della crittografia (6 cfu)

      • Metodi ed algoritmi matematici applicati alla crittografia ed alla crittanalisi: fattorizzazione, logaritmo discreto. Curve ellittiche, fattorizzazione e crittografia ellittica ed iperellittica. Reticoli.
    • Metodi numerici per catene di Markov (6 cfu)

      • Matrici nonnegative e teorema di Perron-Frobenius. Metodi per catene di Markov finite e infinite. Modelli di code e loro matrici di transizione.
    • Metodi di ottimizzazione delle reti (6 cfu)

      • Algoritmi ad hoc per problemi di flusso su rete, routing in reti di comunicazione, progetto di reti di comunicazione, reti di trasporto.
    • Elementi di calcolo delle variazioni (6 cfu)

      • Principi variazionali in una e più variabili. Equazione di Eulero-Lagrange. Condizioni sufficienti di minimalità. Esempi classici di problemi variazionali. Funzioni assolutamente continue e metodo diretto. Geodetiche. Teorema del passo montano e principi di minimax.
    • Teoria algebrica dei numeri 1 (6 cfu)

      • Campi di numeri, interi dei campi di numeri; fattorizzazione unica degli ideali, ramificazione, gruppo delle classi di ideali, teorema delle unità di Dirichlet.
    • Probabilità (6 cfu)

      • Complementi di misura e integrazione: integrazione delle variabili aleatorie. Indipendenza di variabili aleatorie: leggi 0-1. Le funzioni caratteristiche. Convergenza di variabili aleatorie. Teoremi limite (leggi dei Grandi Numeri e teorema del Limite Centrale). Due esempi di processi stocastici: il processo di Wiener e il processo di Poisson.
    • Introduzione alla meccanica quantistica (6 cfu)

      • Meccanica quantistica delle particelle: dualità onda/particella, principio di sovrapposizione, principio di indeterminazione, equazione di Schroedinger.
    • Teoria dei codici e crittografia (6 cfu)

      • Trasmissione dei dati, stutture matematiche per la correzione efficiente degli errori di trasmissione. Principali codici correttori, loro proprietà e decodifica. Principali problemi crittografici: cifratura, firma, identificazione, integrità dei dati. Principali protocolli crittografici e problemi matematici soggiacenti.
    • Teoria delle categorie (6 cfu)

      • Categorie, funtori; aggiunti; limiti, colimiti; fasci, topoi.
    • Teoria dei campi e teoria di Galois (6 cfu)

      • Estensioni algebriche ed estensioni trascendenti, chiusura algebrica, separabilità, teoria di Galois, risolubilità, estensioni abeliane, teoria di Kummer.
    • Processi stocastici (6 cfu)

      • Processi di Markov, forme di Dirichlet, processi gaussiani.
    • Metodi topologici per le equazioni differenziali (6 cfu)

      • Teorie topologiche variazionali o non variazionali per alcune classi di equazioni non lineari di tipo differenziale o integrale.
    • Geometria simplettica (6 cfu)

      • Varietà simplettiche. Esempi standard. Teorema di Darboux. Strutture quasi-complesse compatibili.
    • Onde lineari e non lineari (6 cfu)

      • Principali proprietà delle soluzioni delle equazioni delle onde lineari e non lineari; proprietà dispersive delle soluzioni e decadimento dell'energia locale.
    • Superfici minime (6 cfu)

      • Risultati di esistenza per superfici minime: approccio classico, insiemi di perimetro finito, correnti. Alcuni risultati di regolarità per le ipersuperfici minime.
    • Analisi complessa B (6 cfu)

      • Funzioni plurisubarmoniche; domini pseudoconvessi; equazione del de-bar.
    • Metodi topologici in analisi globale (6 cfu)

      • Elementi di analisi non lineare per alcuni problemi di tipo “globale”, quali: il problema della sella, il punto fisso di Brouwer, le dimensioni e l’invarianza del dominio, la pettinabilità della sfera, il problema di Jordan. Applicazioni alle equazioni differenziali.
    • Finanza matematica (6 cfu)

      • Orbite periodiche e teorema di Poincaré-Birkhoff, teoria delle perturbazioni.
    • Gruppi di Coxeter (6 cfu)

      • Sistemi di radici e gruppi generati da riflessioni.
    • Geometria reale B (6 cfu)

      • Geometria degli insiemi semianalitici e subanalitici.
    • Metodi numerici per la grafica (6 cfu)

      • Parametrizzazione interpolazione e approssimazione di curve e superfici. Curve e superfici di Bezier, B-spline.
    • Teoria della calcolabilità (6 cfu)

      • Modelli di calcolo e funzioni calcolabili.
    • Operatori differenziali e teoremi dell’indice (6 cfu)

      • Algebre di Clifford. Operatori di Dirac. Teoremi dell'indice.
    • Metodi decisionali guidati dai modelli (6 cfu)

      • Ottimalità e algoritmi, algoritmi euristici, tecniche di rilassamento, algoritmi enumerativi. Software di ottimizzazione.
    • Geometria e topologia delle superfici (6 cfu)

      • Spazio di Teichmüller; laminazioni geodetiche; complessi di curve.
    • Calcolo delle variazioni A (6 cfu)

      • Il metodo diretto nel calcolo delle variazioni. Condizioni necessarie e sufficienti di semicontinuità inferiore per funzionali integrali su spazi di Sobolev di funzioni scalari. Il caso vettoriale. Integrali invarianti. Misure di Young e misure di Young gradienti. Convessità, convessità di rango-uno, quasiconessità, policonvessità. Rilassamento.
    • Algebra superiore A (6 cfu)

      • Algebra commutativa.
    • Sistemi dinamici discreti (6 cfu)

      • Dinamica topologica; insiemi iperbolici; teoria ergodica.
    • Fisica matematica (6 cfu)

      • Richiami di meccanica hamiltoniana, sistemi completamente integrabili e variabili azione angolo. Metodi perturbativi: teorema della media. Soluzioni periodiche del problema degli N-corpi, teorema geometrico di Poincaré-Birkhoff. Orbite periodiche con metodi variazionali.
    • Analisi armonica (6 cfu)

      • Fondamenti dell'Analisi armonica, interpolazione reale e comlessa, spazi di Lorentz, funzioni massimali, teoria di Calderon-Zygmund, spazi BMO, moltiplicatori di Fourier, integrali oscillanti e teoremi di restizione.
    • Teoria delle funzioni (6 cfu)

      • Elementi della teoria delle funzioni analitiche di una variabile complessa: serie di Mittag-Leffler,fattorizzazione di Weierstrass, fattorizzazione delle funzioni intere di ordine finito, sviluppi asintotici, teorema di Picard.
    • Elementi di logica matematica (6 cfu)

      • Calcolo dei predicati. Sistemi formali. Teorema di completezza.
    • Geometria reale computazionale (6 cfu)

      • Campi formalmente reali. Numeri algebrici reali, varietà algebriche reali. Algoritmi e applicazioni.
    • Metodi numerici per l’analisi di Fourier (6 cfu)

      • Serie di Fourier e trasformata di Fourier. Trasformata discreta di Fourier, trasformate trigonometriche. Algoritmi veloci per il calcolo delle trasformate discrete.
    • Ultrafiltri e metodi nonstandard (6 cfu)

      • Ultrafiltri e ultrapotenze. Fondamenti dell'analisi non-standard. Applicazioni alla teoria di Ramsey e alla teoria combinatoria dei numeri.
    • Equazioni alle derivate parziali (6 cfu)

      • Equazioni e sistemi del primo ordine. Rappresentazione esplicita delle soluzioni delle equazioni di Laplace, del calore, e delle onde. Proprietà qualitative delle soluzioni: principio del massimo, unicità, regolarità e dispersione.
    • Geometria reale C (6 cfu)

      • Topologia delle curve e superfici reali.
    • Analisi convessa (6 cfu)

      • Topologie deboli su spazi di Banach, funzioni convesse, calcolo in spazi di Banach, sottodifferenziale, disequazioni variazionali, multifunzioni.
    • Didattica della matematica e nuove tecnologie (6 cfu)

      • Metodologie, modelli e materiali didattici in contesti di aula multimediale; ruolo delle tecnologie nell'insegnamento / apprendimento della matematica: software didattici e lavagne interattive multimediali.
    • Equazioni differenziali ordinarie (6 cfu)

      • Problema di Cauchy. Equazioni di Bernoulli, D'Alembert, Clairaut, Eulero, Riccati. Metodo di Peano. Equazioni lineari. Dipendenza regolare dai dati. Soluzioni massimali.  Equilibri. Problemi di Sturm- Liouville.
    • Curve algebriche (6 cfu)

      • Curve algebriche, divisori. Curve ellittiche, iperellittiche, jacobiane. Applicazioni.
    • Geometria algebrica D (6 cfu)

      • Tori complessi e varietà abeliane.
    • Storia della matematica (6 cfu)

      • Il corso è di tipo istituzionale e intende offrire una panoramica delle grandi linee di sviluppo della matematica occidentale fino alla fine del XIX secolo. A questo aspetto verrà, di anno in anno, accoppiato un approfondimento di uno o più temi particolarmente rilevanti, quali la geometria cartesiana, l'invenzione del calcolo infinitesimale, le origini della teoria di Galois, la "nuova'' analisi di Cauchy.
    • Teoria algebrica dei numeri 2 (6 cfu)

      • Valori assoluti, campi locali, differente, discriminante, ramificazione, gruppi di ramificazione.
    • Metodi di approssimazione (6 cfu)

      • Risoluzione numerica di equazioni matriciali. Algoritmi numerici per matrici con struttura.
    • Forme modulari (6 cfu)

      • L-serie, equazioni funzionali e operatori di Heck
    • Geometria riemanniana (6 cfu)

      • Relazioni fra curvatura e topologia; teoremi di confronto e di pinching.
    • Algebra commutativa e geometria algebrica computazionale (6 cfu)

      • Costruzioni e algoritmi per l'algebra commutativa e la geometria algebrica, applicazioni.
    • Funzioni speciali (6 cfu)

      • Funzione gamma di Eulero: equazioni funzionali, formula di Stirling. Funzioni ellittiche: funzione P di Weierstrass. Elementi della teoria della funzione zeta di Riemann. Soluzioni di equazioni differenziali lineari a coefficienti analitici: funzione ipergeometrica, funzioni di Bessel.
    • Geodesia via satellite (6 cfu)

      • Problema dei minimi quadrati, simmetrie e degenerazioni. Campo gravitazionale di un corpo esteso, problema del satellite. Perturbazioni non-gravitazionali, geodesia e gravimetria spaziale, terrestre e interplanetaria.
    • Dinamica del sistema solare (6 cfu)

      • Equazioni del moto dei pianeti. Teorie perturbative, elementi propri. Risonanze, piccoli divisori, esponenti di Lyapunov.
    • Geometria degli spazi metrici (6 cfu)

      • Nozioni di curvatura. Quasi isometrie. Geometria a larga scala.
    • Elementi di algebra computazionale (6 cfu)

      • Rappresentazione di interi e polinomi. Algoritmi algebrici fondamentati. Sistemi di calcolo algebrico.
    • Meccanica spaziale (6 cfu)

      • Moto di satelliti artificiali e sonde spaziali, missioni spaziali interplanetarie.
    • Geometria reale A (6 cfu)

      • Geometria degli insiemi semialgebrici. Algebra reale. Strutture o-minimali.
    • Determinazione orbitale (6 cfu)

      • Problema dei minimi quadrati, simmetrie e degenerazioni. Problema dell'identificazione. Orbite preliminari. Soluzioni deboli. Incontri ravvicinati e monitoraggio degli impatti.
    • Logica matematica (6 cfu)

      • Calcolo dei predicati. Teoremi di incompletezza di Godel. Decidibilità e indecidibilità.
    • Algebra superiore B (6 cfu)

      • Algebre e loro rappresentazioni
    • Tecnologie per la didattica (6 cfu)

      • Ruolo delle tecnologie nell’apprendimento / insegnamento della matematica; uso e costruzione di strumenti didattici informatici, multimediali e telematici Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della matematica. I processi di insegnamento e apprendimento mediati dall'uso delle tecnologie nell'ambito della matematica. Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della matematica.
    • Geometria differenziale complessa (6 cfu)

      • Varietà complesse; coomologia di Dolbeault; varietà di Stein; metriche e distanze intrinseche.
    • Matematica discreta (6 cfu)

      • Calcolo combinatorio, funzioni generatrici, grafi, teoria di Ramsey.
    • Teoria degli insiemi (6 cfu)

      • Modelli della teoria degli insiemi.
    • Teoria dei nodi (6 cfu)

      • Invarianti di nodi e di link. Trecce.
    • Teoria del controllo ottimo (6 cfu)

      • Problemi di controllo di energia minima e di tempo minimo; esistenza e di sensitività delle soluzioni; principio di massimo di Pontryagin, approccio di programmazione dinamica ed equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman.
    • Geometria di contatto (6 cfu)

      • Varietà di contatto. Esempi standard. Teorema di Darboux. Nodi Legendriani e trasversi. Libri aperti e strutture di contatto.
    • Geometria e topologia differenziale (6 cfu)

      • Geometria differenziale di curve e superfici nello spazio euclideo, introduzione a varietà e mappe differenziabili in dimensione n.
    • Geometria algebrica A (6 cfu)

      • Schemi, fasci, coomologia.
    • Analisi non lineare (6 cfu)

      • Teorie e metodi sul comportamento globale di operatori non lineari, fra spazi di dimensione finita o spazi di funzioni, collegati con classici problemio equazioni non lineari.
    • Matematica e musica (6 cfu)

      • Formalizzazione algebrica delle strutture musicali.
    • Topologia differenziale (6 cfu)

      • Funzioni di Morse e decomposizioni in manici. Teorema dell'h-cobordismo.
    • Algebra computazionale A (6 cfu)

      • Aritmetica, fattorizzazione, integrazione.
    • Gruppi e rappresentazioni (6 cfu)

      • Rappresentazioni di gruppi finiti. Esempi di classi di gruppi.
    • Sistemi dinamici (6 cfu)

      • Sistemi dinamici lineari (con richiami di algebra lineare), stabilità e teoria qualitativa per sistemi dinamici non lineari, formalismo hamiltoniano e lagrangiano ad un grado di libertà, sistemi dinamici discreti, un esempio elementare di caos.
    • Laboratorio di fisica per l'insegnamento (6 cfu)

      • Sviluppare competenze nella gestione di esperienze di laboratorio, fornire basi teoriche di un approccio alla misura. Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della fisica. La progettazione e lo sviluppo delle attività di insegnamento relative alla fisica. Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della fisica
    • Analisi matematica 3 (6 cfu)

      • Spazi di Hilbert. Spazi di Lebesgue L^p. Convoluzione di funzioni. Serie di Fourier. Trasformata di Fourier. Formula dell'area e integrazione su superfici. Funzioni armoniche.
    • Dinamica del sistema Terra-Luna (6 cfu)

      • Il sistema Terra-Luna-Sole e le caratteristiche principali dell'orbita della Luna. Il tracking laser della Luna nell'era spaziale (LLR-Lunar Laser Ranging). LLR e la verifica della Relatività Generale.
    • Teoria analitica dei numeri A (6 cfu)

      • Problemi legati alla distribuzione dei primi; la Zeta di Riemann e le funzioni L di Dirichlet.
    • Introduzione alla teoria geometrica della misura (6 cfu)

      • Misure e dimensione di Hausdorff. Insiemi rettificabli. Formula dell'area e della coarea
    • Elementi di analisi complessa (6 cfu)

      • Teorema di uniformizzazione di Riemann; proprietà geometriche del gruppo delle omografie; principio di simmetria e sue applicazioni; un modello di piano iperbolico; cenni sulle funzioni di più variabili complesse.
    • Calcolo delle variazioni B (6 cfu)

      • Teoria della regolarità per minimi di funzionali integrali.
    • Algebre e gruppi di Lie (6 cfu)

      • Teoremi di struttura per le algebre di Lie di dimensione finita (incluso il caso delle algebre semisemplici complesse). Gruppi di Lie e relazione con le algebre di Lie. Introduzione alla teoria delle rappresentazioni delle algebre e gruppi di Lie.
    • Origini e sviluppo delle matematiche moderne (6 cfu)

      • Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica moderna: inquadramento generale, lettura diretta di testi, discussione della letteratura in materia.
    • Fisica II (9 cfu)

      • Elettrostatica e magnetostatica nel vuoto, correnti stazionarie, induzione, circuiti passivi lineari RLC, equazioni di Maxwell, onde elettromagnetiche, polarizzazione, irraggiamento, riflessione e rifrazione.
    • Geometria algebrica C (6 cfu)

      • Curve e superfici di Riemann.
    • Teoria e metodi dell'ottimizzazione (6 cfu)

      • Ottimizzazione non lineare: condizioni di ottimalità per problemi vincolati e non vincolati, teoria della dualità, metodi risolutivi per problemi vincolati e non vincolati, applicazioni.
    • Analisi superiore (6 cfu)

      • Spazi vettoriali topologici. misure e distribuzioni. Operatori illimitatii, aggiunto ad un operatore non limiato, teoria spettrale per operatori non limitati. Calcolo funzionale Forme quadratiche, soluzioni deboli e soluzioni forti.
    • Topologia algebrica (6 cfu)

      • Omotopia e teorie coomologiche.
    • Geometria algebrica E (6 cfu)

      • Superfici algebriche.
    • Algebra computazionale B (6 cfu)

      • Metodi effettivi per la risoluzione di sistemi di equazioni polimonmiali.
    • Algebra lineare e multilineare (6 cfu)

      • Strutture algebriche lineari.
    • Complementi di analisi funzionale (6 cfu)

      • Spazi vettoriali topologici, misure e distribuzioni. Convoluzione, trasformata di Fourier, teorema di Paley-Wiener ed applicazioni alle EDP. Teoria spettrale per operatori non limitati. Calcolo operazionale, semigruppi di operatori. Teorema di Malgrange-Ehrenpreis. Teoremi di punto fisso in dimensione infinita ed applicazioni alle EDP.
    • Topologia generale (6 cfu)

      • Spazi normali, teorema di Urysohn, compattificazioni, teorema di Baire, paracompattezza, partizioni dell’unità.
    • Analisi non standard (6 cfu)

      • Fondamenti dell'analisi non standard, scelta di applicazioni ad altre aree della matematica.
    • Elementi di topologia algebrica (6 cfu)

      • Omologia simpliciale e singolare, CW complessi, coomologia, prodotto cup, dualità di Poincaré.
    • Equazioni della fluidodinamica (6 cfu)

      • Introduzione alla teoria matematica delle equazioni alle derivate parziali della meccanica dei continui e in particolare a quelle di Eulero e Navier-Stokes per fluidi incomprimibili.
    • Topologia e geometria in bassa dimensione (6 cfu)

      • Varietà topologiche, lineari a pezzi e differenziabili di dimensione minore di 5.
    • Spazi di funzioni (6 cfu)

      • Proprietà fini delle funzioni derivabili in senso debole: funzioni di Sobolev e BV, insiemi di perimetro finito. Altri spazi di funzioni. Riarrangiamento e disuguaglianze funzionali.
    • Elementi di geometria algebrica (6 cfu)

      • Varietà affini, proiettive e quasi-proiettive. Morfismi. Applicazioni razionali. Punti lisci e dimensione.
    • Algebra 2 (6 cfu)

      • Gruppi: azioni di gruppi, costruzioni e presentazioni di gruppi. Moduli e caratterizzazione dei moduli su un PID. Anelli noetheriani. Teorema della base di Hilbert. Basi di Groebner e applicazioni.
    • Problemi e metodi della ricerca in didattica della matematica (6 cfu)

      • Il corso, rivolto agli studenti interessati alla ricerca in didattica della matematica, intende dare l’opportunità di conoscere e confrontarsi con le problematiche tipiche di tale campo di ricerca (sia quelle classiche che quelle più recenti) e con i metodi di ricerca utilizzati.
    • Teoria dei gruppi (6 cfu)

      • Serie di composizione, gruppi di permutazioni, gruppi nilpotenti, gruppi risolubili.
    • 3-varietà (6 cfu)

      • Risultati classici sulla topologia delle 3-varietà. Esempi e costruzioni di 3-varietà.
    • Fisica III (6 cfu)

      • Sistemi e trasformazioni termodinamiche, gas perfetto, prima e seconda legge, temperatura ed entropia; potenziali ritardati, relatività speciale e legami con l'elettromagnetismo, cenni su argomenti di fisica moderna (meccanica quantistica e altro).
    • Elementi di meccanica celeste (6 cfu)

      • Problema dei 2 corpi ed equazione di Keplero. Problema dei 3 corpi ristretto circolare, integrale di Jacobi, criterio di stabilità di Hill, cenni su orbite confinate ma caotiche. Maree ed evoluzione mareale nel sistema solare; la Terra come corpo esteso.
    • Equazioni ellittiche (6 cfu)

      • Teoria della regolarità. Equazioni in forma di divergenza. Equazioni non variazionali. Equazioni non lineari. Problemi al contorno. Frontiera libera. Problemi con ostacolo. Equazioni degeneri. Teoria del potenziale. Funzioni armoniche. Interpolazione. Autovalori.
    • Meccanica celeste (6 cfu)

      • Singolarità e orbite periodiche nel problema degli N corpi
    • Teoria analitica dei numeri B (6 cfu)

      • Problemi analitici di natura additiva con particolare riferimento al metodo di Hardy e Littlewood
    • Elementi di probabilità e statistica (6 cfu)

      • Probabilità su spazi numerabili: condizionamento, indipendenza, variabili aleatorie. Variabili aleatorie con densità: variabili gaussiane. Inferenza statistica: stima, test, intervalli di fiducia. Principali test statistici su modelli gaussiani.
    • Algebra omologica (6 cfu)

      • Moduli proiettivi e iniettivi. Categorie e funtori. Funtori aggiunti. Categorie di moduli. Successioni esatte, risoluzioni, funtori derivati. (Co)omologia di gruppi e algebre.
    • Algebra 1 (6 cfu)

      • Gruppi: teoremi di omomorfismo, permutazioni, gruppi abeliani finiti. Anelli e ideali, anelli speciali, anelli di polinomi. Elementi di teoria di Galois.
    • Introduzione all'analisi p-adica (6 cfu)

      • Struttura dei numeri p-adici; continuità, differenziabilità e analiticità in campo p-adico.
    • Elementi avanzati di algebra lineare numerica (6 cfu)

      • Metodi di Krylov, GMRES, BiCG, polinomi di matrici, problemi polinomiali agli autovalori, funzioni di matrici.
    • Metodi numerici per equazioni differenziali ordinarie (6 cfu)

      • Problemi ai valori iniziali e ai valori limite, metodi a un passo, metodi a più passi, metodi di shooting.
    • 2-varietà (6 cfu)

      • Varietà di dimensione due e loro automorfismi.
    • Algoritmi e strutture dei dati (6 cfu)

      • Strutture dei dati, analisi di algoritmi e complessità, progetto di algoritmi.
    • Teoria ergodica (6 cfu)

      • Teoremi di Krein-Milman e di Choquet, teoria spettrale. Esempi di base. Teoremi di Poincaré, Birkhoff, von Neumann. Decomposizione ergodica. "Mixing" e "weak mixing". Operatore di Perron- Frobenius. Decadimento delle correlazioni. Entropia. Dinamica simbolica. Catene di Markov e misura di Parry.
    • Teoria dei codici (6 cfu)

      • Trasmissione con errore, correzione d'errore. Famiglie di codici correttori. Metodi di geometria algebrica e algebra computazionale per la costruzione di codici e la decodifica.
    • Teoria dei controlli (6 cfu)

      • Teoria di controllabilità, osservabilità e stabilizzazione via feedback; modelli di controllo lineari; teoria geometrica di controllabilità per sistemi regolari; sistemi switching e sistemi ibridi.
    • Dinamica iperbolica (6 cfu)

      • Sistemi dinamici iperbolici; dinamica in dimensione bassa.
    • Analisi complessa A (6 cfu)

      • Il fascio dei germi delle funzioni analitiche; Nullstellensatz; spazi analitici; Teoremi A e B di Cartan.
    • Probabilità superiore (6 cfu)

      • Presentazione di una selezione di argomenti avanzati di probabilità quali Spazi Gaussiani, Calcolo di Malliavin, processi di Levy e Levy-stabili.
    • Equazioni alle derivate parziali 2 (6 cfu)

      • Selezione di argomenti avanzati della teoria delle equazioni alle derivate parziali.
    • Equazioni iperboliche (6 cfu)

      • Equazioni differenziali di tipo iperbolico, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
    • Modelli matematici in biomedicina e fisica matematica (6 cfu)

      • Obiettivi formativi: Equazioni differenziali ordinarie con effetti dissipativi (ritardo, memoria, etc) e stabilità, e loro applicazioni in biomedicina. Equazioni alle derivate parziali e loro applicazioni in fisica matematica.
    • Analisi geometrica (6 cfu)

      • Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi geometrica.
    • Geometria algebrica F (6 cfu)

      • Varietà toriche.
    • Teoria descrittiva della complessità (6 cfu)

      • Modelli finiti e complessità computazionale
    • Teoria dei modelli (6 cfu)

      • Modelli di teorie del primo ordine. Compattezza. Equivalenza elementare. Applicazioni all'aritmetica, ai campi, e ad altre strutture algebrico-relazionali.
    • Elementi di teoria degli insiemi (6 cfu)

      • Nozioni di logica. Teoria assiomatica degli insiemi. Cardinali. Ordinali.
    • Teoria geometrica della misura (6 cfu)

      • Nozioni di base di teoria geometrica della misura. Correnti normali ed intere. Esistenza delle soluzioni per il problema di Plateau omologico. Varifold.
    • Problem solving (6 cfu)

      • Ruolo dei problemi nell’insegnamento della matematica; euristiche; problem solving e problem posing.
    • Teoria dei giochi (6 cfu)

      • Equilibri nei modelli di giochi noncooperativi, teoria dei giochi cooperativi, giochi posizionali e giochi differenziali
    • Analisi in spazi metrici (6 cfu)

      • Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi su spazi metrici.
    • Equazioni differenziali stocastiche e applicazioni (6 cfu)

      • Introduzione ai teoremi di esistenza ed unicità (debole o forte) per equazioni differenziali stocastiche ordinarie, legami con le equazioni alle derivate parziali, applicazioni in ambito fisico o biologico.
    • Matematica e società (6 cfu)

      • Matematica, società e curricula; il contesto culturale nell'insegnamento ed apprendimento della matematica; il ruolo delle conoscenze matematiche non-scolastiche.
    • Matematiche elementari da un punto di vista superiore: aritmetica (6 cfu)

      • Gli insiemi numerici: possibili introduzioni, proprietà
    • Fondamenti della matematica (6 cfu)

      • Sistemi formali e teorie fondazionali.
    • Geometria algebrica B (6 cfu)

      • Varietà complesse, metodi trascendenti
    • Equazioni paraboliche (6 cfu)

      • Equazioni differenziali di tipo parabolico, lineari e non lineari, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
    • Meccanica superiore (6 cfu)

      • Obiettivi formativi: Indicatori di comportamento caotico e metodi ergodici per sistemi meccanici
    • Teoria della misura (6 cfu)

      • Misure astratte, misure su uno spazio topologico, integrale di Daniell, convergenze di misure.
    • 4-varietà (6 cfu)

      • Risultati classici sulla topologia delle 4-varietà. Esempi e costruzioni di 4-varietà.
    • Complementi di fisica (6 cfu)

      • Onde. Elementi di relatività ristretta. Equazioni d'onda relativistiche. Complementi di termodinamica e statistica.
    • Statistica matematica (6 cfu)

      • Modelli statistici: modelli dominati. Stime: stime consistenti e di Massima verosimiglianza. Intervalli di fiducia e test. I principali test sui modelli gaussiani (di Student, di Fisher Snedecor). Modelli statistici non parametrici: teorema di Glivenko-Cantelli e e test del chi-quadro.
    • Analisi reale (6 cfu)

      • Fondamenti dell'analisi reale (teoria della misura, spazi di funzioni).
    • Capacità non lineare, disequazioni variazionali e applicazioni (6 cfu)

      • Il percorso scelto ci permetterà di illustrare alcune tecniche e argomenti classici per trovare condizioni necessarie e sufficienti affinché un punto di frontiera sia regolare relativamente al problema di Dirichlet non omogeneo per l'operatore di Laplace non-lineare (il cosiddetto p-laplaciano).
    • Complementi di didattica della matematica (6 cfu)

      • Processi di apprendimento della matematica; contesti e tipi di razionalità; ostacoli epistemologici e didattici nell’insegnamento della matematica
    • Teoria della dimostrazione (6 cfu)

      • Il concetto formale di dimostrazione. Sistemi dimostrativi. Logiche non classiche. Analisi ordinale
    • Geometria iperbolica (6 cfu)

      • Lo spazio iperbolico. Esempi e costruzioni di varietà iperboliche. Proprietà topologiche e geometriche di varietà iperboliche.

  • Generale

    Primo anno

  • A scelta dello studente (6 cfu)

    • Qualsiasi insegnamento attivato nell'Ateneo, purché coerente con il progetto formativo. La coerenza delle attività scelte dallo studente con il progetto formativo deve essere approvata dal Consiglio di Corso di Studio, anche tenendo conto degli specifici interessi culturali e di sviluppo di carriera dello studente.
  • 9 cfu a scelta nel gruppo IstTeor

    • Istituzioni teoriche
    • Istituzioni di algebra (9 cfu)

      • Localizzazione di anelli e moduli, anelli e moduli noetheriani ed artiniani, decomposizione primaria, estensioni intere, domini di Dedekind, valutazioni ed anelli di valutazione, completamenti, dimensione e polinomio di Hilbert.
    • Istituzioni di geometria (9 cfu)

      • Calcolo differenziale globale; coomologia di de Rham; connessioni e curvature; rudimenti di gruppi di Lie.
    • Istituzioni di analisi matematica (9 cfu)

      • Spazi di Banach e Hilbert. Operatori lineari, completezza, convessità, dualità, teoria spettrale per operatori compatti su spazi di Hilbert ed applicazioni al problema di Sturm. Spazi di distribuzioni. Trasformata di Fourier di distribuzioni. Spazi di Sobolev, immersioni di Sobolev, compattezza e teorema di traccia.
  • 6 cfu a scelta nel gruppo ModAffInt

    • Moduli affini e integrativi
    • Meccanica dei continui (6 cfu)

      • Richiami di calcolo tensoriale, meccanica dei continui tridimensionali e dei continui unidimensionali (anche con struttura).
    • Storia della matematica antica e della sua tradizione (6 cfu)

      • Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica antica: inquadramento generale (caratteristiche della matematica greca, concetto di tradizione testuale, edizioni di riferimento), lettura diretta di testi legati a un autore classico o a una problematica, e studio della tradizione rinascimentale e dell'impatto sulla nascita della matematica moderna.
    • Meccanica relativistica (6 cfu)

      • Relatività speciale e principio di equivalenza di Einstein. Spazio-tempo come varietà. Moto lungo una geodetica. Equazioni di Einstein per la curvatura dello spazio-tempo. Metrica di Schwarzschild e di Kerr. Esempi di osservabili relativistiche
    • Dinamica olomorfa (6 cfu)

      • Insiemi di Julia e di Fatou; dinamica di funzioni olomorfe di una variabile.
    • Spazi simmetrici (6 cfu)

      • Gruppi di Lie. Algebre di Lie. Spazi localmente simmetrici e spazi simmetrici.
    • Analisi microlocale (6 cfu)

      • Operatori pseudodifferenziali. Integrali oscillanti. Fronte d'onda e propagazione delle singolarità. Teorema di Hörmander. Ottica geometrica e operatori integrali di Fourier. Disuguaglianza di Fefferman- Phong. Calcolo paradifferenziale. Teoria di Littlewood- Paley. Localizzazione in spazi di frequenza. Spazi di Besov.
    • Teoria dei semigruppi (6 cfu)

      • Semigruppi di operatori, applicazioni alle equazioni di evoluzione
    • Ricerca operativa (6 cfu)

      • Grafi, programmazione lineare, programmazione intera, elementi di teoria dell'ottimizzazione.
    • Teoria dei numeri elementare (6 cfu)

      • Congruenze di grado superiore al primo e struttura moltiplicativa delle classi di resto. Proprietà algebriche e asintotiche delle funzioni aritmetiche. Problemi additivi e moltiplicativi legati alla distribuzione dei numeri primi. Approssimazioni razionali di numeri algebrici e trascendenti
    • Problemi di evoluzione (6 cfu)

      • Equazioni astratte, scale di Banach. Teorema di Cauchy-Kovalewski. Caratteristiche. Equazione delle onde. Sistemi iperbolici a coefficienti costanti. Condizioni  di Hadamard-Garding. Sistemi simmetrici, metodo dell'energia. Sistemi strettamente iperbolici. Simmetrizzatore micro-locale.
    • Calcolo scientifico (6 cfu)

      • Problemi di minimi quadrati, metodi del gradiente, decomposizione a valori singolari, calcolo di autovalori.
    • Elementi di calcolo in gruppi omogenei (6 cfu)

      • Gruppi di Lie nilpotenti semplicemente connessi: dilatazioni intrinseche, distanze invarianti, misura di Haar. Differenziabilità rispetto l'operazione di gruppo e le dilatazioni.
    • Campi ciclotomici (6 cfu)

      • Caratteri di Dirichlet, serie L di Dirichlet, numeri di Bernoulli, fomrula del numero di classi, teorema di Stickelberger.
    • Matematiche elementari da un punto di vista superiore: geometria (6 cfu)

      • Assiomatiche per la geometria euclidea; geometrie non euclidee; trasformazioni geometriche
    • Metodi matematici della crittografia (6 cfu)

      • Metodi ed algoritmi matematici applicati alla crittografia ed alla crittanalisi: fattorizzazione, logaritmo discreto. Curve ellittiche, fattorizzazione e crittografia ellittica ed iperellittica. Reticoli.
    • Metodi numerici per catene di Markov (6 cfu)

      • Matrici nonnegative e teorema di Perron-Frobenius. Metodi per catene di Markov finite e infinite. Modelli di code e loro matrici di transizione.
    • Metodi di ottimizzazione delle reti (6 cfu)

      • Algoritmi ad hoc per problemi di flusso su rete, routing in reti di comunicazione, progetto di reti di comunicazione, reti di trasporto.
    • Elementi di calcolo delle variazioni (6 cfu)

      • Principi variazionali in una e più variabili. Equazione di Eulero-Lagrange. Condizioni sufficienti di minimalità. Esempi classici di problemi variazionali. Funzioni assolutamente continue e metodo diretto. Geodetiche. Teorema del passo montano e principi di minimax.
    • Teoria algebrica dei numeri 1 (6 cfu)

      • Campi di numeri, interi dei campi di numeri; fattorizzazione unica degli ideali, ramificazione, gruppo delle classi di ideali, teorema delle unità di Dirichlet.
    • Probabilità (6 cfu)

      • Complementi di misura e integrazione: integrazione delle variabili aleatorie. Indipendenza di variabili aleatorie: leggi 0-1. Le funzioni caratteristiche. Convergenza di variabili aleatorie. Teoremi limite (leggi dei Grandi Numeri e teorema del Limite Centrale). Due esempi di processi stocastici: il processo di Wiener e il processo di Poisson.
    • Introduzione alla meccanica quantistica (6 cfu)

      • Meccanica quantistica delle particelle: dualità onda/particella, principio di sovrapposizione, principio di indeterminazione, equazione di Schroedinger.
    • Teoria dei codici e crittografia (6 cfu)

      • Trasmissione dei dati, stutture matematiche per la correzione efficiente degli errori di trasmissione. Principali codici correttori, loro proprietà e decodifica. Principali problemi crittografici: cifratura, firma, identificazione, integrità dei dati. Principali protocolli crittografici e problemi matematici soggiacenti.
    • Teoria delle categorie (6 cfu)

      • Categorie, funtori; aggiunti; limiti, colimiti; fasci, topoi.
    • Teoria dei campi e teoria di Galois (6 cfu)

      • Estensioni algebriche ed estensioni trascendenti, chiusura algebrica, separabilità, teoria di Galois, risolubilità, estensioni abeliane, teoria di Kummer.
    • Processi stocastici (6 cfu)

      • Processi di Markov, forme di Dirichlet, processi gaussiani.
    • Metodi topologici per le equazioni differenziali (6 cfu)

      • Teorie topologiche variazionali o non variazionali per alcune classi di equazioni non lineari di tipo differenziale o integrale.
    • Geometria simplettica (6 cfu)

      • Varietà simplettiche. Esempi standard. Teorema di Darboux. Strutture quasi-complesse compatibili.
    • Onde lineari e non lineari (6 cfu)

      • Principali proprietà delle soluzioni delle equazioni delle onde lineari e non lineari; proprietà dispersive delle soluzioni e decadimento dell'energia locale.
    • Superfici minime (6 cfu)

      • Risultati di esistenza per superfici minime: approccio classico, insiemi di perimetro finito, correnti. Alcuni risultati di regolarità per le ipersuperfici minime.
    • Analisi complessa B (6 cfu)

      • Funzioni plurisubarmoniche; domini pseudoconvessi; equazione del de-bar.
    • Metodi topologici in analisi globale (6 cfu)

      • Elementi di analisi non lineare per alcuni problemi di tipo “globale”, quali: il problema della sella, il punto fisso di Brouwer, le dimensioni e l’invarianza del dominio, la pettinabilità della sfera, il problema di Jordan. Applicazioni alle equazioni differenziali.
    • Finanza matematica (6 cfu)

      • Orbite periodiche e teorema di Poincaré-Birkhoff, teoria delle perturbazioni.
    • Gruppi di Coxeter (6 cfu)

      • Sistemi di radici e gruppi generati da riflessioni.
    • Geometria reale B (6 cfu)

      • Geometria degli insiemi semianalitici e subanalitici.
    • Metodi numerici per la grafica (6 cfu)

      • Parametrizzazione interpolazione e approssimazione di curve e superfici. Curve e superfici di Bezier, B-spline.
    • Teoria della calcolabilità (6 cfu)

      • Modelli di calcolo e funzioni calcolabili.
    • Operatori differenziali e teoremi dell’indice (6 cfu)

      • Algebre di Clifford. Operatori di Dirac. Teoremi dell'indice.
    • Metodi decisionali guidati dai modelli (6 cfu)

      • Ottimalità e algoritmi, algoritmi euristici, tecniche di rilassamento, algoritmi enumerativi. Software di ottimizzazione.
    • Geometria e topologia delle superfici (6 cfu)

      • Spazio di Teichmüller; laminazioni geodetiche; complessi di curve.
    • Calcolo delle variazioni A (6 cfu)

      • Il metodo diretto nel calcolo delle variazioni. Condizioni necessarie e sufficienti di semicontinuità inferiore per funzionali integrali su spazi di Sobolev di funzioni scalari. Il caso vettoriale. Integrali invarianti. Misure di Young e misure di Young gradienti. Convessità, convessità di rango-uno, quasiconessità, policonvessità. Rilassamento.
    • Algebra superiore A (6 cfu)

      • Algebra commutativa.
    • Sistemi dinamici discreti (6 cfu)

      • Dinamica topologica; insiemi iperbolici; teoria ergodica.
    • Fisica matematica (6 cfu)

      • Richiami di meccanica hamiltoniana, sistemi completamente integrabili e variabili azione angolo. Metodi perturbativi: teorema della media. Soluzioni periodiche del problema degli N-corpi, teorema geometrico di Poincaré-Birkhoff. Orbite periodiche con metodi variazionali.
    • Analisi armonica (6 cfu)

      • Fondamenti dell'Analisi armonica, interpolazione reale e comlessa, spazi di Lorentz, funzioni massimali, teoria di Calderon-Zygmund, spazi BMO, moltiplicatori di Fourier, integrali oscillanti e teoremi di restizione.
    • Teoria delle funzioni (6 cfu)

      • Elementi della teoria delle funzioni analitiche di una variabile complessa: serie di Mittag-Leffler,fattorizzazione di Weierstrass, fattorizzazione delle funzioni intere di ordine finito, sviluppi asintotici, teorema di Picard.
    • Elementi di logica matematica (6 cfu)

      • Calcolo dei predicati. Sistemi formali. Teorema di completezza.
    • Geometria reale computazionale (6 cfu)

      • Campi formalmente reali. Numeri algebrici reali, varietà algebriche reali. Algoritmi e applicazioni.
    • Metodi numerici per l’analisi di Fourier (6 cfu)

      • Serie di Fourier e trasformata di Fourier. Trasformata discreta di Fourier, trasformate trigonometriche. Algoritmi veloci per il calcolo delle trasformate discrete.
    • Ultrafiltri e metodi nonstandard (6 cfu)

      • Ultrafiltri e ultrapotenze. Fondamenti dell'analisi non-standard. Applicazioni alla teoria di Ramsey e alla teoria combinatoria dei numeri.
    • Equazioni alle derivate parziali (6 cfu)

      • Equazioni e sistemi del primo ordine. Rappresentazione esplicita delle soluzioni delle equazioni di Laplace, del calore, e delle onde. Proprietà qualitative delle soluzioni: principio del massimo, unicità, regolarità e dispersione.
    • Geometria reale C (6 cfu)

      • Topologia delle curve e superfici reali.
    • Analisi convessa (6 cfu)

      • Topologie deboli su spazi di Banach, funzioni convesse, calcolo in spazi di Banach, sottodifferenziale, disequazioni variazionali, multifunzioni.
    • Didattica della matematica e nuove tecnologie (6 cfu)

      • Metodologie, modelli e materiali didattici in contesti di aula multimediale; ruolo delle tecnologie nell'insegnamento / apprendimento della matematica: software didattici e lavagne interattive multimediali.
    • Equazioni differenziali ordinarie (6 cfu)

      • Problema di Cauchy. Equazioni di Bernoulli, D'Alembert, Clairaut, Eulero, Riccati. Metodo di Peano. Equazioni lineari. Dipendenza regolare dai dati. Soluzioni massimali.  Equilibri. Problemi di Sturm- Liouville.
    • Curve algebriche (6 cfu)

      • Curve algebriche, divisori. Curve ellittiche, iperellittiche, jacobiane. Applicazioni.
    • Geometria algebrica D (6 cfu)

      • Tori complessi e varietà abeliane.
    • Storia della matematica (6 cfu)

      • Il corso è di tipo istituzionale e intende offrire una panoramica delle grandi linee di sviluppo della matematica occidentale fino alla fine del XIX secolo. A questo aspetto verrà, di anno in anno, accoppiato un approfondimento di uno o più temi particolarmente rilevanti, quali la geometria cartesiana, l'invenzione del calcolo infinitesimale, le origini della teoria di Galois, la "nuova'' analisi di Cauchy.
    • Teoria algebrica dei numeri 2 (6 cfu)

      • Valori assoluti, campi locali, differente, discriminante, ramificazione, gruppi di ramificazione.
    • Metodi di approssimazione (6 cfu)

      • Risoluzione numerica di equazioni matriciali. Algoritmi numerici per matrici con struttura.
    • Forme modulari (6 cfu)

      • L-serie, equazioni funzionali e operatori di Heck
    • Geometria riemanniana (6 cfu)

      • Relazioni fra curvatura e topologia; teoremi di confronto e di pinching.
    • Algebra commutativa e geometria algebrica computazionale (6 cfu)

      • Costruzioni e algoritmi per l'algebra commutativa e la geometria algebrica, applicazioni.
    • Funzioni speciali (6 cfu)

      • Funzione gamma di Eulero: equazioni funzionali, formula di Stirling. Funzioni ellittiche: funzione P di Weierstrass. Elementi della teoria della funzione zeta di Riemann. Soluzioni di equazioni differenziali lineari a coefficienti analitici: funzione ipergeometrica, funzioni di Bessel.
    • Geodesia via satellite (6 cfu)

      • Problema dei minimi quadrati, simmetrie e degenerazioni. Campo gravitazionale di un corpo esteso, problema del satellite. Perturbazioni non-gravitazionali, geodesia e gravimetria spaziale, terrestre e interplanetaria.
    • Dinamica del sistema solare (6 cfu)

      • Equazioni del moto dei pianeti. Teorie perturbative, elementi propri. Risonanze, piccoli divisori, esponenti di Lyapunov.
    • Geometria degli spazi metrici (6 cfu)

      • Nozioni di curvatura. Quasi isometrie. Geometria a larga scala.
    • Elementi di algebra computazionale (6 cfu)

      • Rappresentazione di interi e polinomi. Algoritmi algebrici fondamentati. Sistemi di calcolo algebrico.
    • Meccanica spaziale (6 cfu)

      • Moto di satelliti artificiali e sonde spaziali, missioni spaziali interplanetarie.
    • Geometria reale A (6 cfu)

      • Geometria degli insiemi semialgebrici. Algebra reale. Strutture o-minimali.
    • Determinazione orbitale (6 cfu)

      • Problema dei minimi quadrati, simmetrie e degenerazioni. Problema dell'identificazione. Orbite preliminari. Soluzioni deboli. Incontri ravvicinati e monitoraggio degli impatti.
    • Logica matematica (6 cfu)

      • Calcolo dei predicati. Teoremi di incompletezza di Godel. Decidibilità e indecidibilità.
    • Algebra superiore B (6 cfu)

      • Algebre e loro rappresentazioni
    • Tecnologie per la didattica (6 cfu)

      • Ruolo delle tecnologie nell’apprendimento / insegnamento della matematica; uso e costruzione di strumenti didattici informatici, multimediali e telematici Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della matematica. I processi di insegnamento e apprendimento mediati dall'uso delle tecnologie nell'ambito della matematica. Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della matematica.
    • Geometria differenziale complessa (6 cfu)

      • Varietà complesse; coomologia di Dolbeault; varietà di Stein; metriche e distanze intrinseche.
    • Matematica discreta (6 cfu)

      • Calcolo combinatorio, funzioni generatrici, grafi, teoria di Ramsey.
    • Teoria degli insiemi (6 cfu)

      • Modelli della teoria degli insiemi.
    • Teoria dei nodi (6 cfu)

      • Invarianti di nodi e di link. Trecce.
    • Teoria del controllo ottimo (6 cfu)

      • Problemi di controllo di energia minima e di tempo minimo; esistenza e di sensitività delle soluzioni; principio di massimo di Pontryagin, approccio di programmazione dinamica ed equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman.
    • Geometria di contatto (6 cfu)

      • Varietà di contatto. Esempi standard. Teorema di Darboux. Nodi Legendriani e trasversi. Libri aperti e strutture di contatto.
    • Geometria e topologia differenziale (6 cfu)

      • Geometria differenziale di curve e superfici nello spazio euclideo, introduzione a varietà e mappe differenziabili in dimensione n.
    • Geometria algebrica A (6 cfu)

      • Schemi, fasci, coomologia.
    • Analisi non lineare (6 cfu)

      • Teorie e metodi sul comportamento globale di operatori non lineari, fra spazi di dimensione finita o spazi di funzioni, collegati con classici problemio equazioni non lineari.
    • Matematica e musica (6 cfu)

      • Formalizzazione algebrica delle strutture musicali.
    • Topologia differenziale (6 cfu)

      • Funzioni di Morse e decomposizioni in manici. Teorema dell'h-cobordismo.
    • Algebra computazionale A (6 cfu)

      • Aritmetica, fattorizzazione, integrazione.
    • Gruppi e rappresentazioni (6 cfu)

      • Rappresentazioni di gruppi finiti. Esempi di classi di gruppi.
    • Sistemi dinamici (6 cfu)

      • Sistemi dinamici lineari (con richiami di algebra lineare), stabilità e teoria qualitativa per sistemi dinamici non lineari, formalismo hamiltoniano e lagrangiano ad un grado di libertà, sistemi dinamici discreti, un esempio elementare di caos.
    • Laboratorio di fisica per l'insegnamento (6 cfu)

      • Sviluppare competenze nella gestione di esperienze di laboratorio, fornire basi teoriche di un approccio alla misura. Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della fisica. La progettazione e lo sviluppo delle attività di insegnamento relative alla fisica. Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della fisica
    • Analisi matematica 3 (6 cfu)

      • Spazi di Hilbert. Spazi di Lebesgue L^p. Convoluzione di funzioni. Serie di Fourier. Trasformata di Fourier. Formula dell'area e integrazione su superfici. Funzioni armoniche.
    • Dinamica del sistema Terra-Luna (6 cfu)

      • Il sistema Terra-Luna-Sole e le caratteristiche principali dell'orbita della Luna. Il tracking laser della Luna nell'era spaziale (LLR-Lunar Laser Ranging). LLR e la verifica della Relatività Generale.
    • Teoria analitica dei numeri A (6 cfu)

      • Problemi legati alla distribuzione dei primi; la Zeta di Riemann e le funzioni L di Dirichlet.
    • Introduzione alla teoria geometrica della misura (6 cfu)

      • Misure e dimensione di Hausdorff. Insiemi rettificabli. Formula dell'area e della coarea
    • Elementi di analisi complessa (6 cfu)

      • Teorema di uniformizzazione di Riemann; proprietà geometriche del gruppo delle omografie; principio di simmetria e sue applicazioni; un modello di piano iperbolico; cenni sulle funzioni di più variabili complesse.
    • Calcolo delle variazioni B (6 cfu)

      • Teoria della regolarità per minimi di funzionali integrali.
    • Algebre e gruppi di Lie (6 cfu)

      • Teoremi di struttura per le algebre di Lie di dimensione finita (incluso il caso delle algebre semisemplici complesse). Gruppi di Lie e relazione con le algebre di Lie. Introduzione alla teoria delle rappresentazioni delle algebre e gruppi di Lie.
    • Origini e sviluppo delle matematiche moderne (6 cfu)

      • Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica moderna: inquadramento generale, lettura diretta di testi, discussione della letteratura in materia.
    • Fisica II (9 cfu)

      • Elettrostatica e magnetostatica nel vuoto, correnti stazionarie, induzione, circuiti passivi lineari RLC, equazioni di Maxwell, onde elettromagnetiche, polarizzazione, irraggiamento, riflessione e rifrazione.
    • Geometria algebrica C (6 cfu)

      • Curve e superfici di Riemann.
    • Teoria e metodi dell'ottimizzazione (6 cfu)

      • Ottimizzazione non lineare: condizioni di ottimalità per problemi vincolati e non vincolati, teoria della dualità, metodi risolutivi per problemi vincolati e non vincolati, applicazioni.
    • Analisi superiore (6 cfu)

      • Spazi vettoriali topologici. misure e distribuzioni. Operatori illimitatii, aggiunto ad un operatore non limiato, teoria spettrale per operatori non limitati. Calcolo funzionale Forme quadratiche, soluzioni deboli e soluzioni forti.
    • Topologia algebrica (6 cfu)

      • Omotopia e teorie coomologiche.
    • Geometria algebrica E (6 cfu)

      • Superfici algebriche.
    • Algebra computazionale B (6 cfu)

      • Metodi effettivi per la risoluzione di sistemi di equazioni polimonmiali.
    • Algebra lineare e multilineare (6 cfu)

      • Strutture algebriche lineari.
    • Complementi di analisi funzionale (6 cfu)

      • Spazi vettoriali topologici, misure e distribuzioni. Convoluzione, trasformata di Fourier, teorema di Paley-Wiener ed applicazioni alle EDP. Teoria spettrale per operatori non limitati. Calcolo operazionale, semigruppi di operatori. Teorema di Malgrange-Ehrenpreis. Teoremi di punto fisso in dimensione infinita ed applicazioni alle EDP.
    • Topologia generale (6 cfu)

      • Spazi normali, teorema di Urysohn, compattificazioni, teorema di Baire, paracompattezza, partizioni dell’unità.
    • Analisi non standard (6 cfu)

      • Fondamenti dell'analisi non standard, scelta di applicazioni ad altre aree della matematica.
    • Elementi di topologia algebrica (6 cfu)

      • Omologia simpliciale e singolare, CW complessi, coomologia, prodotto cup, dualità di Poincaré.
    • Equazioni della fluidodinamica (6 cfu)

      • Introduzione alla teoria matematica delle equazioni alle derivate parziali della meccanica dei continui e in particolare a quelle di Eulero e Navier-Stokes per fluidi incomprimibili.
    • Topologia e geometria in bassa dimensione (6 cfu)

      • Varietà topologiche, lineari a pezzi e differenziabili di dimensione minore di 5.
    • Spazi di funzioni (6 cfu)

      • Proprietà fini delle funzioni derivabili in senso debole: funzioni di Sobolev e BV, insiemi di perimetro finito. Altri spazi di funzioni. Riarrangiamento e disuguaglianze funzionali.
    • Elementi di geometria algebrica (6 cfu)

      • Varietà affini, proiettive e quasi-proiettive. Morfismi. Applicazioni razionali. Punti lisci e dimensione.
    • Algebra 2 (6 cfu)

      • Gruppi: azioni di gruppi, costruzioni e presentazioni di gruppi. Moduli e caratterizzazione dei moduli su un PID. Anelli noetheriani. Teorema della base di Hilbert. Basi di Groebner e applicazioni.
    • Problemi e metodi della ricerca in didattica della matematica (6 cfu)

      • Il corso, rivolto agli studenti interessati alla ricerca in didattica della matematica, intende dare l’opportunità di conoscere e confrontarsi con le problematiche tipiche di tale campo di ricerca (sia quelle classiche che quelle più recenti) e con i metodi di ricerca utilizzati.
    • Teoria dei gruppi (6 cfu)

      • Serie di composizione, gruppi di permutazioni, gruppi nilpotenti, gruppi risolubili.
    • 3-varietà (6 cfu)

      • Risultati classici sulla topologia delle 3-varietà. Esempi e costruzioni di 3-varietà.
    • Fisica III (6 cfu)

      • Sistemi e trasformazioni termodinamiche, gas perfetto, prima e seconda legge, temperatura ed entropia; potenziali ritardati, relatività speciale e legami con l'elettromagnetismo, cenni su argomenti di fisica moderna (meccanica quantistica e altro).
    • Elementi di meccanica celeste (6 cfu)

      • Problema dei 2 corpi ed equazione di Keplero. Problema dei 3 corpi ristretto circolare, integrale di Jacobi, criterio di stabilità di Hill, cenni su orbite confinate ma caotiche. Maree ed evoluzione mareale nel sistema solare; la Terra come corpo esteso.
    • Equazioni ellittiche (6 cfu)

      • Teoria della regolarità. Equazioni in forma di divergenza. Equazioni non variazionali. Equazioni non lineari. Problemi al contorno. Frontiera libera. Problemi con ostacolo. Equazioni degeneri. Teoria del potenziale. Funzioni armoniche. Interpolazione. Autovalori.
    • Meccanica celeste (6 cfu)

      • Singolarità e orbite periodiche nel problema degli N corpi
    • Teoria analitica dei numeri B (6 cfu)

      • Problemi analitici di natura additiva con particolare riferimento al metodo di Hardy e Littlewood
    • Elementi di probabilità e statistica (6 cfu)

      • Probabilità su spazi numerabili: condizionamento, indipendenza, variabili aleatorie. Variabili aleatorie con densità: variabili gaussiane. Inferenza statistica: stima, test, intervalli di fiducia. Principali test statistici su modelli gaussiani.
    • Algebra omologica (6 cfu)

      • Moduli proiettivi e iniettivi. Categorie e funtori. Funtori aggiunti. Categorie di moduli. Successioni esatte, risoluzioni, funtori derivati. (Co)omologia di gruppi e algebre.
    • Algebra 1 (6 cfu)

      • Gruppi: teoremi di omomorfismo, permutazioni, gruppi abeliani finiti. Anelli e ideali, anelli speciali, anelli di polinomi. Elementi di teoria di Galois.
    • Introduzione all'analisi p-adica (6 cfu)

      • Struttura dei numeri p-adici; continuità, differenziabilità e analiticità in campo p-adico.
    • Elementi avanzati di algebra lineare numerica (6 cfu)

      • Metodi di Krylov, GMRES, BiCG, polinomi di matrici, problemi polinomiali agli autovalori, funzioni di matrici.
    • Metodi numerici per equazioni differenziali ordinarie (6 cfu)

      • Problemi ai valori iniziali e ai valori limite, metodi a un passo, metodi a più passi, metodi di shooting.
    • 2-varietà (6 cfu)

      • Varietà di dimensione due e loro automorfismi.
    • Algoritmi e strutture dei dati (6 cfu)

      • Strutture dei dati, analisi di algoritmi e complessità, progetto di algoritmi.
    • Teoria ergodica (6 cfu)

      • Teoremi di Krein-Milman e di Choquet, teoria spettrale. Esempi di base. Teoremi di Poincaré, Birkhoff, von Neumann. Decomposizione ergodica. "Mixing" e "weak mixing". Operatore di Perron- Frobenius. Decadimento delle correlazioni. Entropia. Dinamica simbolica. Catene di Markov e misura di Parry.
    • Teoria dei codici (6 cfu)

      • Trasmissione con errore, correzione d'errore. Famiglie di codici correttori. Metodi di geometria algebrica e algebra computazionale per la costruzione di codici e la decodifica.
    • Teoria dei controlli (6 cfu)

      • Teoria di controllabilità, osservabilità e stabilizzazione via feedback; modelli di controllo lineari; teoria geometrica di controllabilità per sistemi regolari; sistemi switching e sistemi ibridi.
    • Dinamica iperbolica (6 cfu)

      • Sistemi dinamici iperbolici; dinamica in dimensione bassa.
    • Analisi complessa A (6 cfu)

      • Il fascio dei germi delle funzioni analitiche; Nullstellensatz; spazi analitici; Teoremi A e B di Cartan.
    • Probabilità superiore (6 cfu)

      • Presentazione di una selezione di argomenti avanzati di probabilità quali Spazi Gaussiani, Calcolo di Malliavin, processi di Levy e Levy-stabili.
    • Equazioni alle derivate parziali 2 (6 cfu)

      • Selezione di argomenti avanzati della teoria delle equazioni alle derivate parziali.
    • Equazioni iperboliche (6 cfu)

      • Equazioni differenziali di tipo iperbolico, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
    • Modelli matematici in biomedicina e fisica matematica (6 cfu)

      • Obiettivi formativi: Equazioni differenziali ordinarie con effetti dissipativi (ritardo, memoria, etc) e stabilità, e loro applicazioni in biomedicina. Equazioni alle derivate parziali e loro applicazioni in fisica matematica.
    • Analisi geometrica (6 cfu)

      • Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi geometrica.
    • Geometria algebrica F (6 cfu)

      • Varietà toriche.
    • Teoria descrittiva della complessità (6 cfu)

      • Modelli finiti e complessità computazionale
    • Teoria dei modelli (6 cfu)

      • Modelli di teorie del primo ordine. Compattezza. Equivalenza elementare. Applicazioni all'aritmetica, ai campi, e ad altre strutture algebrico-relazionali.
    • Elementi di teoria degli insiemi (6 cfu)

      • Nozioni di logica. Teoria assiomatica degli insiemi. Cardinali. Ordinali.
    • Teoria geometrica della misura (6 cfu)

      • Nozioni di base di teoria geometrica della misura. Correnti normali ed intere. Esistenza delle soluzioni per il problema di Plateau omologico. Varifold.
    • Problem solving (6 cfu)

      • Ruolo dei problemi nell’insegnamento della matematica; euristiche; problem solving e problem posing.
    • Teoria dei giochi (6 cfu)

      • Equilibri nei modelli di giochi noncooperativi, teoria dei giochi cooperativi, giochi posizionali e giochi differenziali
    • Analisi in spazi metrici (6 cfu)

      • Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi su spazi metrici.
    • Equazioni differenziali stocastiche e applicazioni (6 cfu)

      • Introduzione ai teoremi di esistenza ed unicità (debole o forte) per equazioni differenziali stocastiche ordinarie, legami con le equazioni alle derivate parziali, applicazioni in ambito fisico o biologico.
    • Matematica e società (6 cfu)

      • Matematica, società e curricula; il contesto culturale nell'insegnamento ed apprendimento della matematica; il ruolo delle conoscenze matematiche non-scolastiche.
    • Matematiche elementari da un punto di vista superiore: aritmetica (6 cfu)

      • Gli insiemi numerici: possibili introduzioni, proprietà
    • Fondamenti della matematica (6 cfu)

      • Sistemi formali e teorie fondazionali.
    • Geometria algebrica B (6 cfu)

      • Varietà complesse, metodi trascendenti
    • Equazioni paraboliche (6 cfu)

      • Equazioni differenziali di tipo parabolico, lineari e non lineari, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
    • Meccanica superiore (6 cfu)

      • Obiettivi formativi: Indicatori di comportamento caotico e metodi ergodici per sistemi meccanici
    • Teoria della misura (6 cfu)

      • Misure astratte, misure su uno spazio topologico, integrale di Daniell, convergenze di misure.
    • 4-varietà (6 cfu)

      • Risultati classici sulla topologia delle 4-varietà. Esempi e costruzioni di 4-varietà.
    • Complementi di fisica (6 cfu)

      • Onde. Elementi di relatività ristretta. Equazioni d'onda relativistiche. Complementi di termodinamica e statistica.
    • Statistica matematica (6 cfu)

      • Modelli statistici: modelli dominati. Stime: stime consistenti e di Massima verosimiglianza. Intervalli di fiducia e test. I principali test sui modelli gaussiani (di Student, di Fisher Snedecor). Modelli statistici non parametrici: teorema di Glivenko-Cantelli e e test del chi-quadro.
    • Analisi reale (6 cfu)

      • Fondamenti dell'analisi reale (teoria della misura, spazi di funzioni).
    • Capacità non lineare, disequazioni variazionali e applicazioni (6 cfu)

      • Il percorso scelto ci permetterà di illustrare alcune tecniche e argomenti classici per trovare condizioni necessarie e sufficienti affinché un punto di frontiera sia regolare relativamente al problema di Dirichlet non omogeneo per l'operatore di Laplace non-lineare (il cosiddetto p-laplaciano).
    • Complementi di didattica della matematica (6 cfu)

      • Processi di apprendimento della matematica; contesti e tipi di razionalità; ostacoli epistemologici e didattici nell’insegnamento della matematica
    • Teoria della dimostrazione (6 cfu)

      • Il concetto formale di dimostrazione. Sistemi dimostrativi. Logiche non classiche. Analisi ordinale
    • Geometria iperbolica (6 cfu)

      • Lo spazio iperbolico. Esempi e costruzioni di varietà iperboliche. Proprietà topologiche e geometriche di varietà iperboliche.
  • 6 cfu a scelta nel gruppo ModAffInt

    • Moduli affini e integrativi
    • Meccanica dei continui (6 cfu)

      • Richiami di calcolo tensoriale, meccanica dei continui tridimensionali e dei continui unidimensionali (anche con struttura).
    • Storia della matematica antica e della sua tradizione (6 cfu)

      • Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica antica: inquadramento generale (caratteristiche della matematica greca, concetto di tradizione testuale, edizioni di riferimento), lettura diretta di testi legati a un autore classico o a una problematica, e studio della tradizione rinascimentale e dell'impatto sulla nascita della matematica moderna.
    • Meccanica relativistica (6 cfu)

      • Relatività speciale e principio di equivalenza di Einstein. Spazio-tempo come varietà. Moto lungo una geodetica. Equazioni di Einstein per la curvatura dello spazio-tempo. Metrica di Schwarzschild e di Kerr. Esempi di osservabili relativistiche
    • Dinamica olomorfa (6 cfu)

      • Insiemi di Julia e di Fatou; dinamica di funzioni olomorfe di una variabile.
    • Spazi simmetrici (6 cfu)

      • Gruppi di Lie. Algebre di Lie. Spazi localmente simmetrici e spazi simmetrici.
    • Analisi microlocale (6 cfu)

      • Operatori pseudodifferenziali. Integrali oscillanti. Fronte d'onda e propagazione delle singolarità. Teorema di Hörmander. Ottica geometrica e operatori integrali di Fourier. Disuguaglianza di Fefferman- Phong. Calcolo paradifferenziale. Teoria di Littlewood- Paley. Localizzazione in spazi di frequenza. Spazi di Besov.
    • Teoria dei semigruppi (6 cfu)

      • Semigruppi di operatori, applicazioni alle equazioni di evoluzione
    • Ricerca operativa (6 cfu)

      • Grafi, programmazione lineare, programmazione intera, elementi di teoria dell'ottimizzazione.
    • Teoria dei numeri elementare (6 cfu)

      • Congruenze di grado superiore al primo e struttura moltiplicativa delle classi di resto. Proprietà algebriche e asintotiche delle funzioni aritmetiche. Problemi additivi e moltiplicativi legati alla distribuzione dei numeri primi. Approssimazioni razionali di numeri algebrici e trascendenti
    • Problemi di evoluzione (6 cfu)

      • Equazioni astratte, scale di Banach. Teorema di Cauchy-Kovalewski. Caratteristiche. Equazione delle onde. Sistemi iperbolici a coefficienti costanti. Condizioni  di Hadamard-Garding. Sistemi simmetrici, metodo dell'energia. Sistemi strettamente iperbolici. Simmetrizzatore micro-locale.
    • Calcolo scientifico (6 cfu)

      • Problemi di minimi quadrati, metodi del gradiente, decomposizione a valori singolari, calcolo di autovalori.
    • Elementi di calcolo in gruppi omogenei (6 cfu)

      • Gruppi di Lie nilpotenti semplicemente connessi: dilatazioni intrinseche, distanze invarianti, misura di Haar. Differenziabilità rispetto l'operazione di gruppo e le dilatazioni.
    • Campi ciclotomici (6 cfu)

      • Caratteri di Dirichlet, serie L di Dirichlet, numeri di Bernoulli, fomrula del numero di classi, teorema di Stickelberger.
    • Matematiche elementari da un punto di vista superiore: geometria (6 cfu)

      • Assiomatiche per la geometria euclidea; geometrie non euclidee; trasformazioni geometriche
    • Metodi matematici della crittografia (6 cfu)

      • Metodi ed algoritmi matematici applicati alla crittografia ed alla crittanalisi: fattorizzazione, logaritmo discreto. Curve ellittiche, fattorizzazione e crittografia ellittica ed iperellittica. Reticoli.
    • Metodi numerici per catene di Markov (6 cfu)

      • Matrici nonnegative e teorema di Perron-Frobenius. Metodi per catene di Markov finite e infinite. Modelli di code e loro matrici di transizione.
    • Metodi di ottimizzazione delle reti (6 cfu)

      • Algoritmi ad hoc per problemi di flusso su rete, routing in reti di comunicazione, progetto di reti di comunicazione, reti di trasporto.
    • Elementi di calcolo delle variazioni (6 cfu)

      • Principi variazionali in una e più variabili. Equazione di Eulero-Lagrange. Condizioni sufficienti di minimalità. Esempi classici di problemi variazionali. Funzioni assolutamente continue e metodo diretto. Geodetiche. Teorema del passo montano e principi di minimax.
    • Teoria algebrica dei numeri 1 (6 cfu)

      • Campi di numeri, interi dei campi di numeri; fattorizzazione unica degli ideali, ramificazione, gruppo delle classi di ideali, teorema delle unità di Dirichlet.
    • Probabilità (6 cfu)

      • Complementi di misura e integrazione: integrazione delle variabili aleatorie. Indipendenza di variabili aleatorie: leggi 0-1. Le funzioni caratteristiche. Convergenza di variabili aleatorie. Teoremi limite (leggi dei Grandi Numeri e teorema del Limite Centrale). Due esempi di processi stocastici: il processo di Wiener e il processo di Poisson.
    • Introduzione alla meccanica quantistica (6 cfu)

      • Meccanica quantistica delle particelle: dualità onda/particella, principio di sovrapposizione, principio di indeterminazione, equazione di Schroedinger.
    • Teoria dei codici e crittografia (6 cfu)

      • Trasmissione dei dati, stutture matematiche per la correzione efficiente degli errori di trasmissione. Principali codici correttori, loro proprietà e decodifica. Principali problemi crittografici: cifratura, firma, identificazione, integrità dei dati. Principali protocolli crittografici e problemi matematici soggiacenti.
    • Teoria delle categorie (6 cfu)

      • Categorie, funtori; aggiunti; limiti, colimiti; fasci, topoi.
    • Teoria dei campi e teoria di Galois (6 cfu)

      • Estensioni algebriche ed estensioni trascendenti, chiusura algebrica, separabilità, teoria di Galois, risolubilità, estensioni abeliane, teoria di Kummer.
    • Processi stocastici (6 cfu)

      • Processi di Markov, forme di Dirichlet, processi gaussiani.
    • Metodi topologici per le equazioni differenziali (6 cfu)

      • Teorie topologiche variazionali o non variazionali per alcune classi di equazioni non lineari di tipo differenziale o integrale.
    • Geometria simplettica (6 cfu)

      • Varietà simplettiche. Esempi standard. Teorema di Darboux. Strutture quasi-complesse compatibili.
    • Onde lineari e non lineari (6 cfu)

      • Principali proprietà delle soluzioni delle equazioni delle onde lineari e non lineari; proprietà dispersive delle soluzioni e decadimento dell'energia locale.
    • Superfici minime (6 cfu)

      • Risultati di esistenza per superfici minime: approccio classico, insiemi di perimetro finito, correnti. Alcuni risultati di regolarità per le ipersuperfici minime.
    • Analisi complessa B (6 cfu)

      • Funzioni plurisubarmoniche; domini pseudoconvessi; equazione del de-bar.
    • Metodi topologici in analisi globale (6 cfu)

      • Elementi di analisi non lineare per alcuni problemi di tipo “globale”, quali: il problema della sella, il punto fisso di Brouwer, le dimensioni e l’invarianza del dominio, la pettinabilità della sfera, il problema di Jordan. Applicazioni alle equazioni differenziali.
    • Finanza matematica (6 cfu)

      • Orbite periodiche e teorema di Poincaré-Birkhoff, teoria delle perturbazioni.
    • Gruppi di Coxeter (6 cfu)

      • Sistemi di radici e gruppi generati da riflessioni.
    • Geometria reale B (6 cfu)

      • Geometria degli insiemi semianalitici e subanalitici.
    • Metodi numerici per la grafica (6 cfu)

      • Parametrizzazione interpolazione e approssimazione di curve e superfici. Curve e superfici di Bezier, B-spline.
    • Teoria della calcolabilità (6 cfu)

      • Modelli di calcolo e funzioni calcolabili.
    • Operatori differenziali e teoremi dell’indice (6 cfu)

      • Algebre di Clifford. Operatori di Dirac. Teoremi dell'indice.
    • Metodi decisionali guidati dai modelli (6 cfu)

      • Ottimalità e algoritmi, algoritmi euristici, tecniche di rilassamento, algoritmi enumerativi. Software di ottimizzazione.
    • Geometria e topologia delle superfici (6 cfu)

      • Spazio di Teichmüller; laminazioni geodetiche; complessi di curve.
    • Calcolo delle variazioni A (6 cfu)

      • Il metodo diretto nel calcolo delle variazioni. Condizioni necessarie e sufficienti di semicontinuità inferiore per funzionali integrali su spazi di Sobolev di funzioni scalari. Il caso vettoriale. Integrali invarianti. Misure di Young e misure di Young gradienti. Convessità, convessità di rango-uno, quasiconessità, policonvessità. Rilassamento.
    • Algebra superiore A (6 cfu)

      • Algebra commutativa.
    • Sistemi dinamici discreti (6 cfu)

      • Dinamica topologica; insiemi iperbolici; teoria ergodica.
    • Fisica matematica (6 cfu)

      • Richiami di meccanica hamiltoniana, sistemi completamente integrabili e variabili azione angolo. Metodi perturbativi: teorema della media. Soluzioni periodiche del problema degli N-corpi, teorema geometrico di Poincaré-Birkhoff. Orbite periodiche con metodi variazionali.
    • Analisi armonica (6 cfu)

      • Fondamenti dell'Analisi armonica, interpolazione reale e comlessa, spazi di Lorentz, funzioni massimali, teoria di Calderon-Zygmund, spazi BMO, moltiplicatori di Fourier, integrali oscillanti e teoremi di restizione.
    • Teoria delle funzioni (6 cfu)

      • Elementi della teoria delle funzioni analitiche di una variabile complessa: serie di Mittag-Leffler,fattorizzazione di Weierstrass, fattorizzazione delle funzioni intere di ordine finito, sviluppi asintotici, teorema di Picard.
    • Elementi di logica matematica (6 cfu)

      • Calcolo dei predicati. Sistemi formali. Teorema di completezza.
    • Geometria reale computazionale (6 cfu)

      • Campi formalmente reali. Numeri algebrici reali, varietà algebriche reali. Algoritmi e applicazioni.
    • Metodi numerici per l’analisi di Fourier (6 cfu)

      • Serie di Fourier e trasformata di Fourier. Trasformata discreta di Fourier, trasformate trigonometriche. Algoritmi veloci per il calcolo delle trasformate discrete.
    • Ultrafiltri e metodi nonstandard (6 cfu)

      • Ultrafiltri e ultrapotenze. Fondamenti dell'analisi non-standard. Applicazioni alla teoria di Ramsey e alla teoria combinatoria dei numeri.
    • Equazioni alle derivate parziali (6 cfu)

      • Equazioni e sistemi del primo ordine. Rappresentazione esplicita delle soluzioni delle equazioni di Laplace, del calore, e delle onde. Proprietà qualitative delle soluzioni: principio del massimo, unicità, regolarità e dispersione.
    • Geometria reale C (6 cfu)

      • Topologia delle curve e superfici reali.
    • Analisi convessa (6 cfu)

      • Topologie deboli su spazi di Banach, funzioni convesse, calcolo in spazi di Banach, sottodifferenziale, disequazioni variazionali, multifunzioni.
    • Didattica della matematica e nuove tecnologie (6 cfu)

      • Metodologie, modelli e materiali didattici in contesti di aula multimediale; ruolo delle tecnologie nell'insegnamento / apprendimento della matematica: software didattici e lavagne interattive multimediali.
    • Equazioni differenziali ordinarie (6 cfu)

      • Problema di Cauchy. Equazioni di Bernoulli, D'Alembert, Clairaut, Eulero, Riccati. Metodo di Peano. Equazioni lineari. Dipendenza regolare dai dati. Soluzioni massimali.  Equilibri. Problemi di Sturm- Liouville.
    • Curve algebriche (6 cfu)

      • Curve algebriche, divisori. Curve ellittiche, iperellittiche, jacobiane. Applicazioni.
    • Geometria algebrica D (6 cfu)

      • Tori complessi e varietà abeliane.
    • Storia della matematica (6 cfu)

      • Il corso è di tipo istituzionale e intende offrire una panoramica delle grandi linee di sviluppo della matematica occidentale fino alla fine del XIX secolo. A questo aspetto verrà, di anno in anno, accoppiato un approfondimento di uno o più temi particolarmente rilevanti, quali la geometria cartesiana, l'invenzione del calcolo infinitesimale, le origini della teoria di Galois, la "nuova'' analisi di Cauchy.
    • Teoria algebrica dei numeri 2 (6 cfu)

      • Valori assoluti, campi locali, differente, discriminante, ramificazione, gruppi di ramificazione.
    • Metodi di approssimazione (6 cfu)

      • Risoluzione numerica di equazioni matriciali. Algoritmi numerici per matrici con struttura.
    • Forme modulari (6 cfu)

      • L-serie, equazioni funzionali e operatori di Heck
    • Geometria riemanniana (6 cfu)

      • Relazioni fra curvatura e topologia; teoremi di confronto e di pinching.
    • Algebra commutativa e geometria algebrica computazionale (6 cfu)

      • Costruzioni e algoritmi per l'algebra commutativa e la geometria algebrica, applicazioni.
    • Funzioni speciali (6 cfu)

      • Funzione gamma di Eulero: equazioni funzionali, formula di Stirling. Funzioni ellittiche: funzione P di Weierstrass. Elementi della teoria della funzione zeta di Riemann. Soluzioni di equazioni differenziali lineari a coefficienti analitici: funzione ipergeometrica, funzioni di Bessel.
    • Geodesia via satellite (6 cfu)

      • Problema dei minimi quadrati, simmetrie e degenerazioni. Campo gravitazionale di un corpo esteso, problema del satellite. Perturbazioni non-gravitazionali, geodesia e gravimetria spaziale, terrestre e interplanetaria.
    • Dinamica del sistema solare (6 cfu)

      • Equazioni del moto dei pianeti. Teorie perturbative, elementi propri. Risonanze, piccoli divisori, esponenti di Lyapunov.
    • Geometria degli spazi metrici (6 cfu)

      • Nozioni di curvatura. Quasi isometrie. Geometria a larga scala.
    • Elementi di algebra computazionale (6 cfu)

      • Rappresentazione di interi e polinomi. Algoritmi algebrici fondamentati. Sistemi di calcolo algebrico.
    • Meccanica spaziale (6 cfu)

      • Moto di satelliti artificiali e sonde spaziali, missioni spaziali interplanetarie.
    • Geometria reale A (6 cfu)

      • Geometria degli insiemi semialgebrici. Algebra reale. Strutture o-minimali.
    • Determinazione orbitale (6 cfu)

      • Problema dei minimi quadrati, simmetrie e degenerazioni. Problema dell'identificazione. Orbite preliminari. Soluzioni deboli. Incontri ravvicinati e monitoraggio degli impatti.
    • Logica matematica (6 cfu)

      • Calcolo dei predicati. Teoremi di incompletezza di Godel. Decidibilità e indecidibilità.
    • Algebra superiore B (6 cfu)

      • Algebre e loro rappresentazioni
    • Tecnologie per la didattica (6 cfu)

      • Ruolo delle tecnologie nell’apprendimento / insegnamento della matematica; uso e costruzione di strumenti didattici informatici, multimediali e telematici Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della matematica. I processi di insegnamento e apprendimento mediati dall'uso delle tecnologie nell'ambito della matematica. Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della matematica.
    • Geometria differenziale complessa (6 cfu)

      • Varietà complesse; coomologia di Dolbeault; varietà di Stein; metriche e distanze intrinseche.
    • Matematica discreta (6 cfu)

      • Calcolo combinatorio, funzioni generatrici, grafi, teoria di Ramsey.
    • Teoria degli insiemi (6 cfu)

      • Modelli della teoria degli insiemi.
    • Teoria dei nodi (6 cfu)

      • Invarianti di nodi e di link. Trecce.
    • Teoria del controllo ottimo (6 cfu)

      • Problemi di controllo di energia minima e di tempo minimo; esistenza e di sensitività delle soluzioni; principio di massimo di Pontryagin, approccio di programmazione dinamica ed equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman.
    • Geometria di contatto (6 cfu)

      • Varietà di contatto. Esempi standard. Teorema di Darboux. Nodi Legendriani e trasversi. Libri aperti e strutture di contatto.
    • Geometria e topologia differenziale (6 cfu)

      • Geometria differenziale di curve e superfici nello spazio euclideo, introduzione a varietà e mappe differenziabili in dimensione n.
    • Geometria algebrica A (6 cfu)

      • Schemi, fasci, coomologia.
    • Analisi non lineare (6 cfu)

      • Teorie e metodi sul comportamento globale di operatori non lineari, fra spazi di dimensione finita o spazi di funzioni, collegati con classici problemio equazioni non lineari.
    • Matematica e musica (6 cfu)

      • Formalizzazione algebrica delle strutture musicali.
    • Topologia differenziale (6 cfu)

      • Funzioni di Morse e decomposizioni in manici. Teorema dell'h-cobordismo.
    • Algebra computazionale A (6 cfu)

      • Aritmetica, fattorizzazione, integrazione.
    • Gruppi e rappresentazioni (6 cfu)

      • Rappresentazioni di gruppi finiti. Esempi di classi di gruppi.
    • Sistemi dinamici (6 cfu)

      • Sistemi dinamici lineari (con richiami di algebra lineare), stabilità e teoria qualitativa per sistemi dinamici non lineari, formalismo hamiltoniano e lagrangiano ad un grado di libertà, sistemi dinamici discreti, un esempio elementare di caos.
    • Laboratorio di fisica per l'insegnamento (6 cfu)

      • Sviluppare competenze nella gestione di esperienze di laboratorio, fornire basi teoriche di un approccio alla misura. Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della fisica. La progettazione e lo sviluppo delle attività di insegnamento relative alla fisica. Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della fisica
    • Analisi matematica 3 (6 cfu)

      • Spazi di Hilbert. Spazi di Lebesgue L^p. Convoluzione di funzioni. Serie di Fourier. Trasformata di Fourier. Formula dell'area e integrazione su superfici. Funzioni armoniche.
    • Dinamica del sistema Terra-Luna (6 cfu)

      • Il sistema Terra-Luna-Sole e le caratteristiche principali dell'orbita della Luna. Il tracking laser della Luna nell'era spaziale (LLR-Lunar Laser Ranging). LLR e la verifica della Relatività Generale.
    • Teoria analitica dei numeri A (6 cfu)

      • Problemi legati alla distribuzione dei primi; la Zeta di Riemann e le funzioni L di Dirichlet.
    • Introduzione alla teoria geometrica della misura (6 cfu)

      • Misure e dimensione di Hausdorff. Insiemi rettificabli. Formula dell'area e della coarea
    • Elementi di analisi complessa (6 cfu)

      • Teorema di uniformizzazione di Riemann; proprietà geometriche del gruppo delle omografie; principio di simmetria e sue applicazioni; un modello di piano iperbolico; cenni sulle funzioni di più variabili complesse.
    • Calcolo delle variazioni B (6 cfu)

      • Teoria della regolarità per minimi di funzionali integrali.
    • Algebre e gruppi di Lie (6 cfu)

      • Teoremi di struttura per le algebre di Lie di dimensione finita (incluso il caso delle algebre semisemplici complesse). Gruppi di Lie e relazione con le algebre di Lie. Introduzione alla teoria delle rappresentazioni delle algebre e gruppi di Lie.
    • Origini e sviluppo delle matematiche moderne (6 cfu)

      • Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica moderna: inquadramento generale, lettura diretta di testi, discussione della letteratura in materia.
    • Fisica II (9 cfu)

      • Elettrostatica e magnetostatica nel vuoto, correnti stazionarie, induzione, circuiti passivi lineari RLC, equazioni di Maxwell, onde elettromagnetiche, polarizzazione, irraggiamento, riflessione e rifrazione.
    • Geometria algebrica C (6 cfu)

      • Curve e superfici di Riemann.
    • Teoria e metodi dell'ottimizzazione (6 cfu)

      • Ottimizzazione non lineare: condizioni di ottimalità per problemi vincolati e non vincolati, teoria della dualità, metodi risolutivi per problemi vincolati e non vincolati, applicazioni.
    • Analisi superiore (6 cfu)

      • Spazi vettoriali topologici. misure e distribuzioni. Operatori illimitatii, aggiunto ad un operatore non limiato, teoria spettrale per operatori non limitati. Calcolo funzionale Forme quadratiche, soluzioni deboli e soluzioni forti.
    • Topologia algebrica (6 cfu)

      • Omotopia e teorie coomologiche.
    • Geometria algebrica E (6 cfu)

      • Superfici algebriche.
    • Algebra computazionale B (6 cfu)

      • Metodi effettivi per la risoluzione di sistemi di equazioni polimonmiali.
    • Algebra lineare e multilineare (6 cfu)

      • Strutture algebriche lineari.
    • Complementi di analisi funzionale (6 cfu)

      • Spazi vettoriali topologici, misure e distribuzioni. Convoluzione, trasformata di Fourier, teorema di Paley-Wiener ed applicazioni alle EDP. Teoria spettrale per operatori non limitati. Calcolo operazionale, semigruppi di operatori. Teorema di Malgrange-Ehrenpreis. Teoremi di punto fisso in dimensione infinita ed applicazioni alle EDP.
    • Topologia generale (6 cfu)

      • Spazi normali, teorema di Urysohn, compattificazioni, teorema di Baire, paracompattezza, partizioni dell’unità.
    • Analisi non standard (6 cfu)

      • Fondamenti dell'analisi non standard, scelta di applicazioni ad altre aree della matematica.
    • Elementi di topologia algebrica (6 cfu)

      • Omologia simpliciale e singolare, CW complessi, coomologia, prodotto cup, dualità di Poincaré.
    • Equazioni della fluidodinamica (6 cfu)

      • Introduzione alla teoria matematica delle equazioni alle derivate parziali della meccanica dei continui e in particolare a quelle di Eulero e Navier-Stokes per fluidi incomprimibili.
    • Topologia e geometria in bassa dimensione (6 cfu)

      • Varietà topologiche, lineari a pezzi e differenziabili di dimensione minore di 5.
    • Spazi di funzioni (6 cfu)

      • Proprietà fini delle funzioni derivabili in senso debole: funzioni di Sobolev e BV, insiemi di perimetro finito. Altri spazi di funzioni. Riarrangiamento e disuguaglianze funzionali.
    • Elementi di geometria algebrica (6 cfu)

      • Varietà affini, proiettive e quasi-proiettive. Morfismi. Applicazioni razionali. Punti lisci e dimensione.
    • Algebra 2 (6 cfu)

      • Gruppi: azioni di gruppi, costruzioni e presentazioni di gruppi. Moduli e caratterizzazione dei moduli su un PID. Anelli noetheriani. Teorema della base di Hilbert. Basi di Groebner e applicazioni.
    • Problemi e metodi della ricerca in didattica della matematica (6 cfu)

      • Il corso, rivolto agli studenti interessati alla ricerca in didattica della matematica, intende dare l’opportunità di conoscere e confrontarsi con le problematiche tipiche di tale campo di ricerca (sia quelle classiche che quelle più recenti) e con i metodi di ricerca utilizzati.
    • Teoria dei gruppi (6 cfu)

      • Serie di composizione, gruppi di permutazioni, gruppi nilpotenti, gruppi risolubili.
    • 3-varietà (6 cfu)

      • Risultati classici sulla topologia delle 3-varietà. Esempi e costruzioni di 3-varietà.
    • Fisica III (6 cfu)

      • Sistemi e trasformazioni termodinamiche, gas perfetto, prima e seconda legge, temperatura ed entropia; potenziali ritardati, relatività speciale e legami con l'elettromagnetismo, cenni su argomenti di fisica moderna (meccanica quantistica e altro).
    • Elementi di meccanica celeste (6 cfu)

      • Problema dei 2 corpi ed equazione di Keplero. Problema dei 3 corpi ristretto circolare, integrale di Jacobi, criterio di stabilità di Hill, cenni su orbite confinate ma caotiche. Maree ed evoluzione mareale nel sistema solare; la Terra come corpo esteso.
    • Equazioni ellittiche (6 cfu)

      • Teoria della regolarità. Equazioni in forma di divergenza. Equazioni non variazionali. Equazioni non lineari. Problemi al contorno. Frontiera libera. Problemi con ostacolo. Equazioni degeneri. Teoria del potenziale. Funzioni armoniche. Interpolazione. Autovalori.
    • Meccanica celeste (6 cfu)

      • Singolarità e orbite periodiche nel problema degli N corpi
    • Teoria analitica dei numeri B (6 cfu)

      • Problemi analitici di natura additiva con particolare riferimento al metodo di Hardy e Littlewood
    • Elementi di probabilità e statistica (6 cfu)

      • Probabilità su spazi numerabili: condizionamento, indipendenza, variabili aleatorie. Variabili aleatorie con densità: variabili gaussiane. Inferenza statistica: stima, test, intervalli di fiducia. Principali test statistici su modelli gaussiani.
    • Algebra omologica (6 cfu)

      • Moduli proiettivi e iniettivi. Categorie e funtori. Funtori aggiunti. Categorie di moduli. Successioni esatte, risoluzioni, funtori derivati. (Co)omologia di gruppi e algebre.
    • Algebra 1 (6 cfu)

      • Gruppi: teoremi di omomorfismo, permutazioni, gruppi abeliani finiti. Anelli e ideali, anelli speciali, anelli di polinomi. Elementi di teoria di Galois.
    • Introduzione all'analisi p-adica (6 cfu)

      • Struttura dei numeri p-adici; continuità, differenziabilità e analiticità in campo p-adico.
    • Elementi avanzati di algebra lineare numerica (6 cfu)

      • Metodi di Krylov, GMRES, BiCG, polinomi di matrici, problemi polinomiali agli autovalori, funzioni di matrici.
    • Metodi numerici per equazioni differenziali ordinarie (6 cfu)

      • Problemi ai valori iniziali e ai valori limite, metodi a un passo, metodi a più passi, metodi di shooting.
    • 2-varietà (6 cfu)

      • Varietà di dimensione due e loro automorfismi.
    • Algoritmi e strutture dei dati (6 cfu)

      • Strutture dei dati, analisi di algoritmi e complessità, progetto di algoritmi.
    • Teoria ergodica (6 cfu)

      • Teoremi di Krein-Milman e di Choquet, teoria spettrale. Esempi di base. Teoremi di Poincaré, Birkhoff, von Neumann. Decomposizione ergodica. "Mixing" e "weak mixing". Operatore di Perron- Frobenius. Decadimento delle correlazioni. Entropia. Dinamica simbolica. Catene di Markov e misura di Parry.
    • Teoria dei codici (6 cfu)

      • Trasmissione con errore, correzione d'errore. Famiglie di codici correttori. Metodi di geometria algebrica e algebra computazionale per la costruzione di codici e la decodifica.
    • Teoria dei controlli (6 cfu)

      • Teoria di controllabilità, osservabilità e stabilizzazione via feedback; modelli di controllo lineari; teoria geometrica di controllabilità per sistemi regolari; sistemi switching e sistemi ibridi.
    • Dinamica iperbolica (6 cfu)

      • Sistemi dinamici iperbolici; dinamica in dimensione bassa.
    • Analisi complessa A (6 cfu)

      • Il fascio dei germi delle funzioni analitiche; Nullstellensatz; spazi analitici; Teoremi A e B di Cartan.
    • Probabilità superiore (6 cfu)

      • Presentazione di una selezione di argomenti avanzati di probabilità quali Spazi Gaussiani, Calcolo di Malliavin, processi di Levy e Levy-stabili.
    • Equazioni alle derivate parziali 2 (6 cfu)

      • Selezione di argomenti avanzati della teoria delle equazioni alle derivate parziali.
    • Equazioni iperboliche (6 cfu)

      • Equazioni differenziali di tipo iperbolico, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
    • Modelli matematici in biomedicina e fisica matematica (6 cfu)

      • Obiettivi formativi: Equazioni differenziali ordinarie con effetti dissipativi (ritardo, memoria, etc) e stabilità, e loro applicazioni in biomedicina. Equazioni alle derivate parziali e loro applicazioni in fisica matematica.
    • Analisi geometrica (6 cfu)

      • Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi geometrica.
    • Geometria algebrica F (6 cfu)

      • Varietà toriche.
    • Teoria descrittiva della complessità (6 cfu)

      • Modelli finiti e complessità computazionale
    • Teoria dei modelli (6 cfu)

      • Modelli di teorie del primo ordine. Compattezza. Equivalenza elementare. Applicazioni all'aritmetica, ai campi, e ad altre strutture algebrico-relazionali.
    • Elementi di teoria degli insiemi (6 cfu)

      • Nozioni di logica. Teoria assiomatica degli insiemi. Cardinali. Ordinali.
    • Teoria geometrica della misura (6 cfu)

      • Nozioni di base di teoria geometrica della misura. Correnti normali ed intere. Esistenza delle soluzioni per il problema di Plateau omologico. Varifold.
    • Problem solving (6 cfu)

      • Ruolo dei problemi nell’insegnamento della matematica; euristiche; problem solving e problem posing.
    • Teoria dei giochi (6 cfu)

      • Equilibri nei modelli di giochi noncooperativi, teoria dei giochi cooperativi, giochi posizionali e giochi differenziali
    • Analisi in spazi metrici (6 cfu)

      • Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi su spazi metrici.
    • Equazioni differenziali stocastiche e applicazioni (6 cfu)

      • Introduzione ai teoremi di esistenza ed unicità (debole o forte) per equazioni differenziali stocastiche ordinarie, legami con le equazioni alle derivate parziali, applicazioni in ambito fisico o biologico.
    • Matematica e società (6 cfu)

      • Matematica, società e curricula; il contesto culturale nell'insegnamento ed apprendimento della matematica; il ruolo delle conoscenze matematiche non-scolastiche.
    • Matematiche elementari da un punto di vista superiore: aritmetica (6 cfu)

      • Gli insiemi numerici: possibili introduzioni, proprietà
    • Fondamenti della matematica (6 cfu)

      • Sistemi formali e teorie fondazionali.
    • Geometria algebrica B (6 cfu)

      • Varietà complesse, metodi trascendenti
    • Equazioni paraboliche (6 cfu)

      • Equazioni differenziali di tipo parabolico, lineari e non lineari, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
    • Meccanica superiore (6 cfu)

      • Obiettivi formativi: Indicatori di comportamento caotico e metodi ergodici per sistemi meccanici
    • Teoria della misura (6 cfu)

      • Misure astratte, misure su uno spazio topologico, integrale di Daniell, convergenze di misure.
    • 4-varietà (6 cfu)

      • Risultati classici sulla topologia delle 4-varietà. Esempi e costruzioni di 4-varietà.
    • Complementi di fisica (6 cfu)

      • Onde. Elementi di relatività ristretta. Equazioni d'onda relativistiche. Complementi di termodinamica e statistica.
    • Statistica matematica (6 cfu)

      • Modelli statistici: modelli dominati. Stime: stime consistenti e di Massima verosimiglianza. Intervalli di fiducia e test. I principali test sui modelli gaussiani (di Student, di Fisher Snedecor). Modelli statistici non parametrici: teorema di Glivenko-Cantelli e e test del chi-quadro.
    • Analisi reale (6 cfu)

      • Fondamenti dell'analisi reale (teoria della misura, spazi di funzioni).
    • Capacità non lineare, disequazioni variazionali e applicazioni (6 cfu)

      • Il percorso scelto ci permetterà di illustrare alcune tecniche e argomenti classici per trovare condizioni necessarie e sufficienti affinché un punto di frontiera sia regolare relativamente al problema di Dirichlet non omogeneo per l'operatore di Laplace non-lineare (il cosiddetto p-laplaciano).
    • Complementi di didattica della matematica (6 cfu)

      • Processi di apprendimento della matematica; contesti e tipi di razionalità; ostacoli epistemologici e didattici nell’insegnamento della matematica
    • Teoria della dimostrazione (6 cfu)

      • Il concetto formale di dimostrazione. Sistemi dimostrativi. Logiche non classiche. Analisi ordinale
    • Geometria iperbolica (6 cfu)

      • Lo spazio iperbolico. Esempi e costruzioni di varietà iperboliche. Proprietà topologiche e geometriche di varietà iperboliche.
  • 9 cfu a scelta nel gruppo IstAppl

    • Istituzioni applicative
    • Istituzioni di analisi numerica (9 cfu)

      • Polinomi ortogonali; approssimazione ai minimi quadrati e minimax; interpolazione spline; formule gaussiane di integrazione. Metodi alle differenze finite per equazioni alle derivate parziali di tipo ellittico, parabolico e iperbolico.
    • Istituzioni di fisica matematica (9 cfu)

      • Principi variazionali della Meccanica ed equazioni di Eulero-Lagrange, dinamica e geodetiche, sistemi hamiltoniani, trasformazioni canoniche, equazione di Hamilton-Jacobi, problemi integrabili e teorema di Liouville-Arnold, introduzione alla teoria delle perturbazioni.
    • Istituzioni di probabilità (9 cfu)

      • Processi stocastici a tempi continui, processi di Markov: due esempi (processo di Wiener e processo di Poisson). Integrazione stocastica secondo Ito, formula di Ito e applicazioni. Equazioni differenziali stocastiche e legami con equazioni a derivate parziali. Alcune applicazioni (filtraggio e formule di Black-Scholes).
  • 6 cfu a scelta nel gruppo ModTeor

    • Moduli teorici
    • Dinamica olomorfa (6 cfu)

      • Insiemi di Julia e di Fatou; dinamica di funzioni olomorfe di una variabile.
    • Teoria dei numeri elementare (6 cfu)

      • Congruenze di grado superiore al primo e struttura moltiplicativa delle classi di resto. Proprietà algebriche e asintotiche delle funzioni aritmetiche. Problemi additivi e moltiplicativi legati alla distribuzione dei numeri primi. Approssimazioni razionali di numeri algebrici e trascendenti
    • Problemi di evoluzione (6 cfu)

      • Equazioni astratte, scale di Banach. Teorema di Cauchy-Kovalewski. Caratteristiche. Equazione delle onde. Sistemi iperbolici a coefficienti costanti. Condizioni  di Hadamard-Garding. Sistemi simmetrici, metodo dell'energia. Sistemi strettamente iperbolici. Simmetrizzatore micro-locale.
    • Elementi di calcolo delle variazioni (6 cfu)

      • Principi variazionali in una e più variabili. Equazione di Eulero-Lagrange. Condizioni sufficienti di minimalità. Esempi classici di problemi variazionali. Funzioni assolutamente continue e metodo diretto. Geodetiche. Teorema del passo montano e principi di minimax.
    • Teoria algebrica dei numeri 1 (6 cfu)

      • Campi di numeri, interi dei campi di numeri; fattorizzazione unica degli ideali, ramificazione, gruppo delle classi di ideali, teorema delle unità di Dirichlet.
    • Teoria dei campi e teoria di Galois (6 cfu)

      • Estensioni algebriche ed estensioni trascendenti, chiusura algebrica, separabilità, teoria di Galois, risolubilità, estensioni abeliane, teoria di Kummer.
    • Metodi topologici in analisi globale (6 cfu)

      • Elementi di analisi non lineare per alcuni problemi di tipo “globale”, quali: il problema della sella, il punto fisso di Brouwer, le dimensioni e l’invarianza del dominio, la pettinabilità della sfera, il problema di Jordan. Applicazioni alle equazioni differenziali.
    • Geometria reale B (6 cfu)

      • Geometria degli insiemi semianalitici e subanalitici.
    • Geometria e topologia delle superfici (6 cfu)

      • Spazio di Teichmüller; laminazioni geodetiche; complessi di curve.
    • Calcolo delle variazioni A (6 cfu)

      • Il metodo diretto nel calcolo delle variazioni. Condizioni necessarie e sufficienti di semicontinuità inferiore per funzionali integrali su spazi di Sobolev di funzioni scalari. Il caso vettoriale. Integrali invarianti. Misure di Young e misure di Young gradienti. Convessità, convessità di rango-uno, quasiconessità, policonvessità. Rilassamento.
    • Algebra superiore A (6 cfu)

      • Algebra commutativa.
    • Analisi armonica (6 cfu)

      • Fondamenti dell'Analisi armonica, interpolazione reale e comlessa, spazi di Lorentz, funzioni massimali, teoria di Calderon-Zygmund, spazi BMO, moltiplicatori di Fourier, integrali oscillanti e teoremi di restizione.
    • Ultrafiltri e metodi nonstandard (6 cfu)

      • Ultrafiltri e ultrapotenze. Fondamenti dell'analisi non-standard. Applicazioni alla teoria di Ramsey e alla teoria combinatoria dei numeri.
    • Equazioni alle derivate parziali (6 cfu)

      • Equazioni e sistemi del primo ordine. Rappresentazione esplicita delle soluzioni delle equazioni di Laplace, del calore, e delle onde. Proprietà qualitative delle soluzioni: principio del massimo, unicità, regolarità e dispersione.
    • Analisi convessa (6 cfu)

      • Topologie deboli su spazi di Banach, funzioni convesse, calcolo in spazi di Banach, sottodifferenziale, disequazioni variazionali, multifunzioni.
    • Geometria riemanniana (6 cfu)

      • Relazioni fra curvatura e topologia; teoremi di confronto e di pinching.
    • Algebra commutativa e geometria algebrica computazionale (6 cfu)

      • Costruzioni e algoritmi per l'algebra commutativa e la geometria algebrica, applicazioni.
    • Elementi di algebra computazionale (6 cfu)

      • Rappresentazione di interi e polinomi. Algoritmi algebrici fondamentati. Sistemi di calcolo algebrico.
    • Geometria reale A (6 cfu)

      • Geometria degli insiemi semialgebrici. Algebra reale. Strutture o-minimali.
    • Logica matematica (6 cfu)

      • Calcolo dei predicati. Teoremi di incompletezza di Godel. Decidibilità e indecidibilità.
    • Algebra superiore B (6 cfu)

      • Algebre e loro rappresentazioni
    • Geometria differenziale complessa (6 cfu)

      • Varietà complesse; coomologia di Dolbeault; varietà di Stein; metriche e distanze intrinseche.
    • Teoria degli insiemi (6 cfu)

      • Modelli della teoria degli insiemi.
    • Teoria dei nodi (6 cfu)

      • Invarianti di nodi e di link. Trecce.
    • Geometria e topologia differenziale (6 cfu)

      • Geometria differenziale di curve e superfici nello spazio euclideo, introduzione a varietà e mappe differenziabili in dimensione n.
    • Geometria algebrica A (6 cfu)

      • Schemi, fasci, coomologia.
    • Analisi non lineare (6 cfu)

      • Teorie e metodi sul comportamento globale di operatori non lineari, fra spazi di dimensione finita o spazi di funzioni, collegati con classici problemio equazioni non lineari.
    • Topologia differenziale (6 cfu)

      • Funzioni di Morse e decomposizioni in manici. Teorema dell'h-cobordismo.
    • Algebra computazionale A (6 cfu)

      • Aritmetica, fattorizzazione, integrazione.
    • Analisi matematica 3 (6 cfu)

      • Spazi di Hilbert. Spazi di Lebesgue L^p. Convoluzione di funzioni. Serie di Fourier. Trasformata di Fourier. Formula dell'area e integrazione su superfici. Funzioni armoniche.
    • Teoria analitica dei numeri A (6 cfu)

      • Problemi legati alla distribuzione dei primi; la Zeta di Riemann e le funzioni L di Dirichlet.
    • Elementi di analisi complessa (6 cfu)

      • Teorema di uniformizzazione di Riemann; proprietà geometriche del gruppo delle omografie; principio di simmetria e sue applicazioni; un modello di piano iperbolico; cenni sulle funzioni di più variabili complesse.
    • Geometria algebrica C (6 cfu)

      • Curve e superfici di Riemann.
    • Analisi superiore (6 cfu)

      • Spazi vettoriali topologici. misure e distribuzioni. Operatori illimitatii, aggiunto ad un operatore non limiato, teoria spettrale per operatori non limitati. Calcolo funzionale Forme quadratiche, soluzioni deboli e soluzioni forti.
    • Topologia algebrica (6 cfu)

      • Omotopia e teorie coomologiche.
    • Algebra computazionale B (6 cfu)

      • Metodi effettivi per la risoluzione di sistemi di equazioni polimonmiali.
    • Elementi di topologia algebrica (6 cfu)

      • Omologia simpliciale e singolare, CW complessi, coomologia, prodotto cup, dualità di Poincaré.
    • Equazioni della fluidodinamica (6 cfu)

      • Introduzione alla teoria matematica delle equazioni alle derivate parziali della meccanica dei continui e in particolare a quelle di Eulero e Navier-Stokes per fluidi incomprimibili.
    • Topologia e geometria in bassa dimensione (6 cfu)

      • Varietà topologiche, lineari a pezzi e differenziabili di dimensione minore di 5.
    • Elementi di geometria algebrica (6 cfu)

      • Varietà affini, proiettive e quasi-proiettive. Morfismi. Applicazioni razionali. Punti lisci e dimensione.
    • Algebra 2 (6 cfu)

      • Gruppi: azioni di gruppi, costruzioni e presentazioni di gruppi. Moduli e caratterizzazione dei moduli su un PID. Anelli noetheriani. Teorema della base di Hilbert. Basi di Groebner e applicazioni.
    • 3-varietà (6 cfu)

      • Risultati classici sulla topologia delle 3-varietà. Esempi e costruzioni di 3-varietà.
    • Equazioni ellittiche (6 cfu)

      • Teoria della regolarità. Equazioni in forma di divergenza. Equazioni non variazionali. Equazioni non lineari. Problemi al contorno. Frontiera libera. Problemi con ostacolo. Equazioni degeneri. Teoria del potenziale. Funzioni armoniche. Interpolazione. Autovalori.
    • Teoria dei controlli (6 cfu)

      • Teoria di controllabilità, osservabilità e stabilizzazione via feedback; modelli di controllo lineari; teoria geometrica di controllabilità per sistemi regolari; sistemi switching e sistemi ibridi.
    • Analisi complessa A (6 cfu)

      • Il fascio dei germi delle funzioni analitiche; Nullstellensatz; spazi analitici; Teoremi A e B di Cartan.
    • Equazioni alle derivate parziali 2 (6 cfu)

      • Selezione di argomenti avanzati della teoria delle equazioni alle derivate parziali.
    • Equazioni iperboliche (6 cfu)

      • Equazioni differenziali di tipo iperbolico, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
    • Teoria dei modelli (6 cfu)

      • Modelli di teorie del primo ordine. Compattezza. Equivalenza elementare. Applicazioni all'aritmetica, ai campi, e ad altre strutture algebrico-relazionali.
    • Elementi di teoria degli insiemi (6 cfu)

      • Nozioni di logica. Teoria assiomatica degli insiemi. Cardinali. Ordinali.
    • Geometria algebrica B (6 cfu)

      • Varietà complesse, metodi trascendenti
    • Teoria della misura (6 cfu)

      • Misure astratte, misure su uno spazio topologico, integrale di Daniell, convergenze di misure.
    • Geometria iperbolica (6 cfu)

      • Lo spazio iperbolico. Esempi e costruzioni di varietà iperboliche. Proprietà topologiche e geometriche di varietà iperboliche.
  • 6 cfu a scelta nel gruppo ModTeor

    • Moduli teorici
    • Dinamica olomorfa (6 cfu)

      • Insiemi di Julia e di Fatou; dinamica di funzioni olomorfe di una variabile.
    • Teoria dei numeri elementare (6 cfu)

      • Congruenze di grado superiore al primo e struttura moltiplicativa delle classi di resto. Proprietà algebriche e asintotiche delle funzioni aritmetiche. Problemi additivi e moltiplicativi legati alla distribuzione dei numeri primi. Approssimazioni razionali di numeri algebrici e trascendenti
    • Problemi di evoluzione (6 cfu)

      • Equazioni astratte, scale di Banach. Teorema di Cauchy-Kovalewski. Caratteristiche. Equazione delle onde. Sistemi iperbolici a coefficienti costanti. Condizioni  di Hadamard-Garding. Sistemi simmetrici, metodo dell'energia. Sistemi strettamente iperbolici. Simmetrizzatore micro-locale.
    • Elementi di calcolo delle variazioni (6 cfu)

      • Principi variazionali in una e più variabili. Equazione di Eulero-Lagrange. Condizioni sufficienti di minimalità. Esempi classici di problemi variazionali. Funzioni assolutamente continue e metodo diretto. Geodetiche. Teorema del passo montano e principi di minimax.
    • Teoria algebrica dei numeri 1 (6 cfu)

      • Campi di numeri, interi dei campi di numeri; fattorizzazione unica degli ideali, ramificazione, gruppo delle classi di ideali, teorema delle unità di Dirichlet.
    • Teoria dei campi e teoria di Galois (6 cfu)

      • Estensioni algebriche ed estensioni trascendenti, chiusura algebrica, separabilità, teoria di Galois, risolubilità, estensioni abeliane, teoria di Kummer.
    • Metodi topologici in analisi globale (6 cfu)

      • Elementi di analisi non lineare per alcuni problemi di tipo “globale”, quali: il problema della sella, il punto fisso di Brouwer, le dimensioni e l’invarianza del dominio, la pettinabilità della sfera, il problema di Jordan. Applicazioni alle equazioni differenziali.
    • Geometria reale B (6 cfu)

      • Geometria degli insiemi semianalitici e subanalitici.
    • Geometria e topologia delle superfici (6 cfu)

      • Spazio di Teichmüller; laminazioni geodetiche; complessi di curve.
    • Calcolo delle variazioni A (6 cfu)

      • Il metodo diretto nel calcolo delle variazioni. Condizioni necessarie e sufficienti di semicontinuità inferiore per funzionali integrali su spazi di Sobolev di funzioni scalari. Il caso vettoriale. Integrali invarianti. Misure di Young e misure di Young gradienti. Convessità, convessità di rango-uno, quasiconessità, policonvessità. Rilassamento.
    • Algebra superiore A (6 cfu)

      • Algebra commutativa.
    • Analisi armonica (6 cfu)

      • Fondamenti dell'Analisi armonica, interpolazione reale e comlessa, spazi di Lorentz, funzioni massimali, teoria di Calderon-Zygmund, spazi BMO, moltiplicatori di Fourier, integrali oscillanti e teoremi di restizione.
    • Ultrafiltri e metodi nonstandard (6 cfu)

      • Ultrafiltri e ultrapotenze. Fondamenti dell'analisi non-standard. Applicazioni alla teoria di Ramsey e alla teoria combinatoria dei numeri.
    • Equazioni alle derivate parziali (6 cfu)

      • Equazioni e sistemi del primo ordine. Rappresentazione esplicita delle soluzioni delle equazioni di Laplace, del calore, e delle onde. Proprietà qualitative delle soluzioni: principio del massimo, unicità, regolarità e dispersione.
    • Analisi convessa (6 cfu)

      • Topologie deboli su spazi di Banach, funzioni convesse, calcolo in spazi di Banach, sottodifferenziale, disequazioni variazionali, multifunzioni.
    • Geometria riemanniana (6 cfu)

      • Relazioni fra curvatura e topologia; teoremi di confronto e di pinching.
    • Algebra commutativa e geometria algebrica computazionale (6 cfu)

      • Costruzioni e algoritmi per l'algebra commutativa e la geometria algebrica, applicazioni.
    • Elementi di algebra computazionale (6 cfu)

      • Rappresentazione di interi e polinomi. Algoritmi algebrici fondamentati. Sistemi di calcolo algebrico.
    • Geometria reale A (6 cfu)

      • Geometria degli insiemi semialgebrici. Algebra reale. Strutture o-minimali.
    • Logica matematica (6 cfu)

      • Calcolo dei predicati. Teoremi di incompletezza di Godel. Decidibilità e indecidibilità.
    • Algebra superiore B (6 cfu)

      • Algebre e loro rappresentazioni
    • Geometria differenziale complessa (6 cfu)

      • Varietà complesse; coomologia di Dolbeault; varietà di Stein; metriche e distanze intrinseche.
    • Teoria degli insiemi (6 cfu)

      • Modelli della teoria degli insiemi.
    • Teoria dei nodi (6 cfu)

      • Invarianti di nodi e di link. Trecce.
    • Geometria e topologia differenziale (6 cfu)

      • Geometria differenziale di curve e superfici nello spazio euclideo, introduzione a varietà e mappe differenziabili in dimensione n.
    • Geometria algebrica A (6 cfu)

      • Schemi, fasci, coomologia.
    • Analisi non lineare (6 cfu)

      • Teorie e metodi sul comportamento globale di operatori non lineari, fra spazi di dimensione finita o spazi di funzioni, collegati con classici problemio equazioni non lineari.
    • Topologia differenziale (6 cfu)

      • Funzioni di Morse e decomposizioni in manici. Teorema dell'h-cobordismo.
    • Algebra computazionale A (6 cfu)

      • Aritmetica, fattorizzazione, integrazione.
    • Analisi matematica 3 (6 cfu)

      • Spazi di Hilbert. Spazi di Lebesgue L^p. Convoluzione di funzioni. Serie di Fourier. Trasformata di Fourier. Formula dell'area e integrazione su superfici. Funzioni armoniche.
    • Teoria analitica dei numeri A (6 cfu)

      • Problemi legati alla distribuzione dei primi; la Zeta di Riemann e le funzioni L di Dirichlet.
    • Elementi di analisi complessa (6 cfu)

      • Teorema di uniformizzazione di Riemann; proprietà geometriche del gruppo delle omografie; principio di simmetria e sue applicazioni; un modello di piano iperbolico; cenni sulle funzioni di più variabili complesse.
    • Geometria algebrica C (6 cfu)

      • Curve e superfici di Riemann.
    • Analisi superiore (6 cfu)

      • Spazi vettoriali topologici. misure e distribuzioni. Operatori illimitatii, aggiunto ad un operatore non limiato, teoria spettrale per operatori non limitati. Calcolo funzionale Forme quadratiche, soluzioni deboli e soluzioni forti.
    • Topologia algebrica (6 cfu)

      • Omotopia e teorie coomologiche.
    • Algebra computazionale B (6 cfu)

      • Metodi effettivi per la risoluzione di sistemi di equazioni polimonmiali.
    • Elementi di topologia algebrica (6 cfu)

      • Omologia simpliciale e singolare, CW complessi, coomologia, prodotto cup, dualità di Poincaré.
    • Equazioni della fluidodinamica (6 cfu)

      • Introduzione alla teoria matematica delle equazioni alle derivate parziali della meccanica dei continui e in particolare a quelle di Eulero e Navier-Stokes per fluidi incomprimibili.
    • Topologia e geometria in bassa dimensione (6 cfu)

      • Varietà topologiche, lineari a pezzi e differenziabili di dimensione minore di 5.
    • Elementi di geometria algebrica (6 cfu)

      • Varietà affini, proiettive e quasi-proiettive. Morfismi. Applicazioni razionali. Punti lisci e dimensione.
    • Algebra 2 (6 cfu)

      • Gruppi: azioni di gruppi, costruzioni e presentazioni di gruppi. Moduli e caratterizzazione dei moduli su un PID. Anelli noetheriani. Teorema della base di Hilbert. Basi di Groebner e applicazioni.
    • 3-varietà (6 cfu)

      • Risultati classici sulla topologia delle 3-varietà. Esempi e costruzioni di 3-varietà.
    • Equazioni ellittiche (6 cfu)

      • Teoria della regolarità. Equazioni in forma di divergenza. Equazioni non variazionali. Equazioni non lineari. Problemi al contorno. Frontiera libera. Problemi con ostacolo. Equazioni degeneri. Teoria del potenziale. Funzioni armoniche. Interpolazione. Autovalori.
    • Teoria dei controlli (6 cfu)

      • Teoria di controllabilità, osservabilità e stabilizzazione via feedback; modelli di controllo lineari; teoria geometrica di controllabilità per sistemi regolari; sistemi switching e sistemi ibridi.
    • Analisi complessa A (6 cfu)

      • Il fascio dei germi delle funzioni analitiche; Nullstellensatz; spazi analitici; Teoremi A e B di Cartan.
    • Equazioni alle derivate parziali 2 (6 cfu)

      • Selezione di argomenti avanzati della teoria delle equazioni alle derivate parziali.
    • Equazioni iperboliche (6 cfu)

      • Equazioni differenziali di tipo iperbolico, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
    • Teoria dei modelli (6 cfu)

      • Modelli di teorie del primo ordine. Compattezza. Equivalenza elementare. Applicazioni all'aritmetica, ai campi, e ad altre strutture algebrico-relazionali.
    • Elementi di teoria degli insiemi (6 cfu)

      • Nozioni di logica. Teoria assiomatica degli insiemi. Cardinali. Ordinali.
    • Geometria algebrica B (6 cfu)

      • Varietà complesse, metodi trascendenti
    • Teoria della misura (6 cfu)

      • Misure astratte, misure su uno spazio topologico, integrale di Daniell, convergenze di misure.
    • Geometria iperbolica (6 cfu)

      • Lo spazio iperbolico. Esempi e costruzioni di varietà iperboliche. Proprietà topologiche e geometriche di varietà iperboliche.
  • 6 cfu a scelta nel gruppo ModTeor

    • Moduli teorici
    • Dinamica olomorfa (6 cfu)

      • Insiemi di Julia e di Fatou; dinamica di funzioni olomorfe di una variabile.
    • Teoria dei numeri elementare (6 cfu)

      • Congruenze di grado superiore al primo e struttura moltiplicativa delle classi di resto. Proprietà algebriche e asintotiche delle funzioni aritmetiche. Problemi additivi e moltiplicativi legati alla distribuzione dei numeri primi. Approssimazioni razionali di numeri algebrici e trascendenti
    • Problemi di evoluzione (6 cfu)

      • Equazioni astratte, scale di Banach. Teorema di Cauchy-Kovalewski. Caratteristiche. Equazione delle onde. Sistemi iperbolici a coefficienti costanti. Condizioni  di Hadamard-Garding. Sistemi simmetrici, metodo dell'energia. Sistemi strettamente iperbolici. Simmetrizzatore micro-locale.
    • Elementi di calcolo delle variazioni (6 cfu)

      • Principi variazionali in una e più variabili. Equazione di Eulero-Lagrange. Condizioni sufficienti di minimalità. Esempi classici di problemi variazionali. Funzioni assolutamente continue e metodo diretto. Geodetiche. Teorema del passo montano e principi di minimax.
    • Teoria algebrica dei numeri 1 (6 cfu)

      • Campi di numeri, interi dei campi di numeri; fattorizzazione unica degli ideali, ramificazione, gruppo delle classi di ideali, teorema delle unità di Dirichlet.
    • Teoria dei campi e teoria di Galois (6 cfu)

      • Estensioni algebriche ed estensioni trascendenti, chiusura algebrica, separabilità, teoria di Galois, risolubilità, estensioni abeliane, teoria di Kummer.
    • Metodi topologici in analisi globale (6 cfu)

      • Elementi di analisi non lineare per alcuni problemi di tipo “globale”, quali: il problema della sella, il punto fisso di Brouwer, le dimensioni e l’invarianza del dominio, la pettinabilità della sfera, il problema di Jordan. Applicazioni alle equazioni differenziali.
    • Geometria reale B (6 cfu)

      • Geometria degli insiemi semianalitici e subanalitici.
    • Geometria e topologia delle superfici (6 cfu)

      • Spazio di Teichmüller; laminazioni geodetiche; complessi di curve.
    • Calcolo delle variazioni A (6 cfu)

      • Il metodo diretto nel calcolo delle variazioni. Condizioni necessarie e sufficienti di semicontinuità inferiore per funzionali integrali su spazi di Sobolev di funzioni scalari. Il caso vettoriale. Integrali invarianti. Misure di Young e misure di Young gradienti. Convessità, convessità di rango-uno, quasiconessità, policonvessità. Rilassamento.
    • Algebra superiore A (6 cfu)

      • Algebra commutativa.
    • Analisi armonica (6 cfu)

      • Fondamenti dell'Analisi armonica, interpolazione reale e comlessa, spazi di Lorentz, funzioni massimali, teoria di Calderon-Zygmund, spazi BMO, moltiplicatori di Fourier, integrali oscillanti e teoremi di restizione.
    • Ultrafiltri e metodi nonstandard (6 cfu)

      • Ultrafiltri e ultrapotenze. Fondamenti dell'analisi non-standard. Applicazioni alla teoria di Ramsey e alla teoria combinatoria dei numeri.
    • Equazioni alle derivate parziali (6 cfu)

      • Equazioni e sistemi del primo ordine. Rappresentazione esplicita delle soluzioni delle equazioni di Laplace, del calore, e delle onde. Proprietà qualitative delle soluzioni: principio del massimo, unicità, regolarità e dispersione.
    • Analisi convessa (6 cfu)

      • Topologie deboli su spazi di Banach, funzioni convesse, calcolo in spazi di Banach, sottodifferenziale, disequazioni variazionali, multifunzioni.
    • Geometria riemanniana (6 cfu)

      • Relazioni fra curvatura e topologia; teoremi di confronto e di pinching.
    • Algebra commutativa e geometria algebrica computazionale (6 cfu)

      • Costruzioni e algoritmi per l'algebra commutativa e la geometria algebrica, applicazioni.
    • Elementi di algebra computazionale (6 cfu)

      • Rappresentazione di interi e polinomi. Algoritmi algebrici fondamentati. Sistemi di calcolo algebrico.
    • Geometria reale A (6 cfu)

      • Geometria degli insiemi semialgebrici. Algebra reale. Strutture o-minimali.
    • Logica matematica (6 cfu)

      • Calcolo dei predicati. Teoremi di incompletezza di Godel. Decidibilità e indecidibilità.
    • Algebra superiore B (6 cfu)

      • Algebre e loro rappresentazioni
    • Geometria differenziale complessa (6 cfu)

      • Varietà complesse; coomologia di Dolbeault; varietà di Stein; metriche e distanze intrinseche.
    • Teoria degli insiemi (6 cfu)

      • Modelli della teoria degli insiemi.
    • Teoria dei nodi (6 cfu)

      • Invarianti di nodi e di link. Trecce.
    • Geometria e topologia differenziale (6 cfu)

      • Geometria differenziale di curve e superfici nello spazio euclideo, introduzione a varietà e mappe differenziabili in dimensione n.
    • Geometria algebrica A (6 cfu)

      • Schemi, fasci, coomologia.
    • Analisi non lineare (6 cfu)

      • Teorie e metodi sul comportamento globale di operatori non lineari, fra spazi di dimensione finita o spazi di funzioni, collegati con classici problemio equazioni non lineari.
    • Topologia differenziale (6 cfu)

      • Funzioni di Morse e decomposizioni in manici. Teorema dell'h-cobordismo.
    • Algebra computazionale A (6 cfu)

      • Aritmetica, fattorizzazione, integrazione.
    • Analisi matematica 3 (6 cfu)

      • Spazi di Hilbert. Spazi di Lebesgue L^p. Convoluzione di funzioni. Serie di Fourier. Trasformata di Fourier. Formula dell'area e integrazione su superfici. Funzioni armoniche.
    • Teoria analitica dei numeri A (6 cfu)

      • Problemi legati alla distribuzione dei primi; la Zeta di Riemann e le funzioni L di Dirichlet.
    • Elementi di analisi complessa (6 cfu)

      • Teorema di uniformizzazione di Riemann; proprietà geometriche del gruppo delle omografie; principio di simmetria e sue applicazioni; un modello di piano iperbolico; cenni sulle funzioni di più variabili complesse.
    • Geometria algebrica C (6 cfu)

      • Curve e superfici di Riemann.
    • Analisi superiore (6 cfu)

      • Spazi vettoriali topologici. misure e distribuzioni. Operatori illimitatii, aggiunto ad un operatore non limiato, teoria spettrale per operatori non limitati. Calcolo funzionale Forme quadratiche, soluzioni deboli e soluzioni forti.
    • Topologia algebrica (6 cfu)

      • Omotopia e teorie coomologiche.
    • Algebra computazionale B (6 cfu)

      • Metodi effettivi per la risoluzione di sistemi di equazioni polimonmiali.
    • Elementi di topologia algebrica (6 cfu)

      • Omologia simpliciale e singolare, CW complessi, coomologia, prodotto cup, dualità di Poincaré.
    • Equazioni della fluidodinamica (6 cfu)

      • Introduzione alla teoria matematica delle equazioni alle derivate parziali della meccanica dei continui e in particolare a quelle di Eulero e Navier-Stokes per fluidi incomprimibili.
    • Topologia e geometria in bassa dimensione (6 cfu)

      • Varietà topologiche, lineari a pezzi e differenziabili di dimensione minore di 5.
    • Elementi di geometria algebrica (6 cfu)

      • Varietà affini, proiettive e quasi-proiettive. Morfismi. Applicazioni razionali. Punti lisci e dimensione.
    • Algebra 2 (6 cfu)

      • Gruppi: azioni di gruppi, costruzioni e presentazioni di gruppi. Moduli e caratterizzazione dei moduli su un PID. Anelli noetheriani. Teorema della base di Hilbert. Basi di Groebner e applicazioni.
    • 3-varietà (6 cfu)

      • Risultati classici sulla topologia delle 3-varietà. Esempi e costruzioni di 3-varietà.
    • Equazioni ellittiche (6 cfu)

      • Teoria della regolarità. Equazioni in forma di divergenza. Equazioni non variazionali. Equazioni non lineari. Problemi al contorno. Frontiera libera. Problemi con ostacolo. Equazioni degeneri. Teoria del potenziale. Funzioni armoniche. Interpolazione. Autovalori.
    • Teoria dei controlli (6 cfu)

      • Teoria di controllabilità, osservabilità e stabilizzazione via feedback; modelli di controllo lineari; teoria geometrica di controllabilità per sistemi regolari; sistemi switching e sistemi ibridi.
    • Analisi complessa A (6 cfu)

      • Il fascio dei germi delle funzioni analitiche; Nullstellensatz; spazi analitici; Teoremi A e B di Cartan.
    • Equazioni alle derivate parziali 2 (6 cfu)

      • Selezione di argomenti avanzati della teoria delle equazioni alle derivate parziali.
    • Equazioni iperboliche (6 cfu)

      • Equazioni differenziali di tipo iperbolico, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
    • Teoria dei modelli (6 cfu)

      • Modelli di teorie del primo ordine. Compattezza. Equivalenza elementare. Applicazioni all'aritmetica, ai campi, e ad altre strutture algebrico-relazionali.
    • Elementi di teoria degli insiemi (6 cfu)

      • Nozioni di logica. Teoria assiomatica degli insiemi. Cardinali. Ordinali.
    • Geometria algebrica B (6 cfu)

      • Varietà complesse, metodi trascendenti
    • Teoria della misura (6 cfu)

      • Misure astratte, misure su uno spazio topologico, integrale di Daniell, convergenze di misure.
    • Geometria iperbolica (6 cfu)

      • Lo spazio iperbolico. Esempi e costruzioni di varietà iperboliche. Proprietà topologiche e geometriche di varietà iperboliche.
  • 6 cfu a scelta nel gruppo ModTeor

    • Moduli teorici
    • Dinamica olomorfa (6 cfu)

      • Insiemi di Julia e di Fatou; dinamica di funzioni olomorfe di una variabile.
    • Teoria dei numeri elementare (6 cfu)

      • Congruenze di grado superiore al primo e struttura moltiplicativa delle classi di resto. Proprietà algebriche e asintotiche delle funzioni aritmetiche. Problemi additivi e moltiplicativi legati alla distribuzione dei numeri primi. Approssimazioni razionali di numeri algebrici e trascendenti
    • Problemi di evoluzione (6 cfu)

      • Equazioni astratte, scale di Banach. Teorema di Cauchy-Kovalewski. Caratteristiche. Equazione delle onde. Sistemi iperbolici a coefficienti costanti. Condizioni  di Hadamard-Garding. Sistemi simmetrici, metodo dell'energia. Sistemi strettamente iperbolici. Simmetrizzatore micro-locale.
    • Elementi di calcolo delle variazioni (6 cfu)

      • Principi variazionali in una e più variabili. Equazione di Eulero-Lagrange. Condizioni sufficienti di minimalità. Esempi classici di problemi variazionali. Funzioni assolutamente continue e metodo diretto. Geodetiche. Teorema del passo montano e principi di minimax.
    • Teoria algebrica dei numeri 1 (6 cfu)

      • Campi di numeri, interi dei campi di numeri; fattorizzazione unica degli ideali, ramificazione, gruppo delle classi di ideali, teorema delle unità di Dirichlet.
    • Teoria dei campi e teoria di Galois (6 cfu)

      • Estensioni algebriche ed estensioni trascendenti, chiusura algebrica, separabilità, teoria di Galois, risolubilità, estensioni abeliane, teoria di Kummer.
    • Metodi topologici in analisi globale (6 cfu)

      • Elementi di analisi non lineare per alcuni problemi di tipo “globale”, quali: il problema della sella, il punto fisso di Brouwer, le dimensioni e l’invarianza del dominio, la pettinabilità della sfera, il problema di Jordan. Applicazioni alle equazioni differenziali.
    • Geometria reale B (6 cfu)

      • Geometria degli insiemi semianalitici e subanalitici.
    • Geometria e topologia delle superfici (6 cfu)

      • Spazio di Teichmüller; laminazioni geodetiche; complessi di curve.
    • Calcolo delle variazioni A (6 cfu)

      • Il metodo diretto nel calcolo delle variazioni. Condizioni necessarie e sufficienti di semicontinuità inferiore per funzionali integrali su spazi di Sobolev di funzioni scalari. Il caso vettoriale. Integrali invarianti. Misure di Young e misure di Young gradienti. Convessità, convessità di rango-uno, quasiconessità, policonvessità. Rilassamento.
    • Algebra superiore A (6 cfu)

      • Algebra commutativa.
    • Analisi armonica (6 cfu)

      • Fondamenti dell'Analisi armonica, interpolazione reale e comlessa, spazi di Lorentz, funzioni massimali, teoria di Calderon-Zygmund, spazi BMO, moltiplicatori di Fourier, integrali oscillanti e teoremi di restizione.
    • Ultrafiltri e metodi nonstandard (6 cfu)

      • Ultrafiltri e ultrapotenze. Fondamenti dell'analisi non-standard. Applicazioni alla teoria di Ramsey e alla teoria combinatoria dei numeri.
    • Equazioni alle derivate parziali (6 cfu)

      • Equazioni e sistemi del primo ordine. Rappresentazione esplicita delle soluzioni delle equazioni di Laplace, del calore, e delle onde. Proprietà qualitative delle soluzioni: principio del massimo, unicità, regolarità e dispersione.
    • Analisi convessa (6 cfu)

      • Topologie deboli su spazi di Banach, funzioni convesse, calcolo in spazi di Banach, sottodifferenziale, disequazioni variazionali, multifunzioni.
    • Geometria riemanniana (6 cfu)

      • Relazioni fra curvatura e topologia; teoremi di confronto e di pinching.
    • Algebra commutativa e geometria algebrica computazionale (6 cfu)

      • Costruzioni e algoritmi per l'algebra commutativa e la geometria algebrica, applicazioni.
    • Elementi di algebra computazionale (6 cfu)

      • Rappresentazione di interi e polinomi. Algoritmi algebrici fondamentati. Sistemi di calcolo algebrico.
    • Geometria reale A (6 cfu)

      • Geometria degli insiemi semialgebrici. Algebra reale. Strutture o-minimali.
    • Logica matematica (6 cfu)

      • Calcolo dei predicati. Teoremi di incompletezza di Godel. Decidibilità e indecidibilità.
    • Algebra superiore B (6 cfu)

      • Algebre e loro rappresentazioni
    • Geometria differenziale complessa (6 cfu)

      • Varietà complesse; coomologia di Dolbeault; varietà di Stein; metriche e distanze intrinseche.
    • Teoria degli insiemi (6 cfu)

      • Modelli della teoria degli insiemi.
    • Teoria dei nodi (6 cfu)

      • Invarianti di nodi e di link. Trecce.
    • Geometria e topologia differenziale (6 cfu)

      • Geometria differenziale di curve e superfici nello spazio euclideo, introduzione a varietà e mappe differenziabili in dimensione n.
    • Geometria algebrica A (6 cfu)

      • Schemi, fasci, coomologia.
    • Analisi non lineare (6 cfu)

      • Teorie e metodi sul comportamento globale di operatori non lineari, fra spazi di dimensione finita o spazi di funzioni, collegati con classici problemio equazioni non lineari.
    • Topologia differenziale (6 cfu)

      • Funzioni di Morse e decomposizioni in manici. Teorema dell'h-cobordismo.
    • Algebra computazionale A (6 cfu)

      • Aritmetica, fattorizzazione, integrazione.
    • Analisi matematica 3 (6 cfu)

      • Spazi di Hilbert. Spazi di Lebesgue L^p. Convoluzione di funzioni. Serie di Fourier. Trasformata di Fourier. Formula dell'area e integrazione su superfici. Funzioni armoniche.
    • Teoria analitica dei numeri A (6 cfu)

      • Problemi legati alla distribuzione dei primi; la Zeta di Riemann e le funzioni L di Dirichlet.
    • Elementi di analisi complessa (6 cfu)

      • Teorema di uniformizzazione di Riemann; proprietà geometriche del gruppo delle omografie; principio di simmetria e sue applicazioni; un modello di piano iperbolico; cenni sulle funzioni di più variabili complesse.
    • Geometria algebrica C (6 cfu)

      • Curve e superfici di Riemann.
    • Analisi superiore (6 cfu)

      • Spazi vettoriali topologici. misure e distribuzioni. Operatori illimitatii, aggiunto ad un operatore non limiato, teoria spettrale per operatori non limitati. Calcolo funzionale Forme quadratiche, soluzioni deboli e soluzioni forti.
    • Topologia algebrica (6 cfu)

      • Omotopia e teorie coomologiche.
    • Algebra computazionale B (6 cfu)

      • Metodi effettivi per la risoluzione di sistemi di equazioni polimonmiali.
    • Elementi di topologia algebrica (6 cfu)

      • Omologia simpliciale e singolare, CW complessi, coomologia, prodotto cup, dualità di Poincaré.
    • Equazioni della fluidodinamica (6 cfu)

      • Introduzione alla teoria matematica delle equazioni alle derivate parziali della meccanica dei continui e in particolare a quelle di Eulero e Navier-Stokes per fluidi incomprimibili.
    • Topologia e geometria in bassa dimensione (6 cfu)

      • Varietà topologiche, lineari a pezzi e differenziabili di dimensione minore di 5.
    • Elementi di geometria algebrica (6 cfu)

      • Varietà affini, proiettive e quasi-proiettive. Morfismi. Applicazioni razionali. Punti lisci e dimensione.
    • Algebra 2 (6 cfu)

      • Gruppi: azioni di gruppi, costruzioni e presentazioni di gruppi. Moduli e caratterizzazione dei moduli su un PID. Anelli noetheriani. Teorema della base di Hilbert. Basi di Groebner e applicazioni.
    • 3-varietà (6 cfu)

      • Risultati classici sulla topologia delle 3-varietà. Esempi e costruzioni di 3-varietà.
    • Equazioni ellittiche (6 cfu)

      • Teoria della regolarità. Equazioni in forma di divergenza. Equazioni non variazionali. Equazioni non lineari. Problemi al contorno. Frontiera libera. Problemi con ostacolo. Equazioni degeneri. Teoria del potenziale. Funzioni armoniche. Interpolazione. Autovalori.
    • Teoria dei controlli (6 cfu)

      • Teoria di controllabilità, osservabilità e stabilizzazione via feedback; modelli di controllo lineari; teoria geometrica di controllabilità per sistemi regolari; sistemi switching e sistemi ibridi.
    • Analisi complessa A (6 cfu)

      • Il fascio dei germi delle funzioni analitiche; Nullstellensatz; spazi analitici; Teoremi A e B di Cartan.
    • Equazioni alle derivate parziali 2 (6 cfu)

      • Selezione di argomenti avanzati della teoria delle equazioni alle derivate parziali.
    • Equazioni iperboliche (6 cfu)

      • Equazioni differenziali di tipo iperbolico, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
    • Teoria dei modelli (6 cfu)

      • Modelli di teorie del primo ordine. Compattezza. Equivalenza elementare. Applicazioni all'aritmetica, ai campi, e ad altre strutture algebrico-relazionali.
    • Elementi di teoria degli insiemi (6 cfu)

      • Nozioni di logica. Teoria assiomatica degli insiemi. Cardinali. Ordinali.
    • Geometria algebrica B (6 cfu)

      • Varietà complesse, metodi trascendenti
    • Teoria della misura (6 cfu)

      • Misure astratte, misure su uno spazio topologico, integrale di Daniell, convergenze di misure.
    • Geometria iperbolica (6 cfu)

      • Lo spazio iperbolico. Esempi e costruzioni di varietà iperboliche. Proprietà topologiche e geometriche di varietà iperboliche.
  • Secondo anno

  • A scelta dello studente (6 cfu)

    • Qualsiasi insegnamento attivato nell'Ateneo, purché coerente con il progetto formativo. La coerenza delle attività scelte dallo studente con il progetto formativo deve essere approvata dal Consiglio di Corso di Studio, anche tenendo conto degli specifici interessi culturali e di sviluppo di carriera dello studente.
  • Prova finale (27 cfu)

    • La prova finale del corso di Laurea Magistrale in Matematica consiste nella stesura di una tesi (in italiano o in inglese) elaborata in modo originale dallo studente con l’assistenza di almeno un docente (relatore), eventualmente esterno al corso di studi, e in una esposizione orale conclusiva del lavoro svolto. La prova finale verrà valutata in base alla originalità dei risultati, alla padronanza dell’argomento, all’autonomia e alle capacità espositiva e di ricerca bibliografica mostrate dal candidato. La redazione della tesi può eventualmente avvenire anche all’interno di un tirocinio formativo (stage) presso aziende o laboratori esterni, o durante soggiorni di studio presso altre università italiane ed estere, anche nel quadro di accordi internazionali.
      Alla prova finale sono attribuiti 27 CFU, di cui 1 CFU corrispondente a ulteriori attività formative utili per l’inserimento nel mondo del lavoro.
      Nomina del controrelatore.
      La tesi dev’essere esaminata anche da un controrelatore, che produrrà un parere da presentare in fase
      di discussione finale. Se il relatore è esterno al dipartimento di Matematica dell’Università di Pisa, allora il controrelatore dev’essere scelto fra i docenti afferenti al dipartimento di Matematica dell’Università di Pisa. La nomina del controrelatore spetta al presidente di corso di laurea magistrale in Matematica, partendo (ma non necessariamente limitandosi a) uno o più nominativi che devono essere suggeriti dal relatore con almeno un mese d’anticipo sulla sessione di laurea in cui sarà discussa la tesi.
  • 9 cfu a scelta nel gruppo IstTeor

    • Istituzioni teoriche
    • Istituzioni di algebra (9 cfu)

      • Localizzazione di anelli e moduli, anelli e moduli noetheriani ed artiniani, decomposizione primaria, estensioni intere, domini di Dedekind, valutazioni ed anelli di valutazione, completamenti, dimensione e polinomio di Hilbert.
    • Istituzioni di geometria (9 cfu)

      • Calcolo differenziale globale; coomologia di de Rham; connessioni e curvature; rudimenti di gruppi di Lie.
    • Istituzioni di analisi matematica (9 cfu)

      • Spazi di Banach e Hilbert. Operatori lineari, completezza, convessità, dualità, teoria spettrale per operatori compatti su spazi di Hilbert ed applicazioni al problema di Sturm. Spazi di distribuzioni. Trasformata di Fourier di distribuzioni. Spazi di Sobolev, immersioni di Sobolev, compattezza e teorema di traccia.
  • 6 cfu a scelta nel gruppo ModAffInt

    • Moduli affini e integrativi
    • Meccanica dei continui (6 cfu)

      • Richiami di calcolo tensoriale, meccanica dei continui tridimensionali e dei continui unidimensionali (anche con struttura).
    • Storia della matematica antica e della sua tradizione (6 cfu)

      • Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica antica: inquadramento generale (caratteristiche della matematica greca, concetto di tradizione testuale, edizioni di riferimento), lettura diretta di testi legati a un autore classico o a una problematica, e studio della tradizione rinascimentale e dell'impatto sulla nascita della matematica moderna.
    • Meccanica relativistica (6 cfu)

      • Relatività speciale e principio di equivalenza di Einstein. Spazio-tempo come varietà. Moto lungo una geodetica. Equazioni di Einstein per la curvatura dello spazio-tempo. Metrica di Schwarzschild e di Kerr. Esempi di osservabili relativistiche
    • Dinamica olomorfa (6 cfu)

      • Insiemi di Julia e di Fatou; dinamica di funzioni olomorfe di una variabile.
    • Spazi simmetrici (6 cfu)

      • Gruppi di Lie. Algebre di Lie. Spazi localmente simmetrici e spazi simmetrici.
    • Analisi microlocale (6 cfu)

      • Operatori pseudodifferenziali. Integrali oscillanti. Fronte d'onda e propagazione delle singolarità. Teorema di Hörmander. Ottica geometrica e operatori integrali di Fourier. Disuguaglianza di Fefferman- Phong. Calcolo paradifferenziale. Teoria di Littlewood- Paley. Localizzazione in spazi di frequenza. Spazi di Besov.
    • Teoria dei semigruppi (6 cfu)

      • Semigruppi di operatori, applicazioni alle equazioni di evoluzione
    • Ricerca operativa (6 cfu)

      • Grafi, programmazione lineare, programmazione intera, elementi di teoria dell'ottimizzazione.
    • Teoria dei numeri elementare (6 cfu)

      • Congruenze di grado superiore al primo e struttura moltiplicativa delle classi di resto. Proprietà algebriche e asintotiche delle funzioni aritmetiche. Problemi additivi e moltiplicativi legati alla distribuzione dei numeri primi. Approssimazioni razionali di numeri algebrici e trascendenti
    • Problemi di evoluzione (6 cfu)

      • Equazioni astratte, scale di Banach. Teorema di Cauchy-Kovalewski. Caratteristiche. Equazione delle onde. Sistemi iperbolici a coefficienti costanti. Condizioni  di Hadamard-Garding. Sistemi simmetrici, metodo dell'energia. Sistemi strettamente iperbolici. Simmetrizzatore micro-locale.
    • Calcolo scientifico (6 cfu)

      • Problemi di minimi quadrati, metodi del gradiente, decomposizione a valori singolari, calcolo di autovalori.
    • Elementi di calcolo in gruppi omogenei (6 cfu)

      • Gruppi di Lie nilpotenti semplicemente connessi: dilatazioni intrinseche, distanze invarianti, misura di Haar. Differenziabilità rispetto l'operazione di gruppo e le dilatazioni.
    • Campi ciclotomici (6 cfu)

      • Caratteri di Dirichlet, serie L di Dirichlet, numeri di Bernoulli, fomrula del numero di classi, teorema di Stickelberger.
    • Matematiche elementari da un punto di vista superiore: geometria (6 cfu)

      • Assiomatiche per la geometria euclidea; geometrie non euclidee; trasformazioni geometriche
    • Metodi matematici della crittografia (6 cfu)

      • Metodi ed algoritmi matematici applicati alla crittografia ed alla crittanalisi: fattorizzazione, logaritmo discreto. Curve ellittiche, fattorizzazione e crittografia ellittica ed iperellittica. Reticoli.
    • Metodi numerici per catene di Markov (6 cfu)

      • Matrici nonnegative e teorema di Perron-Frobenius. Metodi per catene di Markov finite e infinite. Modelli di code e loro matrici di transizione.
    • Metodi di ottimizzazione delle reti (6 cfu)

      • Algoritmi ad hoc per problemi di flusso su rete, routing in reti di comunicazione, progetto di reti di comunicazione, reti di trasporto.
    • Elementi di calcolo delle variazioni (6 cfu)

      • Principi variazionali in una e più variabili. Equazione di Eulero-Lagrange. Condizioni sufficienti di minimalità. Esempi classici di problemi variazionali. Funzioni assolutamente continue e metodo diretto. Geodetiche. Teorema del passo montano e principi di minimax.
    • Teoria algebrica dei numeri 1 (6 cfu)

      • Campi di numeri, interi dei campi di numeri; fattorizzazione unica degli ideali, ramificazione, gruppo delle classi di ideali, teorema delle unità di Dirichlet.
    • Probabilità (6 cfu)

      • Complementi di misura e integrazione: integrazione delle variabili aleatorie. Indipendenza di variabili aleatorie: leggi 0-1. Le funzioni caratteristiche. Convergenza di variabili aleatorie. Teoremi limite (leggi dei Grandi Numeri e teorema del Limite Centrale). Due esempi di processi stocastici: il processo di Wiener e il processo di Poisson.
    • Introduzione alla meccanica quantistica (6 cfu)

      • Meccanica quantistica delle particelle: dualità onda/particella, principio di sovrapposizione, principio di indeterminazione, equazione di Schroedinger.
    • Teoria dei codici e crittografia (6 cfu)

      • Trasmissione dei dati, stutture matematiche per la correzione efficiente degli errori di trasmissione. Principali codici correttori, loro proprietà e decodifica. Principali problemi crittografici: cifratura, firma, identificazione, integrità dei dati. Principali protocolli crittografici e problemi matematici soggiacenti.
    • Teoria delle categorie (6 cfu)

      • Categorie, funtori; aggiunti; limiti, colimiti; fasci, topoi.
    • Teoria dei campi e teoria di Galois (6 cfu)

      • Estensioni algebriche ed estensioni trascendenti, chiusura algebrica, separabilità, teoria di Galois, risolubilità, estensioni abeliane, teoria di Kummer.
    • Processi stocastici (6 cfu)

      • Processi di Markov, forme di Dirichlet, processi gaussiani.
    • Metodi topologici per le equazioni differenziali (6 cfu)

      • Teorie topologiche variazionali o non variazionali per alcune classi di equazioni non lineari di tipo differenziale o integrale.
    • Geometria simplettica (6 cfu)

      • Varietà simplettiche. Esempi standard. Teorema di Darboux. Strutture quasi-complesse compatibili.
    • Onde lineari e non lineari (6 cfu)

      • Principali proprietà delle soluzioni delle equazioni delle onde lineari e non lineari; proprietà dispersive delle soluzioni e decadimento dell'energia locale.
    • Superfici minime (6 cfu)

      • Risultati di esistenza per superfici minime: approccio classico, insiemi di perimetro finito, correnti. Alcuni risultati di regolarità per le ipersuperfici minime.
    • Analisi complessa B (6 cfu)

      • Funzioni plurisubarmoniche; domini pseudoconvessi; equazione del de-bar.
    • Metodi topologici in analisi globale (6 cfu)

      • Elementi di analisi non lineare per alcuni problemi di tipo “globale”, quali: il problema della sella, il punto fisso di Brouwer, le dimensioni e l’invarianza del dominio, la pettinabilità della sfera, il problema di Jordan. Applicazioni alle equazioni differenziali.
    • Finanza matematica (6 cfu)

      • Orbite periodiche e teorema di Poincaré-Birkhoff, teoria delle perturbazioni.
    • Gruppi di Coxeter (6 cfu)

      • Sistemi di radici e gruppi generati da riflessioni.
    • Geometria reale B (6 cfu)

      • Geometria degli insiemi semianalitici e subanalitici.
    • Metodi numerici per la grafica (6 cfu)

      • Parametrizzazione interpolazione e approssimazione di curve e superfici. Curve e superfici di Bezier, B-spline.
    • Teoria della calcolabilità (6 cfu)

      • Modelli di calcolo e funzioni calcolabili.
    • Operatori differenziali e teoremi dell’indice (6 cfu)

      • Algebre di Clifford. Operatori di Dirac. Teoremi dell'indice.
    • Metodi decisionali guidati dai modelli (6 cfu)

      • Ottimalità e algoritmi, algoritmi euristici, tecniche di rilassamento, algoritmi enumerativi. Software di ottimizzazione.
    • Geometria e topologia delle superfici (6 cfu)

      • Spazio di Teichmüller; laminazioni geodetiche; complessi di curve.
    • Calcolo delle variazioni A (6 cfu)

      • Il metodo diretto nel calcolo delle variazioni. Condizioni necessarie e sufficienti di semicontinuità inferiore per funzionali integrali su spazi di Sobolev di funzioni scalari. Il caso vettoriale. Integrali invarianti. Misure di Young e misure di Young gradienti. Convessità, convessità di rango-uno, quasiconessità, policonvessità. Rilassamento.
    • Algebra superiore A (6 cfu)

      • Algebra commutativa.
    • Sistemi dinamici discreti (6 cfu)

      • Dinamica topologica; insiemi iperbolici; teoria ergodica.
    • Fisica matematica (6 cfu)

      • Richiami di meccanica hamiltoniana, sistemi completamente integrabili e variabili azione angolo. Metodi perturbativi: teorema della media. Soluzioni periodiche del problema degli N-corpi, teorema geometrico di Poincaré-Birkhoff. Orbite periodiche con metodi variazionali.
    • Analisi armonica (6 cfu)

      • Fondamenti dell'Analisi armonica, interpolazione reale e comlessa, spazi di Lorentz, funzioni massimali, teoria di Calderon-Zygmund, spazi BMO, moltiplicatori di Fourier, integrali oscillanti e teoremi di restizione.
    • Teoria delle funzioni (6 cfu)

      • Elementi della teoria delle funzioni analitiche di una variabile complessa: serie di Mittag-Leffler,fattorizzazione di Weierstrass, fattorizzazione delle funzioni intere di ordine finito, sviluppi asintotici, teorema di Picard.
    • Elementi di logica matematica (6 cfu)

      • Calcolo dei predicati. Sistemi formali. Teorema di completezza.
    • Geometria reale computazionale (6 cfu)

      • Campi formalmente reali. Numeri algebrici reali, varietà algebriche reali. Algoritmi e applicazioni.
    • Metodi numerici per l’analisi di Fourier (6 cfu)

      • Serie di Fourier e trasformata di Fourier. Trasformata discreta di Fourier, trasformate trigonometriche. Algoritmi veloci per il calcolo delle trasformate discrete.
    • Ultrafiltri e metodi nonstandard (6 cfu)

      • Ultrafiltri e ultrapotenze. Fondamenti dell'analisi non-standard. Applicazioni alla teoria di Ramsey e alla teoria combinatoria dei numeri.
    • Equazioni alle derivate parziali (6 cfu)

      • Equazioni e sistemi del primo ordine. Rappresentazione esplicita delle soluzioni delle equazioni di Laplace, del calore, e delle onde. Proprietà qualitative delle soluzioni: principio del massimo, unicità, regolarità e dispersione.
    • Geometria reale C (6 cfu)

      • Topologia delle curve e superfici reali.
    • Analisi convessa (6 cfu)

      • Topologie deboli su spazi di Banach, funzioni convesse, calcolo in spazi di Banach, sottodifferenziale, disequazioni variazionali, multifunzioni.
    • Didattica della matematica e nuove tecnologie (6 cfu)

      • Metodologie, modelli e materiali didattici in contesti di aula multimediale; ruolo delle tecnologie nell'insegnamento / apprendimento della matematica: software didattici e lavagne interattive multimediali.
    • Equazioni differenziali ordinarie (6 cfu)

      • Problema di Cauchy. Equazioni di Bernoulli, D'Alembert, Clairaut, Eulero, Riccati. Metodo di Peano. Equazioni lineari. Dipendenza regolare dai dati. Soluzioni massimali.  Equilibri. Problemi di Sturm- Liouville.
    • Curve algebriche (6 cfu)

      • Curve algebriche, divisori. Curve ellittiche, iperellittiche, jacobiane. Applicazioni.
    • Geometria algebrica D (6 cfu)

      • Tori complessi e varietà abeliane.
    • Storia della matematica (6 cfu)

      • Il corso è di tipo istituzionale e intende offrire una panoramica delle grandi linee di sviluppo della matematica occidentale fino alla fine del XIX secolo. A questo aspetto verrà, di anno in anno, accoppiato un approfondimento di uno o più temi particolarmente rilevanti, quali la geometria cartesiana, l'invenzione del calcolo infinitesimale, le origini della teoria di Galois, la "nuova'' analisi di Cauchy.
    • Teoria algebrica dei numeri 2 (6 cfu)

      • Valori assoluti, campi locali, differente, discriminante, ramificazione, gruppi di ramificazione.
    • Metodi di approssimazione (6 cfu)

      • Risoluzione numerica di equazioni matriciali. Algoritmi numerici per matrici con struttura.
    • Forme modulari (6 cfu)

      • L-serie, equazioni funzionali e operatori di Heck
    • Geometria riemanniana (6 cfu)

      • Relazioni fra curvatura e topologia; teoremi di confronto e di pinching.
    • Algebra commutativa e geometria algebrica computazionale (6 cfu)

      • Costruzioni e algoritmi per l'algebra commutativa e la geometria algebrica, applicazioni.
    • Funzioni speciali (6 cfu)

      • Funzione gamma di Eulero: equazioni funzionali, formula di Stirling. Funzioni ellittiche: funzione P di Weierstrass. Elementi della teoria della funzione zeta di Riemann. Soluzioni di equazioni differenziali lineari a coefficienti analitici: funzione ipergeometrica, funzioni di Bessel.
    • Geodesia via satellite (6 cfu)

      • Problema dei minimi quadrati, simmetrie e degenerazioni. Campo gravitazionale di un corpo esteso, problema del satellite. Perturbazioni non-gravitazionali, geodesia e gravimetria spaziale, terrestre e interplanetaria.
    • Dinamica del sistema solare (6 cfu)

      • Equazioni del moto dei pianeti. Teorie perturbative, elementi propri. Risonanze, piccoli divisori, esponenti di Lyapunov.
    • Geometria degli spazi metrici (6 cfu)

      • Nozioni di curvatura. Quasi isometrie. Geometria a larga scala.
    • Elementi di algebra computazionale (6 cfu)

      • Rappresentazione di interi e polinomi. Algoritmi algebrici fondamentati. Sistemi di calcolo algebrico.
    • Meccanica spaziale (6 cfu)

      • Moto di satelliti artificiali e sonde spaziali, missioni spaziali interplanetarie.
    • Geometria reale A (6 cfu)

      • Geometria degli insiemi semialgebrici. Algebra reale. Strutture o-minimali.
    • Determinazione orbitale (6 cfu)

      • Problema dei minimi quadrati, simmetrie e degenerazioni. Problema dell'identificazione. Orbite preliminari. Soluzioni deboli. Incontri ravvicinati e monitoraggio degli impatti.
    • Logica matematica (6 cfu)

      • Calcolo dei predicati. Teoremi di incompletezza di Godel. Decidibilità e indecidibilità.
    • Algebra superiore B (6 cfu)

      • Algebre e loro rappresentazioni
    • Tecnologie per la didattica (6 cfu)

      • Ruolo delle tecnologie nell’apprendimento / insegnamento della matematica; uso e costruzione di strumenti didattici informatici, multimediali e telematici Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della matematica. I processi di insegnamento e apprendimento mediati dall'uso delle tecnologie nell'ambito della matematica. Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della matematica.
    • Geometria differenziale complessa (6 cfu)

      • Varietà complesse; coomologia di Dolbeault; varietà di Stein; metriche e distanze intrinseche.
    • Matematica discreta (6 cfu)

      • Calcolo combinatorio, funzioni generatrici, grafi, teoria di Ramsey.
    • Teoria degli insiemi (6 cfu)

      • Modelli della teoria degli insiemi.
    • Teoria dei nodi (6 cfu)

      • Invarianti di nodi e di link. Trecce.
    • Teoria del controllo ottimo (6 cfu)

      • Problemi di controllo di energia minima e di tempo minimo; esistenza e di sensitività delle soluzioni; principio di massimo di Pontryagin, approccio di programmazione dinamica ed equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman.
    • Geometria di contatto (6 cfu)

      • Varietà di contatto. Esempi standard. Teorema di Darboux. Nodi Legendriani e trasversi. Libri aperti e strutture di contatto.
    • Geometria e topologia differenziale (6 cfu)

      • Geometria differenziale di curve e superfici nello spazio euclideo, introduzione a varietà e mappe differenziabili in dimensione n.
    • Geometria algebrica A (6 cfu)

      • Schemi, fasci, coomologia.
    • Analisi non lineare (6 cfu)

      • Teorie e metodi sul comportamento globale di operatori non lineari, fra spazi di dimensione finita o spazi di funzioni, collegati con classici problemio equazioni non lineari.
    • Matematica e musica (6 cfu)

      • Formalizzazione algebrica delle strutture musicali.
    • Topologia differenziale (6 cfu)

      • Funzioni di Morse e decomposizioni in manici. Teorema dell'h-cobordismo.
    • Algebra computazionale A (6 cfu)

      • Aritmetica, fattorizzazione, integrazione.
    • Gruppi e rappresentazioni (6 cfu)

      • Rappresentazioni di gruppi finiti. Esempi di classi di gruppi.
    • Sistemi dinamici (6 cfu)

      • Sistemi dinamici lineari (con richiami di algebra lineare), stabilità e teoria qualitativa per sistemi dinamici non lineari, formalismo hamiltoniano e lagrangiano ad un grado di libertà, sistemi dinamici discreti, un esempio elementare di caos.
    • Laboratorio di fisica per l'insegnamento (6 cfu)

      • Sviluppare competenze nella gestione di esperienze di laboratorio, fornire basi teoriche di un approccio alla misura. Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della fisica. La progettazione e lo sviluppo delle attività di insegnamento relative alla fisica. Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della fisica
    • Analisi matematica 3 (6 cfu)

      • Spazi di Hilbert. Spazi di Lebesgue L^p. Convoluzione di funzioni. Serie di Fourier. Trasformata di Fourier. Formula dell'area e integrazione su superfici. Funzioni armoniche.
    • Dinamica del sistema Terra-Luna (6 cfu)

      • Il sistema Terra-Luna-Sole e le caratteristiche principali dell'orbita della Luna. Il tracking laser della Luna nell'era spaziale (LLR-Lunar Laser Ranging). LLR e la verifica della Relatività Generale.
    • Teoria analitica dei numeri A (6 cfu)

      • Problemi legati alla distribuzione dei primi; la Zeta di Riemann e le funzioni L di Dirichlet.
    • Introduzione alla teoria geometrica della misura (6 cfu)

      • Misure e dimensione di Hausdorff. Insiemi rettificabli. Formula dell'area e della coarea
    • Elementi di analisi complessa (6 cfu)

      • Teorema di uniformizzazione di Riemann; proprietà geometriche del gruppo delle omografie; principio di simmetria e sue applicazioni; un modello di piano iperbolico; cenni sulle funzioni di più variabili complesse.
    • Calcolo delle variazioni B (6 cfu)

      • Teoria della regolarità per minimi di funzionali integrali.
    • Algebre e gruppi di Lie (6 cfu)

      • Teoremi di struttura per le algebre di Lie di dimensione finita (incluso il caso delle algebre semisemplici complesse). Gruppi di Lie e relazione con le algebre di Lie. Introduzione alla teoria delle rappresentazioni delle algebre e gruppi di Lie.
    • Origini e sviluppo delle matematiche moderne (6 cfu)

      • Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica moderna: inquadramento generale, lettura diretta di testi, discussione della letteratura in materia.
    • Fisica II (9 cfu)

      • Elettrostatica e magnetostatica nel vuoto, correnti stazionarie, induzione, circuiti passivi lineari RLC, equazioni di Maxwell, onde elettromagnetiche, polarizzazione, irraggiamento, riflessione e rifrazione.
    • Geometria algebrica C (6 cfu)

      • Curve e superfici di Riemann.
    • Teoria e metodi dell'ottimizzazione (6 cfu)

      • Ottimizzazione non lineare: condizioni di ottimalità per problemi vincolati e non vincolati, teoria della dualità, metodi risolutivi per problemi vincolati e non vincolati, applicazioni.
    • Analisi superiore (6 cfu)

      • Spazi vettoriali topologici. misure e distribuzioni. Operatori illimitatii, aggiunto ad un operatore non limiato, teoria spettrale per operatori non limitati. Calcolo funzionale Forme quadratiche, soluzioni deboli e soluzioni forti.
    • Topologia algebrica (6 cfu)

      • Omotopia e teorie coomologiche.
    • Geometria algebrica E (6 cfu)

      • Superfici algebriche.
    • Algebra computazionale B (6 cfu)

      • Metodi effettivi per la risoluzione di sistemi di equazioni polimonmiali.
    • Algebra lineare e multilineare (6 cfu)

      • Strutture algebriche lineari.
    • Complementi di analisi funzionale (6 cfu)

      • Spazi vettoriali topologici, misure e distribuzioni. Convoluzione, trasformata di Fourier, teorema di Paley-Wiener ed applicazioni alle EDP. Teoria spettrale per operatori non limitati. Calcolo operazionale, semigruppi di operatori. Teorema di Malgrange-Ehrenpreis. Teoremi di punto fisso in dimensione infinita ed applicazioni alle EDP.
    • Topologia generale (6 cfu)

      • Spazi normali, teorema di Urysohn, compattificazioni, teorema di Baire, paracompattezza, partizioni dell’unità.
    • Analisi non standard (6 cfu)

      • Fondamenti dell'analisi non standard, scelta di applicazioni ad altre aree della matematica.
    • Elementi di topologia algebrica (6 cfu)

      • Omologia simpliciale e singolare, CW complessi, coomologia, prodotto cup, dualità di Poincaré.
    • Equazioni della fluidodinamica (6 cfu)

      • Introduzione alla teoria matematica delle equazioni alle derivate parziali della meccanica dei continui e in particolare a quelle di Eulero e Navier-Stokes per fluidi incomprimibili.
    • Topologia e geometria in bassa dimensione (6 cfu)

      • Varietà topologiche, lineari a pezzi e differenziabili di dimensione minore di 5.
    • Spazi di funzioni (6 cfu)

      • Proprietà fini delle funzioni derivabili in senso debole: funzioni di Sobolev e BV, insiemi di perimetro finito. Altri spazi di funzioni. Riarrangiamento e disuguaglianze funzionali.
    • Elementi di geometria algebrica (6 cfu)

      • Varietà affini, proiettive e quasi-proiettive. Morfismi. Applicazioni razionali. Punti lisci e dimensione.
    • Algebra 2 (6 cfu)

      • Gruppi: azioni di gruppi, costruzioni e presentazioni di gruppi. Moduli e caratterizzazione dei moduli su un PID. Anelli noetheriani. Teorema della base di Hilbert. Basi di Groebner e applicazioni.
    • Problemi e metodi della ricerca in didattica della matematica (6 cfu)

      • Il corso, rivolto agli studenti interessati alla ricerca in didattica della matematica, intende dare l’opportunità di conoscere e confrontarsi con le problematiche tipiche di tale campo di ricerca (sia quelle classiche che quelle più recenti) e con i metodi di ricerca utilizzati.
    • Teoria dei gruppi (6 cfu)

      • Serie di composizione, gruppi di permutazioni, gruppi nilpotenti, gruppi risolubili.
    • 3-varietà (6 cfu)

      • Risultati classici sulla topologia delle 3-varietà. Esempi e costruzioni di 3-varietà.
    • Fisica III (6 cfu)

      • Sistemi e trasformazioni termodinamiche, gas perfetto, prima e seconda legge, temperatura ed entropia; potenziali ritardati, relatività speciale e legami con l'elettromagnetismo, cenni su argomenti di fisica moderna (meccanica quantistica e altro).
    • Elementi di meccanica celeste (6 cfu)

      • Problema dei 2 corpi ed equazione di Keplero. Problema dei 3 corpi ristretto circolare, integrale di Jacobi, criterio di stabilità di Hill, cenni su orbite confinate ma caotiche. Maree ed evoluzione mareale nel sistema solare; la Terra come corpo esteso.
    • Equazioni ellittiche (6 cfu)

      • Teoria della regolarità. Equazioni in forma di divergenza. Equazioni non variazionali. Equazioni non lineari. Problemi al contorno. Frontiera libera. Problemi con ostacolo. Equazioni degeneri. Teoria del potenziale. Funzioni armoniche. Interpolazione. Autovalori.
    • Meccanica celeste (6 cfu)

      • Singolarità e orbite periodiche nel problema degli N corpi
    • Teoria analitica dei numeri B (6 cfu)

      • Problemi analitici di natura additiva con particolare riferimento al metodo di Hardy e Littlewood
    • Elementi di probabilità e statistica (6 cfu)

      • Probabilità su spazi numerabili: condizionamento, indipendenza, variabili aleatorie. Variabili aleatorie con densità: variabili gaussiane. Inferenza statistica: stima, test, intervalli di fiducia. Principali test statistici su modelli gaussiani.
    • Algebra omologica (6 cfu)

      • Moduli proiettivi e iniettivi. Categorie e funtori. Funtori aggiunti. Categorie di moduli. Successioni esatte, risoluzioni, funtori derivati. (Co)omologia di gruppi e algebre.
    • Algebra 1 (6 cfu)

      • Gruppi: teoremi di omomorfismo, permutazioni, gruppi abeliani finiti. Anelli e ideali, anelli speciali, anelli di polinomi. Elementi di teoria di Galois.
    • Introduzione all'analisi p-adica (6 cfu)

      • Struttura dei numeri p-adici; continuità, differenziabilità e analiticità in campo p-adico.
    • Elementi avanzati di algebra lineare numerica (6 cfu)

      • Metodi di Krylov, GMRES, BiCG, polinomi di matrici, problemi polinomiali agli autovalori, funzioni di matrici.
    • Metodi numerici per equazioni differenziali ordinarie (6 cfu)

      • Problemi ai valori iniziali e ai valori limite, metodi a un passo, metodi a più passi, metodi di shooting.
    • 2-varietà (6 cfu)

      • Varietà di dimensione due e loro automorfismi.
    • Algoritmi e strutture dei dati (6 cfu)

      • Strutture dei dati, analisi di algoritmi e complessità, progetto di algoritmi.
    • Teoria ergodica (6 cfu)

      • Teoremi di Krein-Milman e di Choquet, teoria spettrale. Esempi di base. Teoremi di Poincaré, Birkhoff, von Neumann. Decomposizione ergodica. "Mixing" e "weak mixing". Operatore di Perron- Frobenius. Decadimento delle correlazioni. Entropia. Dinamica simbolica. Catene di Markov e misura di Parry.
    • Teoria dei codici (6 cfu)

      • Trasmissione con errore, correzione d'errore. Famiglie di codici correttori. Metodi di geometria algebrica e algebra computazionale per la costruzione di codici e la decodifica.
    • Teoria dei controlli (6 cfu)

      • Teoria di controllabilità, osservabilità e stabilizzazione via feedback; modelli di controllo lineari; teoria geometrica di controllabilità per sistemi regolari; sistemi switching e sistemi ibridi.
    • Dinamica iperbolica (6 cfu)

      • Sistemi dinamici iperbolici; dinamica in dimensione bassa.
    • Analisi complessa A (6 cfu)

      • Il fascio dei germi delle funzioni analitiche; Nullstellensatz; spazi analitici; Teoremi A e B di Cartan.
    • Probabilità superiore (6 cfu)

      • Presentazione di una selezione di argomenti avanzati di probabilità quali Spazi Gaussiani, Calcolo di Malliavin, processi di Levy e Levy-stabili.
    • Equazioni alle derivate parziali 2 (6 cfu)

      • Selezione di argomenti avanzati della teoria delle equazioni alle derivate parziali.
    • Equazioni iperboliche (6 cfu)

      • Equazioni differenziali di tipo iperbolico, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
    • Modelli matematici in biomedicina e fisica matematica (6 cfu)

      • Obiettivi formativi: Equazioni differenziali ordinarie con effetti dissipativi (ritardo, memoria, etc) e stabilità, e loro applicazioni in biomedicina. Equazioni alle derivate parziali e loro applicazioni in fisica matematica.
    • Analisi geometrica (6 cfu)

      • Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi geometrica.
    • Geometria algebrica F (6 cfu)

      • Varietà toriche.
    • Teoria descrittiva della complessità (6 cfu)

      • Modelli finiti e complessità computazionale
    • Teoria dei modelli (6 cfu)

      • Modelli di teorie del primo ordine. Compattezza. Equivalenza elementare. Applicazioni all'aritmetica, ai campi, e ad altre strutture algebrico-relazionali.
    • Elementi di teoria degli insiemi (6 cfu)

      • Nozioni di logica. Teoria assiomatica degli insiemi. Cardinali. Ordinali.
    • Teoria geometrica della misura (6 cfu)

      • Nozioni di base di teoria geometrica della misura. Correnti normali ed intere. Esistenza delle soluzioni per il problema di Plateau omologico. Varifold.
    • Problem solving (6 cfu)

      • Ruolo dei problemi nell’insegnamento della matematica; euristiche; problem solving e problem posing.
    • Teoria dei giochi (6 cfu)

      • Equilibri nei modelli di giochi noncooperativi, teoria dei giochi cooperativi, giochi posizionali e giochi differenziali
    • Analisi in spazi metrici (6 cfu)

      • Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi su spazi metrici.
    • Equazioni differenziali stocastiche e applicazioni (6 cfu)

      • Introduzione ai teoremi di esistenza ed unicità (debole o forte) per equazioni differenziali stocastiche ordinarie, legami con le equazioni alle derivate parziali, applicazioni in ambito fisico o biologico.
    • Matematica e società (6 cfu)

      • Matematica, società e curricula; il contesto culturale nell'insegnamento ed apprendimento della matematica; il ruolo delle conoscenze matematiche non-scolastiche.
    • Matematiche elementari da un punto di vista superiore: aritmetica (6 cfu)

      • Gli insiemi numerici: possibili introduzioni, proprietà
    • Fondamenti della matematica (6 cfu)

      • Sistemi formali e teorie fondazionali.
    • Geometria algebrica B (6 cfu)

      • Varietà complesse, metodi trascendenti
    • Equazioni paraboliche (6 cfu)

      • Equazioni differenziali di tipo parabolico, lineari e non lineari, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
    • Meccanica superiore (6 cfu)

      • Obiettivi formativi: Indicatori di comportamento caotico e metodi ergodici per sistemi meccanici
    • Teoria della misura (6 cfu)

      • Misure astratte, misure su uno spazio topologico, integrale di Daniell, convergenze di misure.
    • 4-varietà (6 cfu)

      • Risultati classici sulla topologia delle 4-varietà. Esempi e costruzioni di 4-varietà.
    • Complementi di fisica (6 cfu)

      • Onde. Elementi di relatività ristretta. Equazioni d'onda relativistiche. Complementi di termodinamica e statistica.
    • Statistica matematica (6 cfu)

      • Modelli statistici: modelli dominati. Stime: stime consistenti e di Massima verosimiglianza. Intervalli di fiducia e test. I principali test sui modelli gaussiani (di Student, di Fisher Snedecor). Modelli statistici non parametrici: teorema di Glivenko-Cantelli e e test del chi-quadro.
    • Analisi reale (6 cfu)

      • Fondamenti dell'analisi reale (teoria della misura, spazi di funzioni).
    • Capacità non lineare, disequazioni variazionali e applicazioni (6 cfu)

      • Il percorso scelto ci permetterà di illustrare alcune tecniche e argomenti classici per trovare condizioni necessarie e sufficienti affinché un punto di frontiera sia regolare relativamente al problema di Dirichlet non omogeneo per l'operatore di Laplace non-lineare (il cosiddetto p-laplaciano).
    • Complementi di didattica della matematica (6 cfu)

      • Processi di apprendimento della matematica; contesti e tipi di razionalità; ostacoli epistemologici e didattici nell’insegnamento della matematica
    • Teoria della dimostrazione (6 cfu)

      • Il concetto formale di dimostrazione. Sistemi dimostrativi. Logiche non classiche. Analisi ordinale
    • Geometria iperbolica (6 cfu)

      • Lo spazio iperbolico. Esempi e costruzioni di varietà iperboliche. Proprietà topologiche e geometriche di varietà iperboliche.
  • 6 cfu a scelta nel gruppo ModAffInt

    • Moduli affini e integrativi
    • Meccanica dei continui (6 cfu)

      • Richiami di calcolo tensoriale, meccanica dei continui tridimensionali e dei continui unidimensionali (anche con struttura).
    • Storia della matematica antica e della sua tradizione (6 cfu)

      • Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica antica: inquadramento generale (caratteristiche della matematica greca, concetto di tradizione testuale, edizioni di riferimento), lettura diretta di testi legati a un autore classico o a una problematica, e studio della tradizione rinascimentale e dell'impatto sulla nascita della matematica moderna.
    • Meccanica relativistica (6 cfu)

      • Relatività speciale e principio di equivalenza di Einstein. Spazio-tempo come varietà. Moto lungo una geodetica. Equazioni di Einstein per la curvatura dello spazio-tempo. Metrica di Schwarzschild e di Kerr. Esempi di osservabili relativistiche
    • Dinamica olomorfa (6 cfu)

      • Insiemi di Julia e di Fatou; dinamica di funzioni olomorfe di una variabile.
    • Spazi simmetrici (6 cfu)

      • Gruppi di Lie. Algebre di Lie. Spazi localmente simmetrici e spazi simmetrici.
    • Analisi microlocale (6 cfu)

      • Operatori pseudodifferenziali. Integrali oscillanti. Fronte d'onda e propagazione delle singolarità. Teorema di Hörmander. Ottica geometrica e operatori integrali di Fourier. Disuguaglianza di Fefferman- Phong. Calcolo paradifferenziale. Teoria di Littlewood- Paley. Localizzazione in spazi di frequenza. Spazi di Besov.
    • Teoria dei semigruppi (6 cfu)

      • Semigruppi di operatori, applicazioni alle equazioni di evoluzione
    • Ricerca operativa (6 cfu)

      • Grafi, programmazione lineare, programmazione intera, elementi di teoria dell'ottimizzazione.
    • Teoria dei numeri elementare (6 cfu)

      • Congruenze di grado superiore al primo e struttura moltiplicativa delle classi di resto. Proprietà algebriche e asintotiche delle funzioni aritmetiche. Problemi additivi e moltiplicativi legati alla distribuzione dei numeri primi. Approssimazioni razionali di numeri algebrici e trascendenti
    • Problemi di evoluzione (6 cfu)

      • Equazioni astratte, scale di Banach. Teorema di Cauchy-Kovalewski. Caratteristiche. Equazione delle onde. Sistemi iperbolici a coefficienti costanti. Condizioni  di Hadamard-Garding. Sistemi simmetrici, metodo dell'energia. Sistemi strettamente iperbolici. Simmetrizzatore micro-locale.
    • Calcolo scientifico (6 cfu)

      • Problemi di minimi quadrati, metodi del gradiente, decomposizione a valori singolari, calcolo di autovalori.
    • Elementi di calcolo in gruppi omogenei (6 cfu)

      • Gruppi di Lie nilpotenti semplicemente connessi: dilatazioni intrinseche, distanze invarianti, misura di Haar. Differenziabilità rispetto l'operazione di gruppo e le dilatazioni.
    • Campi ciclotomici (6 cfu)

      • Caratteri di Dirichlet, serie L di Dirichlet, numeri di Bernoulli, fomrula del numero di classi, teorema di Stickelberger.
    • Matematiche elementari da un punto di vista superiore: geometria (6 cfu)

      • Assiomatiche per la geometria euclidea; geometrie non euclidee; trasformazioni geometriche
    • Metodi matematici della crittografia (6 cfu)

      • Metodi ed algoritmi matematici applicati alla crittografia ed alla crittanalisi: fattorizzazione, logaritmo discreto. Curve ellittiche, fattorizzazione e crittografia ellittica ed iperellittica. Reticoli.
    • Metodi numerici per catene di Markov (6 cfu)

      • Matrici nonnegative e teorema di Perron-Frobenius. Metodi per catene di Markov finite e infinite. Modelli di code e loro matrici di transizione.
    • Metodi di ottimizzazione delle reti (6 cfu)

      • Algoritmi ad hoc per problemi di flusso su rete, routing in reti di comunicazione, progetto di reti di comunicazione, reti di trasporto.
    • Elementi di calcolo delle variazioni (6 cfu)

      • Principi variazionali in una e più variabili. Equazione di Eulero-Lagrange. Condizioni sufficienti di minimalità. Esempi classici di problemi variazionali. Funzioni assolutamente continue e metodo diretto. Geodetiche. Teorema del passo montano e principi di minimax.
    • Teoria algebrica dei numeri 1 (6 cfu)

      • Campi di numeri, interi dei campi di numeri; fattorizzazione unica degli ideali, ramificazione, gruppo delle classi di ideali, teorema delle unità di Dirichlet.
    • Probabilità (6 cfu)

      • Complementi di misura e integrazione: integrazione delle variabili aleatorie. Indipendenza di variabili aleatorie: leggi 0-1. Le funzioni caratteristiche. Convergenza di variabili aleatorie. Teoremi limite (leggi dei Grandi Numeri e teorema del Limite Centrale). Due esempi di processi stocastici: il processo di Wiener e il processo di Poisson.
    • Introduzione alla meccanica quantistica (6 cfu)

      • Meccanica quantistica delle particelle: dualità onda/particella, principio di sovrapposizione, principio di indeterminazione, equazione di Schroedinger.
    • Teoria dei codici e crittografia (6 cfu)

      • Trasmissione dei dati, stutture matematiche per la correzione efficiente degli errori di trasmissione. Principali codici correttori, loro proprietà e decodifica. Principali problemi crittografici: cifratura, firma, identificazione, integrità dei dati. Principali protocolli crittografici e problemi matematici soggiacenti.
    • Teoria delle categorie (6 cfu)

      • Categorie, funtori; aggiunti; limiti, colimiti; fasci, topoi.
    • Teoria dei campi e teoria di Galois (6 cfu)

      • Estensioni algebriche ed estensioni trascendenti, chiusura algebrica, separabilità, teoria di Galois, risolubilità, estensioni abeliane, teoria di Kummer.
    • Processi stocastici (6 cfu)

      • Processi di Markov, forme di Dirichlet, processi gaussiani.
    • Metodi topologici per le equazioni differenziali (6 cfu)

      • Teorie topologiche variazionali o non variazionali per alcune classi di equazioni non lineari di tipo differenziale o integrale.
    • Geometria simplettica (6 cfu)

      • Varietà simplettiche. Esempi standard. Teorema di Darboux. Strutture quasi-complesse compatibili.
    • Onde lineari e non lineari (6 cfu)

      • Principali proprietà delle soluzioni delle equazioni delle onde lineari e non lineari; proprietà dispersive delle soluzioni e decadimento dell'energia locale.
    • Superfici minime (6 cfu)

      • Risultati di esistenza per superfici minime: approccio classico, insiemi di perimetro finito, correnti. Alcuni risultati di regolarità per le ipersuperfici minime.
    • Analisi complessa B (6 cfu)

      • Funzioni plurisubarmoniche; domini pseudoconvessi; equazione del de-bar.
    • Metodi topologici in analisi globale (6 cfu)

      • Elementi di analisi non lineare per alcuni problemi di tipo “globale”, quali: il problema della sella, il punto fisso di Brouwer, le dimensioni e l’invarianza del dominio, la pettinabilità della sfera, il problema di Jordan. Applicazioni alle equazioni differenziali.
    • Finanza matematica (6 cfu)

      • Orbite periodiche e teorema di Poincaré-Birkhoff, teoria delle perturbazioni.
    • Gruppi di Coxeter (6 cfu)

      • Sistemi di radici e gruppi generati da riflessioni.
    • Geometria reale B (6 cfu)

      • Geometria degli insiemi semianalitici e subanalitici.
    • Metodi numerici per la grafica (6 cfu)

      • Parametrizzazione interpolazione e approssimazione di curve e superfici. Curve e superfici di Bezier, B-spline.
    • Teoria della calcolabilità (6 cfu)

      • Modelli di calcolo e funzioni calcolabili.
    • Operatori differenziali e teoremi dell’indice (6 cfu)

      • Algebre di Clifford. Operatori di Dirac. Teoremi dell'indice.
    • Metodi decisionali guidati dai modelli (6 cfu)

      • Ottimalità e algoritmi, algoritmi euristici, tecniche di rilassamento, algoritmi enumerativi. Software di ottimizzazione.
    • Geometria e topologia delle superfici (6 cfu)

      • Spazio di Teichmüller; laminazioni geodetiche; complessi di curve.
    • Calcolo delle variazioni A (6 cfu)

      • Il metodo diretto nel calcolo delle variazioni. Condizioni necessarie e sufficienti di semicontinuità inferiore per funzionali integrali su spazi di Sobolev di funzioni scalari. Il caso vettoriale. Integrali invarianti. Misure di Young e misure di Young gradienti. Convessità, convessità di rango-uno, quasiconessità, policonvessità. Rilassamento.
    • Algebra superiore A (6 cfu)

      • Algebra commutativa.
    • Sistemi dinamici discreti (6 cfu)

      • Dinamica topologica; insiemi iperbolici; teoria ergodica.
    • Fisica matematica (6 cfu)

      • Richiami di meccanica hamiltoniana, sistemi completamente integrabili e variabili azione angolo. Metodi perturbativi: teorema della media. Soluzioni periodiche del problema degli N-corpi, teorema geometrico di Poincaré-Birkhoff. Orbite periodiche con metodi variazionali.
    • Analisi armonica (6 cfu)

      • Fondamenti dell'Analisi armonica, interpolazione reale e comlessa, spazi di Lorentz, funzioni massimali, teoria di Calderon-Zygmund, spazi BMO, moltiplicatori di Fourier, integrali oscillanti e teoremi di restizione.
    • Teoria delle funzioni (6 cfu)

      • Elementi della teoria delle funzioni analitiche di una variabile complessa: serie di Mittag-Leffler,fattorizzazione di Weierstrass, fattorizzazione delle funzioni intere di ordine finito, sviluppi asintotici, teorema di Picard.
    • Elementi di logica matematica (6 cfu)

      • Calcolo dei predicati. Sistemi formali. Teorema di completezza.
    • Geometria reale computazionale (6 cfu)

      • Campi formalmente reali. Numeri algebrici reali, varietà algebriche reali. Algoritmi e applicazioni.
    • Metodi numerici per l’analisi di Fourier (6 cfu)

      • Serie di Fourier e trasformata di Fourier. Trasformata discreta di Fourier, trasformate trigonometriche. Algoritmi veloci per il calcolo delle trasformate discrete.
    • Ultrafiltri e metodi nonstandard (6 cfu)

      • Ultrafiltri e ultrapotenze. Fondamenti dell'analisi non-standard. Applicazioni alla teoria di Ramsey e alla teoria combinatoria dei numeri.
    • Equazioni alle derivate parziali (6 cfu)

      • Equazioni e sistemi del primo ordine. Rappresentazione esplicita delle soluzioni delle equazioni di Laplace, del calore, e delle onde. Proprietà qualitative delle soluzioni: principio del massimo, unicità, regolarità e dispersione.
    • Geometria reale C (6 cfu)

      • Topologia delle curve e superfici reali.
    • Analisi convessa (6 cfu)

      • Topologie deboli su spazi di Banach, funzioni convesse, calcolo in spazi di Banach, sottodifferenziale, disequazioni variazionali, multifunzioni.
    • Didattica della matematica e nuove tecnologie (6 cfu)

      • Metodologie, modelli e materiali didattici in contesti di aula multimediale; ruolo delle tecnologie nell'insegnamento / apprendimento della matematica: software didattici e lavagne interattive multimediali.
    • Equazioni differenziali ordinarie (6 cfu)

      • Problema di Cauchy. Equazioni di Bernoulli, D'Alembert, Clairaut, Eulero, Riccati. Metodo di Peano. Equazioni lineari. Dipendenza regolare dai dati. Soluzioni massimali.  Equilibri. Problemi di Sturm- Liouville.
    • Curve algebriche (6 cfu)

      • Curve algebriche, divisori. Curve ellittiche, iperellittiche, jacobiane. Applicazioni.
    • Geometria algebrica D (6 cfu)

      • Tori complessi e varietà abeliane.
    • Storia della matematica (6 cfu)

      • Il corso è di tipo istituzionale e intende offrire una panoramica delle grandi linee di sviluppo della matematica occidentale fino alla fine del XIX secolo. A questo aspetto verrà, di anno in anno, accoppiato un approfondimento di uno o più temi particolarmente rilevanti, quali la geometria cartesiana, l'invenzione del calcolo infinitesimale, le origini della teoria di Galois, la "nuova'' analisi di Cauchy.
    • Teoria algebrica dei numeri 2 (6 cfu)

      • Valori assoluti, campi locali, differente, discriminante, ramificazione, gruppi di ramificazione.
    • Metodi di approssimazione (6 cfu)

      • Risoluzione numerica di equazioni matriciali. Algoritmi numerici per matrici con struttura.
    • Forme modulari (6 cfu)

      • L-serie, equazioni funzionali e operatori di Heck
    • Geometria riemanniana (6 cfu)

      • Relazioni fra curvatura e topologia; teoremi di confronto e di pinching.
    • Algebra commutativa e geometria algebrica computazionale (6 cfu)

      • Costruzioni e algoritmi per l'algebra commutativa e la geometria algebrica, applicazioni.
    • Funzioni speciali (6 cfu)

      • Funzione gamma di Eulero: equazioni funzionali, formula di Stirling. Funzioni ellittiche: funzione P di Weierstrass. Elementi della teoria della funzione zeta di Riemann. Soluzioni di equazioni differenziali lineari a coefficienti analitici: funzione ipergeometrica, funzioni di Bessel.
    • Geodesia via satellite (6 cfu)

      • Problema dei minimi quadrati, simmetrie e degenerazioni. Campo gravitazionale di un corpo esteso, problema del satellite. Perturbazioni non-gravitazionali, geodesia e gravimetria spaziale, terrestre e interplanetaria.
    • Dinamica del sistema solare (6 cfu)

      • Equazioni del moto dei pianeti. Teorie perturbative, elementi propri. Risonanze, piccoli divisori, esponenti di Lyapunov.
    • Geometria degli spazi metrici (6 cfu)

      • Nozioni di curvatura. Quasi isometrie. Geometria a larga scala.
    • Elementi di algebra computazionale (6 cfu)

      • Rappresentazione di interi e polinomi. Algoritmi algebrici fondamentati. Sistemi di calcolo algebrico.
    • Meccanica spaziale (6 cfu)

      • Moto di satelliti artificiali e sonde spaziali, missioni spaziali interplanetarie.
    • Geometria reale A (6 cfu)

      • Geometria degli insiemi semialgebrici. Algebra reale. Strutture o-minimali.
    • Determinazione orbitale (6 cfu)

      • Problema dei minimi quadrati, simmetrie e degenerazioni. Problema dell'identificazione. Orbite preliminari. Soluzioni deboli. Incontri ravvicinati e monitoraggio degli impatti.
    • Logica matematica (6 cfu)

      • Calcolo dei predicati. Teoremi di incompletezza di Godel. Decidibilità e indecidibilità.
    • Algebra superiore B (6 cfu)

      • Algebre e loro rappresentazioni
    • Tecnologie per la didattica (6 cfu)

      • Ruolo delle tecnologie nell’apprendimento / insegnamento della matematica; uso e costruzione di strumenti didattici informatici, multimediali e telematici Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della matematica. I processi di insegnamento e apprendimento mediati dall'uso delle tecnologie nell'ambito della matematica. Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della matematica.
    • Geometria differenziale complessa (6 cfu)

      • Varietà complesse; coomologia di Dolbeault; varietà di Stein; metriche e distanze intrinseche.
    • Matematica discreta (6 cfu)

      • Calcolo combinatorio, funzioni generatrici, grafi, teoria di Ramsey.
    • Teoria degli insiemi (6 cfu)

      • Modelli della teoria degli insiemi.
    • Teoria dei nodi (6 cfu)

      • Invarianti di nodi e di link. Trecce.
    • Teoria del controllo ottimo (6 cfu)

      • Problemi di controllo di energia minima e di tempo minimo; esistenza e di sensitività delle soluzioni; principio di massimo di Pontryagin, approccio di programmazione dinamica ed equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman.
    • Geometria di contatto (6 cfu)

      • Varietà di contatto. Esempi standard. Teorema di Darboux. Nodi Legendriani e trasversi. Libri aperti e strutture di contatto.
    • Geometria e topologia differenziale (6 cfu)

      • Geometria differenziale di curve e superfici nello spazio euclideo, introduzione a varietà e mappe differenziabili in dimensione n.
    • Geometria algebrica A (6 cfu)

      • Schemi, fasci, coomologia.
    • Analisi non lineare (6 cfu)

      • Teorie e metodi sul comportamento globale di operatori non lineari, fra spazi di dimensione finita o spazi di funzioni, collegati con classici problemio equazioni non lineari.
    • Matematica e musica (6 cfu)

      • Formalizzazione algebrica delle strutture musicali.
    • Topologia differenziale (6 cfu)

      • Funzioni di Morse e decomposizioni in manici. Teorema dell'h-cobordismo.
    • Algebra computazionale A (6 cfu)

      • Aritmetica, fattorizzazione, integrazione.
    • Gruppi e rappresentazioni (6 cfu)

      • Rappresentazioni di gruppi finiti. Esempi di classi di gruppi.
    • Sistemi dinamici (6 cfu)

      • Sistemi dinamici lineari (con richiami di algebra lineare), stabilità e teoria qualitativa per sistemi dinamici non lineari, formalismo hamiltoniano e lagrangiano ad un grado di libertà, sistemi dinamici discreti, un esempio elementare di caos.
    • Laboratorio di fisica per l'insegnamento (6 cfu)

      • Sviluppare competenze nella gestione di esperienze di laboratorio, fornire basi teoriche di un approccio alla misura. Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della fisica. La progettazione e lo sviluppo delle attività di insegnamento relative alla fisica. Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della fisica
    • Analisi matematica 3 (6 cfu)

      • Spazi di Hilbert. Spazi di Lebesgue L^p. Convoluzione di funzioni. Serie di Fourier. Trasformata di Fourier. Formula dell'area e integrazione su superfici. Funzioni armoniche.
    • Dinamica del sistema Terra-Luna (6 cfu)

      • Il sistema Terra-Luna-Sole e le caratteristiche principali dell'orbita della Luna. Il tracking laser della Luna nell'era spaziale (LLR-Lunar Laser Ranging). LLR e la verifica della Relatività Generale.
    • Teoria analitica dei numeri A (6 cfu)

      • Problemi legati alla distribuzione dei primi; la Zeta di Riemann e le funzioni L di Dirichlet.
    • Introduzione alla teoria geometrica della misura (6 cfu)

      • Misure e dimensione di Hausdorff. Insiemi rettificabli. Formula dell'area e della coarea
    • Elementi di analisi complessa (6 cfu)

      • Teorema di uniformizzazione di Riemann; proprietà geometriche del gruppo delle omografie; principio di simmetria e sue applicazioni; un modello di piano iperbolico; cenni sulle funzioni di più variabili complesse.
    • Calcolo delle variazioni B (6 cfu)

      • Teoria della regolarità per minimi di funzionali integrali.
    • Algebre e gruppi di Lie (6 cfu)

      • Teoremi di struttura per le algebre di Lie di dimensione finita (incluso il caso delle algebre semisemplici complesse). Gruppi di Lie e relazione con le algebre di Lie. Introduzione alla teoria delle rappresentazioni delle algebre e gruppi di Lie.
    • Origini e sviluppo delle matematiche moderne (6 cfu)

      • Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica moderna: inquadramento generale, lettura diretta di testi, discussione della letteratura in materia.
    • Fisica II (9 cfu)

      • Elettrostatica e magnetostatica nel vuoto, correnti stazionarie, induzione, circuiti passivi lineari RLC, equazioni di Maxwell, onde elettromagnetiche, polarizzazione, irraggiamento, riflessione e rifrazione.
    • Geometria algebrica C (6 cfu)

      • Curve e superfici di Riemann.
    • Teoria e metodi dell'ottimizzazione (6 cfu)

      • Ottimizzazione non lineare: condizioni di ottimalità per problemi vincolati e non vincolati, teoria della dualità, metodi risolutivi per problemi vincolati e non vincolati, applicazioni.
    • Analisi superiore (6 cfu)

      • Spazi vettoriali topologici. misure e distribuzioni. Operatori illimitatii, aggiunto ad un operatore non limiato, teoria spettrale per operatori non limitati. Calcolo funzionale Forme quadratiche, soluzioni deboli e soluzioni forti.
    • Topologia algebrica (6 cfu)

      • Omotopia e teorie coomologiche.
    • Geometria algebrica E (6 cfu)

      • Superfici algebriche.
    • Algebra computazionale B (6 cfu)

      • Metodi effettivi per la risoluzione di sistemi di equazioni polimonmiali.
    • Algebra lineare e multilineare (6 cfu)

      • Strutture algebriche lineari.
    • Complementi di analisi funzionale (6 cfu)

      • Spazi vettoriali topologici, misure e distribuzioni. Convoluzione, trasformata di Fourier, teorema di Paley-Wiener ed applicazioni alle EDP. Teoria spettrale per operatori non limitati. Calcolo operazionale, semigruppi di operatori. Teorema di Malgrange-Ehrenpreis. Teoremi di punto fisso in dimensione infinita ed applicazioni alle EDP.
    • Topologia generale (6 cfu)

      • Spazi normali, teorema di Urysohn, compattificazioni, teorema di Baire, paracompattezza, partizioni dell’unità.
    • Analisi non standard (6 cfu)

      • Fondamenti dell'analisi non standard, scelta di applicazioni ad altre aree della matematica.
    • Elementi di topologia algebrica (6 cfu)

      • Omologia simpliciale e singolare, CW complessi, coomologia, prodotto cup, dualità di Poincaré.
    • Equazioni della fluidodinamica (6 cfu)

      • Introduzione alla teoria matematica delle equazioni alle derivate parziali della meccanica dei continui e in particolare a quelle di Eulero e Navier-Stokes per fluidi incomprimibili.
    • Topologia e geometria in bassa dimensione (6 cfu)

      • Varietà topologiche, lineari a pezzi e differenziabili di dimensione minore di 5.
    • Spazi di funzioni (6 cfu)

      • Proprietà fini delle funzioni derivabili in senso debole: funzioni di Sobolev e BV, insiemi di perimetro finito. Altri spazi di funzioni. Riarrangiamento e disuguaglianze funzionali.
    • Elementi di geometria algebrica (6 cfu)

      • Varietà affini, proiettive e quasi-proiettive. Morfismi. Applicazioni razionali. Punti lisci e dimensione.
    • Algebra 2 (6 cfu)

      • Gruppi: azioni di gruppi, costruzioni e presentazioni di gruppi. Moduli e caratterizzazione dei moduli su un PID. Anelli noetheriani. Teorema della base di Hilbert. Basi di Groebner e applicazioni.
    • Problemi e metodi della ricerca in didattica della matematica (6 cfu)

      • Il corso, rivolto agli studenti interessati alla ricerca in didattica della matematica, intende dare l’opportunità di conoscere e confrontarsi con le problematiche tipiche di tale campo di ricerca (sia quelle classiche che quelle più recenti) e con i metodi di ricerca utilizzati.
    • Teoria dei gruppi (6 cfu)

      • Serie di composizione, gruppi di permutazioni, gruppi nilpotenti, gruppi risolubili.
    • 3-varietà (6 cfu)

      • Risultati classici sulla topologia delle 3-varietà. Esempi e costruzioni di 3-varietà.
    • Fisica III (6 cfu)

      • Sistemi e trasformazioni termodinamiche, gas perfetto, prima e seconda legge, temperatura ed entropia; potenziali ritardati, relatività speciale e legami con l'elettromagnetismo, cenni su argomenti di fisica moderna (meccanica quantistica e altro).
    • Elementi di meccanica celeste (6 cfu)

      • Problema dei 2 corpi ed equazione di Keplero. Problema dei 3 corpi ristretto circolare, integrale di Jacobi, criterio di stabilità di Hill, cenni su orbite confinate ma caotiche. Maree ed evoluzione mareale nel sistema solare; la Terra come corpo esteso.
    • Equazioni ellittiche (6 cfu)

      • Teoria della regolarità. Equazioni in forma di divergenza. Equazioni non variazionali. Equazioni non lineari. Problemi al contorno. Frontiera libera. Problemi con ostacolo. Equazioni degeneri. Teoria del potenziale. Funzioni armoniche. Interpolazione. Autovalori.
    • Meccanica celeste (6 cfu)

      • Singolarità e orbite periodiche nel problema degli N corpi
    • Teoria analitica dei numeri B (6 cfu)

      • Problemi analitici di natura additiva con particolare riferimento al metodo di Hardy e Littlewood
    • Elementi di probabilità e statistica (6 cfu)

      • Probabilità su spazi numerabili: condizionamento, indipendenza, variabili aleatorie. Variabili aleatorie con densità: variabili gaussiane. Inferenza statistica: stima, test, intervalli di fiducia. Principali test statistici su modelli gaussiani.
    • Algebra omologica (6 cfu)

      • Moduli proiettivi e iniettivi. Categorie e funtori. Funtori aggiunti. Categorie di moduli. Successioni esatte, risoluzioni, funtori derivati. (Co)omologia di gruppi e algebre.
    • Algebra 1 (6 cfu)

      • Gruppi: teoremi di omomorfismo, permutazioni, gruppi abeliani finiti. Anelli e ideali, anelli speciali, anelli di polinomi. Elementi di teoria di Galois.
    • Introduzione all'analisi p-adica (6 cfu)

      • Struttura dei numeri p-adici; continuità, differenziabilità e analiticità in campo p-adico.
    • Elementi avanzati di algebra lineare numerica (6 cfu)

      • Metodi di Krylov, GMRES, BiCG, polinomi di matrici, problemi polinomiali agli autovalori, funzioni di matrici.
    • Metodi numerici per equazioni differenziali ordinarie (6 cfu)

      • Problemi ai valori iniziali e ai valori limite, metodi a un passo, metodi a più passi, metodi di shooting.
    • 2-varietà (6 cfu)

      • Varietà di dimensione due e loro automorfismi.
    • Algoritmi e strutture dei dati (6 cfu)

      • Strutture dei dati, analisi di algoritmi e complessità, progetto di algoritmi.
    • Teoria ergodica (6 cfu)

      • Teoremi di Krein-Milman e di Choquet, teoria spettrale. Esempi di base. Teoremi di Poincaré, Birkhoff, von Neumann. Decomposizione ergodica. "Mixing" e "weak mixing". Operatore di Perron- Frobenius. Decadimento delle correlazioni. Entropia. Dinamica simbolica. Catene di Markov e misura di Parry.
    • Teoria dei codici (6 cfu)

      • Trasmissione con errore, correzione d'errore. Famiglie di codici correttori. Metodi di geometria algebrica e algebra computazionale per la costruzione di codici e la decodifica.
    • Teoria dei controlli (6 cfu)

      • Teoria di controllabilità, osservabilità e stabilizzazione via feedback; modelli di controllo lineari; teoria geometrica di controllabilità per sistemi regolari; sistemi switching e sistemi ibridi.
    • Dinamica iperbolica (6 cfu)

      • Sistemi dinamici iperbolici; dinamica in dimensione bassa.
    • Analisi complessa A (6 cfu)

      • Il fascio dei germi delle funzioni analitiche; Nullstellensatz; spazi analitici; Teoremi A e B di Cartan.
    • Probabilità superiore (6 cfu)

      • Presentazione di una selezione di argomenti avanzati di probabilità quali Spazi Gaussiani, Calcolo di Malliavin, processi di Levy e Levy-stabili.
    • Equazioni alle derivate parziali 2 (6 cfu)

      • Selezione di argomenti avanzati della teoria delle equazioni alle derivate parziali.
    • Equazioni iperboliche (6 cfu)

      • Equazioni differenziali di tipo iperbolico, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
    • Modelli matematici in biomedicina e fisica matematica (6 cfu)

      • Obiettivi formativi: Equazioni differenziali ordinarie con effetti dissipativi (ritardo, memoria, etc) e stabilità, e loro applicazioni in biomedicina. Equazioni alle derivate parziali e loro applicazioni in fisica matematica.
    • Analisi geometrica (6 cfu)

      • Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi geometrica.
    • Geometria algebrica F (6 cfu)

      • Varietà toriche.
    • Teoria descrittiva della complessità (6 cfu)

      • Modelli finiti e complessità computazionale
    • Teoria dei modelli (6 cfu)

      • Modelli di teorie del primo ordine. Compattezza. Equivalenza elementare. Applicazioni all'aritmetica, ai campi, e ad altre strutture algebrico-relazionali.
    • Elementi di teoria degli insiemi (6 cfu)

      • Nozioni di logica. Teoria assiomatica degli insiemi. Cardinali. Ordinali.
    • Teoria geometrica della misura (6 cfu)

      • Nozioni di base di teoria geometrica della misura. Correnti normali ed intere. Esistenza delle soluzioni per il problema di Plateau omologico. Varifold.
    • Problem solving (6 cfu)

      • Ruolo dei problemi nell’insegnamento della matematica; euristiche; problem solving e problem posing.
    • Teoria dei giochi (6 cfu)

      • Equilibri nei modelli di giochi noncooperativi, teoria dei giochi cooperativi, giochi posizionali e giochi differenziali
    • Analisi in spazi metrici (6 cfu)

      • Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi su spazi metrici.
    • Equazioni differenziali stocastiche e applicazioni (6 cfu)

      • Introduzione ai teoremi di esistenza ed unicità (debole o forte) per equazioni differenziali stocastiche ordinarie, legami con le equazioni alle derivate parziali, applicazioni in ambito fisico o biologico.
    • Matematica e società (6 cfu)

      • Matematica, società e curricula; il contesto culturale nell'insegnamento ed apprendimento della matematica; il ruolo delle conoscenze matematiche non-scolastiche.
    • Matematiche elementari da un punto di vista superiore: aritmetica (6 cfu)

      • Gli insiemi numerici: possibili introduzioni, proprietà
    • Fondamenti della matematica (6 cfu)

      • Sistemi formali e teorie fondazionali.
    • Geometria algebrica B (6 cfu)

      • Varietà complesse, metodi trascendenti
    • Equazioni paraboliche (6 cfu)

      • Equazioni differenziali di tipo parabolico, lineari e non lineari, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
    • Meccanica superiore (6 cfu)

      • Obiettivi formativi: Indicatori di comportamento caotico e metodi ergodici per sistemi meccanici
    • Teoria della misura (6 cfu)

      • Misure astratte, misure su uno spazio topologico, integrale di Daniell, convergenze di misure.
    • 4-varietà (6 cfu)

      • Risultati classici sulla topologia delle 4-varietà. Esempi e costruzioni di 4-varietà.
    • Complementi di fisica (6 cfu)

      • Onde. Elementi di relatività ristretta. Equazioni d'onda relativistiche. Complementi di termodinamica e statistica.
    • Statistica matematica (6 cfu)

      • Modelli statistici: modelli dominati. Stime: stime consistenti e di Massima verosimiglianza. Intervalli di fiducia e test. I principali test sui modelli gaussiani (di Student, di Fisher Snedecor). Modelli statistici non parametrici: teorema di Glivenko-Cantelli e e test del chi-quadro.
    • Analisi reale (6 cfu)

      • Fondamenti dell'analisi reale (teoria della misura, spazi di funzioni).
    • Capacità non lineare, disequazioni variazionali e applicazioni (6 cfu)

      • Il percorso scelto ci permetterà di illustrare alcune tecniche e argomenti classici per trovare condizioni necessarie e sufficienti affinché un punto di frontiera sia regolare relativamente al problema di Dirichlet non omogeneo per l'operatore di Laplace non-lineare (il cosiddetto p-laplaciano).
    • Complementi di didattica della matematica (6 cfu)

      • Processi di apprendimento della matematica; contesti e tipi di razionalità; ostacoli epistemologici e didattici nell’insegnamento della matematica
    • Teoria della dimostrazione (6 cfu)

      • Il concetto formale di dimostrazione. Sistemi dimostrativi. Logiche non classiche. Analisi ordinale
    • Geometria iperbolica (6 cfu)

      • Lo spazio iperbolico. Esempi e costruzioni di varietà iperboliche. Proprietà topologiche e geometriche di varietà iperboliche.
  • 6 cfu a scelta nel gruppo ModAffInt

    • Moduli affini e integrativi
    • Meccanica dei continui (6 cfu)

      • Richiami di calcolo tensoriale, meccanica dei continui tridimensionali e dei continui unidimensionali (anche con struttura).
    • Storia della matematica antica e della sua tradizione (6 cfu)

      • Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica antica: inquadramento generale (caratteristiche della matematica greca, concetto di tradizione testuale, edizioni di riferimento), lettura diretta di testi legati a un autore classico o a una problematica, e studio della tradizione rinascimentale e dell'impatto sulla nascita della matematica moderna.
    • Meccanica relativistica (6 cfu)

      • Relatività speciale e principio di equivalenza di Einstein. Spazio-tempo come varietà. Moto lungo una geodetica. Equazioni di Einstein per la curvatura dello spazio-tempo. Metrica di Schwarzschild e di Kerr. Esempi di osservabili relativistiche
    • Dinamica olomorfa (6 cfu)

      • Insiemi di Julia e di Fatou; dinamica di funzioni olomorfe di una variabile.
    • Spazi simmetrici (6 cfu)

      • Gruppi di Lie. Algebre di Lie. Spazi localmente simmetrici e spazi simmetrici.
    • Analisi microlocale (6 cfu)

      • Operatori pseudodifferenziali. Integrali oscillanti. Fronte d'onda e propagazione delle singolarità. Teorema di Hörmander. Ottica geometrica e operatori integrali di Fourier. Disuguaglianza di Fefferman- Phong. Calcolo paradifferenziale. Teoria di Littlewood- Paley. Localizzazione in spazi di frequenza. Spazi di Besov.
    • Teoria dei semigruppi (6 cfu)

      • Semigruppi di operatori, applicazioni alle equazioni di evoluzione
    • Ricerca operativa (6 cfu)

      • Grafi, programmazione lineare, programmazione intera, elementi di teoria dell'ottimizzazione.
    • Teoria dei numeri elementare (6 cfu)

      • Congruenze di grado superiore al primo e struttura moltiplicativa delle classi di resto. Proprietà algebriche e asintotiche delle funzioni aritmetiche. Problemi additivi e moltiplicativi legati alla distribuzione dei numeri primi. Approssimazioni razionali di numeri algebrici e trascendenti
    • Problemi di evoluzione (6 cfu)

      • Equazioni astratte, scale di Banach. Teorema di Cauchy-Kovalewski. Caratteristiche. Equazione delle onde. Sistemi iperbolici a coefficienti costanti. Condizioni  di Hadamard-Garding. Sistemi simmetrici, metodo dell'energia. Sistemi strettamente iperbolici. Simmetrizzatore micro-locale.
    • Calcolo scientifico (6 cfu)

      • Problemi di minimi quadrati, metodi del gradiente, decomposizione a valori singolari, calcolo di autovalori.
    • Elementi di calcolo in gruppi omogenei (6 cfu)

      • Gruppi di Lie nilpotenti semplicemente connessi: dilatazioni intrinseche, distanze invarianti, misura di Haar. Differenziabilità rispetto l'operazione di gruppo e le dilatazioni.
    • Campi ciclotomici (6 cfu)

      • Caratteri di Dirichlet, serie L di Dirichlet, numeri di Bernoulli, fomrula del numero di classi, teorema di Stickelberger.
    • Matematiche elementari da un punto di vista superiore: geometria (6 cfu)

      • Assiomatiche per la geometria euclidea; geometrie non euclidee; trasformazioni geometriche
    • Metodi matematici della crittografia (6 cfu)

      • Metodi ed algoritmi matematici applicati alla crittografia ed alla crittanalisi: fattorizzazione, logaritmo discreto. Curve ellittiche, fattorizzazione e crittografia ellittica ed iperellittica. Reticoli.
    • Metodi numerici per catene di Markov (6 cfu)

      • Matrici nonnegative e teorema di Perron-Frobenius. Metodi per catene di Markov finite e infinite. Modelli di code e loro matrici di transizione.
    • Metodi di ottimizzazione delle reti (6 cfu)

      • Algoritmi ad hoc per problemi di flusso su rete, routing in reti di comunicazione, progetto di reti di comunicazione, reti di trasporto.
    • Elementi di calcolo delle variazioni (6 cfu)

      • Principi variazionali in una e più variabili. Equazione di Eulero-Lagrange. Condizioni sufficienti di minimalità. Esempi classici di problemi variazionali. Funzioni assolutamente continue e metodo diretto. Geodetiche. Teorema del passo montano e principi di minimax.
    • Teoria algebrica dei numeri 1 (6 cfu)

      • Campi di numeri, interi dei campi di numeri; fattorizzazione unica degli ideali, ramificazione, gruppo delle classi di ideali, teorema delle unità di Dirichlet.
    • Probabilità (6 cfu)

      • Complementi di misura e integrazione: integrazione delle variabili aleatorie. Indipendenza di variabili aleatorie: leggi 0-1. Le funzioni caratteristiche. Convergenza di variabili aleatorie. Teoremi limite (leggi dei Grandi Numeri e teorema del Limite Centrale). Due esempi di processi stocastici: il processo di Wiener e il processo di Poisson.
    • Introduzione alla meccanica quantistica (6 cfu)

      • Meccanica quantistica delle particelle: dualità onda/particella, principio di sovrapposizione, principio di indeterminazione, equazione di Schroedinger.
    • Teoria dei codici e crittografia (6 cfu)

      • Trasmissione dei dati, stutture matematiche per la correzione efficiente degli errori di trasmissione. Principali codici correttori, loro proprietà e decodifica. Principali problemi crittografici: cifratura, firma, identificazione, integrità dei dati. Principali protocolli crittografici e problemi matematici soggiacenti.
    • Teoria delle categorie (6 cfu)

      • Categorie, funtori; aggiunti; limiti, colimiti; fasci, topoi.
    • Teoria dei campi e teoria di Galois (6 cfu)

      • Estensioni algebriche ed estensioni trascendenti, chiusura algebrica, separabilità, teoria di Galois, risolubilità, estensioni abeliane, teoria di Kummer.
    • Processi stocastici (6 cfu)

      • Processi di Markov, forme di Dirichlet, processi gaussiani.
    • Metodi topologici per le equazioni differenziali (6 cfu)

      • Teorie topologiche variazionali o non variazionali per alcune classi di equazioni non lineari di tipo differenziale o integrale.
    • Geometria simplettica (6 cfu)

      • Varietà simplettiche. Esempi standard. Teorema di Darboux. Strutture quasi-complesse compatibili.
    • Onde lineari e non lineari (6 cfu)

      • Principali proprietà delle soluzioni delle equazioni delle onde lineari e non lineari; proprietà dispersive delle soluzioni e decadimento dell'energia locale.
    • Superfici minime (6 cfu)

      • Risultati di esistenza per superfici minime: approccio classico, insiemi di perimetro finito, correnti. Alcuni risultati di regolarità per le ipersuperfici minime.
    • Analisi complessa B (6 cfu)

      • Funzioni plurisubarmoniche; domini pseudoconvessi; equazione del de-bar.
    • Metodi topologici in analisi globale (6 cfu)

      • Elementi di analisi non lineare per alcuni problemi di tipo “globale”, quali: il problema della sella, il punto fisso di Brouwer, le dimensioni e l’invarianza del dominio, la pettinabilità della sfera, il problema di Jordan. Applicazioni alle equazioni differenziali.
    • Finanza matematica (6 cfu)

      • Orbite periodiche e teorema di Poincaré-Birkhoff, teoria delle perturbazioni.
    • Gruppi di Coxeter (6 cfu)

      • Sistemi di radici e gruppi generati da riflessioni.
    • Geometria reale B (6 cfu)

      • Geometria degli insiemi semianalitici e subanalitici.
    • Metodi numerici per la grafica (6 cfu)

      • Parametrizzazione interpolazione e approssimazione di curve e superfici. Curve e superfici di Bezier, B-spline.
    • Teoria della calcolabilità (6 cfu)

      • Modelli di calcolo e funzioni calcolabili.
    • Operatori differenziali e teoremi dell’indice (6 cfu)

      • Algebre di Clifford. Operatori di Dirac. Teoremi dell'indice.
    • Metodi decisionali guidati dai modelli (6 cfu)

      • Ottimalità e algoritmi, algoritmi euristici, tecniche di rilassamento, algoritmi enumerativi. Software di ottimizzazione.
    • Geometria e topologia delle superfici (6 cfu)

      • Spazio di Teichmüller; laminazioni geodetiche; complessi di curve.
    • Calcolo delle variazioni A (6 cfu)

      • Il metodo diretto nel calcolo delle variazioni. Condizioni necessarie e sufficienti di semicontinuità inferiore per funzionali integrali su spazi di Sobolev di funzioni scalari. Il caso vettoriale. Integrali invarianti. Misure di Young e misure di Young gradienti. Convessità, convessità di rango-uno, quasiconessità, policonvessità. Rilassamento.
    • Algebra superiore A (6 cfu)

      • Algebra commutativa.
    • Sistemi dinamici discreti (6 cfu)

      • Dinamica topologica; insiemi iperbolici; teoria ergodica.
    • Fisica matematica (6 cfu)

      • Richiami di meccanica hamiltoniana, sistemi completamente integrabili e variabili azione angolo. Metodi perturbativi: teorema della media. Soluzioni periodiche del problema degli N-corpi, teorema geometrico di Poincaré-Birkhoff. Orbite periodiche con metodi variazionali.
    • Analisi armonica (6 cfu)

      • Fondamenti dell'Analisi armonica, interpolazione reale e comlessa, spazi di Lorentz, funzioni massimali, teoria di Calderon-Zygmund, spazi BMO, moltiplicatori di Fourier, integrali oscillanti e teoremi di restizione.
    • Teoria delle funzioni (6 cfu)

      • Elementi della teoria delle funzioni analitiche di una variabile complessa: serie di Mittag-Leffler,fattorizzazione di Weierstrass, fattorizzazione delle funzioni intere di ordine finito, sviluppi asintotici, teorema di Picard.
    • Elementi di logica matematica (6 cfu)

      • Calcolo dei predicati. Sistemi formali. Teorema di completezza.
    • Geometria reale computazionale (6 cfu)

      • Campi formalmente reali. Numeri algebrici reali, varietà algebriche reali. Algoritmi e applicazioni.
    • Metodi numerici per l’analisi di Fourier (6 cfu)

      • Serie di Fourier e trasformata di Fourier. Trasformata discreta di Fourier, trasformate trigonometriche. Algoritmi veloci per il calcolo delle trasformate discrete.
    • Ultrafiltri e metodi nonstandard (6 cfu)

      • Ultrafiltri e ultrapotenze. Fondamenti dell'analisi non-standard. Applicazioni alla teoria di Ramsey e alla teoria combinatoria dei numeri.
    • Equazioni alle derivate parziali (6 cfu)

      • Equazioni e sistemi del primo ordine. Rappresentazione esplicita delle soluzioni delle equazioni di Laplace, del calore, e delle onde. Proprietà qualitative delle soluzioni: principio del massimo, unicità, regolarità e dispersione.
    • Geometria reale C (6 cfu)

      • Topologia delle curve e superfici reali.
    • Analisi convessa (6 cfu)

      • Topologie deboli su spazi di Banach, funzioni convesse, calcolo in spazi di Banach, sottodifferenziale, disequazioni variazionali, multifunzioni.
    • Didattica della matematica e nuove tecnologie (6 cfu)

      • Metodologie, modelli e materiali didattici in contesti di aula multimediale; ruolo delle tecnologie nell'insegnamento / apprendimento della matematica: software didattici e lavagne interattive multimediali.
    • Equazioni differenziali ordinarie (6 cfu)

      • Problema di Cauchy. Equazioni di Bernoulli, D'Alembert, Clairaut, Eulero, Riccati. Metodo di Peano. Equazioni lineari. Dipendenza regolare dai dati. Soluzioni massimali.  Equilibri. Problemi di Sturm- Liouville.
    • Curve algebriche (6 cfu)

      • Curve algebriche, divisori. Curve ellittiche, iperellittiche, jacobiane. Applicazioni.
    • Geometria algebrica D (6 cfu)

      • Tori complessi e varietà abeliane.
    • Storia della matematica (6 cfu)

      • Il corso è di tipo istituzionale e intende offrire una panoramica delle grandi linee di sviluppo della matematica occidentale fino alla fine del XIX secolo. A questo aspetto verrà, di anno in anno, accoppiato un approfondimento di uno o più temi particolarmente rilevanti, quali la geometria cartesiana, l'invenzione del calcolo infinitesimale, le origini della teoria di Galois, la "nuova'' analisi di Cauchy.
    • Teoria algebrica dei numeri 2 (6 cfu)

      • Valori assoluti, campi locali, differente, discriminante, ramificazione, gruppi di ramificazione.
    • Metodi di approssimazione (6 cfu)

      • Risoluzione numerica di equazioni matriciali. Algoritmi numerici per matrici con struttura.
    • Forme modulari (6 cfu)

      • L-serie, equazioni funzionali e operatori di Heck
    • Geometria riemanniana (6 cfu)

      • Relazioni fra curvatura e topologia; teoremi di confronto e di pinching.
    • Algebra commutativa e geometria algebrica computazionale (6 cfu)

      • Costruzioni e algoritmi per l'algebra commutativa e la geometria algebrica, applicazioni.
    • Funzioni speciali (6 cfu)

      • Funzione gamma di Eulero: equazioni funzionali, formula di Stirling. Funzioni ellittiche: funzione P di Weierstrass. Elementi della teoria della funzione zeta di Riemann. Soluzioni di equazioni differenziali lineari a coefficienti analitici: funzione ipergeometrica, funzioni di Bessel.
    • Geodesia via satellite (6 cfu)

      • Problema dei minimi quadrati, simmetrie e degenerazioni. Campo gravitazionale di un corpo esteso, problema del satellite. Perturbazioni non-gravitazionali, geodesia e gravimetria spaziale, terrestre e interplanetaria.
    • Dinamica del sistema solare (6 cfu)

      • Equazioni del moto dei pianeti. Teorie perturbative, elementi propri. Risonanze, piccoli divisori, esponenti di Lyapunov.
    • Geometria degli spazi metrici (6 cfu)

      • Nozioni di curvatura. Quasi isometrie. Geometria a larga scala.
    • Elementi di algebra computazionale (6 cfu)

      • Rappresentazione di interi e polinomi. Algoritmi algebrici fondamentati. Sistemi di calcolo algebrico.
    • Meccanica spaziale (6 cfu)

      • Moto di satelliti artificiali e sonde spaziali, missioni spaziali interplanetarie.
    • Geometria reale A (6 cfu)

      • Geometria degli insiemi semialgebrici. Algebra reale. Strutture o-minimali.
    • Determinazione orbitale (6 cfu)

      • Problema dei minimi quadrati, simmetrie e degenerazioni. Problema dell'identificazione. Orbite preliminari. Soluzioni deboli. Incontri ravvicinati e monitoraggio degli impatti.
    • Logica matematica (6 cfu)

      • Calcolo dei predicati. Teoremi di incompletezza di Godel. Decidibilità e indecidibilità.
    • Algebra superiore B (6 cfu)

      • Algebre e loro rappresentazioni
    • Tecnologie per la didattica (6 cfu)

      • Ruolo delle tecnologie nell’apprendimento / insegnamento della matematica; uso e costruzione di strumenti didattici informatici, multimediali e telematici Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della matematica. I processi di insegnamento e apprendimento mediati dall'uso delle tecnologie nell'ambito della matematica. Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della matematica.
    • Geometria differenziale complessa (6 cfu)

      • Varietà complesse; coomologia di Dolbeault; varietà di Stein; metriche e distanze intrinseche.
    • Matematica discreta (6 cfu)

      • Calcolo combinatorio, funzioni generatrici, grafi, teoria di Ramsey.
    • Teoria degli insiemi (6 cfu)

      • Modelli della teoria degli insiemi.
    • Teoria dei nodi (6 cfu)

      • Invarianti di nodi e di link. Trecce.
    • Teoria del controllo ottimo (6 cfu)

      • Problemi di controllo di energia minima e di tempo minimo; esistenza e di sensitività delle soluzioni; principio di massimo di Pontryagin, approccio di programmazione dinamica ed equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman.
    • Geometria di contatto (6 cfu)

      • Varietà di contatto. Esempi standard. Teorema di Darboux. Nodi Legendriani e trasversi. Libri aperti e strutture di contatto.
    • Geometria e topologia differenziale (6 cfu)

      • Geometria differenziale di curve e superfici nello spazio euclideo, introduzione a varietà e mappe differenziabili in dimensione n.
    • Geometria algebrica A (6 cfu)

      • Schemi, fasci, coomologia.
    • Analisi non lineare (6 cfu)

      • Teorie e metodi sul comportamento globale di operatori non lineari, fra spazi di dimensione finita o spazi di funzioni, collegati con classici problemio equazioni non lineari.
    • Matematica e musica (6 cfu)

      • Formalizzazione algebrica delle strutture musicali.
    • Topologia differenziale (6 cfu)

      • Funzioni di Morse e decomposizioni in manici. Teorema dell'h-cobordismo.
    • Algebra computazionale A (6 cfu)

      • Aritmetica, fattorizzazione, integrazione.
    • Gruppi e rappresentazioni (6 cfu)

      • Rappresentazioni di gruppi finiti. Esempi di classi di gruppi.
    • Sistemi dinamici (6 cfu)

      • Sistemi dinamici lineari (con richiami di algebra lineare), stabilità e teoria qualitativa per sistemi dinamici non lineari, formalismo hamiltoniano e lagrangiano ad un grado di libertà, sistemi dinamici discreti, un esempio elementare di caos.
    • Laboratorio di fisica per l'insegnamento (6 cfu)

      • Sviluppare competenze nella gestione di esperienze di laboratorio, fornire basi teoriche di un approccio alla misura. Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della fisica. La progettazione e lo sviluppo delle attività di insegnamento relative alla fisica. Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della fisica
    • Analisi matematica 3 (6 cfu)

      • Spazi di Hilbert. Spazi di Lebesgue L^p. Convoluzione di funzioni. Serie di Fourier. Trasformata di Fourier. Formula dell'area e integrazione su superfici. Funzioni armoniche.
    • Dinamica del sistema Terra-Luna (6 cfu)

      • Il sistema Terra-Luna-Sole e le caratteristiche principali dell'orbita della Luna. Il tracking laser della Luna nell'era spaziale (LLR-Lunar Laser Ranging). LLR e la verifica della Relatività Generale.
    • Teoria analitica dei numeri A (6 cfu)

      • Problemi legati alla distribuzione dei primi; la Zeta di Riemann e le funzioni L di Dirichlet.
    • Introduzione alla teoria geometrica della misura (6 cfu)

      • Misure e dimensione di Hausdorff. Insiemi rettificabli. Formula dell'area e della coarea
    • Elementi di analisi complessa (6 cfu)

      • Teorema di uniformizzazione di Riemann; proprietà geometriche del gruppo delle omografie; principio di simmetria e sue applicazioni; un modello di piano iperbolico; cenni sulle funzioni di più variabili complesse.
    • Calcolo delle variazioni B (6 cfu)

      • Teoria della regolarità per minimi di funzionali integrali.
    • Algebre e gruppi di Lie (6 cfu)

      • Teoremi di struttura per le algebre di Lie di dimensione finita (incluso il caso delle algebre semisemplici complesse). Gruppi di Lie e relazione con le algebre di Lie. Introduzione alla teoria delle rappresentazioni delle algebre e gruppi di Lie.
    • Origini e sviluppo delle matematiche moderne (6 cfu)

      • Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica moderna: inquadramento generale, lettura diretta di testi, discussione della letteratura in materia.
    • Fisica II (9 cfu)

      • Elettrostatica e magnetostatica nel vuoto, correnti stazionarie, induzione, circuiti passivi lineari RLC, equazioni di Maxwell, onde elettromagnetiche, polarizzazione, irraggiamento, riflessione e rifrazione.
    • Geometria algebrica C (6 cfu)

      • Curve e superfici di Riemann.
    • Teoria e metodi dell'ottimizzazione (6 cfu)

      • Ottimizzazione non lineare: condizioni di ottimalità per problemi vincolati e non vincolati, teoria della dualità, metodi risolutivi per problemi vincolati e non vincolati, applicazioni.
    • Analisi superiore (6 cfu)

      • Spazi vettoriali topologici. misure e distribuzioni. Operatori illimitatii, aggiunto ad un operatore non limiato, teoria spettrale per operatori non limitati. Calcolo funzionale Forme quadratiche, soluzioni deboli e soluzioni forti.
    • Topologia algebrica (6 cfu)

      • Omotopia e teorie coomologiche.
    • Geometria algebrica E (6 cfu)

      • Superfici algebriche.
    • Algebra computazionale B (6 cfu)

      • Metodi effettivi per la risoluzione di sistemi di equazioni polimonmiali.
    • Algebra lineare e multilineare (6 cfu)

      • Strutture algebriche lineari.
    • Complementi di analisi funzionale (6 cfu)

      • Spazi vettoriali topologici, misure e distribuzioni. Convoluzione, trasformata di Fourier, teorema di Paley-Wiener ed applicazioni alle EDP. Teoria spettrale per operatori non limitati. Calcolo operazionale, semigruppi di operatori. Teorema di Malgrange-Ehrenpreis. Teoremi di punto fisso in dimensione infinita ed applicazioni alle EDP.
    • Topologia generale (6 cfu)

      • Spazi normali, teorema di Urysohn, compattificazioni, teorema di Baire, paracompattezza, partizioni dell’unità.
    • Analisi non standard (6 cfu)

      • Fondamenti dell'analisi non standard, scelta di applicazioni ad altre aree della matematica.
    • Elementi di topologia algebrica (6 cfu)

      • Omologia simpliciale e singolare, CW complessi, coomologia, prodotto cup, dualità di Poincaré.
    • Equazioni della fluidodinamica (6 cfu)

      • Introduzione alla teoria matematica delle equazioni alle derivate parziali della meccanica dei continui e in particolare a quelle di Eulero e Navier-Stokes per fluidi incomprimibili.
    • Topologia e geometria in bassa dimensione (6 cfu)

      • Varietà topologiche, lineari a pezzi e differenziabili di dimensione minore di 5.
    • Spazi di funzioni (6 cfu)

      • Proprietà fini delle funzioni derivabili in senso debole: funzioni di Sobolev e BV, insiemi di perimetro finito. Altri spazi di funzioni. Riarrangiamento e disuguaglianze funzionali.
    • Elementi di geometria algebrica (6 cfu)

      • Varietà affini, proiettive e quasi-proiettive. Morfismi. Applicazioni razionali. Punti lisci e dimensione.
    • Algebra 2 (6 cfu)

      • Gruppi: azioni di gruppi, costruzioni e presentazioni di gruppi. Moduli e caratterizzazione dei moduli su un PID. Anelli noetheriani. Teorema della base di Hilbert. Basi di Groebner e applicazioni.
    • Problemi e metodi della ricerca in didattica della matematica (6 cfu)

      • Il corso, rivolto agli studenti interessati alla ricerca in didattica della matematica, intende dare l’opportunità di conoscere e confrontarsi con le problematiche tipiche di tale campo di ricerca (sia quelle classiche che quelle più recenti) e con i metodi di ricerca utilizzati.
    • Teoria dei gruppi (6 cfu)

      • Serie di composizione, gruppi di permutazioni, gruppi nilpotenti, gruppi risolubili.
    • 3-varietà (6 cfu)

      • Risultati classici sulla topologia delle 3-varietà. Esempi e costruzioni di 3-varietà.
    • Fisica III (6 cfu)

      • Sistemi e trasformazioni termodinamiche, gas perfetto, prima e seconda legge, temperatura ed entropia; potenziali ritardati, relatività speciale e legami con l'elettromagnetismo, cenni su argomenti di fisica moderna (meccanica quantistica e altro).
    • Elementi di meccanica celeste (6 cfu)

      • Problema dei 2 corpi ed equazione di Keplero. Problema dei 3 corpi ristretto circolare, integrale di Jacobi, criterio di stabilità di Hill, cenni su orbite confinate ma caotiche. Maree ed evoluzione mareale nel sistema solare; la Terra come corpo esteso.
    • Equazioni ellittiche (6 cfu)

      • Teoria della regolarità. Equazioni in forma di divergenza. Equazioni non variazionali. Equazioni non lineari. Problemi al contorno. Frontiera libera. Problemi con ostacolo. Equazioni degeneri. Teoria del potenziale. Funzioni armoniche. Interpolazione. Autovalori.
    • Meccanica celeste (6 cfu)

      • Singolarità e orbite periodiche nel problema degli N corpi
    • Teoria analitica dei numeri B (6 cfu)

      • Problemi analitici di natura additiva con particolare riferimento al metodo di Hardy e Littlewood
    • Elementi di probabilità e statistica (6 cfu)

      • Probabilità su spazi numerabili: condizionamento, indipendenza, variabili aleatorie. Variabili aleatorie con densità: variabili gaussiane. Inferenza statistica: stima, test, intervalli di fiducia. Principali test statistici su modelli gaussiani.
    • Algebra omologica (6 cfu)

      • Moduli proiettivi e iniettivi. Categorie e funtori. Funtori aggiunti. Categorie di moduli. Successioni esatte, risoluzioni, funtori derivati. (Co)omologia di gruppi e algebre.
    • Algebra 1 (6 cfu)

      • Gruppi: teoremi di omomorfismo, permutazioni, gruppi abeliani finiti. Anelli e ideali, anelli speciali, anelli di polinomi. Elementi di teoria di Galois.
    • Introduzione all'analisi p-adica (6 cfu)

      • Struttura dei numeri p-adici; continuità, differenziabilità e analiticità in campo p-adico.
    • Elementi avanzati di algebra lineare numerica (6 cfu)

      • Metodi di Krylov, GMRES, BiCG, polinomi di matrici, problemi polinomiali agli autovalori, funzioni di matrici.
    • Metodi numerici per equazioni differenziali ordinarie (6 cfu)

      • Problemi ai valori iniziali e ai valori limite, metodi a un passo, metodi a più passi, metodi di shooting.
    • 2-varietà (6 cfu)

      • Varietà di dimensione due e loro automorfismi.
    • Algoritmi e strutture dei dati (6 cfu)

      • Strutture dei dati, analisi di algoritmi e complessità, progetto di algoritmi.
    • Teoria ergodica (6 cfu)

      • Teoremi di Krein-Milman e di Choquet, teoria spettrale. Esempi di base. Teoremi di Poincaré, Birkhoff, von Neumann. Decomposizione ergodica. "Mixing" e "weak mixing". Operatore di Perron- Frobenius. Decadimento delle correlazioni. Entropia. Dinamica simbolica. Catene di Markov e misura di Parry.
    • Teoria dei codici (6 cfu)

      • Trasmissione con errore, correzione d'errore. Famiglie di codici correttori. Metodi di geometria algebrica e algebra computazionale per la costruzione di codici e la decodifica.
    • Teoria dei controlli (6 cfu)

      • Teoria di controllabilità, osservabilità e stabilizzazione via feedback; modelli di controllo lineari; teoria geometrica di controllabilità per sistemi regolari; sistemi switching e sistemi ibridi.
    • Dinamica iperbolica (6 cfu)

      • Sistemi dinamici iperbolici; dinamica in dimensione bassa.
    • Analisi complessa A (6 cfu)

      • Il fascio dei germi delle funzioni analitiche; Nullstellensatz; spazi analitici; Teoremi A e B di Cartan.
    • Probabilità superiore (6 cfu)

      • Presentazione di una selezione di argomenti avanzati di probabilità quali Spazi Gaussiani, Calcolo di Malliavin, processi di Levy e Levy-stabili.
    • Equazioni alle derivate parziali 2 (6 cfu)

      • Selezione di argomenti avanzati della teoria delle equazioni alle derivate parziali.
    • Equazioni iperboliche (6 cfu)

      • Equazioni differenziali di tipo iperbolico, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
    • Modelli matematici in biomedicina e fisica matematica (6 cfu)

      • Obiettivi formativi: Equazioni differenziali ordinarie con effetti dissipativi (ritardo, memoria, etc) e stabilità, e loro applicazioni in biomedicina. Equazioni alle derivate parziali e loro applicazioni in fisica matematica.
    • Analisi geometrica (6 cfu)

      • Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi geometrica.
    • Geometria algebrica F (6 cfu)

      • Varietà toriche.
    • Teoria descrittiva della complessità (6 cfu)

      • Modelli finiti e complessità computazionale
    • Teoria dei modelli (6 cfu)

      • Modelli di teorie del primo ordine. Compattezza. Equivalenza elementare. Applicazioni all'aritmetica, ai campi, e ad altre strutture algebrico-relazionali.
    • Elementi di teoria degli insiemi (6 cfu)

      • Nozioni di logica. Teoria assiomatica degli insiemi. Cardinali. Ordinali.
    • Teoria geometrica della misura (6 cfu)

      • Nozioni di base di teoria geometrica della misura. Correnti normali ed intere. Esistenza delle soluzioni per il problema di Plateau omologico. Varifold.
    • Problem solving (6 cfu)

      • Ruolo dei problemi nell’insegnamento della matematica; euristiche; problem solving e problem posing.
    • Teoria dei giochi (6 cfu)

      • Equilibri nei modelli di giochi noncooperativi, teoria dei giochi cooperativi, giochi posizionali e giochi differenziali
    • Analisi in spazi metrici (6 cfu)

      • Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi su spazi metrici.
    • Equazioni differenziali stocastiche e applicazioni (6 cfu)

      • Introduzione ai teoremi di esistenza ed unicità (debole o forte) per equazioni differenziali stocastiche ordinarie, legami con le equazioni alle derivate parziali, applicazioni in ambito fisico o biologico.
    • Matematica e società (6 cfu)

      • Matematica, società e curricula; il contesto culturale nell'insegnamento ed apprendimento della matematica; il ruolo delle conoscenze matematiche non-scolastiche.
    • Matematiche elementari da un punto di vista superiore: aritmetica (6 cfu)

      • Gli insiemi numerici: possibili introduzioni, proprietà
    • Fondamenti della matematica (6 cfu)

      • Sistemi formali e teorie fondazionali.
    • Geometria algebrica B (6 cfu)

      • Varietà complesse, metodi trascendenti
    • Equazioni paraboliche (6 cfu)

      • Equazioni differenziali di tipo parabolico, lineari e non lineari, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
    • Meccanica superiore (6 cfu)

      • Obiettivi formativi: Indicatori di comportamento caotico e metodi ergodici per sistemi meccanici
    • Teoria della misura (6 cfu)

      • Misure astratte, misure su uno spazio topologico, integrale di Daniell, convergenze di misure.
    • 4-varietà (6 cfu)

      • Risultati classici sulla topologia delle 4-varietà. Esempi e costruzioni di 4-varietà.
    • Complementi di fisica (6 cfu)

      • Onde. Elementi di relatività ristretta. Equazioni d'onda relativistiche. Complementi di termodinamica e statistica.
    • Statistica matematica (6 cfu)

      • Modelli statistici: modelli dominati. Stime: stime consistenti e di Massima verosimiglianza. Intervalli di fiducia e test. I principali test sui modelli gaussiani (di Student, di Fisher Snedecor). Modelli statistici non parametrici: teorema di Glivenko-Cantelli e e test del chi-quadro.
    • Analisi reale (6 cfu)

      • Fondamenti dell'analisi reale (teoria della misura, spazi di funzioni).
    • Capacità non lineare, disequazioni variazionali e applicazioni (6 cfu)

      • Il percorso scelto ci permetterà di illustrare alcune tecniche e argomenti classici per trovare condizioni necessarie e sufficienti affinché un punto di frontiera sia regolare relativamente al problema di Dirichlet non omogeneo per l'operatore di Laplace non-lineare (il cosiddetto p-laplaciano).
    • Complementi di didattica della matematica (6 cfu)

      • Processi di apprendimento della matematica; contesti e tipi di razionalità; ostacoli epistemologici e didattici nell’insegnamento della matematica
    • Teoria della dimostrazione (6 cfu)

      • Il concetto formale di dimostrazione. Sistemi dimostrativi. Logiche non classiche. Analisi ordinale
    • Geometria iperbolica (6 cfu)

      • Lo spazio iperbolico. Esempi e costruzioni di varietà iperboliche. Proprietà topologiche e geometriche di varietà iperboliche.

  • Teorico

    Primo anno

  • Istituzioni di algebra (9 cfu)

    • Localizzazione di anelli e moduli, anelli e moduli noetheriani ed artiniani, decomposizione primaria, estensioni intere, domini di Dedekind, valutazioni ed anelli di valutazione, completamenti, dimensione e polinomio di Hilbert.
  • A scelta dello studente (6 cfu)

    • Qualsiasi insegnamento attivato nell'Ateneo, purché coerente con il progetto formativo. La coerenza delle attività scelte dallo studente con il progetto formativo deve essere approvata dal Consiglio di Corso di Studio, anche tenendo conto degli specifici interessi culturali e di sviluppo di carriera dello studente.
  • Istituzioni di analisi matematica (9 cfu)

    • Spazi di Banach e Hilbert. Operatori lineari, completezza, convessità, dualità, teoria spettrale per operatori compatti su spazi di Hilbert ed applicazioni al problema di Sturm. Spazi di distribuzioni. Trasformata di Fourier di distribuzioni. Spazi di Sobolev, immersioni di Sobolev, compattezza e teorema di traccia.
  • 6 cfu a scelta nel gruppo ModAffInt

    • Moduli affini e integrativi
    • Meccanica dei continui (6 cfu)

      • Richiami di calcolo tensoriale, meccanica dei continui tridimensionali e dei continui unidimensionali (anche con struttura).
    • Storia della matematica antica e della sua tradizione (6 cfu)

      • Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica antica: inquadramento generale (caratteristiche della matematica greca, concetto di tradizione testuale, edizioni di riferimento), lettura diretta di testi legati a un autore classico o a una problematica, e studio della tradizione rinascimentale e dell'impatto sulla nascita della matematica moderna.
    • Meccanica relativistica (6 cfu)

      • Relatività speciale e principio di equivalenza di Einstein. Spazio-tempo come varietà. Moto lungo una geodetica. Equazioni di Einstein per la curvatura dello spazio-tempo. Metrica di Schwarzschild e di Kerr. Esempi di osservabili relativistiche
    • Dinamica olomorfa (6 cfu)

      • Insiemi di Julia e di Fatou; dinamica di funzioni olomorfe di una variabile.
    • Spazi simmetrici (6 cfu)

      • Gruppi di Lie. Algebre di Lie. Spazi localmente simmetrici e spazi simmetrici.
    • Analisi microlocale (6 cfu)

      • Operatori pseudodifferenziali. Integrali oscillanti. Fronte d'onda e propagazione delle singolarità. Teorema di Hörmander. Ottica geometrica e operatori integrali di Fourier. Disuguaglianza di Fefferman- Phong. Calcolo paradifferenziale. Teoria di Littlewood- Paley. Localizzazione in spazi di frequenza. Spazi di Besov.
    • Teoria dei semigruppi (6 cfu)

      • Semigruppi di operatori, applicazioni alle equazioni di evoluzione
    • Ricerca operativa (6 cfu)

      • Grafi, programmazione lineare, programmazione intera, elementi di teoria dell'ottimizzazione.
    • Teoria dei numeri elementare (6 cfu)

      • Congruenze di grado superiore al primo e struttura moltiplicativa delle classi di resto. Proprietà algebriche e asintotiche delle funzioni aritmetiche. Problemi additivi e moltiplicativi legati alla distribuzione dei numeri primi. Approssimazioni razionali di numeri algebrici e trascendenti
    • Problemi di evoluzione (6 cfu)

      • Equazioni astratte, scale di Banach. Teorema di Cauchy-Kovalewski. Caratteristiche. Equazione delle onde. Sistemi iperbolici a coefficienti costanti. Condizioni  di Hadamard-Garding. Sistemi simmetrici, metodo dell'energia. Sistemi strettamente iperbolici. Simmetrizzatore micro-locale.
    • Calcolo scientifico (6 cfu)

      • Problemi di minimi quadrati, metodi del gradiente, decomposizione a valori singolari, calcolo di autovalori.
    • Elementi di calcolo in gruppi omogenei (6 cfu)

      • Gruppi di Lie nilpotenti semplicemente connessi: dilatazioni intrinseche, distanze invarianti, misura di Haar. Differenziabilità rispetto l'operazione di gruppo e le dilatazioni.
    • Campi ciclotomici (6 cfu)

      • Caratteri di Dirichlet, serie L di Dirichlet, numeri di Bernoulli, fomrula del numero di classi, teorema di Stickelberger.
    • Matematiche elementari da un punto di vista superiore: geometria (6 cfu)

      • Assiomatiche per la geometria euclidea; geometrie non euclidee; trasformazioni geometriche
    • Metodi matematici della crittografia (6 cfu)

      • Metodi ed algoritmi matematici applicati alla crittografia ed alla crittanalisi: fattorizzazione, logaritmo discreto. Curve ellittiche, fattorizzazione e crittografia ellittica ed iperellittica. Reticoli.
    • Metodi numerici per catene di Markov (6 cfu)

      • Matrici nonnegative e teorema di Perron-Frobenius. Metodi per catene di Markov finite e infinite. Modelli di code e loro matrici di transizione.
    • Metodi di ottimizzazione delle reti (6 cfu)

      • Algoritmi ad hoc per problemi di flusso su rete, routing in reti di comunicazione, progetto di reti di comunicazione, reti di trasporto.
    • Elementi di calcolo delle variazioni (6 cfu)

      • Principi variazionali in una e più variabili. Equazione di Eulero-Lagrange. Condizioni sufficienti di minimalità. Esempi classici di problemi variazionali. Funzioni assolutamente continue e metodo diretto. Geodetiche. Teorema del passo montano e principi di minimax.
    • Teoria algebrica dei numeri 1 (6 cfu)

      • Campi di numeri, interi dei campi di numeri; fattorizzazione unica degli ideali, ramificazione, gruppo delle classi di ideali, teorema delle unità di Dirichlet.
    • Probabilità (6 cfu)

      • Complementi di misura e integrazione: integrazione delle variabili aleatorie. Indipendenza di variabili aleatorie: leggi 0-1. Le funzioni caratteristiche. Convergenza di variabili aleatorie. Teoremi limite (leggi dei Grandi Numeri e teorema del Limite Centrale). Due esempi di processi stocastici: il processo di Wiener e il processo di Poisson.
    • Introduzione alla meccanica quantistica (6 cfu)

      • Meccanica quantistica delle particelle: dualità onda/particella, principio di sovrapposizione, principio di indeterminazione, equazione di Schroedinger.
    • Teoria dei codici e crittografia (6 cfu)

      • Trasmissione dei dati, stutture matematiche per la correzione efficiente degli errori di trasmissione. Principali codici correttori, loro proprietà e decodifica. Principali problemi crittografici: cifratura, firma, identificazione, integrità dei dati. Principali protocolli crittografici e problemi matematici soggiacenti.
    • Teoria delle categorie (6 cfu)

      • Categorie, funtori; aggiunti; limiti, colimiti; fasci, topoi.
    • Teoria dei campi e teoria di Galois (6 cfu)

      • Estensioni algebriche ed estensioni trascendenti, chiusura algebrica, separabilità, teoria di Galois, risolubilità, estensioni abeliane, teoria di Kummer.
    • Processi stocastici (6 cfu)

      • Processi di Markov, forme di Dirichlet, processi gaussiani.
    • Metodi topologici per le equazioni differenziali (6 cfu)

      • Teorie topologiche variazionali o non variazionali per alcune classi di equazioni non lineari di tipo differenziale o integrale.
    • Geometria simplettica (6 cfu)

      • Varietà simplettiche. Esempi standard. Teorema di Darboux. Strutture quasi-complesse compatibili.
    • Onde lineari e non lineari (6 cfu)

      • Principali proprietà delle soluzioni delle equazioni delle onde lineari e non lineari; proprietà dispersive delle soluzioni e decadimento dell'energia locale.
    • Superfici minime (6 cfu)

      • Risultati di esistenza per superfici minime: approccio classico, insiemi di perimetro finito, correnti. Alcuni risultati di regolarità per le ipersuperfici minime.
    • Analisi complessa B (6 cfu)

      • Funzioni plurisubarmoniche; domini pseudoconvessi; equazione del de-bar.
    • Metodi topologici in analisi globale (6 cfu)

      • Elementi di analisi non lineare per alcuni problemi di tipo “globale”, quali: il problema della sella, il punto fisso di Brouwer, le dimensioni e l’invarianza del dominio, la pettinabilità della sfera, il problema di Jordan. Applicazioni alle equazioni differenziali.
    • Finanza matematica (6 cfu)

      • Orbite periodiche e teorema di Poincaré-Birkhoff, teoria delle perturbazioni.
    • Gruppi di Coxeter (6 cfu)

      • Sistemi di radici e gruppi generati da riflessioni.
    • Geometria reale B (6 cfu)

      • Geometria degli insiemi semianalitici e subanalitici.
    • Metodi numerici per la grafica (6 cfu)

      • Parametrizzazione interpolazione e approssimazione di curve e superfici. Curve e superfici di Bezier, B-spline.
    • Teoria della calcolabilità (6 cfu)

      • Modelli di calcolo e funzioni calcolabili.
    • Operatori differenziali e teoremi dell’indice (6 cfu)

      • Algebre di Clifford. Operatori di Dirac. Teoremi dell'indice.
    • Metodi decisionali guidati dai modelli (6 cfu)

      • Ottimalità e algoritmi, algoritmi euristici, tecniche di rilassamento, algoritmi enumerativi. Software di ottimizzazione.
    • Geometria e topologia delle superfici (6 cfu)

      • Spazio di Teichmüller; laminazioni geodetiche; complessi di curve.
    • Calcolo delle variazioni A (6 cfu)

      • Il metodo diretto nel calcolo delle variazioni. Condizioni necessarie e sufficienti di semicontinuità inferiore per funzionali integrali su spazi di Sobolev di funzioni scalari. Il caso vettoriale. Integrali invarianti. Misure di Young e misure di Young gradienti. Convessità, convessità di rango-uno, quasiconessità, policonvessità. Rilassamento.
    • Algebra superiore A (6 cfu)

      • Algebra commutativa.
    • Sistemi dinamici discreti (6 cfu)

      • Dinamica topologica; insiemi iperbolici; teoria ergodica.
    • Fisica matematica (6 cfu)

      • Richiami di meccanica hamiltoniana, sistemi completamente integrabili e variabili azione angolo. Metodi perturbativi: teorema della media. Soluzioni periodiche del problema degli N-corpi, teorema geometrico di Poincaré-Birkhoff. Orbite periodiche con metodi variazionali.
    • Analisi armonica (6 cfu)

      • Fondamenti dell'Analisi armonica, interpolazione reale e comlessa, spazi di Lorentz, funzioni massimali, teoria di Calderon-Zygmund, spazi BMO, moltiplicatori di Fourier, integrali oscillanti e teoremi di restizione.
    • Teoria delle funzioni (6 cfu)

      • Elementi della teoria delle funzioni analitiche di una variabile complessa: serie di Mittag-Leffler,fattorizzazione di Weierstrass, fattorizzazione delle funzioni intere di ordine finito, sviluppi asintotici, teorema di Picard.
    • Elementi di logica matematica (6 cfu)

      • Calcolo dei predicati. Sistemi formali. Teorema di completezza.
    • Geometria reale computazionale (6 cfu)

      • Campi formalmente reali. Numeri algebrici reali, varietà algebriche reali. Algoritmi e applicazioni.
    • Metodi numerici per l’analisi di Fourier (6 cfu)

      • Serie di Fourier e trasformata di Fourier. Trasformata discreta di Fourier, trasformate trigonometriche. Algoritmi veloci per il calcolo delle trasformate discrete.
    • Ultrafiltri e metodi nonstandard (6 cfu)

      • Ultrafiltri e ultrapotenze. Fondamenti dell'analisi non-standard. Applicazioni alla teoria di Ramsey e alla teoria combinatoria dei numeri.
    • Equazioni alle derivate parziali (6 cfu)

      • Equazioni e sistemi del primo ordine. Rappresentazione esplicita delle soluzioni delle equazioni di Laplace, del calore, e delle onde. Proprietà qualitative delle soluzioni: principio del massimo, unicità, regolarità e dispersione.
    • Geometria reale C (6 cfu)

      • Topologia delle curve e superfici reali.
    • Analisi convessa (6 cfu)

      • Topologie deboli su spazi di Banach, funzioni convesse, calcolo in spazi di Banach, sottodifferenziale, disequazioni variazionali, multifunzioni.
    • Didattica della matematica e nuove tecnologie (6 cfu)

      • Metodologie, modelli e materiali didattici in contesti di aula multimediale; ruolo delle tecnologie nell'insegnamento / apprendimento della matematica: software didattici e lavagne interattive multimediali.
    • Equazioni differenziali ordinarie (6 cfu)

      • Problema di Cauchy. Equazioni di Bernoulli, D'Alembert, Clairaut, Eulero, Riccati. Metodo di Peano. Equazioni lineari. Dipendenza regolare dai dati. Soluzioni massimali.  Equilibri. Problemi di Sturm- Liouville.
    • Curve algebriche (6 cfu)

      • Curve algebriche, divisori. Curve ellittiche, iperellittiche, jacobiane. Applicazioni.
    • Geometria algebrica D (6 cfu)

      • Tori complessi e varietà abeliane.
    • Storia della matematica (6 cfu)

      • Il corso è di tipo istituzionale e intende offrire una panoramica delle grandi linee di sviluppo della matematica occidentale fino alla fine del XIX secolo. A questo aspetto verrà, di anno in anno, accoppiato un approfondimento di uno o più temi particolarmente rilevanti, quali la geometria cartesiana, l'invenzione del calcolo infinitesimale, le origini della teoria di Galois, la "nuova'' analisi di Cauchy.
    • Teoria algebrica dei numeri 2 (6 cfu)

      • Valori assoluti, campi locali, differente, discriminante, ramificazione, gruppi di ramificazione.
    • Metodi di approssimazione (6 cfu)

      • Risoluzione numerica di equazioni matriciali. Algoritmi numerici per matrici con struttura.
    • Forme modulari (6 cfu)

      • L-serie, equazioni funzionali e operatori di Heck
    • Geometria riemanniana (6 cfu)

      • Relazioni fra curvatura e topologia; teoremi di confronto e di pinching.
    • Algebra commutativa e geometria algebrica computazionale (6 cfu)

      • Costruzioni e algoritmi per l'algebra commutativa e la geometria algebrica, applicazioni.
    • Funzioni speciali (6 cfu)

      • Funzione gamma di Eulero: equazioni funzionali, formula di Stirling. Funzioni ellittiche: funzione P di Weierstrass. Elementi della teoria della funzione zeta di Riemann. Soluzioni di equazioni differenziali lineari a coefficienti analitici: funzione ipergeometrica, funzioni di Bessel.
    • Geodesia via satellite (6 cfu)

      • Problema dei minimi quadrati, simmetrie e degenerazioni. Campo gravitazionale di un corpo esteso, problema del satellite. Perturbazioni non-gravitazionali, geodesia e gravimetria spaziale, terrestre e interplanetaria.
    • Dinamica del sistema solare (6 cfu)

      • Equazioni del moto dei pianeti. Teorie perturbative, elementi propri. Risonanze, piccoli divisori, esponenti di Lyapunov.
    • Geometria degli spazi metrici (6 cfu)

      • Nozioni di curvatura. Quasi isometrie. Geometria a larga scala.
    • Elementi di algebra computazionale (6 cfu)

      • Rappresentazione di interi e polinomi. Algoritmi algebrici fondamentati. Sistemi di calcolo algebrico.
    • Meccanica spaziale (6 cfu)

      • Moto di satelliti artificiali e sonde spaziali, missioni spaziali interplanetarie.
    • Geometria reale A (6 cfu)

      • Geometria degli insiemi semialgebrici. Algebra reale. Strutture o-minimali.
    • Determinazione orbitale (6 cfu)

      • Problema dei minimi quadrati, simmetrie e degenerazioni. Problema dell'identificazione. Orbite preliminari. Soluzioni deboli. Incontri ravvicinati e monitoraggio degli impatti.
    • Logica matematica (6 cfu)

      • Calcolo dei predicati. Teoremi di incompletezza di Godel. Decidibilità e indecidibilità.
    • Algebra superiore B (6 cfu)

      • Algebre e loro rappresentazioni
    • Tecnologie per la didattica (6 cfu)

      • Ruolo delle tecnologie nell’apprendimento / insegnamento della matematica; uso e costruzione di strumenti didattici informatici, multimediali e telematici Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della matematica. I processi di insegnamento e apprendimento mediati dall'uso delle tecnologie nell'ambito della matematica. Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della matematica.
    • Geometria differenziale complessa (6 cfu)

      • Varietà complesse; coomologia di Dolbeault; varietà di Stein; metriche e distanze intrinseche.
    • Matematica discreta (6 cfu)

      • Calcolo combinatorio, funzioni generatrici, grafi, teoria di Ramsey.
    • Teoria degli insiemi (6 cfu)

      • Modelli della teoria degli insiemi.
    • Teoria dei nodi (6 cfu)

      • Invarianti di nodi e di link. Trecce.
    • Teoria del controllo ottimo (6 cfu)

      • Problemi di controllo di energia minima e di tempo minimo; esistenza e di sensitività delle soluzioni; principio di massimo di Pontryagin, approccio di programmazione dinamica ed equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman.
    • Geometria di contatto (6 cfu)

      • Varietà di contatto. Esempi standard. Teorema di Darboux. Nodi Legendriani e trasversi. Libri aperti e strutture di contatto.
    • Geometria e topologia differenziale (6 cfu)

      • Geometria differenziale di curve e superfici nello spazio euclideo, introduzione a varietà e mappe differenziabili in dimensione n.
    • Geometria algebrica A (6 cfu)

      • Schemi, fasci, coomologia.
    • Analisi non lineare (6 cfu)

      • Teorie e metodi sul comportamento globale di operatori non lineari, fra spazi di dimensione finita o spazi di funzioni, collegati con classici problemio equazioni non lineari.
    • Matematica e musica (6 cfu)

      • Formalizzazione algebrica delle strutture musicali.
    • Topologia differenziale (6 cfu)

      • Funzioni di Morse e decomposizioni in manici. Teorema dell'h-cobordismo.
    • Algebra computazionale A (6 cfu)

      • Aritmetica, fattorizzazione, integrazione.
    • Gruppi e rappresentazioni (6 cfu)

      • Rappresentazioni di gruppi finiti. Esempi di classi di gruppi.
    • Sistemi dinamici (6 cfu)

      • Sistemi dinamici lineari (con richiami di algebra lineare), stabilità e teoria qualitativa per sistemi dinamici non lineari, formalismo hamiltoniano e lagrangiano ad un grado di libertà, sistemi dinamici discreti, un esempio elementare di caos.
    • Laboratorio di fisica per l'insegnamento (6 cfu)

      • Sviluppare competenze nella gestione di esperienze di laboratorio, fornire basi teoriche di un approccio alla misura. Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della fisica. La progettazione e lo sviluppo delle attività di insegnamento relative alla fisica. Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della fisica
    • Analisi matematica 3 (6 cfu)

      • Spazi di Hilbert. Spazi di Lebesgue L^p. Convoluzione di funzioni. Serie di Fourier. Trasformata di Fourier. Formula dell'area e integrazione su superfici. Funzioni armoniche.
    • Dinamica del sistema Terra-Luna (6 cfu)

      • Il sistema Terra-Luna-Sole e le caratteristiche principali dell'orbita della Luna. Il tracking laser della Luna nell'era spaziale (LLR-Lunar Laser Ranging). LLR e la verifica della Relatività Generale.
    • Teoria analitica dei numeri A (6 cfu)

      • Problemi legati alla distribuzione dei primi; la Zeta di Riemann e le funzioni L di Dirichlet.
    • Introduzione alla teoria geometrica della misura (6 cfu)

      • Misure e dimensione di Hausdorff. Insiemi rettificabli. Formula dell'area e della coarea
    • Elementi di analisi complessa (6 cfu)

      • Teorema di uniformizzazione di Riemann; proprietà geometriche del gruppo delle omografie; principio di simmetria e sue applicazioni; un modello di piano iperbolico; cenni sulle funzioni di più variabili complesse.
    • Calcolo delle variazioni B (6 cfu)

      • Teoria della regolarità per minimi di funzionali integrali.
    • Algebre e gruppi di Lie (6 cfu)

      • Teoremi di struttura per le algebre di Lie di dimensione finita (incluso il caso delle algebre semisemplici complesse). Gruppi di Lie e relazione con le algebre di Lie. Introduzione alla teoria delle rappresentazioni delle algebre e gruppi di Lie.
    • Origini e sviluppo delle matematiche moderne (6 cfu)

      • Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica moderna: inquadramento generale, lettura diretta di testi, discussione della letteratura in materia.
    • Fisica II (9 cfu)

      • Elettrostatica e magnetostatica nel vuoto, correnti stazionarie, induzione, circuiti passivi lineari RLC, equazioni di Maxwell, onde elettromagnetiche, polarizzazione, irraggiamento, riflessione e rifrazione.
    • Geometria algebrica C (6 cfu)

      • Curve e superfici di Riemann.
    • Teoria e metodi dell'ottimizzazione (6 cfu)

      • Ottimizzazione non lineare: condizioni di ottimalità per problemi vincolati e non vincolati, teoria della dualità, metodi risolutivi per problemi vincolati e non vincolati, applicazioni.
    • Analisi superiore (6 cfu)

      • Spazi vettoriali topologici. misure e distribuzioni. Operatori illimitatii, aggiunto ad un operatore non limiato, teoria spettrale per operatori non limitati. Calcolo funzionale Forme quadratiche, soluzioni deboli e soluzioni forti.
    • Topologia algebrica (6 cfu)

      • Omotopia e teorie coomologiche.
    • Geometria algebrica E (6 cfu)

      • Superfici algebriche.
    • Algebra computazionale B (6 cfu)

      • Metodi effettivi per la risoluzione di sistemi di equazioni polimonmiali.
    • Algebra lineare e multilineare (6 cfu)

      • Strutture algebriche lineari.
    • Complementi di analisi funzionale (6 cfu)

      • Spazi vettoriali topologici, misure e distribuzioni. Convoluzione, trasformata di Fourier, teorema di Paley-Wiener ed applicazioni alle EDP. Teoria spettrale per operatori non limitati. Calcolo operazionale, semigruppi di operatori. Teorema di Malgrange-Ehrenpreis. Teoremi di punto fisso in dimensione infinita ed applicazioni alle EDP.
    • Topologia generale (6 cfu)

      • Spazi normali, teorema di Urysohn, compattificazioni, teorema di Baire, paracompattezza, partizioni dell’unità.
    • Analisi non standard (6 cfu)

      • Fondamenti dell'analisi non standard, scelta di applicazioni ad altre aree della matematica.
    • Elementi di topologia algebrica (6 cfu)

      • Omologia simpliciale e singolare, CW complessi, coomologia, prodotto cup, dualità di Poincaré.
    • Equazioni della fluidodinamica (6 cfu)

      • Introduzione alla teoria matematica delle equazioni alle derivate parziali della meccanica dei continui e in particolare a quelle di Eulero e Navier-Stokes per fluidi incomprimibili.
    • Topologia e geometria in bassa dimensione (6 cfu)

      • Varietà topologiche, lineari a pezzi e differenziabili di dimensione minore di 5.
    • Spazi di funzioni (6 cfu)

      • Proprietà fini delle funzioni derivabili in senso debole: funzioni di Sobolev e BV, insiemi di perimetro finito. Altri spazi di funzioni. Riarrangiamento e disuguaglianze funzionali.
    • Elementi di geometria algebrica (6 cfu)

      • Varietà affini, proiettive e quasi-proiettive. Morfismi. Applicazioni razionali. Punti lisci e dimensione.
    • Algebra 2 (6 cfu)

      • Gruppi: azioni di gruppi, costruzioni e presentazioni di gruppi. Moduli e caratterizzazione dei moduli su un PID. Anelli noetheriani. Teorema della base di Hilbert. Basi di Groebner e applicazioni.
    • Problemi e metodi della ricerca in didattica della matematica (6 cfu)

      • Il corso, rivolto agli studenti interessati alla ricerca in didattica della matematica, intende dare l’opportunità di conoscere e confrontarsi con le problematiche tipiche di tale campo di ricerca (sia quelle classiche che quelle più recenti) e con i metodi di ricerca utilizzati.
    • Teoria dei gruppi (6 cfu)

      • Serie di composizione, gruppi di permutazioni, gruppi nilpotenti, gruppi risolubili.
    • 3-varietà (6 cfu)

      • Risultati classici sulla topologia delle 3-varietà. Esempi e costruzioni di 3-varietà.
    • Fisica III (6 cfu)

      • Sistemi e trasformazioni termodinamiche, gas perfetto, prima e seconda legge, temperatura ed entropia; potenziali ritardati, relatività speciale e legami con l'elettromagnetismo, cenni su argomenti di fisica moderna (meccanica quantistica e altro).
    • Elementi di meccanica celeste (6 cfu)

      • Problema dei 2 corpi ed equazione di Keplero. Problema dei 3 corpi ristretto circolare, integrale di Jacobi, criterio di stabilità di Hill, cenni su orbite confinate ma caotiche. Maree ed evoluzione mareale nel sistema solare; la Terra come corpo esteso.
    • Equazioni ellittiche (6 cfu)

      • Teoria della regolarità. Equazioni in forma di divergenza. Equazioni non variazionali. Equazioni non lineari. Problemi al contorno. Frontiera libera. Problemi con ostacolo. Equazioni degeneri. Teoria del potenziale. Funzioni armoniche. Interpolazione. Autovalori.
    • Meccanica celeste (6 cfu)

      • Singolarità e orbite periodiche nel problema degli N corpi
    • Teoria analitica dei numeri B (6 cfu)

      • Problemi analitici di natura additiva con particolare riferimento al metodo di Hardy e Littlewood
    • Elementi di probabilità e statistica (6 cfu)

      • Probabilità su spazi numerabili: condizionamento, indipendenza, variabili aleatorie. Variabili aleatorie con densità: variabili gaussiane. Inferenza statistica: stima, test, intervalli di fiducia. Principali test statistici su modelli gaussiani.
    • Algebra omologica (6 cfu)

      • Moduli proiettivi e iniettivi. Categorie e funtori. Funtori aggiunti. Categorie di moduli. Successioni esatte, risoluzioni, funtori derivati. (Co)omologia di gruppi e algebre.
    • Algebra 1 (6 cfu)

      • Gruppi: teoremi di omomorfismo, permutazioni, gruppi abeliani finiti. Anelli e ideali, anelli speciali, anelli di polinomi. Elementi di teoria di Galois.
    • Introduzione all'analisi p-adica (6 cfu)

      • Struttura dei numeri p-adici; continuità, differenziabilità e analiticità in campo p-adico.
    • Elementi avanzati di algebra lineare numerica (6 cfu)

      • Metodi di Krylov, GMRES, BiCG, polinomi di matrici, problemi polinomiali agli autovalori, funzioni di matrici.
    • Metodi numerici per equazioni differenziali ordinarie (6 cfu)

      • Problemi ai valori iniziali e ai valori limite, metodi a un passo, metodi a più passi, metodi di shooting.
    • 2-varietà (6 cfu)

      • Varietà di dimensione due e loro automorfismi.
    • Algoritmi e strutture dei dati (6 cfu)

      • Strutture dei dati, analisi di algoritmi e complessità, progetto di algoritmi.
    • Teoria ergodica (6 cfu)

      • Teoremi di Krein-Milman e di Choquet, teoria spettrale. Esempi di base. Teoremi di Poincaré, Birkhoff, von Neumann. Decomposizione ergodica. "Mixing" e "weak mixing". Operatore di Perron- Frobenius. Decadimento delle correlazioni. Entropia. Dinamica simbolica. Catene di Markov e misura di Parry.
    • Teoria dei codici (6 cfu)

      • Trasmissione con errore, correzione d'errore. Famiglie di codici correttori. Metodi di geometria algebrica e algebra computazionale per la costruzione di codici e la decodifica.
    • Teoria dei controlli (6 cfu)

      • Teoria di controllabilità, osservabilità e stabilizzazione via feedback; modelli di controllo lineari; teoria geometrica di controllabilità per sistemi regolari; sistemi switching e sistemi ibridi.
    • Dinamica iperbolica (6 cfu)

      • Sistemi dinamici iperbolici; dinamica in dimensione bassa.
    • Analisi complessa A (6 cfu)

      • Il fascio dei germi delle funzioni analitiche; Nullstellensatz; spazi analitici; Teoremi A e B di Cartan.
    • Probabilità superiore (6 cfu)

      • Presentazione di una selezione di argomenti avanzati di probabilità quali Spazi Gaussiani, Calcolo di Malliavin, processi di Levy e Levy-stabili.
    • Equazioni alle derivate parziali 2 (6 cfu)

      • Selezione di argomenti avanzati della teoria delle equazioni alle derivate parziali.
    • Equazioni iperboliche (6 cfu)

      • Equazioni differenziali di tipo iperbolico, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
    • Modelli matematici in biomedicina e fisica matematica (6 cfu)

      • Obiettivi formativi: Equazioni differenziali ordinarie con effetti dissipativi (ritardo, memoria, etc) e stabilità, e loro applicazioni in biomedicina. Equazioni alle derivate parziali e loro applicazioni in fisica matematica.
    • Analisi geometrica (6 cfu)

      • Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi geometrica.
    • Geometria algebrica F (6 cfu)

      • Varietà toriche.
    • Teoria descrittiva della complessità (6 cfu)

      • Modelli finiti e complessità computazionale
    • Teoria dei modelli (6 cfu)

      • Modelli di teorie del primo ordine. Compattezza. Equivalenza elementare. Applicazioni all'aritmetica, ai campi, e ad altre strutture algebrico-relazionali.
    • Elementi di teoria degli insiemi (6 cfu)

      • Nozioni di logica. Teoria assiomatica degli insiemi. Cardinali. Ordinali.
    • Teoria geometrica della misura (6 cfu)

      • Nozioni di base di teoria geometrica della misura. Correnti normali ed intere. Esistenza delle soluzioni per il problema di Plateau omologico. Varifold.
    • Problem solving (6 cfu)

      • Ruolo dei problemi nell’insegnamento della matematica; euristiche; problem solving e problem posing.
    • Teoria dei giochi (6 cfu)

      • Equilibri nei modelli di giochi noncooperativi, teoria dei giochi cooperativi, giochi posizionali e giochi differenziali
    • Analisi in spazi metrici (6 cfu)

      • Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi su spazi metrici.
    • Equazioni differenziali stocastiche e applicazioni (6 cfu)

      • Introduzione ai teoremi di esistenza ed unicità (debole o forte) per equazioni differenziali stocastiche ordinarie, legami con le equazioni alle derivate parziali, applicazioni in ambito fisico o biologico.
    • Matematica e società (6 cfu)

      • Matematica, società e curricula; il contesto culturale nell'insegnamento ed apprendimento della matematica; il ruolo delle conoscenze matematiche non-scolastiche.
    • Matematiche elementari da un punto di vista superiore: aritmetica (6 cfu)

      • Gli insiemi numerici: possibili introduzioni, proprietà
    • Fondamenti della matematica (6 cfu)

      • Sistemi formali e teorie fondazionali.
    • Geometria algebrica B (6 cfu)

      • Varietà complesse, metodi trascendenti
    • Equazioni paraboliche (6 cfu)

      • Equazioni differenziali di tipo parabolico, lineari e non lineari, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
    • Meccanica superiore (6 cfu)

      • Obiettivi formativi: Indicatori di comportamento caotico e metodi ergodici per sistemi meccanici
    • Teoria della misura (6 cfu)

      • Misure astratte, misure su uno spazio topologico, integrale di Daniell, convergenze di misure.
    • 4-varietà (6 cfu)

      • Risultati classici sulla topologia delle 4-varietà. Esempi e costruzioni di 4-varietà.
    • Complementi di fisica (6 cfu)

      • Onde. Elementi di relatività ristretta. Equazioni d'onda relativistiche. Complementi di termodinamica e statistica.
    • Statistica matematica (6 cfu)

      • Modelli statistici: modelli dominati. Stime: stime consistenti e di Massima verosimiglianza. Intervalli di fiducia e test. I principali test sui modelli gaussiani (di Student, di Fisher Snedecor). Modelli statistici non parametrici: teorema di Glivenko-Cantelli e e test del chi-quadro.
    • Analisi reale (6 cfu)

      • Fondamenti dell'analisi reale (teoria della misura, spazi di funzioni).
    • Capacità non lineare, disequazioni variazionali e applicazioni (6 cfu)

      • Il percorso scelto ci permetterà di illustrare alcune tecniche e argomenti classici per trovare condizioni necessarie e sufficienti affinché un punto di frontiera sia regolare relativamente al problema di Dirichlet non omogeneo per l'operatore di Laplace non-lineare (il cosiddetto p-laplaciano).
    • Complementi di didattica della matematica (6 cfu)

      • Processi di apprendimento della matematica; contesti e tipi di razionalità; ostacoli epistemologici e didattici nell’insegnamento della matematica
    • Teoria della dimostrazione (6 cfu)

      • Il concetto formale di dimostrazione. Sistemi dimostrativi. Logiche non classiche. Analisi ordinale
    • Geometria iperbolica (6 cfu)

      • Lo spazio iperbolico. Esempi e costruzioni di varietà iperboliche. Proprietà topologiche e geometriche di varietà iperboliche.
  • 6 cfu a scelta nel gruppo ModAffInt

    • Moduli affini e integrativi
    • Meccanica dei continui (6 cfu)

      • Richiami di calcolo tensoriale, meccanica dei continui tridimensionali e dei continui unidimensionali (anche con struttura).
    • Storia della matematica antica e della sua tradizione (6 cfu)

      • Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica antica: inquadramento generale (caratteristiche della matematica greca, concetto di tradizione testuale, edizioni di riferimento), lettura diretta di testi legati a un autore classico o a una problematica, e studio della tradizione rinascimentale e dell'impatto sulla nascita della matematica moderna.
    • Meccanica relativistica (6 cfu)

      • Relatività speciale e principio di equivalenza di Einstein. Spazio-tempo come varietà. Moto lungo una geodetica. Equazioni di Einstein per la curvatura dello spazio-tempo. Metrica di Schwarzschild e di Kerr. Esempi di osservabili relativistiche
    • Dinamica olomorfa (6 cfu)

      • Insiemi di Julia e di Fatou; dinamica di funzioni olomorfe di una variabile.
    • Spazi simmetrici (6 cfu)

      • Gruppi di Lie. Algebre di Lie. Spazi localmente simmetrici e spazi simmetrici.
    • Analisi microlocale (6 cfu)

      • Operatori pseudodifferenziali. Integrali oscillanti. Fronte d'onda e propagazione delle singolarità. Teorema di Hörmander. Ottica geometrica e operatori integrali di Fourier. Disuguaglianza di Fefferman- Phong. Calcolo paradifferenziale. Teoria di Littlewood- Paley. Localizzazione in spazi di frequenza. Spazi di Besov.
    • Teoria dei semigruppi (6 cfu)

      • Semigruppi di operatori, applicazioni alle equazioni di evoluzione
    • Ricerca operativa (6 cfu)

      • Grafi, programmazione lineare, programmazione intera, elementi di teoria dell'ottimizzazione.
    • Teoria dei numeri elementare (6 cfu)

      • Congruenze di grado superiore al primo e struttura moltiplicativa delle classi di resto. Proprietà algebriche e asintotiche delle funzioni aritmetiche. Problemi additivi e moltiplicativi legati alla distribuzione dei numeri primi. Approssimazioni razionali di numeri algebrici e trascendenti
    • Problemi di evoluzione (6 cfu)

      • Equazioni astratte, scale di Banach. Teorema di Cauchy-Kovalewski. Caratteristiche. Equazione delle onde. Sistemi iperbolici a coefficienti costanti. Condizioni  di Hadamard-Garding. Sistemi simmetrici, metodo dell'energia. Sistemi strettamente iperbolici. Simmetrizzatore micro-locale.
    • Calcolo scientifico (6 cfu)

      • Problemi di minimi quadrati, metodi del gradiente, decomposizione a valori singolari, calcolo di autovalori.
    • Elementi di calcolo in gruppi omogenei (6 cfu)

      • Gruppi di Lie nilpotenti semplicemente connessi: dilatazioni intrinseche, distanze invarianti, misura di Haar. Differenziabilità rispetto l'operazione di gruppo e le dilatazioni.
    • Campi ciclotomici (6 cfu)

      • Caratteri di Dirichlet, serie L di Dirichlet, numeri di Bernoulli, fomrula del numero di classi, teorema di Stickelberger.
    • Matematiche elementari da un punto di vista superiore: geometria (6 cfu)

      • Assiomatiche per la geometria euclidea; geometrie non euclidee; trasformazioni geometriche
    • Metodi matematici della crittografia (6 cfu)

      • Metodi ed algoritmi matematici applicati alla crittografia ed alla crittanalisi: fattorizzazione, logaritmo discreto. Curve ellittiche, fattorizzazione e crittografia ellittica ed iperellittica. Reticoli.
    • Metodi numerici per catene di Markov (6 cfu)

      • Matrici nonnegative e teorema di Perron-Frobenius. Metodi per catene di Markov finite e infinite. Modelli di code e loro matrici di transizione.
    • Metodi di ottimizzazione delle reti (6 cfu)

      • Algoritmi ad hoc per problemi di flusso su rete, routing in reti di comunicazione, progetto di reti di comunicazione, reti di trasporto.
    • Elementi di calcolo delle variazioni (6 cfu)

      • Principi variazionali in una e più variabili. Equazione di Eulero-Lagrange. Condizioni sufficienti di minimalità. Esempi classici di problemi variazionali. Funzioni assolutamente continue e metodo diretto. Geodetiche. Teorema del passo montano e principi di minimax.
    • Teoria algebrica dei numeri 1 (6 cfu)

      • Campi di numeri, interi dei campi di numeri; fattorizzazione unica degli ideali, ramificazione, gruppo delle classi di ideali, teorema delle unità di Dirichlet.
    • Probabilità (6 cfu)

      • Complementi di misura e integrazione: integrazione delle variabili aleatorie. Indipendenza di variabili aleatorie: leggi 0-1. Le funzioni caratteristiche. Convergenza di variabili aleatorie. Teoremi limite (leggi dei Grandi Numeri e teorema del Limite Centrale). Due esempi di processi stocastici: il processo di Wiener e il processo di Poisson.
    • Introduzione alla meccanica quantistica (6 cfu)

      • Meccanica quantistica delle particelle: dualità onda/particella, principio di sovrapposizione, principio di indeterminazione, equazione di Schroedinger.
    • Teoria dei codici e crittografia (6 cfu)

      • Trasmissione dei dati, stutture matematiche per la correzione efficiente degli errori di trasmissione. Principali codici correttori, loro proprietà e decodifica. Principali problemi crittografici: cifratura, firma, identificazione, integrità dei dati. Principali protocolli crittografici e problemi matematici soggiacenti.
    • Teoria delle categorie (6 cfu)

      • Categorie, funtori; aggiunti; limiti, colimiti; fasci, topoi.
    • Teoria dei campi e teoria di Galois (6 cfu)

      • Estensioni algebriche ed estensioni trascendenti, chiusura algebrica, separabilità, teoria di Galois, risolubilità, estensioni abeliane, teoria di Kummer.
    • Processi stocastici (6 cfu)

      • Processi di Markov, forme di Dirichlet, processi gaussiani.
    • Metodi topologici per le equazioni differenziali (6 cfu)

      • Teorie topologiche variazionali o non variazionali per alcune classi di equazioni non lineari di tipo differenziale o integrale.
    • Geometria simplettica (6 cfu)

      • Varietà simplettiche. Esempi standard. Teorema di Darboux. Strutture quasi-complesse compatibili.
    • Onde lineari e non lineari (6 cfu)

      • Principali proprietà delle soluzioni delle equazioni delle onde lineari e non lineari; proprietà dispersive delle soluzioni e decadimento dell'energia locale.
    • Superfici minime (6 cfu)

      • Risultati di esistenza per superfici minime: approccio classico, insiemi di perimetro finito, correnti. Alcuni risultati di regolarità per le ipersuperfici minime.
    • Analisi complessa B (6 cfu)

      • Funzioni plurisubarmoniche; domini pseudoconvessi; equazione del de-bar.
    • Metodi topologici in analisi globale (6 cfu)

      • Elementi di analisi non lineare per alcuni problemi di tipo “globale”, quali: il problema della sella, il punto fisso di Brouwer, le dimensioni e l’invarianza del dominio, la pettinabilità della sfera, il problema di Jordan. Applicazioni alle equazioni differenziali.
    • Finanza matematica (6 cfu)

      • Orbite periodiche e teorema di Poincaré-Birkhoff, teoria delle perturbazioni.
    • Gruppi di Coxeter (6 cfu)

      • Sistemi di radici e gruppi generati da riflessioni.
    • Geometria reale B (6 cfu)

      • Geometria degli insiemi semianalitici e subanalitici.
    • Metodi numerici per la grafica (6 cfu)

      • Parametrizzazione interpolazione e approssimazione di curve e superfici. Curve e superfici di Bezier, B-spline.
    • Teoria della calcolabilità (6 cfu)

      • Modelli di calcolo e funzioni calcolabili.
    • Operatori differenziali e teoremi dell’indice (6 cfu)

      • Algebre di Clifford. Operatori di Dirac. Teoremi dell'indice.
    • Metodi decisionali guidati dai modelli (6 cfu)

      • Ottimalità e algoritmi, algoritmi euristici, tecniche di rilassamento, algoritmi enumerativi. Software di ottimizzazione.
    • Geometria e topologia delle superfici (6 cfu)

      • Spazio di Teichmüller; laminazioni geodetiche; complessi di curve.
    • Calcolo delle variazioni A (6 cfu)

      • Il metodo diretto nel calcolo delle variazioni. Condizioni necessarie e sufficienti di semicontinuità inferiore per funzionali integrali su spazi di Sobolev di funzioni scalari. Il caso vettoriale. Integrali invarianti. Misure di Young e misure di Young gradienti. Convessità, convessità di rango-uno, quasiconessità, policonvessità. Rilassamento.
    • Algebra superiore A (6 cfu)

      • Algebra commutativa.
    • Sistemi dinamici discreti (6 cfu)

      • Dinamica topologica; insiemi iperbolici; teoria ergodica.
    • Fisica matematica (6 cfu)

      • Richiami di meccanica hamiltoniana, sistemi completamente integrabili e variabili azione angolo. Metodi perturbativi: teorema della media. Soluzioni periodiche del problema degli N-corpi, teorema geometrico di Poincaré-Birkhoff. Orbite periodiche con metodi variazionali.
    • Analisi armonica (6 cfu)

      • Fondamenti dell'Analisi armonica, interpolazione reale e comlessa, spazi di Lorentz, funzioni massimali, teoria di Calderon-Zygmund, spazi BMO, moltiplicatori di Fourier, integrali oscillanti e teoremi di restizione.
    • Teoria delle funzioni (6 cfu)

      • Elementi della teoria delle funzioni analitiche di una variabile complessa: serie di Mittag-Leffler,fattorizzazione di Weierstrass, fattorizzazione delle funzioni intere di ordine finito, sviluppi asintotici, teorema di Picard.
    • Elementi di logica matematica (6 cfu)

      • Calcolo dei predicati. Sistemi formali. Teorema di completezza.
    • Geometria reale computazionale (6 cfu)

      • Campi formalmente reali. Numeri algebrici reali, varietà algebriche reali. Algoritmi e applicazioni.
    • Metodi numerici per l’analisi di Fourier (6 cfu)

      • Serie di Fourier e trasformata di Fourier. Trasformata discreta di Fourier, trasformate trigonometriche. Algoritmi veloci per il calcolo delle trasformate discrete.
    • Ultrafiltri e metodi nonstandard (6 cfu)

      • Ultrafiltri e ultrapotenze. Fondamenti dell'analisi non-standard. Applicazioni alla teoria di Ramsey e alla teoria combinatoria dei numeri.
    • Equazioni alle derivate parziali (6 cfu)

      • Equazioni e sistemi del primo ordine. Rappresentazione esplicita delle soluzioni delle equazioni di Laplace, del calore, e delle onde. Proprietà qualitative delle soluzioni: principio del massimo, unicità, regolarità e dispersione.
    • Geometria reale C (6 cfu)

      • Topologia delle curve e superfici reali.
    • Analisi convessa (6 cfu)

      • Topologie deboli su spazi di Banach, funzioni convesse, calcolo in spazi di Banach, sottodifferenziale, disequazioni variazionali, multifunzioni.
    • Didattica della matematica e nuove tecnologie (6 cfu)

      • Metodologie, modelli e materiali didattici in contesti di aula multimediale; ruolo delle tecnologie nell'insegnamento / apprendimento della matematica: software didattici e lavagne interattive multimediali.
    • Equazioni differenziali ordinarie (6 cfu)

      • Problema di Cauchy. Equazioni di Bernoulli, D'Alembert, Clairaut, Eulero, Riccati. Metodo di Peano. Equazioni lineari. Dipendenza regolare dai dati. Soluzioni massimali.  Equilibri. Problemi di Sturm- Liouville.
    • Curve algebriche (6 cfu)

      • Curve algebriche, divisori. Curve ellittiche, iperellittiche, jacobiane. Applicazioni.
    • Geometria algebrica D (6 cfu)

      • Tori complessi e varietà abeliane.
    • Storia della matematica (6 cfu)

      • Il corso è di tipo istituzionale e intende offrire una panoramica delle grandi linee di sviluppo della matematica occidentale fino alla fine del XIX secolo. A questo aspetto verrà, di anno in anno, accoppiato un approfondimento di uno o più temi particolarmente rilevanti, quali la geometria cartesiana, l'invenzione del calcolo infinitesimale, le origini della teoria di Galois, la "nuova'' analisi di Cauchy.
    • Teoria algebrica dei numeri 2 (6 cfu)

      • Valori assoluti, campi locali, differente, discriminante, ramificazione, gruppi di ramificazione.
    • Metodi di approssimazione (6 cfu)

      • Risoluzione numerica di equazioni matriciali. Algoritmi numerici per matrici con struttura.
    • Forme modulari (6 cfu)

      • L-serie, equazioni funzionali e operatori di Heck
    • Geometria riemanniana (6 cfu)

      • Relazioni fra curvatura e topologia; teoremi di confronto e di pinching.
    • Algebra commutativa e geometria algebrica computazionale (6 cfu)

      • Costruzioni e algoritmi per l'algebra commutativa e la geometria algebrica, applicazioni.
    • Funzioni speciali (6 cfu)

      • Funzione gamma di Eulero: equazioni funzionali, formula di Stirling. Funzioni ellittiche: funzione P di Weierstrass. Elementi della teoria della funzione zeta di Riemann. Soluzioni di equazioni differenziali lineari a coefficienti analitici: funzione ipergeometrica, funzioni di Bessel.
    • Geodesia via satellite (6 cfu)

      • Problema dei minimi quadrati, simmetrie e degenerazioni. Campo gravitazionale di un corpo esteso, problema del satellite. Perturbazioni non-gravitazionali, geodesia e gravimetria spaziale, terrestre e interplanetaria.
    • Dinamica del sistema solare (6 cfu)

      • Equazioni del moto dei pianeti. Teorie perturbative, elementi propri. Risonanze, piccoli divisori, esponenti di Lyapunov.
    • Geometria degli spazi metrici (6 cfu)

      • Nozioni di curvatura. Quasi isometrie. Geometria a larga scala.
    • Elementi di algebra computazionale (6 cfu)

      • Rappresentazione di interi e polinomi. Algoritmi algebrici fondamentati. Sistemi di calcolo algebrico.
    • Meccanica spaziale (6 cfu)

      • Moto di satelliti artificiali e sonde spaziali, missioni spaziali interplanetarie.
    • Geometria reale A (6 cfu)

      • Geometria degli insiemi semialgebrici. Algebra reale. Strutture o-minimali.
    • Determinazione orbitale (6 cfu)

      • Problema dei minimi quadrati, simmetrie e degenerazioni. Problema dell'identificazione. Orbite preliminari. Soluzioni deboli. Incontri ravvicinati e monitoraggio degli impatti.
    • Logica matematica (6 cfu)

      • Calcolo dei predicati. Teoremi di incompletezza di Godel. Decidibilità e indecidibilità.
    • Algebra superiore B (6 cfu)

      • Algebre e loro rappresentazioni
    • Tecnologie per la didattica (6 cfu)

      • Ruolo delle tecnologie nell’apprendimento / insegnamento della matematica; uso e costruzione di strumenti didattici informatici, multimediali e telematici Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della matematica. I processi di insegnamento e apprendimento mediati dall'uso delle tecnologie nell'ambito della matematica. Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della matematica.
    • Geometria differenziale complessa (6 cfu)

      • Varietà complesse; coomologia di Dolbeault; varietà di Stein; metriche e distanze intrinseche.
    • Matematica discreta (6 cfu)

      • Calcolo combinatorio, funzioni generatrici, grafi, teoria di Ramsey.
    • Teoria degli insiemi (6 cfu)

      • Modelli della teoria degli insiemi.
    • Teoria dei nodi (6 cfu)

      • Invarianti di nodi e di link. Trecce.
    • Teoria del controllo ottimo (6 cfu)

      • Problemi di controllo di energia minima e di tempo minimo; esistenza e di sensitività delle soluzioni; principio di massimo di Pontryagin, approccio di programmazione dinamica ed equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman.
    • Geometria di contatto (6 cfu)

      • Varietà di contatto. Esempi standard. Teorema di Darboux. Nodi Legendriani e trasversi. Libri aperti e strutture di contatto.
    • Geometria e topologia differenziale (6 cfu)

      • Geometria differenziale di curve e superfici nello spazio euclideo, introduzione a varietà e mappe differenziabili in dimensione n.
    • Geometria algebrica A (6 cfu)

      • Schemi, fasci, coomologia.
    • Analisi non lineare (6 cfu)

      • Teorie e metodi sul comportamento globale di operatori non lineari, fra spazi di dimensione finita o spazi di funzioni, collegati con classici problemio equazioni non lineari.
    • Matematica e musica (6 cfu)

      • Formalizzazione algebrica delle strutture musicali.
    • Topologia differenziale (6 cfu)

      • Funzioni di Morse e decomposizioni in manici. Teorema dell'h-cobordismo.
    • Algebra computazionale A (6 cfu)

      • Aritmetica, fattorizzazione, integrazione.
    • Gruppi e rappresentazioni (6 cfu)

      • Rappresentazioni di gruppi finiti. Esempi di classi di gruppi.
    • Sistemi dinamici (6 cfu)

      • Sistemi dinamici lineari (con richiami di algebra lineare), stabilità e teoria qualitativa per sistemi dinamici non lineari, formalismo hamiltoniano e lagrangiano ad un grado di libertà, sistemi dinamici discreti, un esempio elementare di caos.
    • Laboratorio di fisica per l'insegnamento (6 cfu)

      • Sviluppare competenze nella gestione di esperienze di laboratorio, fornire basi teoriche di un approccio alla misura. Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della fisica. La progettazione e lo sviluppo delle attività di insegnamento relative alla fisica. Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della fisica
    • Analisi matematica 3 (6 cfu)

      • Spazi di Hilbert. Spazi di Lebesgue L^p. Convoluzione di funzioni. Serie di Fourier. Trasformata di Fourier. Formula dell'area e integrazione su superfici. Funzioni armoniche.
    • Dinamica del sistema Terra-Luna (6 cfu)

      • Il sistema Terra-Luna-Sole e le caratteristiche principali dell'orbita della Luna. Il tracking laser della Luna nell'era spaziale (LLR-Lunar Laser Ranging). LLR e la verifica della Relatività Generale.
    • Teoria analitica dei numeri A (6 cfu)

      • Problemi legati alla distribuzione dei primi; la Zeta di Riemann e le funzioni L di Dirichlet.
    • Introduzione alla teoria geometrica della misura (6 cfu)

      • Misure e dimensione di Hausdorff. Insiemi rettificabli. Formula dell'area e della coarea
    • Elementi di analisi complessa (6 cfu)

      • Teorema di uniformizzazione di Riemann; proprietà geometriche del gruppo delle omografie; principio di simmetria e sue applicazioni; un modello di piano iperbolico; cenni sulle funzioni di più variabili complesse.
    • Calcolo delle variazioni B (6 cfu)

      • Teoria della regolarità per minimi di funzionali integrali.
    • Algebre e gruppi di Lie (6 cfu)

      • Teoremi di struttura per le algebre di Lie di dimensione finita (incluso il caso delle algebre semisemplici complesse). Gruppi di Lie e relazione con le algebre di Lie. Introduzione alla teoria delle rappresentazioni delle algebre e gruppi di Lie.
    • Origini e sviluppo delle matematiche moderne (6 cfu)

      • Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica moderna: inquadramento generale, lettura diretta di testi, discussione della letteratura in materia.
    • Fisica II (9 cfu)

      • Elettrostatica e magnetostatica nel vuoto, correnti stazionarie, induzione, circuiti passivi lineari RLC, equazioni di Maxwell, onde elettromagnetiche, polarizzazione, irraggiamento, riflessione e rifrazione.
    • Geometria algebrica C (6 cfu)

      • Curve e superfici di Riemann.
    • Teoria e metodi dell'ottimizzazione (6 cfu)

      • Ottimizzazione non lineare: condizioni di ottimalità per problemi vincolati e non vincolati, teoria della dualità, metodi risolutivi per problemi vincolati e non vincolati, applicazioni.
    • Analisi superiore (6 cfu)

      • Spazi vettoriali topologici. misure e distribuzioni. Operatori illimitatii, aggiunto ad un operatore non limiato, teoria spettrale per operatori non limitati. Calcolo funzionale Forme quadratiche, soluzioni deboli e soluzioni forti.
    • Topologia algebrica (6 cfu)

      • Omotopia e teorie coomologiche.
    • Geometria algebrica E (6 cfu)

      • Superfici algebriche.
    • Algebra computazionale B (6 cfu)

      • Metodi effettivi per la risoluzione di sistemi di equazioni polimonmiali.
    • Algebra lineare e multilineare (6 cfu)

      • Strutture algebriche lineari.
    • Complementi di analisi funzionale (6 cfu)

      • Spazi vettoriali topologici, misure e distribuzioni. Convoluzione, trasformata di Fourier, teorema di Paley-Wiener ed applicazioni alle EDP. Teoria spettrale per operatori non limitati. Calcolo operazionale, semigruppi di operatori. Teorema di Malgrange-Ehrenpreis. Teoremi di punto fisso in dimensione infinita ed applicazioni alle EDP.
    • Topologia generale (6 cfu)

      • Spazi normali, teorema di Urysohn, compattificazioni, teorema di Baire, paracompattezza, partizioni dell’unità.
    • Analisi non standard (6 cfu)

      • Fondamenti dell'analisi non standard, scelta di applicazioni ad altre aree della matematica.
    • Elementi di topologia algebrica (6 cfu)

      • Omologia simpliciale e singolare, CW complessi, coomologia, prodotto cup, dualità di Poincaré.
    • Equazioni della fluidodinamica (6 cfu)

      • Introduzione alla teoria matematica delle equazioni alle derivate parziali della meccanica dei continui e in particolare a quelle di Eulero e Navier-Stokes per fluidi incomprimibili.
    • Topologia e geometria in bassa dimensione (6 cfu)

      • Varietà topologiche, lineari a pezzi e differenziabili di dimensione minore di 5.
    • Spazi di funzioni (6 cfu)

      • Proprietà fini delle funzioni derivabili in senso debole: funzioni di Sobolev e BV, insiemi di perimetro finito. Altri spazi di funzioni. Riarrangiamento e disuguaglianze funzionali.
    • Elementi di geometria algebrica (6 cfu)

      • Varietà affini, proiettive e quasi-proiettive. Morfismi. Applicazioni razionali. Punti lisci e dimensione.
    • Algebra 2 (6 cfu)

      • Gruppi: azioni di gruppi, costruzioni e presentazioni di gruppi. Moduli e caratterizzazione dei moduli su un PID. Anelli noetheriani. Teorema della base di Hilbert. Basi di Groebner e applicazioni.
    • Problemi e metodi della ricerca in didattica della matematica (6 cfu)

      • Il corso, rivolto agli studenti interessati alla ricerca in didattica della matematica, intende dare l’opportunità di conoscere e confrontarsi con le problematiche tipiche di tale campo di ricerca (sia quelle classiche che quelle più recenti) e con i metodi di ricerca utilizzati.
    • Teoria dei gruppi (6 cfu)

      • Serie di composizione, gruppi di permutazioni, gruppi nilpotenti, gruppi risolubili.
    • 3-varietà (6 cfu)

      • Risultati classici sulla topologia delle 3-varietà. Esempi e costruzioni di 3-varietà.
    • Fisica III (6 cfu)

      • Sistemi e trasformazioni termodinamiche, gas perfetto, prima e seconda legge, temperatura ed entropia; potenziali ritardati, relatività speciale e legami con l'elettromagnetismo, cenni su argomenti di fisica moderna (meccanica quantistica e altro).
    • Elementi di meccanica celeste (6 cfu)

      • Problema dei 2 corpi ed equazione di Keplero. Problema dei 3 corpi ristretto circolare, integrale di Jacobi, criterio di stabilità di Hill, cenni su orbite confinate ma caotiche. Maree ed evoluzione mareale nel sistema solare; la Terra come corpo esteso.
    • Equazioni ellittiche (6 cfu)

      • Teoria della regolarità. Equazioni in forma di divergenza. Equazioni non variazionali. Equazioni non lineari. Problemi al contorno. Frontiera libera. Problemi con ostacolo. Equazioni degeneri. Teoria del potenziale. Funzioni armoniche. Interpolazione. Autovalori.
    • Meccanica celeste (6 cfu)

      • Singolarità e orbite periodiche nel problema degli N corpi
    • Teoria analitica dei numeri B (6 cfu)

      • Problemi analitici di natura additiva con particolare riferimento al metodo di Hardy e Littlewood
    • Elementi di probabilità e statistica (6 cfu)

      • Probabilità su spazi numerabili: condizionamento, indipendenza, variabili aleatorie. Variabili aleatorie con densità: variabili gaussiane. Inferenza statistica: stima, test, intervalli di fiducia. Principali test statistici su modelli gaussiani.
    • Algebra omologica (6 cfu)

      • Moduli proiettivi e iniettivi. Categorie e funtori. Funtori aggiunti. Categorie di moduli. Successioni esatte, risoluzioni, funtori derivati. (Co)omologia di gruppi e algebre.
    • Algebra 1 (6 cfu)

      • Gruppi: teoremi di omomorfismo, permutazioni, gruppi abeliani finiti. Anelli e ideali, anelli speciali, anelli di polinomi. Elementi di teoria di Galois.
    • Introduzione all'analisi p-adica (6 cfu)

      • Struttura dei numeri p-adici; continuità, differenziabilità e analiticità in campo p-adico.
    • Elementi avanzati di algebra lineare numerica (6 cfu)

      • Metodi di Krylov, GMRES, BiCG, polinomi di matrici, problemi polinomiali agli autovalori, funzioni di matrici.
    • Metodi numerici per equazioni differenziali ordinarie (6 cfu)

      • Problemi ai valori iniziali e ai valori limite, metodi a un passo, metodi a più passi, metodi di shooting.
    • 2-varietà (6 cfu)

      • Varietà di dimensione due e loro automorfismi.
    • Algoritmi e strutture dei dati (6 cfu)

      • Strutture dei dati, analisi di algoritmi e complessità, progetto di algoritmi.
    • Teoria ergodica (6 cfu)

      • Teoremi di Krein-Milman e di Choquet, teoria spettrale. Esempi di base. Teoremi di Poincaré, Birkhoff, von Neumann. Decomposizione ergodica. "Mixing" e "weak mixing". Operatore di Perron- Frobenius. Decadimento delle correlazioni. Entropia. Dinamica simbolica. Catene di Markov e misura di Parry.
    • Teoria dei codici (6 cfu)

      • Trasmissione con errore, correzione d'errore. Famiglie di codici correttori. Metodi di geometria algebrica e algebra computazionale per la costruzione di codici e la decodifica.
    • Teoria dei controlli (6 cfu)

      • Teoria di controllabilità, osservabilità e stabilizzazione via feedback; modelli di controllo lineari; teoria geometrica di controllabilità per sistemi regolari; sistemi switching e sistemi ibridi.
    • Dinamica iperbolica (6 cfu)

      • Sistemi dinamici iperbolici; dinamica in dimensione bassa.
    • Analisi complessa A (6 cfu)

      • Il fascio dei germi delle funzioni analitiche; Nullstellensatz; spazi analitici; Teoremi A e B di Cartan.
    • Probabilità superiore (6 cfu)

      • Presentazione di una selezione di argomenti avanzati di probabilità quali Spazi Gaussiani, Calcolo di Malliavin, processi di Levy e Levy-stabili.
    • Equazioni alle derivate parziali 2 (6 cfu)

      • Selezione di argomenti avanzati della teoria delle equazioni alle derivate parziali.
    • Equazioni iperboliche (6 cfu)

      • Equazioni differenziali di tipo iperbolico, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
    • Modelli matematici in biomedicina e fisica matematica (6 cfu)

      • Obiettivi formativi: Equazioni differenziali ordinarie con effetti dissipativi (ritardo, memoria, etc) e stabilità, e loro applicazioni in biomedicina. Equazioni alle derivate parziali e loro applicazioni in fisica matematica.
    • Analisi geometrica (6 cfu)

      • Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi geometrica.
    • Geometria algebrica F (6 cfu)

      • Varietà toriche.
    • Teoria descrittiva della complessità (6 cfu)

      • Modelli finiti e complessità computazionale
    • Teoria dei modelli (6 cfu)

      • Modelli di teorie del primo ordine. Compattezza. Equivalenza elementare. Applicazioni all'aritmetica, ai campi, e ad altre strutture algebrico-relazionali.
    • Elementi di teoria degli insiemi (6 cfu)

      • Nozioni di logica. Teoria assiomatica degli insiemi. Cardinali. Ordinali.
    • Teoria geometrica della misura (6 cfu)

      • Nozioni di base di teoria geometrica della misura. Correnti normali ed intere. Esistenza delle soluzioni per il problema di Plateau omologico. Varifold.
    • Problem solving (6 cfu)

      • Ruolo dei problemi nell’insegnamento della matematica; euristiche; problem solving e problem posing.
    • Teoria dei giochi (6 cfu)

      • Equilibri nei modelli di giochi noncooperativi, teoria dei giochi cooperativi, giochi posizionali e giochi differenziali
    • Analisi in spazi metrici (6 cfu)

      • Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi su spazi metrici.
    • Equazioni differenziali stocastiche e applicazioni (6 cfu)

      • Introduzione ai teoremi di esistenza ed unicità (debole o forte) per equazioni differenziali stocastiche ordinarie, legami con le equazioni alle derivate parziali, applicazioni in ambito fisico o biologico.
    • Matematica e società (6 cfu)

      • Matematica, società e curricula; il contesto culturale nell'insegnamento ed apprendimento della matematica; il ruolo delle conoscenze matematiche non-scolastiche.
    • Matematiche elementari da un punto di vista superiore: aritmetica (6 cfu)

      • Gli insiemi numerici: possibili introduzioni, proprietà
    • Fondamenti della matematica (6 cfu)

      • Sistemi formali e teorie fondazionali.
    • Geometria algebrica B (6 cfu)

      • Varietà complesse, metodi trascendenti
    • Equazioni paraboliche (6 cfu)

      • Equazioni differenziali di tipo parabolico, lineari e non lineari, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
    • Meccanica superiore (6 cfu)

      • Obiettivi formativi: Indicatori di comportamento caotico e metodi ergodici per sistemi meccanici
    • Teoria della misura (6 cfu)

      • Misure astratte, misure su uno spazio topologico, integrale di Daniell, convergenze di misure.
    • 4-varietà (6 cfu)

      • Risultati classici sulla topologia delle 4-varietà. Esempi e costruzioni di 4-varietà.
    • Complementi di fisica (6 cfu)

      • Onde. Elementi di relatività ristretta. Equazioni d'onda relativistiche. Complementi di termodinamica e statistica.
    • Statistica matematica (6 cfu)

      • Modelli statistici: modelli dominati. Stime: stime consistenti e di Massima verosimiglianza. Intervalli di fiducia e test. I principali test sui modelli gaussiani (di Student, di Fisher Snedecor). Modelli statistici non parametrici: teorema di Glivenko-Cantelli e e test del chi-quadro.
    • Analisi reale (6 cfu)

      • Fondamenti dell'analisi reale (teoria della misura, spazi di funzioni).
    • Capacità non lineare, disequazioni variazionali e applicazioni (6 cfu)

      • Il percorso scelto ci permetterà di illustrare alcune tecniche e argomenti classici per trovare condizioni necessarie e sufficienti affinché un punto di frontiera sia regolare relativamente al problema di Dirichlet non omogeneo per l'operatore di Laplace non-lineare (il cosiddetto p-laplaciano).
    • Complementi di didattica della matematica (6 cfu)

      • Processi di apprendimento della matematica; contesti e tipi di razionalità; ostacoli epistemologici e didattici nell’insegnamento della matematica
    • Teoria della dimostrazione (6 cfu)

      • Il concetto formale di dimostrazione. Sistemi dimostrativi. Logiche non classiche. Analisi ordinale
    • Geometria iperbolica (6 cfu)

      • Lo spazio iperbolico. Esempi e costruzioni di varietà iperboliche. Proprietà topologiche e geometriche di varietà iperboliche.
  • 6 cfu a scelta nel gruppo ModAppl

    • Moduli applicativi
    • Meccanica razionale (6 cfu)

      • Fondamenti di meccanica newtoniana, equazioni cardinali, moti centrali, corpo rigido, moti vincolati ed equazioni di Lagrange, integrali primi e riduzione, equilibri e piccole oscillazioni.
    • Ricerca operativa (6 cfu)

      • Grafi, programmazione lineare, programmazione intera, elementi di teoria dell'ottimizzazione.
    • Calcolo scientifico (6 cfu)

      • Problemi di minimi quadrati, metodi del gradiente, decomposizione a valori singolari, calcolo di autovalori.
    • Metodi numerici per catene di Markov (6 cfu)

      • Matrici nonnegative e teorema di Perron-Frobenius. Metodi per catene di Markov finite e infinite. Modelli di code e loro matrici di transizione.
    • Probabilità (6 cfu)

      • Complementi di misura e integrazione: integrazione delle variabili aleatorie. Indipendenza di variabili aleatorie: leggi 0-1. Le funzioni caratteristiche. Convergenza di variabili aleatorie. Teoremi limite (leggi dei Grandi Numeri e teorema del Limite Centrale). Due esempi di processi stocastici: il processo di Wiener e il processo di Poisson.
    • Fisica matematica (6 cfu)

      • Richiami di meccanica hamiltoniana, sistemi completamente integrabili e variabili azione angolo. Metodi perturbativi: teorema della media. Soluzioni periodiche del problema degli N-corpi, teorema geometrico di Poincaré-Birkhoff. Orbite periodiche con metodi variazionali.
    • Metodi di approssimazione (6 cfu)

      • Risoluzione numerica di equazioni matriciali. Algoritmi numerici per matrici con struttura.
    • Geodesia via satellite (6 cfu)

      • Problema dei minimi quadrati, simmetrie e degenerazioni. Campo gravitazionale di un corpo esteso, problema del satellite. Perturbazioni non-gravitazionali, geodesia e gravimetria spaziale, terrestre e interplanetaria.
    • Dinamica del sistema solare (6 cfu)

      • Equazioni del moto dei pianeti. Teorie perturbative, elementi propri. Risonanze, piccoli divisori, esponenti di Lyapunov.
    • Statistica Superiore (6 cfu)

      • Il corso si propone di fornirei: • Conoscenze fondamentali di statistica multivariata utili per l’analisi di tabelle di dati e serie storiche. • Abilità nell’uso del software statistico R. L’allievo al termine del corso conoscerà la teoria riguardante l’analisi di dati e serie storiche, sarà in grado di esaminare tabelle di dati e serie storiche tramite metodologie di statistica multivariata e saprà dare conclusioni quantitative per mezzo del software R. In particolare saprà quindi conoscere e saper applicare: • La regressione lineare multipla. • Il metodo delle componenti principali e analisi fattoriale. • Metodi di classificazione e clustering. • Metodi di analisi e previsione di serie storiche.
    • Meccanica spaziale (6 cfu)

      • Moto di satelliti artificiali e sonde spaziali, missioni spaziali interplanetarie.
    • Determinazione orbitale (6 cfu)

      • Problema dei minimi quadrati, simmetrie e degenerazioni. Problema dell'identificazione. Orbite preliminari. Soluzioni deboli. Incontri ravvicinati e monitoraggio degli impatti.
    • Teoria e metodi dell'ottimizzazione (6 cfu)

      • Ottimizzazione non lineare: condizioni di ottimalità per problemi vincolati e non vincolati, teoria della dualità, metodi risolutivi per problemi vincolati e non vincolati, applicazioni.
    • Elementi di meccanica celeste (6 cfu)

      • Problema dei 2 corpi ed equazione di Keplero. Problema dei 3 corpi ristretto circolare, integrale di Jacobi, criterio di stabilità di Hill, cenni su orbite confinate ma caotiche. Maree ed evoluzione mareale nel sistema solare; la Terra come corpo esteso.
    • Meccanica celeste (6 cfu)

      • Singolarità e orbite periodiche nel problema degli N corpi
    • Metodi numerici per equazioni differenziali ordinarie (6 cfu)

      • Problemi ai valori iniziali e ai valori limite, metodi a un passo, metodi a più passi, metodi di shooting.
    • Teoria dei giochi (6 cfu)

      • Equilibri nei modelli di giochi noncooperativi, teoria dei giochi cooperativi, giochi posizionali e giochi differenziali
    • Meccanica superiore (6 cfu)

      • Obiettivi formativi: Indicatori di comportamento caotico e metodi ergodici per sistemi meccanici
    • Statistica matematica (6 cfu)

      • Modelli statistici: modelli dominati. Stime: stime consistenti e di Massima verosimiglianza. Intervalli di fiducia e test. I principali test sui modelli gaussiani (di Student, di Fisher Snedecor). Modelli statistici non parametrici: teorema di Glivenko-Cantelli e e test del chi-quadro.
  • 6 cfu a scelta nel gruppo ModTeor

    • Moduli teorici
    • Dinamica olomorfa (6 cfu)

      • Insiemi di Julia e di Fatou; dinamica di funzioni olomorfe di una variabile.
    • Teoria dei numeri elementare (6 cfu)

      • Congruenze di grado superiore al primo e struttura moltiplicativa delle classi di resto. Proprietà algebriche e asintotiche delle funzioni aritmetiche. Problemi additivi e moltiplicativi legati alla distribuzione dei numeri primi. Approssimazioni razionali di numeri algebrici e trascendenti
    • Problemi di evoluzione (6 cfu)

      • Equazioni astratte, scale di Banach. Teorema di Cauchy-Kovalewski. Caratteristiche. Equazione delle onde. Sistemi iperbolici a coefficienti costanti. Condizioni  di Hadamard-Garding. Sistemi simmetrici, metodo dell'energia. Sistemi strettamente iperbolici. Simmetrizzatore micro-locale.
    • Elementi di calcolo delle variazioni (6 cfu)

      • Principi variazionali in una e più variabili. Equazione di Eulero-Lagrange. Condizioni sufficienti di minimalità. Esempi classici di problemi variazionali. Funzioni assolutamente continue e metodo diretto. Geodetiche. Teorema del passo montano e principi di minimax.
    • Teoria algebrica dei numeri 1 (6 cfu)

      • Campi di numeri, interi dei campi di numeri; fattorizzazione unica degli ideali, ramificazione, gruppo delle classi di ideali, teorema delle unità di Dirichlet.
    • Teoria dei campi e teoria di Galois (6 cfu)

      • Estensioni algebriche ed estensioni trascendenti, chiusura algebrica, separabilità, teoria di Galois, risolubilità, estensioni abeliane, teoria di Kummer.
    • Metodi topologici in analisi globale (6 cfu)

      • Elementi di analisi non lineare per alcuni problemi di tipo “globale”, quali: il problema della sella, il punto fisso di Brouwer, le dimensioni e l’invarianza del dominio, la pettinabilità della sfera, il problema di Jordan. Applicazioni alle equazioni differenziali.
    • Geometria reale B (6 cfu)

      • Geometria degli insiemi semianalitici e subanalitici.
    • Geometria e topologia delle superfici (6 cfu)

      • Spazio di Teichmüller; laminazioni geodetiche; complessi di curve.
    • Calcolo delle variazioni A (6 cfu)

      • Il metodo diretto nel calcolo delle variazioni. Condizioni necessarie e sufficienti di semicontinuità inferiore per funzionali integrali su spazi di Sobolev di funzioni scalari. Il caso vettoriale. Integrali invarianti. Misure di Young e misure di Young gradienti. Convessità, convessità di rango-uno, quasiconessità, policonvessità. Rilassamento.
    • Algebra superiore A (6 cfu)

      • Algebra commutativa.
    • Analisi armonica (6 cfu)

      • Fondamenti dell'Analisi armonica, interpolazione reale e comlessa, spazi di Lorentz, funzioni massimali, teoria di Calderon-Zygmund, spazi BMO, moltiplicatori di Fourier, integrali oscillanti e teoremi di restizione.
    • Ultrafiltri e metodi nonstandard (6 cfu)

      • Ultrafiltri e ultrapotenze. Fondamenti dell'analisi non-standard. Applicazioni alla teoria di Ramsey e alla teoria combinatoria dei numeri.
    • Equazioni alle derivate parziali (6 cfu)

      • Equazioni e sistemi del primo ordine. Rappresentazione esplicita delle soluzioni delle equazioni di Laplace, del calore, e delle onde. Proprietà qualitative delle soluzioni: principio del massimo, unicità, regolarità e dispersione.
    • Analisi convessa (6 cfu)

      • Topologie deboli su spazi di Banach, funzioni convesse, calcolo in spazi di Banach, sottodifferenziale, disequazioni variazionali, multifunzioni.
    • Geometria riemanniana (6 cfu)

      • Relazioni fra curvatura e topologia; teoremi di confronto e di pinching.
    • Algebra commutativa e geometria algebrica computazionale (6 cfu)

      • Costruzioni e algoritmi per l'algebra commutativa e la geometria algebrica, applicazioni.
    • Elementi di algebra computazionale (6 cfu)

      • Rappresentazione di interi e polinomi. Algoritmi algebrici fondamentati. Sistemi di calcolo algebrico.
    • Geometria reale A (6 cfu)

      • Geometria degli insiemi semialgebrici. Algebra reale. Strutture o-minimali.
    • Logica matematica (6 cfu)

      • Calcolo dei predicati. Teoremi di incompletezza di Godel. Decidibilità e indecidibilità.
    • Algebra superiore B (6 cfu)

      • Algebre e loro rappresentazioni
    • Geometria differenziale complessa (6 cfu)

      • Varietà complesse; coomologia di Dolbeault; varietà di Stein; metriche e distanze intrinseche.
    • Teoria degli insiemi (6 cfu)

      • Modelli della teoria degli insiemi.
    • Teoria dei nodi (6 cfu)

      • Invarianti di nodi e di link. Trecce.
    • Geometria e topologia differenziale (6 cfu)

      • Geometria differenziale di curve e superfici nello spazio euclideo, introduzione a varietà e mappe differenziabili in dimensione n.
    • Geometria algebrica A (6 cfu)

      • Schemi, fasci, coomologia.
    • Analisi non lineare (6 cfu)

      • Teorie e metodi sul comportamento globale di operatori non lineari, fra spazi di dimensione finita o spazi di funzioni, collegati con classici problemio equazioni non lineari.
    • Topologia differenziale (6 cfu)

      • Funzioni di Morse e decomposizioni in manici. Teorema dell'h-cobordismo.
    • Algebra computazionale A (6 cfu)

      • Aritmetica, fattorizzazione, integrazione.
    • Analisi matematica 3 (6 cfu)

      • Spazi di Hilbert. Spazi di Lebesgue L^p. Convoluzione di funzioni. Serie di Fourier. Trasformata di Fourier. Formula dell'area e integrazione su superfici. Funzioni armoniche.
    • Teoria analitica dei numeri A (6 cfu)

      • Problemi legati alla distribuzione dei primi; la Zeta di Riemann e le funzioni L di Dirichlet.
    • Elementi di analisi complessa (6 cfu)

      • Teorema di uniformizzazione di Riemann; proprietà geometriche del gruppo delle omografie; principio di simmetria e sue applicazioni; un modello di piano iperbolico; cenni sulle funzioni di più variabili complesse.
    • Geometria algebrica C (6 cfu)

      • Curve e superfici di Riemann.
    • Analisi superiore (6 cfu)

      • Spazi vettoriali topologici. misure e distribuzioni. Operatori illimitatii, aggiunto ad un operatore non limiato, teoria spettrale per operatori non limitati. Calcolo funzionale Forme quadratiche, soluzioni deboli e soluzioni forti.
    • Topologia algebrica (6 cfu)

      • Omotopia e teorie coomologiche.
    • Algebra computazionale B (6 cfu)

      • Metodi effettivi per la risoluzione di sistemi di equazioni polimonmiali.
    • Elementi di topologia algebrica (6 cfu)

      • Omologia simpliciale e singolare, CW complessi, coomologia, prodotto cup, dualità di Poincaré.
    • Equazioni della fluidodinamica (6 cfu)

      • Introduzione alla teoria matematica delle equazioni alle derivate parziali della meccanica dei continui e in particolare a quelle di Eulero e Navier-Stokes per fluidi incomprimibili.
    • Topologia e geometria in bassa dimensione (6 cfu)

      • Varietà topologiche, lineari a pezzi e differenziabili di dimensione minore di 5.
    • Elementi di geometria algebrica (6 cfu)

      • Varietà affini, proiettive e quasi-proiettive. Morfismi. Applicazioni razionali. Punti lisci e dimensione.
    • Algebra 2 (6 cfu)

      • Gruppi: azioni di gruppi, costruzioni e presentazioni di gruppi. Moduli e caratterizzazione dei moduli su un PID. Anelli noetheriani. Teorema della base di Hilbert. Basi di Groebner e applicazioni.
    • 3-varietà (6 cfu)

      • Risultati classici sulla topologia delle 3-varietà. Esempi e costruzioni di 3-varietà.
    • Equazioni ellittiche (6 cfu)

      • Teoria della regolarità. Equazioni in forma di divergenza. Equazioni non variazionali. Equazioni non lineari. Problemi al contorno. Frontiera libera. Problemi con ostacolo. Equazioni degeneri. Teoria del potenziale. Funzioni armoniche. Interpolazione. Autovalori.
    • Teoria dei controlli (6 cfu)

      • Teoria di controllabilità, osservabilità e stabilizzazione via feedback; modelli di controllo lineari; teoria geometrica di controllabilità per sistemi regolari; sistemi switching e sistemi ibridi.
    • Analisi complessa A (6 cfu)

      • Il fascio dei germi delle funzioni analitiche; Nullstellensatz; spazi analitici; Teoremi A e B di Cartan.
    • Equazioni alle derivate parziali 2 (6 cfu)

      • Selezione di argomenti avanzati della teoria delle equazioni alle derivate parziali.
    • Equazioni iperboliche (6 cfu)

      • Equazioni differenziali di tipo iperbolico, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
    • Teoria dei modelli (6 cfu)

      • Modelli di teorie del primo ordine. Compattezza. Equivalenza elementare. Applicazioni all'aritmetica, ai campi, e ad altre strutture algebrico-relazionali.
    • Elementi di teoria degli insiemi (6 cfu)

      • Nozioni di logica. Teoria assiomatica degli insiemi. Cardinali. Ordinali.
    • Geometria algebrica B (6 cfu)

      • Varietà complesse, metodi trascendenti
    • Teoria della misura (6 cfu)

      • Misure astratte, misure su uno spazio topologico, integrale di Daniell, convergenze di misure.
    • Geometria iperbolica (6 cfu)

      • Lo spazio iperbolico. Esempi e costruzioni di varietà iperboliche. Proprietà topologiche e geometriche di varietà iperboliche.
  • 6 cfu a scelta nel gruppo ModTeor

    • Moduli teorici
    • Dinamica olomorfa (6 cfu)

      • Insiemi di Julia e di Fatou; dinamica di funzioni olomorfe di una variabile.
    • Teoria dei numeri elementare (6 cfu)

      • Congruenze di grado superiore al primo e struttura moltiplicativa delle classi di resto. Proprietà algebriche e asintotiche delle funzioni aritmetiche. Problemi additivi e moltiplicativi legati alla distribuzione dei numeri primi. Approssimazioni razionali di numeri algebrici e trascendenti
    • Problemi di evoluzione (6 cfu)

      • Equazioni astratte, scale di Banach. Teorema di Cauchy-Kovalewski. Caratteristiche. Equazione delle onde. Sistemi iperbolici a coefficienti costanti. Condizioni  di Hadamard-Garding. Sistemi simmetrici, metodo dell'energia. Sistemi strettamente iperbolici. Simmetrizzatore micro-locale.
    • Elementi di calcolo delle variazioni (6 cfu)

      • Principi variazionali in una e più variabili. Equazione di Eulero-Lagrange. Condizioni sufficienti di minimalità. Esempi classici di problemi variazionali. Funzioni assolutamente continue e metodo diretto. Geodetiche. Teorema del passo montano e principi di minimax.
    • Teoria algebrica dei numeri 1 (6 cfu)

      • Campi di numeri, interi dei campi di numeri; fattorizzazione unica degli ideali, ramificazione, gruppo delle classi di ideali, teorema delle unità di Dirichlet.
    • Teoria dei campi e teoria di Galois (6 cfu)

      • Estensioni algebriche ed estensioni trascendenti, chiusura algebrica, separabilità, teoria di Galois, risolubilità, estensioni abeliane, teoria di Kummer.
    • Metodi topologici in analisi globale (6 cfu)

      • Elementi di analisi non lineare per alcuni problemi di tipo “globale”, quali: il problema della sella, il punto fisso di Brouwer, le dimensioni e l’invarianza del dominio, la pettinabilità della sfera, il problema di Jordan. Applicazioni alle equazioni differenziali.
    • Geometria reale B (6 cfu)

      • Geometria degli insiemi semianalitici e subanalitici.
    • Geometria e topologia delle superfici (6 cfu)

      • Spazio di Teichmüller; laminazioni geodetiche; complessi di curve.
    • Calcolo delle variazioni A (6 cfu)

      • Il metodo diretto nel calcolo delle variazioni. Condizioni necessarie e sufficienti di semicontinuità inferiore per funzionali integrali su spazi di Sobolev di funzioni scalari. Il caso vettoriale. Integrali invarianti. Misure di Young e misure di Young gradienti. Convessità, convessità di rango-uno, quasiconessità, policonvessità. Rilassamento.
    • Algebra superiore A (6 cfu)

      • Algebra commutativa.
    • Analisi armonica (6 cfu)

      • Fondamenti dell'Analisi armonica, interpolazione reale e comlessa, spazi di Lorentz, funzioni massimali, teoria di Calderon-Zygmund, spazi BMO, moltiplicatori di Fourier, integrali oscillanti e teoremi di restizione.
    • Ultrafiltri e metodi nonstandard (6 cfu)

      • Ultrafiltri e ultrapotenze. Fondamenti dell'analisi non-standard. Applicazioni alla teoria di Ramsey e alla teoria combinatoria dei numeri.
    • Equazioni alle derivate parziali (6 cfu)

      • Equazioni e sistemi del primo ordine. Rappresentazione esplicita delle soluzioni delle equazioni di Laplace, del calore, e delle onde. Proprietà qualitative delle soluzioni: principio del massimo, unicità, regolarità e dispersione.
    • Analisi convessa (6 cfu)

      • Topologie deboli su spazi di Banach, funzioni convesse, calcolo in spazi di Banach, sottodifferenziale, disequazioni variazionali, multifunzioni.
    • Geometria riemanniana (6 cfu)

      • Relazioni fra curvatura e topologia; teoremi di confronto e di pinching.
    • Algebra commutativa e geometria algebrica computazionale (6 cfu)

      • Costruzioni e algoritmi per l'algebra commutativa e la geometria algebrica, applicazioni.
    • Elementi di algebra computazionale (6 cfu)

      • Rappresentazione di interi e polinomi. Algoritmi algebrici fondamentati. Sistemi di calcolo algebrico.
    • Geometria reale A (6 cfu)

      • Geometria degli insiemi semialgebrici. Algebra reale. Strutture o-minimali.
    • Logica matematica (6 cfu)

      • Calcolo dei predicati. Teoremi di incompletezza di Godel. Decidibilità e indecidibilità.
    • Algebra superiore B (6 cfu)

      • Algebre e loro rappresentazioni
    • Geometria differenziale complessa (6 cfu)

      • Varietà complesse; coomologia di Dolbeault; varietà di Stein; metriche e distanze intrinseche.
    • Teoria degli insiemi (6 cfu)

      • Modelli della teoria degli insiemi.
    • Teoria dei nodi (6 cfu)

      • Invarianti di nodi e di link. Trecce.
    • Geometria e topologia differenziale (6 cfu)

      • Geometria differenziale di curve e superfici nello spazio euclideo, introduzione a varietà e mappe differenziabili in dimensione n.
    • Geometria algebrica A (6 cfu)

      • Schemi, fasci, coomologia.
    • Analisi non lineare (6 cfu)

      • Teorie e metodi sul comportamento globale di operatori non lineari, fra spazi di dimensione finita o spazi di funzioni, collegati con classici problemio equazioni non lineari.
    • Topologia differenziale (6 cfu)

      • Funzioni di Morse e decomposizioni in manici. Teorema dell'h-cobordismo.
    • Algebra computazionale A (6 cfu)

      • Aritmetica, fattorizzazione, integrazione.
    • Analisi matematica 3 (6 cfu)

      • Spazi di Hilbert. Spazi di Lebesgue L^p. Convoluzione di funzioni. Serie di Fourier. Trasformata di Fourier. Formula dell'area e integrazione su superfici. Funzioni armoniche.
    • Teoria analitica dei numeri A (6 cfu)

      • Problemi legati alla distribuzione dei primi; la Zeta di Riemann e le funzioni L di Dirichlet.
    • Elementi di analisi complessa (6 cfu)

      • Teorema di uniformizzazione di Riemann; proprietà geometriche del gruppo delle omografie; principio di simmetria e sue applicazioni; un modello di piano iperbolico; cenni sulle funzioni di più variabili complesse.
    • Geometria algebrica C (6 cfu)

      • Curve e superfici di Riemann.
    • Analisi superiore (6 cfu)

      • Spazi vettoriali topologici. misure e distribuzioni. Operatori illimitatii, aggiunto ad un operatore non limiato, teoria spettrale per operatori non limitati. Calcolo funzionale Forme quadratiche, soluzioni deboli e soluzioni forti.
    • Topologia algebrica (6 cfu)

      • Omotopia e teorie coomologiche.
    • Algebra computazionale B (6 cfu)

      • Metodi effettivi per la risoluzione di sistemi di equazioni polimonmiali.
    • Elementi di topologia algebrica (6 cfu)

      • Omologia simpliciale e singolare, CW complessi, coomologia, prodotto cup, dualità di Poincaré.
    • Equazioni della fluidodinamica (6 cfu)

      • Introduzione alla teoria matematica delle equazioni alle derivate parziali della meccanica dei continui e in particolare a quelle di Eulero e Navier-Stokes per fluidi incomprimibili.
    • Topologia e geometria in bassa dimensione (6 cfu)

      • Varietà topologiche, lineari a pezzi e differenziabili di dimensione minore di 5.
    • Elementi di geometria algebrica (6 cfu)

      • Varietà affini, proiettive e quasi-proiettive. Morfismi. Applicazioni razionali. Punti lisci e dimensione.
    • Algebra 2 (6 cfu)

      • Gruppi: azioni di gruppi, costruzioni e presentazioni di gruppi. Moduli e caratterizzazione dei moduli su un PID. Anelli noetheriani. Teorema della base di Hilbert. Basi di Groebner e applicazioni.
    • 3-varietà (6 cfu)

      • Risultati classici sulla topologia delle 3-varietà. Esempi e costruzioni di 3-varietà.
    • Equazioni ellittiche (6 cfu)

      • Teoria della regolarità. Equazioni in forma di divergenza. Equazioni non variazionali. Equazioni non lineari. Problemi al contorno. Frontiera libera. Problemi con ostacolo. Equazioni degeneri. Teoria del potenziale. Funzioni armoniche. Interpolazione. Autovalori.
    • Teoria dei controlli (6 cfu)

      • Teoria di controllabilità, osservabilità e stabilizzazione via feedback; modelli di controllo lineari; teoria geometrica di controllabilità per sistemi regolari; sistemi switching e sistemi ibridi.
    • Analisi complessa A (6 cfu)

      • Il fascio dei germi delle funzioni analitiche; Nullstellensatz; spazi analitici; Teoremi A e B di Cartan.
    • Equazioni alle derivate parziali 2 (6 cfu)

      • Selezione di argomenti avanzati della teoria delle equazioni alle derivate parziali.
    • Equazioni iperboliche (6 cfu)

      • Equazioni differenziali di tipo iperbolico, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
    • Teoria dei modelli (6 cfu)

      • Modelli di teorie del primo ordine. Compattezza. Equivalenza elementare. Applicazioni all'aritmetica, ai campi, e ad altre strutture algebrico-relazionali.
    • Elementi di teoria degli insiemi (6 cfu)

      • Nozioni di logica. Teoria assiomatica degli insiemi. Cardinali. Ordinali.
    • Geometria algebrica B (6 cfu)

      • Varietà complesse, metodi trascendenti
    • Teoria della misura (6 cfu)

      • Misure astratte, misure su uno spazio topologico, integrale di Daniell, convergenze di misure.
    • Geometria iperbolica (6 cfu)

      • Lo spazio iperbolico. Esempi e costruzioni di varietà iperboliche. Proprietà topologiche e geometriche di varietà iperboliche.
  • 6 cfu a scelta nel gruppo ModTeor

    • Moduli teorici
    • Dinamica olomorfa (6 cfu)

      • Insiemi di Julia e di Fatou; dinamica di funzioni olomorfe di una variabile.
    • Teoria dei numeri elementare (6 cfu)

      • Congruenze di grado superiore al primo e struttura moltiplicativa delle classi di resto. Proprietà algebriche e asintotiche delle funzioni aritmetiche. Problemi additivi e moltiplicativi legati alla distribuzione dei numeri primi. Approssimazioni razionali di numeri algebrici e trascendenti
    • Problemi di evoluzione (6 cfu)

      • Equazioni astratte, scale di Banach. Teorema di Cauchy-Kovalewski. Caratteristiche. Equazione delle onde. Sistemi iperbolici a coefficienti costanti. Condizioni  di Hadamard-Garding. Sistemi simmetrici, metodo dell'energia. Sistemi strettamente iperbolici. Simmetrizzatore micro-locale.
    • Elementi di calcolo delle variazioni (6 cfu)

      • Principi variazionali in una e più variabili. Equazione di Eulero-Lagrange. Condizioni sufficienti di minimalità. Esempi classici di problemi variazionali. Funzioni assolutamente continue e metodo diretto. Geodetiche. Teorema del passo montano e principi di minimax.
    • Teoria algebrica dei numeri 1 (6 cfu)

      • Campi di numeri, interi dei campi di numeri; fattorizzazione unica degli ideali, ramificazione, gruppo delle classi di ideali, teorema delle unità di Dirichlet.
    • Teoria dei campi e teoria di Galois (6 cfu)

      • Estensioni algebriche ed estensioni trascendenti, chiusura algebrica, separabilità, teoria di Galois, risolubilità, estensioni abeliane, teoria di Kummer.
    • Metodi topologici in analisi globale (6 cfu)

      • Elementi di analisi non lineare per alcuni problemi di tipo “globale”, quali: il problema della sella, il punto fisso di Brouwer, le dimensioni e l’invarianza del dominio, la pettinabilità della sfera, il problema di Jordan. Applicazioni alle equazioni differenziali.
    • Geometria reale B (6 cfu)

      • Geometria degli insiemi semianalitici e subanalitici.
    • Geometria e topologia delle superfici (6 cfu)

      • Spazio di Teichmüller; laminazioni geodetiche; complessi di curve.
    • Calcolo delle variazioni A (6 cfu)

      • Il metodo diretto nel calcolo delle variazioni. Condizioni necessarie e sufficienti di semicontinuità inferiore per funzionali integrali su spazi di Sobolev d